安徽省六安一中、舒城中學2025屆高三一診考試數(shù)學試卷含解析

安徽省六安一中、舒城中學2025屆高三一診考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，以（為坐標原點）為直徑的圓交雙曲線于兩點，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．已知為拋物線的焦點，點在上，若直線與的另一個交點為，則()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．5．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb6．若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A．的值域為 B．為周期函數(shù)，且6為其一個周期C．的圖像關于對稱 D．函數(shù)的零點有無窮多個7．已知函數(shù)，若曲線上始終存在兩點，，使得，且的中點在軸上，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構成新的等差數(shù)列，為的前項和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．139．如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“”，則輸出（）A．2 B．10 C．34 D．9810．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．11．過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線，若與軸的交點坐標為，則該雙曲線的標準方程可能為（）A． B． C． D．12．關于函數(shù)，有下述三個結論：①函數(shù)的一個周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域為.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．② C．②③ D．③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在△ABC中，E為邊AC上一點，且，P為BE上一點，且滿足，則的最小值為______．14．在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學生參加，其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%，女生成績的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%，女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個結論:①甲校學生成績的優(yōu)秀率大于乙校學生成績的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率;③甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關系不確定.其中，所有正確結論的序號是____________.15．拋物線的焦點到準線的距離為．16．如圖，在棱長為2的正方體中，點、分別是棱，的中點，是側面正方形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.18．（12分）已知直線：與拋物線切于點，直線：過定點Q，且拋物線上的點到點Q的距離與其到準線距離之和的最小值為.（1）求拋物線的方程及點的坐標；（2）設直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．（12分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，.（1）若，求直線AP與平面所成角；（2）在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的實數(shù)m，都有，并證明你的結論.21．（12分）在直角坐標系中，已知點，若以線段為直徑的圓與軸相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）若上存在兩動點（A，B在軸異側）滿足，且的周長為，求的值.22．（10分）在，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結合雙曲線的定義，即得解.【詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的性質及雙曲線的離心率，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.2、D【解析】

結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.3、C【解析】

求得點坐標，由此求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得點坐標，進而求得【詳解】拋物線焦點為，令，，解得，不妨設，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎題.4、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．5、B【解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質【名師點睛】比較冪或對數(shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或對數(shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.6、D【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質，主要是抽象函數(shù)的性質，運用數(shù)學式子判斷得出結論是關鍵.7、D【解析】

根據(jù)中點在軸上，設出兩點的坐標，，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，兩點的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數(shù)在上的值域為，故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.8、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式可得，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，構成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時，.故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.9、C【解析】

由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.【詳解】由題意運行程序可得：，，，；，，，；，，，；不成立，此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可，屬于基礎題.10、A【解析】

在中，設，，，結合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據(jù)已知條件結合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數(shù)使得，，設，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點睛】本題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬于難題.11、A【解析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關系，結合選項求解即可【詳解】直線的方程為，令，得.因為，所以，只有選項滿足條件.故選：A【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系以及雙曲線的標準方程，考查運算求解能力.12、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當時，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，而，當時，再求值域.【詳解】因為，故①錯誤；當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，易知，故當時，，故③正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：根據(jù)題意有，因為三點共線，所以有，從而有，所以的最小值是．考點：向量的運算，基本不等式．【方法點睛】該題考查的是有關應用基本不等式求最值的問題，屬于中檔題目，在解題的過程中，關鍵步驟在于對題中條件的轉化，根據(jù)三點共線，結合向量的性質可知，從而等價于已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的最值的問題，兩式乘積，最后應用基本不等式求得結果，最后再加，得出最后的答案．14、②③【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；因為甲乙兩校的男生的優(yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率，故②正確；因為不能確定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關系，故③正確.故答案為：②③.【點睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關系，意在考查學生的理解能力和應用能力.15、【解析】試題分析：由題意得，因為拋物線，即，即焦點到準線的距離為.考點：拋物線的性質．16、【解析】

取中點，連結，，推導出平面平面，從而點在線段上運動，作于，由，能求出線段長度的取值范圍．【詳解】取中點，連結，，在棱長為2的正方體中，點、分別是棱、的中點，，，，，平面平面，是側面正方形內(nèi)一點（含邊界），平面，點在線段上運動，在等腰△中，，，作于，由等面積法解得：，，線段長度的取值范圍是，．故答案為：，．【點睛】本題考查線段長的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不能，理由見解析【解析】

（1）設，則，由此即可求出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得，則直線斜率為，設其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理可得關于對稱，可求得，假設存在直線滿足題意，設，可得，由此可得答案．【詳解】解：（1）設，則，，所以橢圓方程為；（2）設直線的方程為，與聯(lián)立得，∴，因為兩直線的傾斜角互補，所以直線斜率為，設直線的方程為，聯(lián)立整理得，，所以關于對稱，由正弦定理得，因為,所以，由上得，假設存在直線滿足題意，設，按某種排列成等比數(shù)列，設公比為，則，所以，則此時直線與平行或重合，與題意不符，所以不存在滿足題意的直線．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系，考查計算能力與推理能力，屬于難題．18、（1），（1，2）；（2）存在，【解析】

（1）由直線恒過點點及拋物線C上的點到點Q的距離與到準線的距離之和的最小值為，求出拋物線的方程，再由直線與拋物線相切，即可求得切點的坐標；（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系，求得直線PA，PB的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】（1）由題意，直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0，所以定點Q的坐標為拋物線的焦點坐標，由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為，可得，解得或（舍去），故拋物線C的方程為又由消去y得，因為直線與拋物線C相切，所以，解得，此時，所以點P坐標為（1，2）（2）設存在滿足條件的實數(shù)，點，聯(lián)立，消去x得，則，依題意，可得，解得m<-1或，由（1）知P（1，2），可得，同理可得，所以=，故存在實數(shù)=滿足條件.【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.19、（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應選擇等額本金還款方式【解析】

（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前n項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計算出等額本息還款方式時所付出的總利息，兩個利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為元.（2）設小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，則，所以，即，因為，所以小張該筆貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：，因為，所以從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應選擇等額本金還款方式.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應用，數(shù)列在實際問題中的應用，理解題意是解決問題的關鍵，屬于中檔題.20、（1）；（2）存在，Q為線段中點【解析】

解法一：（1）作出平面與平面的交線，可證平面，計算，，得出，從而得出的大??；（2）證明平面，故而可得當Q為線段的中點時.解法二，以為原點，以為建立空間直角坐標系：（1）由，利用空間向量的數(shù)量積可求線面角；（2）設上存在一定點Q，設此點的橫坐標為，可得，由向量垂直，數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】（1）解法一：連接交于，設與平面的公共點為，連接，則平面平面，四邊形是正方形，，平面，平面，，又，平面，為直線AP與平面所成角，平面，平面，平面平面，，又為的中點，，，，直線AP與平面所成角為.（2）四邊形正方形，，平面，平面，，又,平面，又平面，，當Q為線段中點時，對于任意的實數(shù)，都