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1PAGE第13頁高三數(shù)學(xué)考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘.2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時,請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)、三角恒等變換,解三角形、平面向量.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的值域可以表示為()A. B.C. D.2.若“”是“”的充分條件,則是()A第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角3.下列命題正確的是()A, B.,C, D.,4.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.5.已知向量,滿足,,則向量與的夾角為()A. B. C. D.6.已知,則()A. B. C. D.7.已知,,,則的最小值為()A.8 B.9 C.12 D.168若,,則()A. B. C. D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù),則()A.的值域為 B.為奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.的最小正周期為10.國慶節(jié)期間,甲、乙兩商場舉行優(yōu)惠促銷活動,甲商場采用購買所有商品一律“打八四折”的促銷策略,乙商場采用“購物每滿200元送40元”的促銷策略.某顧客計劃消費元,并且要利用商場的優(yōu)惠活動,使消費更低一些,則()A.當時,應(yīng)進甲商場購物 B.當時,應(yīng)進乙商場購物C.當時,應(yīng)進乙商場購物 D.當時,應(yīng)進甲商場購物11.已知函數(shù)滿足:①,,;②,則()A. B.C.在上是減函數(shù) D.,,則三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知函數(shù),則曲線在點處的切線方程為______.13.已知函數(shù),若為偶函數(shù),且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點,則的值是__________.14.若內(nèi)一點P滿足,則稱P為布洛卡點,為布洛卡角.三角形的布洛卡點是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn),1875年被法國軍官布洛卡重新發(fā)現(xiàn),并用他的名字命名.如圖,在中,,,若P為的布洛卡點,且,則BC的長為______.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中,內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求;(2)若為的外心,為邊的中點,且,求周長的最大值.16.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,,.(1)求a;(2)如圖,D是外一點(D與A在直線BC的兩側(cè)),且,,求四邊形ABDC的面積.17.已知平面向量,,且,其中,.設(shè)點和在函數(shù)的圖象(的部分圖象如圖所示)上.(1)求a,b,的值;(2)若是圖象上的一點,則是函數(shù)圖象上的相應(yīng)的點,求在上的單調(diào)遞減區(qū)間.18.已知函數(shù),m,.(1)當時,求的最小值;(2)當時,討論的單調(diào)性;(3)當時,證明:,.19.已知非零向量,,,均用有向線段表示,現(xiàn)定義一個新的向量以及向量間的一種運算“”:.(1)證明:是這樣一個向量:其模是的模的倍,方向為將繞起點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角(為軸正方向沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到所成的角,且),并舉一個具體的例子說明之;(2)如圖1,分別以的邊AB,AC為一邊向外作和,使,.設(shè)線段DE的中點為G,證明:;(3)如圖2,設(shè),圓,B是圓O上一動點,以AB為邊作等邊(A,B,C三點按逆時針排列),求的最大值.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】D二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.【答案】AD10.【答案】AC11.【答案】BCD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.【答案】13.【答案】214.【答案】四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【解析】【分析】(1)由正弦定理結(jié)合三角恒等變換進行化簡即可求解;(2)利用向量表示出,由余弦定理結(jié)合基本不等式、三角形周長公式即可求解.【小問1詳解】由已知及正弦定理得:,由得:,所以,又,所以,即,因為,所以,所以解得.【小問2詳解】因為為的外心,且由上問知,所以,設(shè)(為的外接圓半徑),因為為邊的中點,且,所以在中易得:,所以,即,解得:,在中由余弦定理可得:,解得,在中由余弦定理可得:,由基本不等式可得:,當且僅當時等號成立,所以,即.所以周長,當且僅當時等號成立.故周長的最大值為.16.【解析】【分析】(1)首先根據(jù)兩角和的正切公式求,即求角,再根據(jù)余弦定理求解;(2)根據(jù)誘導(dǎo)公式求解,以及兩角和的三角函數(shù)求,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)面積公式,即可求解.【小問1詳解】由條件可知,,所以,所以,即,所以,則所以;【小問2詳解】,,,,中,,即,所以,,所以四邊形的面積為.17.【解析】【分析】(1)由得,利用向量數(shù)量積計算公式和輔助角公式化簡得,根據(jù)題設(shè)條件列出三角方程組,結(jié)合圖象即可求出a,b,的值;(2)由題意中點的變換求得,利用正弦函數(shù)的圖象特點即可求得在上的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問1詳解】因,,由,可得,由,其中,因點和在函數(shù)的圖象上,則有,,結(jié)合圖象,由①可得,將其代入②式,可得,即,(*)由圖知,該函數(shù)的周期滿足,即又,則有,由(*)可得,故.由解得,,故,,;【小問2詳解】不妨記,則,因是圖象上的一點,即得,即,又因是函數(shù)圖象上的相應(yīng)的點,故有.由,可得,因,故得.在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.18.【解析】【分析】(1)利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即得函數(shù)的極小值即最小值;(2)利用求導(dǎo),就導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)進行分類,分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號,即得函數(shù)的單調(diào)性;(3)將待證不等式等價轉(zhuǎn)化為,設(shè),依題意,只需證在時,成立,分別求即可得證.【小問1詳解】當時,,,由,可得或,由,可得,即在和上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,時,,時,,故時,取得極小值也即最小值,為.【小問2詳解】當時,,函數(shù)的定義域為,,當時,恒成立,故在上增函數(shù);當時,由,可得,故當或時,;即在和上單調(diào)遞增;當時,,即在上單調(diào)遞減.綜上,當時,在上為增函數(shù);當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】當時,,要證,,只需證,即證在上恒成立.設(shè),依題意,只需證在時,.因,,由,可得,由,可得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在時取得極小值也是最小值,為;因,,由,可得,由,可得,由,可得,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則在時取得極大值也是最大值,為.因,即在上成立,故得證.即,.19.【解析】【分析】(1)根據(jù)圓的參數(shù)方程設(shè)定的坐標,再依據(jù)題意證明即可;(2)依據(jù)新定義把的坐標表示出來再運算證明即可;(3)掌握平面向量的模的運算和三角函數(shù)的最值求法即可解答.【小問1詳解】證明:設(shè)(分別為軸正方向逆時針到所成角,且),則,,于是,即,軸正方向逆時針到所成的角
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