備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項(xiàng)練13　壓軸大題搶分練(b)

題型專項(xiàng)練13壓軸大題搶分練(B)(分值:34分)學(xué)生用書P2381.(17分)(2024山東濟(jì)南二模)在平面直角坐標(biāo)系中,粒子從原點(diǎn)出發(fā),每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,且向四個(gè)方向移動(dòng)的概率均為14.例如在1秒末,粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四點(diǎn)處(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)(x,y),記x+y的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).(2)記第n秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為pn.(ⅰ)已知∑k=0n(Cnk)2=C2nn,求p(ⅱ)令bn=p2n,記Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,若對(duì)任意實(shí)數(shù)M>0,存在n∈N*,使得Sn>M,則稱粒子是常返的.已知2πnnen<n!<6π

142(1)解粒子在第2秒可能運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,1),(2,0),(0,2)或(0,0),(1,-1),(-1,1)或(-1,-1),(-2,0),(0,-2)的位置,X的可能取值為-2,0,2,P(X=-2)=416P(X=0)=816P(X=2)=416所以X的分布列為X-202P111E(X)=(-2)×14+0×12+2×14(2)(ⅰ)解粒子奇數(shù)秒不可能回到原點(diǎn),故p3=0,粒子在第4秒回到原點(diǎn),分兩種情況考慮:(a)每一步分別是四個(gè)不同方向的排列,例如“上下左右”,共有A44(b)每一步分別是兩個(gè)相反方向的排列,例如“左左右右、上上下下”,共有2C42所以p4=A4第2n秒末粒子要回到原點(diǎn),則必定向左移動(dòng)k步,向右移動(dòng)k步,向上移動(dòng)(n-k)步,向下移動(dòng)(n-k)步,故p2n=∑k14142n·C2nn∑故p2n=142n·(C(ⅱ)證明由2πnnen<n!<6π

142πnnen得C2nn=(2n)!(n!設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(1+x),x>0,則f'(x)=1-11+x故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)>f(0)=0,于是x>ln(1+x)(x>0),從而有Sn=∑k=1np2k>∑k=1n16k>16∑k=1nln1+1k=設(shè)[x]為不超過x的最大整數(shù),則對(duì)任意常數(shù)M>0,當(dāng)n≥[e6M]時(shí),n>e6M-1,于是Sn>16ln(n+1)綜上所述,當(dāng)n≥[e6M]時(shí),Sn>M成立,因此該粒子是常返的.2.(17分)(2024江蘇蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知F為拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A在拋物線上,且FA=3,-14.點(diǎn)P(0,-2),M,N是拋物線上不同的兩點(diǎn),直線PM和直線PN的斜率分別為k1,k2.(1)求C的方程;(2)存在點(diǎn)Q,當(dāng)直線MN經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí),3(k1+k2)-2k1k2=4恒成立,請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo);(3)對(duì)于(2)中的一個(gè)點(diǎn)Q,當(dāng)直線MN經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí),|MN|存在最小值,試求出這個(gè)最小值.解(1)F0,p2,設(shè)Ax1,x122p,則FA=x1,x122p-p2=3所以x1=3,x122p-p2=-14,所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立方程y=kx+m,x2=4y則Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1·x2=-4m.又k1=y1+2x1=kx1+m所以k1+k2=2k+(m+2)1x1+1x2=2k+(k1k2=(=k=8k因?yàn)?(k1+k2)-2k1k2=4,所以3×k(m-2)m-即(2k+m-2)(4k+m-2)=0,則m=2-2k或m=2-4k,當(dāng)m=2-2k時(shí),Δ=16(k2+m)=16(k2-2k+2)=16[(k-1)2+1]>0恒成立.當(dāng)m=2-4k時(shí),Δ=16(k2+m)=16(k2-4k+2),當(dāng)k>2+2或k<2-2時(shí),滿足Δ>0,則直線MN的方程為y=kx+2-2k=k(x-2)+2,或y=kx+2-4k=k(x-4)+2,所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2)或(4,2).(3)如圖,①若直線MN過點(diǎn)(2,2),則m=2-2k,k∈R,得x1+x2=4k,x1·x2=-4m=8k-8,|MN|=(=1+=41+=4k4令f(k)=k4-2k3+3k2-2k+2,則f'(k)=4k3-6k2+6k-2=2(2k-1)(k2-k+1)=0,當(dāng)k<12時(shí),f'(k)<0,f(k)在-∞,12上單調(diào)遞減,當(dāng)k>12時(shí),f'(k)>0,f(k)在12,+∞上單調(diào)遞增,所以當(dāng)k=12時(shí),f(k)有最小值,|MN|有最小值|MN|min=4×1+14×②若直線MN過定點(diǎn)(4,2),則m=2-4k,k>2+2或k<2-2.由x1+x2=4k,x1x2=-4m=16k-8,得|MN|=1+k2·(設(shè)h(k)=(1+k2)(k2-4k+2)=k4-4k3+3k2-4k+2,則h'(k)=4k3-12k2+6k-4=2(2k3-6k2+3k-2),設(shè)m(k)=2k3-6k2+3k-2,則m'(k)=6k2-12k+3=3[2(k-1)2-1].令m'(k)=0,得k1=1-22,k2=1+2k-∞,1-221-21-22,1+221+21+22,+∞m'(k)+0-0+m(k)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增m1-22≈-3.17<0,故m(k)<0在-∞,1+22上恒成立.當(dāng)x∈1+22,+∞時(shí),m(k)單調(diào)遞增,m(2)=-4<0,m(3)=7>0,由零點(diǎn)存在性定理知,m(k)在(2,3)內(nèi)有唯一零點(diǎn)k0,即k0∈(2,3).當(dāng)k∈(-∞,k0)時(shí),h'(k)=m(k)