2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第五章　數(shù)列第一節(jié)　數(shù)列的概念與表示

第一節(jié)數(shù)列的概念與表示通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).1.數(shù)列的概念概念含義數(shù)列按照排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與之間的關(guān)系式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝提醒數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).2.數(shù)列的分類及性質(zhì)3.數(shù)列的表示方法列表法列出表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)用表示遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是，記為an＝f（n）.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.（）（2）1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.（）（3）任何一個(gè)數(shù)列都有唯一的通項(xiàng)公式.（）（4）如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.（）2.已知數(shù)列－1，2，－3，2，－5，…，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（）A.10 B.－10C.－11 D.113.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(-1）nan－1（n≥2A.32 B.5C.85 D.4.若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是12，－13，14，－155.在數(shù)列{an}中，Sn＝2n2－3n（n∈N*），則an＝，a4＝.在數(shù)列{an}（n≥2）中，若an最大，則an≥an－1，（多選）在數(shù)列{an}中，an＝（n＋1）78n，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)可以是（A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng) D.第9項(xiàng)由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式【例1】（選擇性必修第二冊(cè)第6頁例4改編）如圖，在n×n的單位正方形網(wǎng)格中，陰影相連的正方形個(gè)數(shù)依次為1，5，9，13，則下一陰影相連的正方形個(gè)數(shù)為，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝.聽課記錄解題技法由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式應(yīng)注意的4個(gè)特征（1）分式中分子、分母的特征；（2）相鄰項(xiàng)的變化特征；（3）拆項(xiàng)后的特征：把數(shù)列的項(xiàng)拆分成變化的部分和不變的部分；（4）各項(xiàng)的符號(hào)特征.根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）－1，7，－13，19，…；（2）－11×2，12×3，－（3）23，415，635，863，（4）9，99，999，9999，….由an與Sn的關(guān)系求an【例2】（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝；（2）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝.聽課記錄解題技法1.已知Sn求an的3個(gè)步驟（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）即可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；（3）注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2時(shí)的表達(dá)式合并.2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn＝2n－3，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝.2.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1（n≥2），則Sn＝.數(shù)列的性質(zhì)考向1數(shù)列的周期性【例3】（2024·濟(jì)南模擬）已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an，0≤an≤12聽課記錄解題技法解決數(shù)列周期性問題的方法根據(jù)所給的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和.考向2數(shù)列的單調(diào)性【例4】已知數(shù)列{an}中，an＝3n＋k2n，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)A.（3，＋∞） B.（2，＋∞）C.（1，＋∞） D.（0，＋∞）聽課記錄解題技法解決數(shù)列單調(diào)性問題的方法（1）作差比較法：根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；（2）作商比較法：根據(jù)an+1an（an＞0或an＜0）（3）函數(shù)法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷.考向3數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)【例5】（2024·衡水聯(lián)考）已知數(shù)列{an}滿足a1＝28，an+1－ann＝2，A.293 B.47－1C.485 D.聽課記錄解題技法求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法（1）函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若能借助表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大（?。╉?xiàng)，否則，利用作差法；（2）