2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第十章教考銜接10⇒過“三關(guān)”破解概率與統(tǒng)計的綜合問題

過“三關(guān)”破解概率與統(tǒng)計的綜合問題真題展示【例】（2023·新高考Ⅱ卷19題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）當漏診率p（c）＝0.5%時，求臨界值c和誤診率q（c）；（2）設(shè)函數(shù)f（c）＝p（c）＋q（c）.當c∈[95，105]時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間[95，105]的最小值.考法探究在新高考改革的大背景下，高考愈加突出情境創(chuàng)設(shè)，注重數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用及邏輯性，概率與統(tǒng)計的命題方向及考點也更加貼近現(xiàn)實生活以及對學(xué)生創(chuàng)新思維能力的考查，這就對學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)提出了更高的要求.基于此種命題特點，在概率與統(tǒng)計的學(xué)習(xí)中，就要求學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，更加注重對閱讀理解能力、圖表信息轉(zhuǎn)化能力、計算能力的培養(yǎng).過“三關(guān)”破解概率與統(tǒng)計的綜合問題1.過“閱讀理解關(guān)”——抓關(guān)鍵語句，厘清問題實質(zhì)關(guān)鍵語句問題實質(zhì)漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）在患病者中，如果指標≤c，本來患病的人漏診為陰性誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）在未患病者中，如果指標＞c，本來未患病的人誤診為患病2.過“圖表關(guān)”——獲取信息，數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化圖表信息數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化樣本在指標為[95，130]區(qū)間內(nèi)的分布情況，對不同的指標c∈[95，130]，都能計算出漏診率p（c），c的取值直接影響p（c）的值樣本在指標為[70，105]區(qū)間內(nèi)的分布情況，對不同的指標c∈[70，105]，都能計算出誤診率q（c），c的取值直接影響q（c）的值3.過“計算關(guān)”——構(gòu)建模型，解決問題問題問題求解當漏診率p（c）＝0.5%時，求臨界值c和誤診率q（c）由以上“兩關(guān)”分析易知，（100－95）×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，則p（c）＝（c－95）×0.002＝0.5%，所以c＝97.5，所以q（c）＝0.01×2.5＋0.002×5＝3.5%設(shè)函數(shù)f（c）＝p（c）＋q（c）.當c∈[95，105]時，求f（c）的解析式當c∈[95，100]時，f（c）＝p（c）＋q（c）＝（c－95）×0.002＋（100－c）×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82；當c∈（100，105]時，f（c）＝p（c）＋q（c）＝5×0.002＋（c－100）×0.012＋（105－c）×0.002＝0.01c－0.98求f（c）在區(qū)間[95，105]的最小值由函數(shù)f（c）為分段函數(shù)，其在[95，100]上單調(diào)遞減，在（100，105]上單調(diào)遞增，易知f（c）在c＝100時取得最小值，最小值f（100）＝0.02高考還可這樣考自主招生和強基計劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學(xué)生通過高校組織的筆試和面試之后，可以享受相應(yīng)的高考降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分“一流大學(xué)”建設(shè)高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點（也稱強基計劃）.下表是某高校2019年至2023年通過自主招生或強基計劃在部分專業(yè)的招生人數(shù)：年份數(shù)學(xué)物理化學(xué)總計201947617202058518202169520202287621202398623請根據(jù)表格回答下列問題：（1）統(tǒng)計表明招生總?cè)藬?shù)和年份間有較強的線性相關(guān)關(guān)系.記x為當年年份與2018的差，y為當年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并以此預(yù)測2024年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對2021年強基計劃錄取結(jié)果進行抽檢.此次抽檢從這20名學(xué)生中隨機選取3名學(xué)生進行評審，記選取到數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）經(jīng)統(tǒng)計該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占76%，五年畢業(yè)的占16%，六年畢業(yè)的占8