2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第九章第二節(jié)　二項(xiàng)式定理

第二節(jié)二項(xiàng)式定理1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理（a＋b）n＝（n∈N*）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝，它表示展開式的第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)（k＝0，1，…，n）提醒（1）項(xiàng)數(shù)為n＋1；（2）各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n；（3）字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）Cnkan－kbk是二項(xiàng)展開式的第（2）二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).（）（3）（a＋b）n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān).（）2.（1＋x）10的展開式中x2的系數(shù)為（）A.1 B.10C.45 D.1203.（2022·北京高考8題）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝（）A.40 B.41C.－40 D.－414.若（x＋1x）n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為5.已知（x－ax）5的展開式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝1.若二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，則：（1）h（r）＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)；（2）h（r）是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)；（3）h（r）是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)；（4）h（r）是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng).2.兩個常用公式（1）Cn0＋Cn1＋Cn2＋（2）Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn1.二項(xiàng)式（3x＋32）n（n∈N*）的展開式中只有一項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，則n的可能取值為（A.6 B.7C.8 D.92.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，則Cn二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)及系數(shù)問題【例1】（1）（2x－1x）5的展開式中x的系數(shù)是（A.－40 B.40C.－80 D.80（2）（x＋13x）30的展開式中無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（A.27 B.24C.26 D.25聽課記錄解題技法求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的步驟1.（x－13x）18的展開式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)為2.在二項(xiàng)式（2＋x）9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)的和考向1二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和問題【例2】在二項(xiàng)式（2x－3y）9的展開式中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和；（2）各項(xiàng)系數(shù)之和；（3）所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；（4）系數(shù)絕對值之和.解題技法賦值法的應(yīng)用（1）對形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可；（2）對（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可；（3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f（x）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f（1），奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f(-1）2，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋考向2二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題【例3】（1）（多選）（2024·唐山模擬）下列關(guān)于（1x－2x）6的展開式的說法中正確的是（A.常數(shù)項(xiàng)為－160 B.第4項(xiàng)的系數(shù)最大C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1（2）在（x－1x）n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為聽課記錄解題技法1.求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)（1）如果n是偶數(shù)，那么中間一項(xiàng)（第n2＋1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大（2）如果n是奇數(shù)，那么中間兩項(xiàng)（第n+12項(xiàng)與第n+12＋12.求展開式系數(shù)最大項(xiàng)求（a＋bx）n（a，b∈R）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用Ak≥A1.若（1＋x）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a2＋a6＋a8＝；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝.2.設(shè)m為正整數(shù)，（x＋y）2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，（x＋y）2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝.多項(xiàng)式展開式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問題考向1幾個多項(xiàng)式和展開式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問題【例4】在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)是.聽課記錄解題技法對于幾個二項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，從每一個二項(xiàng)式中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可.也可以先對二項(xiàng)式求和，化簡后再依據(jù)通項(xiàng)公式確定特定項(xiàng)（系數(shù)）.考向2幾個多項(xiàng)式積的展開式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問題【例5】（2022·新高考Ⅰ卷13題）1－yx（x＋y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為（聽課記錄解題技法對于幾個多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.考向3三項(xiàng)式展開式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問題【例6】（x－3y＋2）5的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，所有不含字母x的項(xiàng)的系數(shù)之和為.聽課記錄解題技法（a＋b＋c）n展開式中特定項(xiàng)的求解方法1.x＋y2x（x＋y）5的展開式中x3