2024年北京某中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京五十五中高三（上）期中

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，共150分，調(diào)研時(shí)長(zhǎng)120分鐘

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題.共10小題，每小題4分，共40分，每題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合"N={%|-1<%<3},則"DN=（）

A.-4<x<3|B.-1<x<

c.{0,1,2}D.1x|-l<x<4j

2.復(fù)數(shù)二一的共輾復(fù)數(shù)是（）

1+z

A」+LB」,C.1-iD.1+z

2222

3.2X2+-的展開(kāi)式中，一的系數(shù)是

A.160B.80C.50D.10

4.設(shè)匕為非零向量，貝1]“卜+川=同+葉’是“行與石共線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.函數(shù)〃x）=3sin[0x—彳]（。>0）,=—3,/（x2）=3,且|當(dāng)一司最小值為2兀，則。的值

為（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何問(wèn)題有著深入的研究，其中談到的“塹堵”是指底面為直角三

角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.現(xiàn)有塹堵如圖所示，其中AC_L3C,若明=AC=3C=4,平面

ABC1將塹堵分成了兩部分，這兩部分體積比值為（）

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

22

7.點(diǎn)尸在圓C：（x-4）+（y-4）=9±,A（3,0）,B（O,1）,則NPA4最小時(shí)，|尸同二（）

A.8B.6C.4D.2

8.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為

世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用[司表示不超過(guò)》的最大整數(shù)，則,=卜]

稱為高斯函數(shù)，ma：[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函數(shù)/（x）=—二—L則函數(shù)y=[〃x）]的值域

l+ex2

是（）

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{1}

9.已知某種垃圾的分解率為v,與時(shí)間f（月）滿足函數(shù)關(guān)系式v=。加（其中。，匕為非零常數(shù)），若經(jīng)過(guò)

12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%,經(jīng)過(guò)24個(gè)月，這種垃圾的分解率為20%,那么這種垃圾完全分解，

至少需要經(jīng)過(guò)（）（參考數(shù)據(jù)：1g2合0.3）

A.48個(gè)月B.52個(gè)月C.64個(gè)月D.120個(gè)月

11

I。.已知拋物線y=4必9和y=一記f9+5所圍成的封閉曲線E如圖所示‘點(diǎn)M'N在曲線E上’給定點(diǎn)

A.任意ae（0,5）,都存在點(diǎn)使得|AM|=|AN|

B.任意ae（0,5）,都存在點(diǎn)V,N,滿足這對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱

C.存在ae（0,5）,當(dāng)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得卜叫+|⑷V|?10

D.任意ae（0,5）,恰有三對(duì)不同的點(diǎn)滿足每對(duì)點(diǎn)M,N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分

11.若直線y=2x是雙曲線f―5=1e>o）的一條漸近線，則6=.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，角。與角夕均以O(shè)x為始邊，角1終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,2）,角夕是由角。終

邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，則cosJ3等于.

13.已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，使得拋物線開(kāi)口向右，

并根據(jù)所選條件寫(xiě)出一個(gè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點(diǎn)尸(-2,0)；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-4).你所選的條件是

,得到的一個(gè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.

14.已知等比數(shù)列｛a“｝滿足：an>0,a4+a6=5,a3a5=1，則公比4=，^a2的最小值為

15.在平面直角坐標(biāo)系中，若,3(%,%)，定義兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離

d(A,B)=\x2-xl\+\y2-y1\.

(1)記d(3,/)為點(diǎn)8與直線/上一點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值.如果點(diǎn)3(1,1),直線/：4x-y+2=0,則

d(B,l)=.

(2)在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，也有類似的結(jié)論，若4(%,%，4),3(々,乂，22)，可定義兩點(diǎn)之間的曼哈頓距

離d(AB)=四一石|+|%-%|+%-4].已知點(diǎn)4(1』1),動(dòng)點(diǎn)尸滿足d(AP)=l,則動(dòng)點(diǎn)尸圍成的幾

何體的表面積是.

三、解答題：共6小題，共85分.

16.在ABC中，a=6,y/3bcosA-asinB-

(1)求/的大?。?/p>

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得，A3C存在且唯一確定，求

ABC的面積.條件①：ZC邊上的高BH=3；條件②：cos3=—2也；條件③：b=8.

3

17.如圖，在四棱錐P—ABC。中，直線A3〃平面PCD./A5C=90°,ZDAB=^PCB=60°,

CD=1,A8=3,PC=PB,平面PC5L平面ABC。，尸為線段BC的中點(diǎn)，￡為線段P尸上一點(diǎn).

(1)證明：AB//CD；

(2)證明：PF1AD；

是否存在點(diǎn)E,使得點(diǎn)￡到平面PAD的距離是工，若存在求出FE\

(3)的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

2EP\

18.某企業(yè)為了解職工A款NPP和B款/尸尸的用戶量情況，對(duì)本單位職工進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如

下表：

男職工女職工

使用不使用使用不使用

A款4Pp72人48人40人80人

B款A(yù)PP60人60人84人36人

假設(shè)所有職工對(duì)兩款A(yù)PP是否使用相互獨(dú)立.

(1)分別估計(jì)該企業(yè)男職工使用A款A(yù)PP的概率、該企業(yè)女職工使用A款A(yù)PP的概率；

(2)從該企業(yè)男，女職工中各隨機(jī)抽取1人，記這2人中使用A款/尸尸的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)

學(xué)期望；

(3)據(jù)電商行業(yè)發(fā)布的市場(chǎng)分析報(bào)告顯示，A款加7的用戶中男性占52.04%、女性占47.96%；8款

NP尸的用戶中男性占38.92%、女性占61.08%.試分析該企業(yè)職工使用A款/P尸的男、女用戶占比情況和使

用B款/%的男、女用戶占比情況哪一個(gè)與市場(chǎng)分析報(bào)告中的男、女用戶占比情況更相符.

19.已知橢圓后:=+與=1(4>>>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，4，|A4|=4,橢圓￡的離心率為走.

ab~2

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)。(L0)作直線/與橢圓￡交于不同的兩點(diǎn)N,其中/與x軸不重合，直線4〃與直線x=3交

2

于點(diǎn)尸，判斷直線&N與。P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

20.已知函數(shù)7?(x)=W，直線/為曲線y=/(x)在點(diǎn)。,/(項(xiàng)處的切線.

e

(1)當(dāng)/=0時(shí)，求出直線/的方程；

(2)若g(x)=r(x),討論g(x)的單調(diào)性，并求出g(x)的最值；

(3)若直線/與曲線y=/(x)相交于點(diǎn)["⑸)，且s<L求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

21.給定正整數(shù)N>3,已知項(xiàng)數(shù)為m且無(wú)重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列A：(玉,%),(%，%)，…，(4,%)滿足如下

三個(gè)性質(zhì)：①無(wú)“％e{l,2,…,N},且％.H%[=1,2,…,m)；②%+i=%(，=1,2/一,加一1)；③(p,q)與

(%P)不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.

(1)當(dāng)N=3,加=3時(shí)，寫(xiě)出所有滿足芯=1的數(shù)對(duì)序列A；

(2)當(dāng)N=6時(shí)，證明：m<13；

(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記機(jī)的最大值為T(mén)(N),求T(N).

參考答案

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題.共10小題，每小題4分，共40分，每題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.【答案】A

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【詳解】因?yàn)榧蟅={x|—4<x<l},N={x[—l<x<3},

所以MuN=(x|-4<x<3},

故選：A.

2.【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軟復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)二一，進(jìn)而可得結(jié)果.

1+Z

1_1-Z_11.

【詳解】因?yàn)門(mén)+7-(1+Z)(1-Z)-22Z)

所以」一的共朝復(fù)數(shù)是《+

1+z22

故選：A.

【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌

握純虛數(shù)、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)

數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

3.【答案】B

【分析】

由二項(xiàng)式定理公式<+1即可得到結(jié)果.

【詳解】依題（2/+工

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為:

255ri0-3r

Tr+l=C^2x)-\-y=C；2-x

X

當(dāng)10—3廠=4時(shí)，r=2,止匕時(shí)G?"'=C；23=80,

所以的展開(kāi)式中，/的系數(shù)是80.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【分析】

由,+可=同+W化簡(jiǎn)得出e=o,從而得出&與b共線，當(dāng)濟(jì)與"共線時(shí),由+1|=|1+喇,

匕1+叫=(囚+1婀，,+4同+忖不一定相等，最后由充分條件和必要條件的定義作出判斷.

【詳解】當(dāng)卜+4=同+W時(shí)，同2+24力+好=時(shí)+2同似+同，化簡(jiǎn)得。力=誹|,即

cose=而1|=i,0=0,即。與b共線

當(dāng)“與6共線時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)/，使得a=25

\a+b\=\L+A\\b\,|a|+|〃|=(囚+1)瓦囚+1與|1+川不一定相等，即卜+斗同+忖不一定相等

故“1+.=同+忖”是“d與方共線”的充分不必要條件

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量的數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算以及向量共線定理.

5.【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件判斷出/(x)的最小正周期，從而求得。.

【詳解】依題意，/(%!)=-3,/(X2)=3,且國(guó)-目的最小值為2兀，

所以T=—=2nx2=4K,a)=—.

co2

故選：A

6.【答案】B

【分析】利用棱柱與棱錐的體積公式求解.

S

［詳解］由題意匕=AABC.M,%―A禺G二:SABC-,

、_2

所以/_ACGA=匕%_451G1G=§匕BC-A4G，

v

VB&BG

所以1

vV2

ABCCIAI

故選：B.

7.【答案】C

【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

y.

【詳解】

B

OAx

如圖所示，由題意圓C：(x—4『+(y—4)2=9的圓心C(4,4),半徑廠=3,

當(dāng)直線P8與圓C相切時(shí)，即尸為切點(diǎn)時(shí)，NPA4最小,

此時(shí)PB與％軸平行，P(4,l),|PB|=4.

故選：C

8.【答案】A

ex+l-l111

【分析】利用分離常數(shù)法可得〃x)=,求得/(x)的值域，由國(guó)表示不超過(guò)工

l+ex22l+ex

的最大整數(shù)，即可求得函數(shù)v=［/(x)］的值域.

ex+l-l111

【詳解】/(%)=,由于1+">1

l+ex2~2l+ex

1111

---<----------<一

22l+ex2

/(X)的值域?yàn)?14

根據(jù)［x］表示不超過(guò)X的最大整數(shù)

???函數(shù)y=[/(x)]的值域是{-1,0}.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義函數(shù)的理解和運(yùn)用，考查分離常數(shù)法求函數(shù)的值域，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)

思想方法，解題關(guān)鍵是在解答時(shí)要先充分理解印的含義，是中檔題.

9【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，然后再代入數(shù)值計(jì)算即可.

1

abn=0.1(1=---

【詳解】由題意可得《%,解得〈20

加4=o.2i

b=2^

1L

所以v=---212,

20

1±

這種垃圾完全分解，即當(dāng)v=l時(shí)，有1=-L.212,即2'=20",

20

12

解得t=log,20=121og220=24+121og25=24+12x=52.

-lg2

故選：B

10.【答案】D

【分析】由曲線E的對(duì)稱性判斷AB；取。值計(jì)算判斷CD.

【詳解】拋物線y=—工2和丁=——必+5的對(duì)稱軸都為y,因此封閉曲線E關(guān)于y軸對(duì)稱，

416

對(duì)于A,任意ae(0,5),在曲線E上取關(guān)于丁軸對(duì)稱的兩點(diǎn)M,N,而點(diǎn)A(0,a)在y軸上，有

\AM\=\AN\,A正確：

對(duì)于B,對(duì)每個(gè)。值，過(guò)點(diǎn)A垂直于y軸的直線與曲線E的交點(diǎn)M,N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，B正確；

11fx=-4fx=4

對(duì)于C,聯(lián)立y=—/與9丁=——必9+5解得<或<,取a=l,即A(o,l),

'416"=4[y=4

拋物線丁=；必，即父=4'的焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,

點(diǎn)M(7,s)在y=；苫2(0<y<4)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0Ws<4,|M4|=5+le[l,5],

拋物線y=-工必+5可由拋物線v=-J尤2向上平移5個(gè)單位而得，

1616

拋物線丫=-4尤2,即f=—16y的焦點(diǎn)為Q-4),準(zhǔn)線為y=4,

16

則拋物線y=-^-x2+5的焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=9,

16

點(diǎn)M95)在丁=—工/+5(4〈丁<5)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4WsW5,|K4|=9—se[4,5],

因此當(dāng)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，1W|MA|W5,1W|N4|W5,恒有3M+|AN歸10,C正確；

對(duì)于D,取a=l,即A(0,l),直線y=l與拋物線丁=；必的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，

1

在此拋物線上關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的兩點(diǎn)就只有一對(duì)，在拋物線丁=—-X9,+5上不存在兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,

16

另外關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的兩點(diǎn)則分別在y=-x2^y=--x2+5±,不妨令，

'416,4

此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)(―w,2—M-)必在y=---%2+5上，而方程2—u~=----+5，

416416

3,

即/=-3無(wú)解，則此時(shí)不存在關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的兩點(diǎn)分別在兩條拋物線上，D錯(cuò)誤.

16

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：

①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；

②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最

值或范圍.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分

11.【答案】2

【分析】先根據(jù)雙曲線方程判斷焦點(diǎn)位置，寫(xiě)出其漸近線方程，比較即得.

2

【詳解】因雙曲線久2一色=l（b>0）的焦點(diǎn)在X軸上，且。=1,

故其漸近線方程為y=±bx,依題意，易得b=2.

故答案為：2.

12.【答案】一2叵

5

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即得.

.22^/5

【詳解】由角】終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,2）,得|。4|=JF+22=百,sina——-j=-----,

V55

而/?=a+90°,所以cos0-cos（a+90°）=-sina=——?

故答案：-拽

5

13.【答案】①.②②.>2=8%

【分析】根據(jù)給定條件，判斷選擇的條件，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求出方程即可.

【詳解】頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向右的拋物線焦點(diǎn)在％軸的正半軸上，因此條件①不可選,

選擇條件②，

設(shè)拋物線方程為>2=陽(yáng),加〉0,由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,-4）,得16=2加，解得冽=8,

所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是/=8%.

故答案為：②；/=8%

14.【答案】①.2②/

【分析】由%%=1，可得。4=1，再代入%+4=5，即可得第一空答案；求得％=2"T,從而得

n(n-7)n(n-ly

aaa_2~-求出以的最小值,即可得第二空答案.

【詳解】由a3a5=1，可得。：=1，

又因?yàn)閍〃〉0，所以的=1，

又因?yàn)?+%>=5，

即l+d=5,解得q2；

因?yàn)?=1，q2,

所以4=2"-4,

n(n-7)

所以a?=2-3-2-2-.-2n-4=2~，

因?yàn)楫?dāng)“=3或〃=4時(shí)，〃(〃―7)取3、值_6,

2

所以2曲產(chǎn)取最小值2-6=工，

乙64

a

即6%n的最小值為---

64

故答案為：2；——

64

15.【答案】①.—；②.4-\/3-

【分析】(1)設(shè)直線4%-丁+2=0上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為尸(%,%),然后表示出d(民P),分類討論求

d(SP)的最小值即得d(昆/)；

(2)不妨將A平移到A(0,0,0)處，利用曼哈頓距離定義求得尸圍成的圖形為八面體，即可求其表面積.

【詳解】(1)設(shè)直線/上一點(diǎn)為尸(%,%),則為=4%+2,貝|

d(B,P)=|1—x0|+11—y01=|1—x0|+14x0+11,

①當(dāng)天0?—工時(shí)，d(_B,P)=1——4%—1=—5%02a,此時(shí)=

②當(dāng)——<XQ?1時(shí),d(B,尸)=1-?XQ+4%0+1=3%0+2￡(―,5］；

③當(dāng)%>1時(shí)，d(B,P)=x0-1+4x0+1=5x0>5.

綜上，J(B,/)=J(B,P)min=1.

(2)動(dòng)點(diǎn)P圍成的幾何體為八面體，每個(gè)面均為邊長(zhǎng)為近的正三角形，其表面積為

5=8x—x(V2)2=473.

4

理由如下：

不妨將點(diǎn)A平移到40,0,0)處，設(shè)P(x,y,z),由d(A,P)=l,可得|九|+|y|+|z|=1,

當(dāng)x,y,zN0時(shí)，即x+y+z=l,則0Vx,y,z<l,

設(shè)%（1,0,0）,“2（0』，0），"3（0,0,1），，則此監(jiān)=（T1，0），%“3=（T，0/），

由跖戶=（x—1,y,z）=（―y-z,y,z）=yM1M2+zM1M3,可得P,M,此，以四點(diǎn)共面，

因IMXM'21=|M2M31=|M3M；|=0,故當(dāng)x,y,z20時(shí)，點(diǎn)p在邊長(zhǎng)為V2的正三角形的內(nèi)部

（含邊界）.

易知正三角形MXM2M3內(nèi)部任一點(diǎn)。（7,弘z'）均滿足x'+V+z'=1.

故滿足方程x+y+z=l,0<x,y,z<l的點(diǎn)尸構(gòu)成的圖形是邊長(zhǎng)為&的正三角形的內(nèi)部（含邊界）.

由對(duì)稱性可知，點(diǎn)尸圍成的圖形為八面體，每個(gè)面均為邊長(zhǎng)為正的等邊三角形.

故該幾何體表面積為S=8x1x（0）2=46.

4

故答案為：一;

4

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查了新概念問(wèn)題，解決新概念問(wèn)題首先要讀懂新概念的定義或公式，將其當(dāng)做

一種規(guī)則和要求按照新概念的定義要求探究，再結(jié)合所學(xué)知識(shí)處理即可.

三、解答題：共6小題，共85分.

TT

16.【答案】（1）A=—；

3

（2）答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用正弦定理邊化角即可求解.

（2）選①，由直角三角形邊角關(guān)系求出c,再由余弦定理求出匕并求出三角形面積；選②，利用正弦定理

求出6,再利用大角大邊確定三角形無(wú)解；選③，由余弦定理建立方程無(wú)解.

【小問(wèn)1詳解】

在，中，由A=asin及正弦定理，V3sinBcosA=sinAsinB,

ffl!sinB>0,則tanA=G，

IT

又0<A<7T,所以A=—.

3

【小問(wèn)2詳解】

BH_3_

若選①，AC邊上的高3H=3,在中，一sinA-.?！?/p>

sin—

3

即c=273，

在ABC中，由余弦定理/=。2+02—2"CCOSA，得62=/+（26）2-4麻xg,

整理得/-26。-24=0，而〃>0,解得6=46，

ABC的三邊已知，由三角形全等的判定知，ABC存在且唯一，

所以ABC的面積為S=^bcsinA=-X4V3X2A/3X

ADC22

若選②，cos3=—名旦，則8>A,

3

在ABC中，sin5=71-cos2B=-

3

6X|4G

ab,asinB

由正弦定理,得匹品了..-=---<n

sinAsinBV33，

T

根據(jù)三角形中大角對(duì)大邊可知，ABC不存在;

若選③，6=8,由余弦定理/=6?+02-2Z?ccosA，得6=8?+。2-16?！?

2

則。2一8C+28=0，顯然A=82—4X28<0，即方程無(wú)解,

因此ABC不存，③不可選.

17.【答案】(1)證明見(jiàn)解析

FE\

2

(2)證明見(jiàn)解析(3)存在,―EP\=.

【分析】(1)由直線A3〃平面PCD,結(jié)合線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論;

(2)由題意可得尸再由平面尸。3,平面A3CD,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可證得尸產(chǎn)，平面

ABCD,再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論;

(3)由題意可證得FG,5cpF兩兩垂直，則以FG,5cpE所在的直線分別為x,二z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：因?yàn)锳3〃平面PC。，ABu平面ABC。，平面ABCDpi平面PCD=CD,

所以A3〃CD；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镻C=PB,產(chǎn)為線段的中點(diǎn)，

所以PRLBC,

因平面PC3_1_平面ABCD,平面PC81平面ABCD=BC,PEu平面PC8,

所以平面ABC。，

因?yàn)锳Du平面A5CD,所以PELA。；

【小問(wèn)3詳解】

取A。的中點(diǎn)G,連接尸G,過(guò)。作。H//BC,交A8于H,

因?yàn)槭瑸榫€段BC的中點(diǎn)，AB//CD,所以尸GHAB,

因?yàn)?ABC=90。，所以所以FGL3C,

由(2)可知PF_L平面ABCD,FGu平面A3CD,

所以PRLRG,

所以RG,3cpp兩兩垂直，所以以PG,5cpp所在的直線分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示，

因?yàn)椤HBC,AB//CD,ZABC=90°,

所以四邊形BCD”為矩形，

所以CD=BH=1,DH=BC,ZDHB=90°,

因?yàn)锳8=3,所以AH=2,

因?yàn)?DAB=60°，所以A。=2AH=4,DH=742-22=2百，

所以BC=2出，

因?yàn)镹PC5=60。，PC=PB,所以△PBC為等邊三角形，

所以23=尸0=50=2石，PF=J(2石『一(省『=3，

設(shè)EF=〃(0V〃V3),則E(0,0,Q),

因?yàn)锳(3,V3,0),D(l,-V3,0),P(0,0,3),

所以AD=(-2,-273,0),PA=(3,石,—3),PE=(0,0,a-3),

設(shè)平面PAD的法向量為m=(x,y,z)，則

m-AD=-2x—2\f3y=0

令x=V3，

mPA=3x+V3y-3z=0

1Im-PE,

若點(diǎn)E到平面尸A。的距離是一，則「?

2m

所以述(3—必二!*述，解得。=2,

323

所以EF=2,PE=3—2=1,

所以冏=2.

\EP\

八2

114

18.【答案】(1)-；(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：—；(3)該企業(yè)職工使用8/PP的情況與官方

315

發(fā)布的男、女用戶情況更相符

【分析】

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率，即可求出；

(2)先確定X的取值，再計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，即求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)分別計(jì)算出A款，8款/PP的男、女用戶總?cè)藬?shù)，再計(jì)算對(duì)應(yīng)的男用戶，女用戶的概率，再根據(jù)題

意判斷即可.

【詳解】解：(1)由所給數(shù)據(jù)可知，男職工使用/款/尸尸的人數(shù)為72,

723

用頻率估計(jì)概率，可得男職工使用京東APP的概率約為——=

1205

401

同理，女職工使用4款ZPP的概率約為一=-；

1203

(2)X的可能取值為0,1,2,

{-OU2

X的分布列為:

X012

48]_

P

15155

48iid

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=Ox—+1義一+2義—=一；

'/1515515

（3）樣本中，A款4Pp的男、女用戶為72+40=112（人），

7240

其中男用戶占——?64.3%；女用戶占——土35.7%,

112112

樣本中，8款/PP的男、女用戶為60+84=144（人），

其中男用戶占幽土41.7%；女用戶占里士58.3%,

144144

該企業(yè)職工使用BAPP的情況與官方發(fā)布的男、女用戶情況更相符.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:

求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟:

（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值;

（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列;

（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布,

如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）.

19.【答案】（1）橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+J=1；

4

（2）平行，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）由條件列關(guān)于仇c的方程，解方程求d仇c。可得橢圓方程;

（2）根據(jù)題意設(shè)直線及M、N點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意求點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理證明左4/=左加即可.

【小問(wèn)1詳解】

y2

設(shè)橢圓「+=1的半焦距為C,

ab2

由已知點(diǎn)A，4的坐標(biāo)分別為（—a,0）,（a,0）,

因?yàn)閨A4|=4,所以2。=4,所以。=2,

又橢圓￡的離心率為心，所以￡=

2a2

所以c=^3，

所以b=y/a2—c2=1，

y2

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1；

4

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)橹本€MN與x軸不重合，且過(guò)點(diǎn)。（1,0）,

所以可設(shè)直線MN的方程為x=my+l,

x=my+l

2

聯(lián)立方程《X2消去x可得2+4^y+2my-3=0,

——+y2=1

14■

方程（機(jī)*+4）+2my-3=0的判別式公=4m2+12（^m2+4）〉0,

設(shè)M（Xi，%）,N（%2，y2）

2m3

，%%=一

%+%=—m2+4m2+4

VA(-2,0),A(2,0),則以M=含%=

則直線4M的方程為y=一三(x+2),

x；+2

59%(59Vy1,、

代入x—可得y=」即p--

22a+2)122(x1+2)J

則上_k-為3%—為3%.3(%+%)-2碎為

DP

%2-2%+2my2-1myx+3+3)(my2-1)

(A6Z/7

2

3(x+%)—W1%=3——+2=o,即左A,N_左=0

m+4ym+4

k睦N=kpp，

所以直線&N與DP平行.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x（或月建立一元二次方程，然后借助根與

系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為?；虿淮嬖诘忍厥馇樾?

20.【答案】(1)x-y=0

(2)g(x)最小值為」，無(wú)最大值；

e

(3)(2,+oo)

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出切線方程；

(2)對(duì)g(x)求導(dǎo)，然后根據(jù)其正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則可求出函數(shù)的最小值點(diǎn)，從而可求出函數(shù)的

最小值；

2

(3)求出直線/,將“直線/與曲線y=/(x)相交”轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程上Y=-x-上t在(-《V)有解，

eveef

然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，對(duì)t進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

由心？得，(力涓

—,%eR

2e、'

i-0

貝ur(o)=丁=i，

e

因?yàn)?(0)=0,

所以曲線y=/(X)在點(diǎn)(0,0)處的切線I的方程為y=X,

即%=0；

【小問(wèn)2詳解】

g(x)=/'(x)=W，xeR,貝ijg'(x)=?0/止,xeR,

''eIeJe

由g'(x)>0,得x〉2,由g'(x)<0,得x<2,

所以g(x)在(-*2)上單調(diào)遞減，在(2,+s)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=2時(shí)，g(x)取得最小值g(2)=」，無(wú)最大值；

e

【小問(wèn)3詳解】

yrf/\e—xc1-x

由〃x)=/，得,X€R則/'(%)=一~>

e"e

所以曲線y=/O)在點(diǎn)處的切線/的方程為

..t1-t1-tt2

y7=——(%—z),即,二——XH—-?

eeee

因?yàn)橹本€/與曲線y=八久)相交于點(diǎn)(s,7(s))，且s<f,

X\—t產(chǎn)

所以關(guān)于X的方程±+L在(-8,/)有解，

eve'e’

Y1_ff21_Y1_t

令E(X)=王—=X—J(x<。，則歹(0)=0,F'(x)=———二，F(xiàn)'(t)=0,

e"eeee

1—x1—tx—2

令/2(X)=E'(X)=「-----1，貝Ij//(X)=^,

eee

①當(dāng)f〉2時(shí)，由"