2024年北京某校初三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京回民學(xué)校初三（上）期中

數(shù)學(xué)

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.一張薄紙，一雙巧手，在一剪一刻間幻化出千姿百態(tài)的美麗圖案，令人嘆為觀止，這就是剪紙藝術(shù).剪

紙作品形式多樣，以下剪紙作品中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

2.若拋物線y=—/+公+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（―2,3）,則6的值是（）

A.-1B.—2C.-3D.3

3.下列關(guān)于拋物線>=-d+2的說(shuō)法正確的是（）

A.拋物線開(kāi)口向上B.在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨工的增大而增大

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,2）D.當(dāng)x=0,y有最大值是2

4..車輪要做成圓形，實(shí)際上就是根據(jù)圓的特征（）

A.圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等B.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦

C.同弧所對(duì)的圓周角相等D.圓是中心對(duì)稱圖形

5.某快遞公司今年一月份完成投遞的快遞總件數(shù)為10萬(wàn)件，二月份、三月份每月投遞的件數(shù)逐月增加,

第一季度總投遞件數(shù)為33.1萬(wàn)件，問(wèn)：二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少？設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為

%,根據(jù)題意得方程（）.

A.10（1+x）2=33.1B.10（l+x）+10（l+x）2=33.1

2

C.10+10（l+x）=33.1D.10+10（l+x）+10（l+尤）2=331

6.如圖，EF,CD是。的兩條直徑，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn).若NCOF=32°,則NAOC的度數(shù)是

A

A.47°B.74°C,53°D.63°

7.小明將圖案、，繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正六邊形

的圖案（如圖），則々可以為（）

B.60°

C.90°D.120°

8.如圖，拋物線y=af+6x+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）,3（3,0）,交F軸的正半軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸交拋物

線于點(diǎn)O,交了軸與點(diǎn)E,則下列結(jié)論：①2a+b=0；②b+2c>0；③a+Qc^+bm（機(jī)為任意

實(shí)數(shù)）；④一元二次方程a?+6x+c+2=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；⑤若點(diǎn)尸為對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，則

PC|有最大值，最大值為JC2+9?其中正確的有（）

B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/（-4,3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

10.一元二次方程一4=0的根是

11.。的半徑為4cm,點(diǎn)尸到圓心O的距離為5cm,點(diǎn)尸與。的位置關(guān)系是

12.若一元二次方程2必—3x+c=0無(wú)解，則c的取值范圍為

13.二次函數(shù)y=G：2_4x-7（aN0）的對(duì)稱軸為x=l,則。的值是.

14.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于。，E為。。延長(zhǎng)線上的一點(diǎn).若N3CE=62.則NBA。的度數(shù)是

15.馬面裙（圖1）叉名馬面褶裙，是我國(guó)古代女子穿著的主要裙式之一.如圖2,一條馬面裙裙面可以近似

地看作扇環(huán)ABCD（AD和的圓心為點(diǎn)。），A,D分別為。3,0c的中點(diǎn)，OB=BC=12dm,則

該馬面裙裙面的周長(zhǎng)為dm.

()

圖I圖2

16.如圖，在矩形A3CD中，AB=4,BC=2,尸是矩形上方一個(gè)動(dòng)點(diǎn).且滿足NAPB=90°,連接

DP,則。P的最大值是.

三、解答題(共68分)

17.解一元二次方程：X2-4X+2=0.

18.已知二次函數(shù)y=-2/-4%+6.

(1)將y=-2x2-4x+6化成y=a(x-li)2+k的形式；

(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得

圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,5),5(4,5),C(6,3).M經(jīng)過(guò)AS。三點(diǎn).

A

OX

(1)在網(wǎng)格圖中畫(huà)出圓〃(包括圓心)，并且點(diǎn)M的坐標(biāo):

(2)判斷M與y軸的位置關(guān)系：—.

20.已知拋物線y=—f+〃a+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-2,3)

(1)求機(jī)的值，并求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)畫(huà)出函數(shù)丁=一%2+〃a+3的圖象

(3)當(dāng)-3<x<0時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象直接寫y的取值范圍.

21.如圖，48是。的直徑，BC是。的弦，直徑。E過(guò)3c的中點(diǎn)廠.求證：AD=-BC.

2

D

B

22.已知關(guān)于x的一元二次方程%2-6mx+9m2-1=0.

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為為，々，且王＜%.若％=2%—3,求加的值.

ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（l,4）C（3,l）.

（1）畫(huà)出ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的△444；

（2）在（1）的條件下，求線段掃過(guò)的面積（結(jié)果保留n）.

24.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,BD是。O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AELCD,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DA

平分NBDE.

（1）求證：AE是。O的切線;

(2)已知AE=4cm,CD=6cm,求。O的半徑.

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-3Q%+1與〉軸交于點(diǎn)4.

（1）求拋物線的對(duì)稱軸;

（2）點(diǎn)5是點(diǎn)4關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，求點(diǎn)5的坐標(biāo);

（3）己知點(diǎn)尸（0,2）,Q（a+l,l）,若線段P0與拋物線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值

范圍.

26.利用以下素材解決問(wèn)題.

十一假期時(shí)，我校初三年級(jí)進(jìn)行了“我是橋梁專家一一探秘橋洞形狀”的數(shù)學(xué)活

動(dòng)，某小組探究的一座拱橋如圖1,圖2是其橋拱的示意圖，測(cè)得橋拱間水面寬

問(wèn)AB端點(diǎn)到拱頂點(diǎn)C距離AC=BC=10m,拱頂離水面的距離CD=5m

題

驅(qū)

動(dòng)

■?B

圖1圖2

設(shè)

方案一：圓弧型方案二：拋物線型

方

案

任

務(wù)

設(shè)計(jì)成拋物線型，以4B所在直線為x軸，4B的

設(shè)計(jì)成圓弧型，求該圓弧所在圓

垂直平分線為》軸建立坐標(biāo)系，求橋拱的函數(shù)

的半徑.

表達(dá)式.

如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形MG”,測(cè)得E/=3.5m,

任EH=10m.請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明貨船能否分別順利通過(guò)這兩種情況的橋梁.

務(wù)EH

水面

FG/

27.在放A5C中,ZBCA=90°,CA^CB,點(diǎn)。是.ABC外一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)8,點(diǎn)。位于AC兩側(cè)）,

連接CO,AD.

D

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，連接。C,0D,當(dāng)△4。。為等邊三角形時(shí)，,AOC的度數(shù)是

(2)如圖2,連接5。，當(dāng)NADC=135。時(shí)，探究線段5。，CD,D4之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

(3)如圖3,。是ABC的外接圓，點(diǎn)。在AC上，點(diǎn)E為A3上一點(diǎn)，連接CE,DE,當(dāng)

AE=1,BE=7時(shí)，直接寫出COE面積的最大值及此時(shí)線段8。的長(zhǎng).

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。的半徑為2.對(duì)于直線/和線段3C,給出如下定義：若將線段3C關(guān)

于直線/對(duì)稱，可以得到。的弦C'分別是'C的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱線段是以直線/為軸的

。的“關(guān)聯(lián)線段例如，圖1中線段是以直線/為軸的。的“關(guān)聯(lián)線段

(1)如圖2,點(diǎn)耳，G，B”C2,B3,C3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①在線段BG，32c2，B3c3中,以直線小y=x+4為軸的。的“關(guān)聯(lián)線段”是；

②在線段及G，52c2，53c3中，存在以直線4：y=T+b為軸的。的“關(guān)聯(lián)線段”，求6的值；

(2)已知直線4：y=—氐+m(加＞0)交x軸于點(diǎn)/.在，ABC中，AB=6,BC=2,若線段是

以直線4為軸的。的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出〃?的最大值與最小值，以及相應(yīng)的AC的長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、既是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部

分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

2.【答案】C

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把（-2,3）代入y=-必+bx+l后解方程求出6的值.

【詳解】解：把（一2,3）代入y=-—+6X+1得，

3=-（-2）2-2Z?+l

解得8=-3

故選：C

3.【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：1<0,

.,?拋物線的開(kāi)口向下，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

拋物線y=-必+2的對(duì)稱軸為>軸，且拋物線的開(kāi)口向下，

在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合

題意；

拋物線y=—f+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

拋物線y=-必+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,拋物線的開(kāi)口向下，

.?.當(dāng)x=0,,有最大值是2,故D選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】A

【分析】根據(jù)車輪的特點(diǎn)和功能進(jìn)行解答.

【詳解】車輪做成圓形是為了在行進(jìn)過(guò)程中保持和地面的高度不變，

是利用了圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)圓的基本認(rèn)識(shí)，即墨經(jīng)所說(shuō)：圓，一中同長(zhǎng)也，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，難度較小.

5.【答案】D

【分析】根據(jù)該快遞公司今年一月份及第一季度完成投遞的快遞總件數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方

程，此題得解.

【詳解】解:依題意，得：10+10(1+x)+10(1+x)2=33.1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

6.【答案】C

【分析】連接04,如圖所示，由對(duì)頂角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義得到N。。廠,再由同弧所對(duì)的圓心角相等及

等腰三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角度即可得到答案.

【詳解】解：連接OA,如圖所示：

A

ZEOD=ZCOF=32°,

■.ZDOF=180°-32°=148°,

點(diǎn)A是劣弧DF的中點(diǎn)，

二AD=AF>則NA。。=ZAOF=|NDOF=74°,

OD=OA,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度，涉及對(duì)頂角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義、同弧所對(duì)圓心角相等、圓的性質(zhì)、等腰三

角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合找準(zhǔn)各個(gè)角度之間的關(guān)系是解決

問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【分析】由題意依據(jù)每次旋轉(zhuǎn)相同角度旋轉(zhuǎn)了六次，且旋轉(zhuǎn)了六次剛好旋轉(zhuǎn)了一周為360。進(jìn)行分析

即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)槊看涡D(zhuǎn)相同角度々，旋轉(zhuǎn)了六次，

且旋轉(zhuǎn)了六次剛好旋轉(zhuǎn)了一周為360。，

所以每次旋轉(zhuǎn)相同角度1=360+6=60°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠找到旋轉(zhuǎn)中心，從而確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

8.【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，根據(jù)已知點(diǎn)的特點(diǎn)可求對(duì)稱軸為直線x=l,則8=-2a；由函數(shù)

的圖象可知，a<Q,c>0,再由Z?=-2a可知。>0；當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最大值a+b+c得

a+b>am2+bm；由圖象得一元二次方程tzx?+歷；+。+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根據(jù)三角形三連

關(guān)系可得IPA—PC區(qū)AC.

【詳解】解：???拋物線丁=以2+法+°與》軸交于點(diǎn)4（-1,0）,3（3,0）,

對(duì)稱軸為直線工=二9=1,

2

b

：.-----=1,即b=-2a,

2a

2a+/?=0,故①正確；

??,拋物線開(kāi)口向下，

??av0,

?9b=—2a>0,

??,拋物線交》軸的正半軸，

c>0,

AZ?+2c>0,故②正確；

??,對(duì)稱軸為直線x=1,開(kāi)口向下，

??.x=l時(shí)，歹有最大值，最大值為a+b+c,

**?a+b+c>am+bm+c（加為任意實(shí)數(shù)），

即a+b2am2+bm,故③正確；

V拋物線開(kāi)口向下，拋物線y=奴2+法+c與x軸交于點(diǎn)A（—1,0）,8（3,0）,

所以拋物線y=ax2+6x+c與直線y=-2有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖,

所以，一元二次方程°/+/^+°+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；

,-1對(duì)稱軸交y軸的正半軸于點(diǎn)C,

AC(O,c),

由對(duì)稱性可知PA=PB,

?-\PB-PC|=|PA-PC\<AC=7<9A2+(9C2=yjl+c2，故⑤不正確；

綜上，正確的結(jié)論是①②③④，共4個(gè)，

故選：C.

二、填空題(每小題2分，共16分)

9【答案】(4,-3).

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，即可求解.

【詳解】點(diǎn)/(-4,3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)H的坐標(biāo)是：(4,-3).

故答案為(4,-3).

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.【答案】王=2,X2=-2

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵.

直接運(yùn)用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】解：X2-4=0,

(x-2)(x+2)=0,

x-2-0,x+2-0,

所以該方程的解為：玉=2,x2=-2.

故答案為：玉=2,x2=-2.

11.【答案】點(diǎn)P在。外

【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)與圓心的距離d,圓的半徑為％則當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓

外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：。的半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm,45,

點(diǎn)尸與。的位置關(guān)系是點(diǎn)尸在。外.

故答案為：點(diǎn)尸在。外.

9

12.【答案】c〉一

8

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到A=（-3『-4x2c<0,然后求出c的取值范圍.

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程2x2—3x+c=0無(wú)解，

*.*a=2,b=—3,c—c,

—=/一4ac=（-3『-4x2c<0,

9

解得c〉—，

8

?9

c的取值范圍是c〉一.

8

9

故答案為：c〉一.

8

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程*2+bx+c=0（存0）的根的判別式△=〃-4ac：當(dāng)△>（）,方程有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

13.【答案】2

【分析】由拋物線的對(duì)稱軸列出方程-r=1,求出。的值即可.

2a

【詳解】解：y=加-4x-7（a片0）的對(duì)稱軸為x=,

2a

對(duì)稱軸為1=1,

?-?---一i工，

2a

..a=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確解一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】62°

【分析】本題考查圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，掌握性質(zhì)即可解題.

【詳解】解：四邊形A8CD內(nèi)接于。，

ZBAD+ZBCD^180°,

NBCE=62，

:.ZBCD=US0,

ZBAD=62°,

故答案為：62°.

15.【答案】（6萬(wàn)+12）

【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)計(jì)算公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解

題的關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：OB=BC=12dm,OB=OC,

：.5OC為等邊三角形，

ZBOC=60°,

???點(diǎn)/為的中點(diǎn)，點(diǎn)。為。。的中點(diǎn)，

/.OA=AB=6dm,OD=CD=6dm,

,c60乃x6_,

AD=----------=27r(zdm),

180

60^x12

BC==4乃(dm),

180

該馬面裙裙面的周長(zhǎng)為A3+3C+DC+AD=6+4乃+6+2乃=（6萬(wàn)+12）dm,

故答案為：（6萬(wàn)+12）.

16.【答案】20+2

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理，確定DP的最大值時(shí)點(diǎn)P

的位置是本題的關(guān)鍵.由NAPB=90°可知點(diǎn)P在以A8為直徑的圓上，作輔助圓。，確定當(dāng)P、0、D

共線時(shí)，PD最大,最大值即為。P'的長(zhǎng)，先根據(jù)勾股定理計(jì)算。。的長(zhǎng)，OP就是半徑。8的長(zhǎng)，可得

DP的長(zhǎng).

【詳解】解：：NAPB=90°,

.?.點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓上,

取的中點(diǎn)為。，畫(huà)半圓，如圖，連接。尸，連接。。并延長(zhǎng)交圓于P,

?.?在△。尸。中，OP+OD>PD,

.?.當(dāng)尸、O、。共線時(shí)，DP的長(zhǎng)最大，最大值即為。P'的長(zhǎng),

.四邊形A3CD是矩形，AB=4,BC=2,

：.ZDAO=90°,AD=BC=2,AO=OB=-AB=2

2

?>-OD=yJoA2+AD2=2V2，

?*-DP=OD+OP=OD+OB=26+2,

故答案為：20+2.

三、解答題（共68分）

17.【答案】七=2+血，Z=2—0

【分析】先找出a,b及c的值，再代入求根公式/=一0土進(jìn)行計(jì)算即可.

2a

【詳解】解：a=l,b=-4,c=2

△=/-4ac=（-4）2-4xlx2=8〉0

所以，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

—b+\!b2—4ac4+2>/22+

"―2a—2—―—

/=2+-^2,%=2--\[^2

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程時(shí)，首先將方程整理為一般形式，找出

a,b及c的值，當(dāng)根的判別式的值大于等于0時(shí)，代入求根公式即可求出解.

18.【答案】（1）y=—2（x+l）+8

（2）將拋物線丁=-2必-4%+6向右平移3個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，平移后所得圖

象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）

【分析】本題考查二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式及二次函數(shù)圖象的平移，掌握配方法的方法是解答的關(guān)鍵.

（1）利用配方法將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定如何平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，進(jìn)而可得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

【小問(wèn)1詳解】

解：由y=-2x2-4x+6得y=-2（^x2+2x+l-l）+6=-2（x+l）~+8；

【小問(wèn)2詳解】

解：當(dāng)y=0時(shí)，由—2（x+l）2+8=0解得石=1,x2=-3,

則拋物線y=-2x2—4x+6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,（-3,0）,

.,?將拋物線y=-2/一4x+6向右平移3個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，平移后所得圖象與

x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）.

19.【答案】（1）見(jiàn)解析，（3,2）

（2）相交

【分析】本題考查了過(guò)三點(diǎn)的圓，圓與直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三點(diǎn)定圓的方法；

(1)作A3、的垂直平分線交于點(diǎn)M,則M為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓即為所求；

(2)確定圓的半徑及圓心M到y(tǒng)軸的距離即可判斷；

【小問(wèn)1詳解】

解:連接A3、BC,分別作A3、的垂直平分線交于點(diǎn)M,以M為圓心，肱1的長(zhǎng)為半徑的圓即

為所求，如圖所示：

【小問(wèn)2詳解】

MA=7(3-2)2+(2-5)2=V10,

即：M的半徑r=J市，

點(diǎn)”到丁軸的距離d=3,

?：3〈回,

M與>軸相交，

故答案為：相交.

20.【答案】(1)m=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,4)

(2)圖見(jiàn)解析(3)0<y<4

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟知二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,

根據(jù)自變量的取值范圍確定函數(shù)值的取值范圍是解答的關(guān)鍵.

(1)將已知點(diǎn)代入函數(shù)解析式中求得加值，然后將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可求解；

(2)利用列表、描點(diǎn)、連線的步驟作函數(shù)圖象即可；

(3)根據(jù)所畫(huà)的圖象即可解答.

【小問(wèn)1詳解】

解：把Af(-2,3)代入丁=-%2+/總+3得，-4-2m+3=3,

解得m=-2,

y——x~—2x+3=—(x+l)~+4,

二拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，4)；

【小問(wèn)2詳解】

解：列表：

X???-3-2-101???

??????

y03430

描點(diǎn)、連線，如圖:

【小問(wèn)3詳解】

解：由圖象可知，該拋物線開(kāi)口向下，有最大值4,

,當(dāng)x=0時(shí)，y=3,當(dāng)x=-3時(shí)，y=。，

...當(dāng)—3<x<0時(shí)，>的取值范圍是0<y<4.

21.【答案】見(jiàn)解析

【分析】連接OC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出OE_LBC,根據(jù)垂徑定理求出3石=。石=L3。，求出

2

ADBE，即可得出答案.

【詳解】證明：連接。C,

OELBC,

過(guò)。，

Z.BE=CE=-BC,

2

?：ZDOA=ZBOE,

**?ADBE，

/.AD=-BC.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理

是解題關(guān)鍵.

22.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，求出出A=4〉0,即可證明結(jié)論成立;

（2）首先求出國(guó)=3m—1,x2=3m+l,然后根據(jù)9=2七一3得到3相+1=2（3相—1）—3,然后求解即

可.

本題考查了根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)A〉0時(shí)，方程

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個(gè)根.

【小問(wèn)1詳解】

證明：依題意，得△=(-6〃z)2-4(9〃[2-1)=36"?2-36〃/+4=4〉0,

???此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

【小問(wèn)2詳解】

解：x2-6iwc+9m2-1=0>

(x-3/n)2=1,

解得x=3m+l,

'：xl<x2,

x[=3m-1,x2=3m+1,

3m+1=2(3m-1)-3,

m=2.

23.【答案】（1）圖見(jiàn)解析

(2)2兀

【分析】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)，求扇形的面積:

（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫(huà)出圖形即可;

（2）依據(jù)圖形面積的和差關(guān)系，可得掃過(guò)的面積=扇形OCG的面積一扇形。3片的面積，由此計(jì)算

即可.

【小問(wèn)1詳解】

【小問(wèn)2詳解】

由勾股定理，得:。3="了=J5,0C=J3r尋=而，

線段掃過(guò)的面積為：—x(VTo)2--X(V2)2=2K.

3601/360'/

24.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)5.

【分析】(1)連接0A,根據(jù)等邊對(duì)等角得出=進(jìn)而得出/O4D=NEZX4,證得EC,

從而證得即可證得/E是。。的切線；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。尸，CD,垂足為點(diǎn)尸.從而證得四邊形/。信是矩形，得出。尸=/E=4c加，根據(jù)垂徑定

理得出。尸=LCD=3C%,在Rt^OD尸中，根據(jù)勾股定理即可求得。。的半徑.

2

(1)證明：連結(jié)O/.

'：OA=OD,

：.NODA=/OAD.

?:DA平分NBDE,

：.ZODA=ZEDA.

；./OAD=/EDA,

J.EC//OA.

\'AE±CD,

：.OA±AE.

丁點(diǎn)/在。。上，

.??/E是。。的切線.

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作CD,垂足為點(diǎn)尸.

,/ZOAE=ZAED=/OFD=90°,

四邊形/O也是矩形.

OF—AE—4cm.

又：。尸_LCD,

1

.,.DF——CD=3cm.

2

在RtZ\OZ)尸中，。。=府5+DF2=5cm,

即。。的半徑為5cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理

的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3

25.【答案】（1）x=5；（2）點(diǎn)2的坐標(biāo)為（3,1）；（3）—14。＜0或。22

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式即可求解；

（2）先求出點(diǎn)/的坐標(biāo)，再求出其對(duì)稱性即可求解；

（3）根據(jù)題意作圖，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解.

一3〃3

【詳解】解：（1）由拋物線y=3改+1,可知％=------=—.

2a2

3

???拋物線的對(duì)稱軸為直線％二—.

2

（2）:拋物線丁=以2—3奴+1與〉軸交于點(diǎn)

令x=0,y=l

.?.點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,1）.

3

?點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線x=—的對(duì)稱點(diǎn)，

2

點(diǎn)3的坐標(biāo)為（3,1）.

（3）?.?點(diǎn)Z（0」），點(diǎn)8（3,1）,點(diǎn)尸（0,2）,點(diǎn)0（a+l,l）,

.??點(diǎn)尸在點(diǎn)/的上方，點(diǎn)。在直線y=l上.

①當(dāng)。＞0時(shí)，a+l＞l,點(diǎn)。在點(diǎn)N的右側(cè).

（i）如圖1,當(dāng)。+1＜3,即。＜2時(shí)，點(diǎn)。在點(diǎn)8的左側(cè)，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)；

（ii）如圖2,當(dāng)。+123,即。22時(shí)，點(diǎn)0在點(diǎn)8的右側(cè)，或與點(diǎn)8重合,

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸0與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)

②當(dāng)。<0時(shí)，點(diǎn)。在點(diǎn)8的左側(cè).

(i)如圖3,當(dāng)0Wa+l<l,即一l<aV0時(shí)，點(diǎn)。在點(diǎn)/的右側(cè)，或與點(diǎn)/重合,

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)；

(ii)如圖4,當(dāng)a+lVO,即a<T時(shí)，點(diǎn)0在點(diǎn)力的左側(cè)，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).

綜上所述，。的取值范圍是一1<a<0或。22.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)題意畫(huà)圖求

解.

一、1,

26.【答案】任務(wù)一：方案一■、10m；方案二、y=—記匯+5

任務(wù)二：方案一、貨船能順利通過(guò)；方案二、貨船能順利通過(guò)

【分析】任務(wù)一：方案一，設(shè)圓心為。，連接。4、OB、OC,根據(jù)AC=3C=10,得AC=5C，結(jié)合

CDLAB,知直線CD過(guò)點(diǎn)。，根據(jù)CD=工AC,得/CAD=30°,得ZACD=60°,得OAC是等邊三

2

角形，得。4=10；方案二，根據(jù)頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,5),設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為y=ad+5,將

川5石,0)代入即可求解；

任務(wù)二：方案一，連接。E,設(shè)交。C于/，根據(jù)矩形性質(zhì)得E"〃尸G,得OCLEH,得E/=5,

結(jié)合半徑為10得至4。/=5g，得"=3.66>3.5,即可判斷；方案二，當(dāng)〃點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5時(shí)，

y?4.67>3.5,即可判斷.

【詳解】解：任務(wù)一：方案一，設(shè)圓的圓心為O,連接。4OB、OC.

?：AC=BC=10,

?*-AC=BC?

?：CDVAB,

：.ZADC=9Q°,AB=BD=-AB,直線CD過(guò)點(diǎn)。.

2

,/CD=5,

：.CD=-AC.

2

ZC4D=30°.

/.ZACD=90°-ACAD=60°.

'：OA=OC,

：.OAC是等邊三角形.

/.04=AC=10.

故半徑為10m.

方案二，

???頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,5）,

.?.設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為y=ax2+5.

;AD=BD=AC2-CD2=5百，

5（573,0）.

代入得0=75。+5.

解得a=-----.

15

1

故函數(shù)解析式為丁=--一9+5.

任務(wù)二：

方案一，

如圖，連接。E,設(shè)EH交0C于I.

由上知OE=10,

矩形EFGH中，EH//FG,

OCLEH.

EI=-EH=5.

2

???01=^OE3-EI2=5百?

?/0D=-0C=5,

2

：.DI=01—OD=5V3-5-3.66>3.5.

故貨船能順利通過(guò).

EH

/>|<J'''IXE，

4右----------LR1/

Y\Dg*/A

7；//AFD\GBX

O

方案二，

如圖，'：EI=HI=-EH=5,

2

橫坐標(biāo)為5.

.*.y=x5+5~4.67>3.5.

15

故貨船能順利通過(guò).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和圓的實(shí)際應(yīng)用.熟練掌握待定系數(shù)法示解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

弧弦的關(guān)系，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形減和性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，勾股定理解

直角三角形，矩形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵.

27.【答案】(1)135°

(2)BD=42CD+DA>理由見(jiàn)解析

(3)CDE面積的面積最大值為4,此時(shí)，如何

5

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得NCOA=90°,CO=OA,再由等邊三角形的性質(zhì)得OD=Q4,

ZODA=ZDOA=60°,然后求出NODC=75。，即可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CHLCD交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,ACH^BCD(SAS)M.CHsABCD(SAS),

得BD=AH=HD+DA=血CD+AD；

(3)連接。C,由勾股定理得CE=5,過(guò)點(diǎn)。作ONLCE于N,延長(zhǎng)CW交圓。于點(diǎn)D,此時(shí)點(diǎn)。

到CE的距離最大，ACDE面積的面積最大，然后由三角形面積求出?？啥瑒tDN=OD—ON=—,

55

即可求解三角形CDS的面積最大值，最后用勾股定理借助(2)的結(jié)論求出A。，即可求出50.

【小問(wèn)1詳解】

解：ZBC4=90。，BC=AC,點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，

ZCOA=90°,CO=-AB=OA,

2

AOD是等邊三角形，

OD=OA,ZODA=NDOA=60°,

OC=OD,ZCOD=ZCOA-ZDOA=90°-60°=30°,

ZODC=1(1800-ZCOD)=gx(180?！?0。)=75。，

ZADC=ZODC+ZODA=750+60°=135。，

故答案為：135°；

【小問(wèn)2詳解】

解：線段8。，CD,D4之間的數(shù)量關(guān)系為：BD=柩CD+DA，理由如下:

過(guò)點(diǎn)C作，8交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,如圖2所示：

貝IZCDH=1800-ZADC=180°-135°=45°,

:./\DCH是等腰直角三角形，

CH=CD,HD=6CD，

ZBCA=90°,

ZACH=ZBCD,

:.AACH^BCD(SAS),

BD=AH=HD+DA=42CD+AD；

【小問(wèn)3詳解】

解：連接。C,如圖3所示：

圖3

ZBCA=90°,BC=AC,

.'AC3是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

。是.ABC的外接圓，

二。是A3的中點(diǎn)，

OC1AB,OC=OA=1AB=^（AE+BE）=|-x（l+7）=4,

■.OE=OA-AE=4-1=3,

在RfZXCOE中，由勾股定理得：CE=d0C2+OE?="+32=5,

CE是定值，

.??點(diǎn)。到CE的距離最大時(shí)，COE面積的面積最大，

AB是。的直徑，

過(guò)點(diǎn)。作ONLCE于N,延長(zhǎng)。N與。的交點(diǎn)恰好是點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。到CE的距離最大，CDE面積

的面積最大，

S^-OCOE=-CEON,

nOCEF22

「、，OCOE4x312

ON=----------=------=—,

CE55

OD=OC=4,

122

:.DN=OD-ON=4——=—,

55

此時(shí)，在直角CN。中，CN70c2—ON。=.2—《）2=?,

在直角△CND中，CD=JcM+DN。=+（|）2=苧,

在直角△A3。