數(shù)學(xué)?？級狠S題九年級人教版期中考試11大壓軸考法48題專練（第21~24章）原卷版含答案及解析

九年級上學(xué)期期中考試11大壓軸考法48題專練（第21~24章）一．根的判別式1．（2023春?余杭區(qū)校級期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則⑤存在實數(shù)、，使得；其中正確的A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③二．根與系數(shù)的關(guān)系2．（2023秋?肇源縣期中）關(guān)于的一元二次方程的實數(shù)解是和．（1）求的取值范圍；（2）如果且為整數(shù)，求的值．三．一元二次方程的應(yīng)用3．（2023秋?海州區(qū)校級期中）已知：的兩邊，的長是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根．（1）當為何值時，四邊形是菱形？求出這時菱形的邊長；（2）若的長為2，那么的周長是多少？4．（2023秋?綏棱縣校級期中）某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預(yù)計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應(yīng)高于購進的價格；第二個月結(jié)束后，批發(fā)商將對剩余的恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元，設(shè)第二個月單價降低元．（1）填表：（不需化簡）時間第一個月第二個月清倉時單價（元807040銷售量（件200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批恤獲利9000元，那么第二個月的單價應(yīng)是多少元？5．（2023秋?平川區(qū)校級期中）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？6．（2023秋?青白江區(qū)校級期中）如圖，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，，，是和邊長，易知，這時我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積．四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系7．（2023秋?天門校級期中）如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標，與軸的交點在，之間（包含端點），則下列結(jié)論：①；②；③對于任意實數(shù)，總成立；④關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的個數(shù)為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個五．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式8．（2023秋?拱墅區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)的圖象以為頂點，且過點（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標；（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當圖象經(jīng)過原點時，、兩點隨圖象移至、，求△的面積．六．二次函數(shù)綜合題9．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，拋物線為常數(shù)）交軸于點，與軸的一個交點在2和3之間，頂點為．①拋物線與直線有且只有一個交點；②若點、點，、點在該函數(shù)圖象上，則；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為；④點關(guān)于直線的對稱點為，點、分別在軸和軸上，當時，四邊形周長的最小值為．其中正確的判斷有A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③10．（2023秋?濟寧校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，，，形狀相同的拋物線，2，3，4，的頂點在直線上，其對稱軸與軸的交點的橫坐標依次為2，3，5，8，13，，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線的頂點坐標為．11．（2023秋?文峰區(qū)校級期中）如圖，直線與軸、軸分別交于點、點，經(jīng)過、兩點的拋物線與軸的另一個交點為，頂點為．（1）求的值；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）將該拋物線在軸上方的部分沿軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象軸下方的部分組成一個“”形狀的新圖象，若直線與該“”形狀的圖象部分恰好有三個公共點，求的值．12．（2023秋?江漢區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，在的左側(cè)），與軸交于點，其對稱軸為直線．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖（1），已知點為第二象限拋物線上一點，連接，若，求點的坐標；（3）和分別是直線和拋物線上的動點，且點的橫坐標比點的橫坐標大4個單位長度，分別過，作坐標軸的平行線，得到矩形．設(shè)該拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）的圖象的最高點與最低點的縱坐標的差為．①如圖（2），當時，請直接寫出的值；②請直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．13．（2023秋?右玉縣期中）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸的交點為，兩點，與軸交于點，頂點為，其對稱軸與軸交于點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接，，，試判斷的形狀，并說明理由；（3）點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，的面積記為，求的最大值及此時點的坐標；（4）在線段上，是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2023秋?博山區(qū)校級期中）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點，加裝拉桿，，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；（3）為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計拋物線，其表達式為，當時，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．15．（2023秋?河?xùn)|區(qū)期中）綜合與實踐問題提出某興趣小組開展綜合實踐活動：在△中，，為上一點，，動點以每秒1個單位的速度從點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達點時停止，以為邊作正方形．設(shè)點的運動時間為，正方形的面積為，探究與的關(guān)系．初步感知（1）如圖1，當點由點運動到點時，①當時，；②關(guān)于的函數(shù)解析式為．（2）當點由點運動到點時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)是關(guān)于的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象．請根據(jù)圖象信息，求關(guān)于的函數(shù)解析式及線段的長．延伸探究（3）若存在3個時刻，，對應(yīng)的正方形的面積均相等．①；②當時，求正方形的面積．16．（2023秋?東莞市校級期中）已知二次函數(shù)，圖象記為．（1）如圖，時，求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）在（1）的條件下，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，與二次函數(shù)的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，記為．設(shè)上的一點的坐標為．①當滿足時，隨的增大而增大；②當時，過點作軸垂線，分別交、于點、．若將的面積分成兩部分，求點坐標；（3）若點，，，在二次函數(shù)圖象上，直接寫出的取值范圍．17．（2023秋?西市區(qū)校級期中）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，并交軸于另一點，點是拋物線的頂點，直線與軸交于點．（1）求該拋物線的表達式；（2）若點是軸上一動點，分別連接，，求的最小值；（3）若點是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．18．（2023秋?江夏區(qū)校級期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，點和點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．（1）求直線的解析式；（2）如圖，直線上方的拋物線上有一點，過點作于點，求線段的最大值；（3）點是拋物線的頂點，點是軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，以，，，為頂點的四邊形是以為邊的矩形，求點的坐標．19．（2023秋?龍沙區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．點是直線下方拋物線上的一動點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）連接、，是否存在點，使得線段把的面積分成兩部分，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．20．（2023秋?姑蘇區(qū)校級期中）如圖1，已知拋物線的頂點的縱坐標是4，與軸交于、兩點，經(jīng)過點的直線經(jīng)過點，點為直線上的一個動點．（1）；；（2）連接，當線段與直線的夾角為時，求點的坐標；（3）如圖2，連接，線段上是否存在點，連接，當時，線段被軸截得線段比為的兩部分？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2023秋?雙流區(qū)校級期中）如圖1，經(jīng)過原點的拋物線、為常數(shù)，與軸相交于另一點．在第一象限內(nèi)與直線交于點，拋物線的頂點為點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點是點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，點是直線下方的拋物線上的動點，與直線交于點．設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．22．（2023秋?濱海新區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．（Ⅰ）求該拋物線的解析式及點的坐標；（Ⅱ）直線與該拋物線交于點、兩點，求線段的長度；（Ⅲ）直線與該拋物線的交點為，（點在點的左側(cè)），點關(guān)于軸的對稱點為點，點的坐標為．若四邊形的面積為，求點到的距離的值．23．（2023秋?福州期中）已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點，且點在此二次函數(shù)的圖象上．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，直線與二次函數(shù)的圖象交于、兩點（點在直線下方），若，求的值；（3）如圖2，直線與二次函數(shù)的圖象交于、兩點，過點的直線交二次函數(shù)的圖象于點，求證：直線過定點．24．（2023秋?思明區(qū)校級期中）已知拋物線的頂點為，與軸交于，兩點在左邊）．（1）若該拋物線的頂點坐標為，求其解析式；（2）如圖（1），已知拋物線的頂點在直線上滑動，且與直線交于另一點，若的面積為，求拋物線頂點的坐標；（3）如圖（2），在（1）的條件下，，為軸上的兩個關(guān)于原點對稱的動點，射線，分別與拋物線交于，兩點，求與滿足的數(shù)量關(guān)系．25．（2023秋?大武口區(qū)校級期中）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點，拋物線經(jīng)過點、，與軸另一交點為，頂點為．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上找一點，使的值最小，求的最小值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．26．（2023秋?涼州區(qū)校級期中）如圖，已知拋物線的頂點為，與軸相交于點，對稱軸為直線，點是線段的中點．（1）求拋物線的表達式；（2）寫出點的坐標并求直線的表達式；（3）設(shè)動點，分別在拋物線和對稱軸上，當以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，求，兩點的坐標．27．（2023秋?鐵嶺縣期中）如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求這個拋物線的函數(shù)表達式．（2）點的坐標為，點為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值．（3）點為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．28．（2023秋?恩施市校級期中）如圖1，拋物線交軸于點、，（點在點的左側(cè)），交軸于點，其對稱軸為直線，拋物線經(jīng)過點，與軸的另一個交點為，交軸于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）為直線上一動點，連接、，當時，求點的坐標；（3）為拋物線上一動點，過點作直線軸（如圖2所示），交拋物線于點，求點自點運動至點的過程中，線段長度的最大值．29．（2023秋?梁山縣期中）已知拋物線經(jīng)過、、三點，直線是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點是直線上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標；（3）在直線上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．30．（2023秋?新會區(qū)校級期中）如圖，的兩直角邊、分別在軸的負半軸和軸的正半軸上，為坐標原點，、兩點的坐標分別為、，拋物線經(jīng)過點，且頂點在直線上．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若是由沿軸向右平移得到的，當四邊形是菱形時，試判斷點和點是否在該拋物線上，并說明理由．（3）在（2）的條件下，若點是所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點作平行于軸交于點．設(shè)點的橫坐標為，的長度為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍，并求取大值時，點的坐標．31．（2023秋?惠城區(qū)校級期中）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當四邊形面積最大時，請求出點的坐標和四邊形面積的最大值；（3）在（2）的結(jié)論下，過點作軸的平行線交直線于點，連接，點是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．32．（2023秋?豐澤區(qū)校級期中）閱讀下面材料，回答問題材料一：若三個非零實數(shù)，，滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實數(shù)，，構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；材料二：一元二次方程兩根，有如下關(guān)系：，．（1）實數(shù)1，2，3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”嗎？請說明理由．（2）若直線與軸交于點，，與拋物線交于，，，兩點．①求證：，，三點的橫坐標，，構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②若，，求點，與原點的距離的取值范圍．33．（2023秋?宣恩縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為，與軸交于點，與交于點，．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）過點作平行于軸，交拋物線于點，點為拋物線上的一點（點在上方），作平行于軸交于點，當點在何位置時，四邊形的面積最大？求出最大面積；（3）若點在拋物線上，點在其對稱軸上，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，且為其一邊，求點的坐標．34．（2023秋?齊齊哈爾期中）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接，，點是直線下方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，，設(shè)點的橫坐標為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：過點作的平行線1，交線段于點，在直線上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．35．（2023秋?金安區(qū)校級期中）定義：如果二次函數(shù)，，，是常數(shù)）與，，，是常數(shù)）滿足，，，則這兩個函數(shù)互為“”函數(shù)．（1）寫出的“”函數(shù)的表達式；（2）若題（1）中的兩個“”函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象只有兩個交點，求的值；（3）如圖，二次函數(shù)與互為“”函數(shù)，、分別是“”函數(shù)與圖象的頂點，是“”函數(shù)與軸正半軸的交點，連接、、，若點且為直角三角形，求點的坐標．36．（2023秋?寧陽縣期中）如圖，拋物線與軸相交于，兩點，與軸相交于點，，，直線是拋物線的對稱軸，在直線右側(cè)的拋物線上有一動點，連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點在軸的下方，當?shù)拿娣e是時，求的面積；（3）在（2）的條件下，點是軸上一點，點是拋物線上一動點，是否存在點，使得以點，，，為頂點，以為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．37．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，拋物線與軸分別交于，兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)取一點，作垂直軸于點，連接，且，，將沿軸向右平移個單位，當點落在拋物線上時，求的值；（3）在（2）的條件下，當點第一次落在拋物線上記為點，點是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．38．（2023秋?驛城區(qū)校級期中）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點（1）求點，，的坐標；（2）點是此拋物線上的點，點是其對稱軸上的點，求以，，，為頂點的平行四邊形的面積；（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點，使得是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．39．（2023秋?莊浪縣期中）如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，，，其對稱軸與軸相交于點．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使的周長最?。咳舸嬖?，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接，在直線的下方的拋物線上，是否存在一點，使的面積最大？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．40．（2023秋?鐘祥市期中）如圖，在矩形中，，，點為邊上一點，將沿直線折疊，使點恰好落在邊上的點處，分別以，所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標系．（1）求的長及經(jīng)過，，三點拋物線的解析式；（2）一動點從點出發(fā)，沿以每秒2個單位長度的速度向點運動，同時動點從點出發(fā)，沿以每秒1個單位長度的速度向點運動，當點到達點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為秒，當為何值時，；（3）若點在（1）中拋物線的對稱軸上，點在拋物線上，是否存在這樣的點與點，使，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．七．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)41．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，、、、是上四點，．（1）判斷的形狀并證明你的結(jié)論；（2）當點位于什么位置時，四邊形是菱形？并說明理由．（3）求證：．八．三角形的外接圓與外心42．（2023秋?椒江區(qū)校級期中）如圖，在中，在邊上，圓為銳角的外接圓，連結(jié)并延長交于點．（1）若，請用含的代數(shù)式表示；（2）如圖2，作，垂足為，與交于點，已知．①求證：；②若，，求的值．九．切線的判定43．（2023秋?洪澤區(qū)校級期中）如圖，是的弦，交于點，過的直線交的延長線于點，當時，直線與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．44．（2023秋?常州期中）如圖，在中，，以為直徑的交于點，過點作于點，交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）當，時，求的長．十．圓的綜合題45．（2023秋?東臺市期中）如圖，為的外接圓，，為與的交點，為線段延長線上一點，且．（1）求證：直線是的切線．（2）若，，求的半徑；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，點在上，且，的內(nèi)心點在邊上，求的長．十一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)46．（2023秋?西峰區(qū)校級期中）如圖1，在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，若點，在直線的異側(cè)，直線于點．直線于點，連接，．（1）延長交于點（如圖．①求證：；②求證：；（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形的形狀及此時還成立嗎？不必說明理由．47．（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖，等腰直角中，，點在上，將繞頂點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到．（1）求的度數(shù)；（2）當，時，求的大小；（3）當點在線段上運動時不與重合），請寫出一個反映，，之間關(guān)系的等式，并加以證明．48．（2023春?烏魯木齊期中）在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，與延長線相交于點，過作交于點，連接．（1）如圖1，求證：；（2）當時，依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

九年級上學(xué)期期中考試11大壓軸考法48題專練（第21~24章）一．根的判別式1．（2023春?余杭區(qū)校級期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則⑤存在實數(shù)、，使得；其中正確的A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對各選項分別討論，可得答案．【解答】解：①若，則是方程的解，由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系可知△，故①正確；②方程有兩個不相等的實根，△，，則方程的判別式△，方程必有兩個不相等的實根，故②正確；③是方程的一個根，則，，若，等式仍然成立，但不一定成立，故③不正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：或或故④正確．⑤存在實數(shù)、，使得成立；由，，，即，，，當時，存在實數(shù)、，使得成立；故⑤正確．故選：．【點評】本題主要考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，牢固掌握二者的關(guān)系并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．二．根與系數(shù)的關(guān)系2．（2023秋?肇源縣期中）關(guān)于的一元二次方程的實數(shù)解是和．（1）求的取值范圍；（2）如果且為整數(shù)，求的值．【分析】（1）方程有兩個實數(shù)根，必須滿足△，從而求出實數(shù)的取值范圍；（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，．再代入不等式，即可求得的取值范圍，然后根據(jù)為整數(shù)，求出的值．【解答】解：（1）方程有實數(shù)根，△，解得．故的取值范圍是．（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，，．由已知，得，解得．又由（1），．為整數(shù)，的值為或0．【點評】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．在運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時，一定要注意其前提是此方程的判別式△．三．一元二次方程的應(yīng)用3．（2023秋?海州區(qū)校級期中）已知：的兩邊，的長是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根．（1）當為何值時，四邊形是菱形？求出這時菱形的邊長；（2）若的長為2，那么的周長是多少？【分析】（1）讓根的判別式為0即可求得，進而求得方程的根即為菱形的邊長；（2）求得的值，進而代入原方程求得另一根，即易求得平行四邊形的周長．【解答】解：（1）四邊形是菱形，，△，即，整理得：，解得，當時，原方程為，解得：，故當時，四邊形是菱形，菱形的邊長是0.5；（2）把代入原方程得，，把代入原方程得，解得，，．【點評】綜合考查了平行四邊形及菱形的有關(guān)性質(zhì)；利用解一元二次方程得到兩種圖形的邊長是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋?綏棱縣校級期中）某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預(yù)計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應(yīng)高于購進的價格；第二個月結(jié)束后，批發(fā)商將對剩余的恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元，設(shè)第二個月單價降低元．（1）填表：（不需化簡）時間第一個月第二個月清倉時單價（元807040銷售量（件200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批恤獲利9000元，那么第二個月的單價應(yīng)是多少元？【分析】（1）根據(jù)題意直接用含的代數(shù)式表示即可；（2）利用“獲利9000元”，即銷售額進價利潤，作為相等關(guān)系列方程，解方程求解后要代入實際問題中檢驗是否符合題意，進行值的取舍．【解答】解：（1）時間第一個月第二個月清倉時單價（元8040銷售量（件200（2）根據(jù)題意，得整理得，即，解得當時，答：第二個月的單價應(yīng)是70元．【點評】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．有關(guān)銷售問題中的等量關(guān)系一般為：利潤售價進價．5．（2023秋?平川區(qū)校級期中）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【分析】設(shè)每千克水果應(yīng)漲價元，得出日銷售量將減少千克，再由盈利額每千克盈利日銷售量，依題意得方程求解即可．【解答】解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價元，依題意得方程：，整理，得，解這個方程，得，．要使顧客得到實惠，應(yīng)?。穑好壳Э怂麘?yīng)漲價5元．【點評】解答此題的關(guān)鍵是熟知此題的等量關(guān)系是：盈利額每千克盈利日銷售量．6．（2023秋?青白江區(qū)校級期中）如圖，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，，，是和邊長，易知，這時我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積．【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過判斷根的判別式△的正負來證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得的值，根據(jù)完全平方公式求得的值，從而可求得面積．【解答】（1）解：當，，時勾系一元二次方程為；（2）證明：根據(jù)題意，得△即△勾系一元二次方程必有實數(shù)根；（3）解：當時，有，即，即，．【點評】此類題目要讀懂題意，根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題．四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系7．（2023秋?天門校級期中）如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標，與軸的交點在，之間（包含端點），則下列結(jié)論：①；②；③對于任意實數(shù)，總成立；④關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的個數(shù)為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由拋物線開口方向判斷與0的關(guān)系，由拋物線與軸交點坐標判斷、、的關(guān)系，由頂點坐標及頂點坐標公式推斷、的關(guān)系及與、、的關(guān)系，由拋物線與軸的交點坐標判斷的取值范圍，進而對所得結(jié)論進行推斷．【解答】解：拋物線的頂點坐標為，，，，，故①正確．拋物線與軸交于點，，，由①知：，即，，又拋物線與軸的交點在，之間（含端點），，，，故②正確．拋物線開口向下，，又，令，關(guān)于的二次函數(shù)開口向下，若對于任意實數(shù)，總成立，故需判斷△與0的數(shù)量關(guān)系，由以上分析知：，△，故③正確．，，△，關(guān)于的方程無實數(shù)根．故④錯誤．故選：．【點評】主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、頂點坐標以及根的判別式的熟練使用．五．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式8．（2023秋?拱墅區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)的圖象以為頂點，且過點（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標；（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當圖象經(jīng)過原點時，、兩點隨圖象移至、，求△的面積．【分析】（1）已知了拋物線的頂點坐標，可用頂點式設(shè)該二次函數(shù)的解析式，然后將點坐標代入，即可求出二次函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)的函數(shù)解析式，令，可求得拋物線與軸的交點坐標；令，可求得拋物線與軸交點坐標．（3）由（2）可知：拋物線與軸的交點分別在原點兩側(cè)，由此可求出當拋物線與軸負半軸的交點平移到原點時，拋物線平移的單位，由此可求出、的坐標．由于△不規(guī)則，可用面積割補法求出△的面積．【解答】解：（1）設(shè)拋物線頂點式將代入得：該函數(shù)的解析式為：（2）令，得，因此拋物線與軸的交點為：令，，解得：，，即拋物線與軸的交點為：，（3）設(shè)拋物線與軸的交點為、在的左側(cè)），由（2）知：，當函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過原點時，與重合，因此拋物線向右平移了3個單位故，．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖象交點、圖形面積的求法等知識．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．六．二次函數(shù)綜合題9．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，拋物線為常數(shù)）交軸于點，與軸的一個交點在2和3之間，頂點為．①拋物線與直線有且只有一個交點；②若點、點，、點在該函數(shù)圖象上，則；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為；④點關(guān)于直線的對稱點為，點、分別在軸和軸上，當時，四邊形周長的最小值為．其中正確的判斷有A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③【分析】①把代入中，判斷所得一元二次方程的根的情況便可得判斷正確；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷；③根據(jù)平移的公式求出平移后的解析式便可；④因邊一定，只要其他三邊和最小便可，作點關(guān)于軸的對稱點，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸、軸分別交于、點，求出便是其他三邊和的最小值．【解答】解：①把代入中，得，△，此方程兩個相等的實數(shù)根，則拋物線與直線有且只有一個交點，故①結(jié)論正確；②拋物線的對稱軸為，點關(guān)于的對稱點為，，當時，隨增大而增大，又，點、點，、點在該函數(shù)圖象上，，故②結(jié)論錯誤；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，拋物線的解析式為：，即，故③結(jié)論正確；④當時，拋物線的解析式為：，，，，作點關(guān)于軸的對稱點，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸、軸分別交于、點，如圖，則，根據(jù)兩點之間線段最短，知最短，而的長度一定，此時，四邊形周長最小，為：，故④結(jié)論正確；綜上所述，正確的結(jié)論是①③④．故選：．【點評】本題是二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與坐標軸的交點、求線段和的最小值等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．10．（2023秋?濟寧校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，，，形狀相同的拋物線，2，3，4，的頂點在直線上，其對稱軸與軸的交點的橫坐標依次為2，3，5，8，13，，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線的頂點坐標為55，．【分析】根據(jù)，的坐標求直線的解析式為，根據(jù)橫坐標的變化規(guī)律可知，的橫坐標為55，代入直線的解析式中，可求縱坐標．【解答】解：設(shè)直線的解析式為，，，，，解得，直線的解析式為，對稱軸與軸的交點的橫坐標依次為2，3，5，8，13，，觀察發(fā)現(xiàn)：每個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，拋物線的頂點坐標的橫坐標為55，拋物線的頂點坐標為．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了點與函數(shù)關(guān)系式的關(guān)系，考查了學(xué)生的分析歸納能力．11．（2023秋?文峰區(qū)校級期中）如圖，直線與軸、軸分別交于點、點，經(jīng)過、兩點的拋物線與軸的另一個交點為，頂點為．（1）求的值；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）將該拋物線在軸上方的部分沿軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象軸下方的部分組成一個“”形狀的新圖象，若直線與該“”形狀的圖象部分恰好有三個公共點，求的值．【分析】（1）求出、的坐標，將點、的坐標分別代入拋物線表達式，即可求解；（2）分、、，分別求解即可；（3）分兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）直線，令，則，令，則，故點、的坐標分別為、，將點、的坐標分別代入拋物線表達式得：，解得：，則拋物線的表達式為：，則點坐標為，頂點的坐標為，；（2）①當時，點縱坐標與中點的縱坐標相同，故此時點坐標為；②當時，可得：點的坐標為或；③當時，可得：過該中點與垂直的直線方程為：，當時，，即點的坐標為；故：點的坐標為或或或；（3）圖象翻折后的點對應(yīng)點的坐標為，①在如圖所示的位置時，直線與該“”形狀的圖象部分恰好有三個公共點，此時直線和拋物線的交點有3個，；②當直線與軸上方的部分沿軸向下翻折后的圖象相切時，此時，直線與該“”形狀的圖象部分恰好有三個公共點；即：，△，解得：．即：或．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，難點在于（3），關(guān)鍵是通過數(shù)形變換，確定變換后圖形與直線的位置關(guān)系，難度不大．12．（2023秋?江漢區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，在的左側(cè)），與軸交于點，其對稱軸為直線．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖（1），已知點為第二象限拋物線上一點，連接，若，求點的坐標；（3）和分別是直線和拋物線上的動點，且點的橫坐標比點的橫坐標大4個單位長度，分別過，作坐標軸的平行線，得到矩形．設(shè)該拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）的圖象的最高點與最低點的縱坐標的差為．①如圖（2），當時，請直接寫出的值；②請直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)交軸于，可證得，得出，可得，運用待定系數(shù)法可得直線解析式為，聯(lián)立方程組即可求得點的坐標；（3）①當時，，，，，即可求得答案；②由題意得：，，由，可得，，分三種情況：當時，當時，當時，分別畫出圖象，即可求得答案．【解答】解：（1）拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線，，解得，拋物線的函數(shù)解析式為；（2）點為第二象限拋物線上一點，設(shè)交軸于，如圖在中，令得；解得或，，，，，，，，，又，，即，，，，，由，得直線解析式為，聯(lián)立，解得（舍去）或，，；（3）①當時，，，，，；②根據(jù)，可得拋物線的頂點為，當時，，由題意得：，，，當時，，解得：，，當時，如圖2，，此時拋物線在矩形內(nèi)只有一個點，不合題意；當時，如圖3，；當時，如圖4，；當時，如圖5，；當時，如圖6，；綜上所述，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式和一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識．利用了數(shù)形結(jié)合與方程思想．屬于中考數(shù)學(xué)壓軸題．13．（2023秋?右玉縣期中）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸的交點為，兩點，與軸交于點，頂點為，其對稱軸與軸交于點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接，，，試判斷的形狀，并說明理由；（3）點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，的面積記為，求的最大值及此時點的坐標；（4）在線段上，是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）二次函數(shù)表達式為：，則，解得：，即可求解；（2）由，故為直角三角形；（3），即可求解；（4）分、、三種情況分別求解即可．【解答】解：（1）二次函數(shù)表達式為：，則，解得：，函數(shù)的表達式為：；（2）由（1）知，點，，，，，故為直角三角形；（3）過點作軸交于點，將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線的表達式為：，設(shè)點，則點，，當時，最大值為，此時點，；（4），，①當時，如圖，為等腰直角三角形，，點；②當時，同理可得：點，；③當時，同理可得：點；故點的坐標為：或，或．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的運用、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．14．（2023秋?博山區(qū)校級期中）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點，加裝拉桿，，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；（3）為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計拋物線，其表達式為，當時，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為，待定系數(shù)法求解即可；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交于點，則點即為所求；（3）分三種情況進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立不等式求得的取值范圍即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，把點代入，得：，解得：，拋物線的解析式為：；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交于點，則點即為所求；把代入，得：，設(shè)直線的解析式為，，解得：，，令，得，點的坐標為；（3），拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，得：，解得：，，當時，由，得：，，解得：，；由，得：，，；當時，都成立；當時，得：，解得：，都成立；綜上所述，的取值范圍為．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．15．（2023秋?河?xùn)|區(qū)期中）綜合與實踐問題提出某興趣小組開展綜合實踐活動：在△中，，為上一點，，動點以每秒1個單位的速度從點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達點時停止，以為邊作正方形．設(shè)點的運動時間為，正方形的面積為，探究與的關(guān)系．初步感知（1）如圖1，當點由點運動到點時，①當時，；②關(guān)于的函數(shù)解析式為．（2）當點由點運動到點時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)是關(guān)于的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象．請根據(jù)圖象信息，求關(guān)于的函數(shù)解析式及線段的長．延伸探究（3）若存在3個時刻，，對應(yīng)的正方形的面積均相等．①；②當時，求正方形的面積．【分析】（1）①當時，，運用勾股定理即可求得答案；②由題意得，運用勾股定理可得；（2）觀察圖象可得當點運動到點處時，，當點運動到點處時，，拋物線的頂點坐標為，由勾股定理可得，，即，設(shè)，將代入，即可求得，再利用勾股定理即可求得線段的長；（3）①方法一：根據(jù)拋物線的對稱性可得當時，點與關(guān)于直線對稱，點與關(guān)于直線對稱，可得答案；方法二：過點作于點，可證得△△，得出，可求得，，根據(jù)存在3個時刻，，對應(yīng)的正方形的面積均相等，可得，再證得△△，可得，列出等式即可；②方法一：由，，可得，與聯(lián)立即可求得答案；方法二：證明△△，得出，建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）①當時，，又，，．故答案為：3；②當點由點運動到點時，，，，．故答案為：；（2）由圖2可得：當點運動到點處時，，當點運動到點處時，，拋物線的頂點坐標為，，，，設(shè)，將代入，得，解得：，，，在△中，，拋物線的解析式為；（3）①由（1）（2）可得，圖象如圖所示：存在3個時刻，，對應(yīng)的正方形的面積均相等，，點與關(guān)于直線對稱，點與關(guān)于直線對稱，，，，．故答案為：4；②由①知：，，，，，．方法二：，，，△△，，，，，，．16．（2023秋?東莞市校級期中）已知二次函數(shù)，圖象記為．（1）如圖，時，求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）在（1）的條件下，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，與二次函數(shù)的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，記為．設(shè)上的一點的坐標為．①當滿足時，隨的增大而增大；②當時，過點作軸垂線，分別交、于點、．若將的面積分成兩部分，求點坐標；（3）若點，，，在二次函數(shù)圖象上，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）把代入即可求得拋物線解析式，再化為頂點式即可得出頂點坐標；（2）①運用二次函數(shù)性質(zhì)即可解答；②根據(jù)題意可得的解析式為，可得，，，分兩種情況：當時，，當時，，分別建立方程求解即可得出答案；（3）由，可得拋物線的頂點坐標為，當時，頂點為最高點，當時，頂點為最低點，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）當時，．該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為．（2）①的圖象是將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，與二次函數(shù)的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，的圖象開口向上，對稱軸直線為，頂點坐標為，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而增大．故答案為：．②的解析式為，設(shè)，，則，，由，得或，，，如圖，，，當時，，，即，解得：，；當時，，，即，解得：，，；綜上所述，點坐標為或，；（3），拋物線的頂點坐標為，當時，，解得：，當時，，解得：；的取值范圍為或．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、通過解方程組求函數(shù)圖象的交點坐標、一元二次方程的解法、定義新函數(shù)問題的求解等知識與方法，第（2）②問運用分類討論思想是解題關(guān)鍵，本題綜合性強，難度較大，屬于壓軸題．17．（2023秋?西市區(qū)校級期中）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，并交軸于另一點，點是拋物線的頂點，直線與軸交于點．（1）求該拋物線的表達式；（2）若點是軸上一動點，分別連接，，求的最小值；（3）若點是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達式；（2）利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，進而可得，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，，，即的最小值為，利用兩點間距離公式即可求得答案；（3）分三種情況：當、為對角線時，當、為對角線時，當、為對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分即對角線的中點重合，分別列方程組求解即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點，，解得：，該拋物線的表達式為；（2），頂點，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，當時，，，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，，如圖，則，，即的最小值為，，的最小值為；（3）對稱軸上存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．由（2）得：，，點是拋物線上一動點，設(shè)，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，當、為對角線時，、的中點重合，，解得：，；當、為對角線時，、的中點重合，，解得：，；當、為對角線時，、的中點重合，，解得：，；綜上所述，對稱軸上存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為或或．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了求二次函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋?江夏區(qū)校級期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，點和點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．（1）求直線的解析式；（2）如圖，直線上方的拋物線上有一點，過點作于點，求線段的最大值；（3）點是拋物線的頂點，點是軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，以，，，為頂點的四邊形是以為邊的矩形，求點的坐標．【分析】（1）先求解，，的坐標，再求解的坐標，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）記于軸的交點為，證明為等腰直角三角形，過作軸交于，為等腰直角三角形，則，設(shè)，則，再建立二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題即可；（3）如圖，當在的右邊，記直線交軸于，，則，求解直線的解析式為，可得，設(shè)，而四邊形為矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，結(jié)合平移的性質(zhì)可得：；如圖，當在的左邊，同理可得：，結(jié)合平移的性質(zhì)可得：．【解答】（1）解：當時，，則，當時，，解得，，則，，，拋物線對稱軸為直線，而點和點關(guān)于直線對稱，，設(shè)直線的解析式為，把，分別代入得，解得，直線的解析式為；（2）記于軸的交點為，當時，，則，，為等腰直角三角形，，過作軸交于，，為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，當時，有最大值，的最大值為：；（3）如圖，當在的右邊，記直線交軸于，，則，設(shè)直線的解析式為，把、分別代入得，解得，直線的解析式為，當時，，則，設(shè)，而四邊形為矩形，，，解得：，即，由平移的性質(zhì)可得：；如圖，當在的左邊，同理可得：，解得：，即，由平移的性質(zhì)可得：；綜上：或．【點評】本題考查的是二次函數(shù)與坐標軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練地建立二次函數(shù)模型再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是解本題的關(guān)鍵．19．（2023秋?龍沙區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．點是直線下方拋物線上的一動點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）連接、，是否存在點，使得線段把的面積分成兩部分，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)，則，，利用等腰直角三角形性質(zhì)可得，進而可得，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（3）延長交軸于點，設(shè)，則，分兩種情況：當時，當時，分別得出或3，建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）拋物線與直線交于點，，，解得：，該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）設(shè)，設(shè)交于點，如圖，則，，，，是等腰直角三角形，，軸，軸，，，、均為等腰直角三角形，，，，，當時，取得最大值，此時點的坐標為，；（3）存在點，使得線段把的面積分成兩部分．如圖，延長交軸于點，設(shè)，則，當時，，四邊形是矩形，，，，，即，，，即，解得：或（舍去），，；當時，同理可得，即，解得：或（舍去），，；綜上所述，存在點，使得線段把的面積分成兩部分，點的坐標為，或，．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形的面積，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，靈活運用分類討論思想，方程思想是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋?姑蘇區(qū)校級期中）如圖1，已知拋物線的頂點的縱坐標是4，與軸交于、兩點，經(jīng)過點的直線經(jīng)過點，點為直線上的一個動點．（1）；；（2）連接，當線段與直線的夾角為時，求點的坐標；（3）如圖2，連接，線段上是否存在點，連接，當時，線段被軸截得線段比為的兩部分？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點縱坐標可得，即，再求得，利用待定系數(shù)法即可求得；（2）當時，利用直角三角形的性質(zhì)可得點是的中點，即；當時，過點作于，推出，即，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）設(shè)，且，拋物線對稱軸交直線于，交軸于點，在軸負半軸上取點，使，連接，過點作，交于，交軸于，由，可求得：，，，利用勾股定理建立方程求解即可得出，，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，進而可得直線的解析式為，聯(lián)立方程組求解可得，，由線段被軸截得線段比為的兩部分，得出或，即或，解方程即可求得答案．【解答】解：（1），，解得：，，令，得，解得：，，，把，代入，得：，解得：，直線的解析式為，故答案為：；；（2）線段與直線的夾角為，或，當時，如圖1，，，，，，，，，點是的中點，；當時，如圖1，過點作于，，，，，，點為直線上的一個動點，設(shè)，，解得：（舍去），，，；綜上所述，點的坐標為或，；（3）存在點，使得當時，線段被軸截得線段比為的兩部分．理由如下：，直線的解析式為，點是線段上一點，設(shè)，且，如圖2，設(shè)拋物線對稱軸交直線于，交軸于點，在軸負半軸上取點，使，連接，過點作，交于，交軸于，是的中點，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，，且，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，解得：，，，線段被軸截得線段比為的兩部分，或，或，即或，或，點的坐標為，或，．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，動點問題等，運用分類討論思想和方程思想是解題關(guān)鍵．21．（2023秋?雙流區(qū)校級期中）如圖1，經(jīng)過原點的拋物線、為常數(shù)，與軸相交于另一點．在第一象限內(nèi)與直線交于點，拋物線的頂點為點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點是點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，點是直線下方的拋物線上的動點，與直線交于點．設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．【分析】（1）先求出點的坐標，運用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式為；（2）存在點，使得．分兩種情況：當點在直線的上方時，當點在直線的下方時，分別運用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再聯(lián)立方程組求解即可；（3）如圖，過點作軸交直線于點，設(shè)，則，，，再由點是點關(guān)于拋物線對稱軸直線的對稱點，可得：軸，，根據(jù)相似三角形性質(zhì)和等高三角形面積比可表達，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】解：（1）直線經(jīng)過點，，，把，分別代入，得：，解得：，該拋物線的解析式為；（2）存在點，使得．，拋物線的頂點為，如圖1，當點在直線的上方時，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立，得：，解得：（舍去），，當時，，；當點在直線的下方時，如圖1，過點作軸于點，過點作于點，交于點，連接交拋物線于點，則，，點是的中點，即，，是線段的垂直平分線，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得：，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，與聯(lián)立，得，解得：（舍去），，當時，，，；綜上所述，存在點，使得，點的坐標為或，；（3）如圖2，過點作軸交直線于點，設(shè)，則的縱坐標為，直線的解析式為，，，，，點是點關(guān)于拋物線對稱軸直線的對稱點，軸，，，，，，當時，的最大值為．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)上的坐標特征，三角形的面積和全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵正確表達兩個三角形面積的比．22．（2023秋?濱海新區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．（Ⅰ）求該拋物線的解析式及點的坐標；（Ⅱ）直線與該拋物線交于點、兩點，求線段的長度；（Ⅲ）直線與該拋物線的交點為，（點在點的左側(cè)），點關(guān)于軸的對稱點為點，點的坐標為．若四邊形的面積為，求點到的距離的值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線與軸交于，兩點，可得拋物線的解析式；（Ⅱ）聯(lián)立拋物線和一次函數(shù)解析式，解得、的坐標，根據(jù)兩點距離公式求解即可；（Ⅲ）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，進而判定四邊形是平行四邊形，再根據(jù)四邊形的面積為，求得，再根據(jù)點的坐標為，，得到，中，運用勾股定理可得，最后根據(jù)，即可得到．【解答】解：（Ⅰ）拋物線與軸交于，兩點，，解得，該拋物線的解析式．令，則，；（Ⅱ）解：解得，，點的坐標為或，，點的坐標為或，，；（Ⅲ）拋物線的對稱軸為直線，直線與該拋物線的交點為，，點、關(guān)于直線對稱，設(shè)，則，點關(guān)于軸的對稱點為點，，點在直線上，軸，，，，四邊形是平行四邊形，設(shè)直線與軸交于點，四邊形的面積為，，即，，當時，解得，，點的坐標為，，，，即，中，，四邊形的面積為，，．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定以及平行四邊形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．23．（2023秋?福州期中）已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點，且點在此二次函數(shù)的圖象上．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，直線與二次函數(shù)的圖象交于、兩點（點在直線下方），若，求的值；（3）如圖2，直線與二次函數(shù)的圖象交于、兩點，過點的直線交二次函數(shù)的圖象于點，求證：直線過定點．【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點代入即可求得答案；（2）聯(lián)立方程組整理得，利用根與系數(shù)關(guān)系可得：，，由，可得，作軸交于點，可得：，，利用三角形面積建立方程求解即可；（3）聯(lián)立方程組可得，進而可得①，，同理可得：②，由①②得：③，設(shè)直線的解析式為，可得，即④，⑤，可推出，即直線的解析式為，即可證得結(jié)論．【解答】（1）解：二次函數(shù)圖象的頂點在原點，設(shè)，點在此二次函數(shù)的圖象上，，，二次函數(shù)的表達式為：；（2）解：與交于、兩點，，即：，，，，，（注，，作軸交于點，如圖1，，，，，，解得：或，或．（3）證明：如圖2，與二次函數(shù)的圖象交于、兩點，，，①，，過點的直線交二次函數(shù)的圖象于點，，，②，，①②得：③，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得：，即，④，⑤，由②得：，代入④⑤，得：，即⑥，，⑦，①⑥，得：，即⑧，⑦代入⑧，得：，，直線的解析式為，直線一定經(jīng)過定點．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，待定系數(shù)法，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與直線的交點，利用點的坐標表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋?思明區(qū)校級期中）已知拋物線的頂點為，與軸交于，兩點在左邊）．（1）若該拋物線的頂點坐標為，求其解析式；（2）如圖（1），已知拋物線的頂點在直線上滑動，且與直線交于另一點，若的面積為，求拋物線頂點的坐標；（3）如圖（2），在（1）的條件下，，為軸上的兩個關(guān)于原點對稱的動點，射線，分別與拋物線交于，兩點，求與滿足的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)點、的坐標分別為，、，，則，將拋物線與直線解析式聯(lián)立并整理得：，可得，設(shè)直線與軸的交點為，則，利用三角形面積可得，，，進而可得，通過聯(lián)立方程組求解即可得出答案；（3）如圖2，設(shè)，則，，運用待定系數(shù)法求得：直線的解析式為，聯(lián)立方程組可求得，，同理可得：，，運用兩點間距離公式可得，即可求得答案．【解答】解：（1）拋物線頂點坐標為，二次項系數(shù)，，該拋物線的解析式為；（2）設(shè)點、的坐標分別為，、，，則，將拋物線與直線解析式聯(lián)立得：，整理得：，，，，，，設(shè)直線與軸的交點為，則，，，，，，，將，代入，得：，聯(lián)立方程組，得，解得：，（舍去），，，；（3）如圖2，設(shè)，，為軸上的兩個關(guān)于原點對稱的動點，，，由（1）知：，令，則，解得：，，，設(shè)直線的解析式為，則：，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立方程組，得：，解得：（舍去），，，，同理可得：，，，．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，三角形面積，一元二次方程解法，根與系數(shù)關(guān)系，兩點間距離公式，解題關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系等相關(guān)知識．25．（2023秋?大武口區(qū)校級期中）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點，拋物線經(jīng)過點、，與軸另一交點為，頂點為．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上找一點，使的值最小，求的最小值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）直線與軸、軸分別交于、兩點，則點、的坐標分別為、，將點、的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；（2）如圖1，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時為最小，即可求解；（3）分點在軸上方、點在軸下方兩種情況，分別求解．【解答】解：（1）直線與軸、軸分別交于、兩點，則點、的坐標分別為、，將點、的坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，故函數(shù)的表達式為：，令，則或3，故點；（2）如圖1中，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時為最小，函數(shù)頂點坐標為，點，將、的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線的表達式為：，當時，，故點，，則的最小值為；（3）①當點在軸上方時，如圖2中，，則，過點作于點，設(shè)，則，由勾股定理得：，，解得：，則則；②當點在軸下方時，則；故點的坐標為，或．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、點的對稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．26．（2023秋?涼州區(qū)校級期中）如圖，已知拋物線的頂點為，與軸相交于點，對稱軸為直線，點是線段的中點．（1）求拋物線的表達式；（2）寫出點的坐標并求直線的表達式；（3）設(shè)動點，分別在拋物線和對稱軸上，當以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，求，兩點的坐標．【分析】（1）函數(shù)表達式為：，將點坐標代入上式，即可求解；（2）、，則點，設(shè)直線的表達式為：，將點坐標代入上式，即可求解；（3）分當是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)表達式為：，將點坐標代入上式并解得：，故拋物線的表達式為：；（2）、，則點，設(shè)直線的表達式為：，將點坐標代入上式得：，解得：，故直線的表達式為：；（3）設(shè)點、點，①當是平行四邊形的一條邊時，當點在的下方時，點向左平移2個單位、向下平移4個單位得到，同樣點向左平移2個單位、向下平移4個單位得到，即：，，解得：，，即點的坐標為、點的坐標為，故當點在點上方時，，同理可得點的坐標為、點的坐標為，②當是平行四邊形的對角線時，由中點定理得：，，解得：，，故點、的坐標分別為、；綜上，、的坐標分別為或，或或．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)等，其中（3），要主要分類求解，避免遺漏．27．（2023秋?鐵嶺縣期中）如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求這個拋物線的函數(shù)表達式．（2）點的坐標為，點為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值．（3）點為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線的表達式為：，即，即可求解；（2），即可求解；（3）分點在軸上方、點在軸下方兩種情況，分別求解．【解答】解：（1）拋物線的表達式為：，即，解得：，故拋物線的表達式為：，（2）連接，設(shè)點，則，，故有最大值，當時，的最大值為；（3）存在，理由：為等腰直角三角形，且為直角時，點的位置如圖所示：①當點在軸上方時，點的位置為、，的情況△設(shè)點的坐標為，則，過點作軸的垂線交軸于點，過點作軸的平行線交于點，，，，，，△△，，即：，解得：（舍去負值），則點，；的情況△同理可得：點，；②當點在軸下方時，點的位置為、，同理可得：點、的坐標分別為：，、，．綜上，點的坐標為：，或，或，或，．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．28．（2023秋?恩施市校級期中）如圖1，拋物線交軸于點、，（點在點的左側(cè)），交軸于點，其對稱軸為直線，拋物線經(jīng)過點，與軸的另一個交點為，交軸于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）為直線上一動點，連接、，當時，求點的坐標；（3）為拋物線上一動點，過點作直線軸（如圖2所示），交拋物線于點，求點自點運動至點的過程中，線段長度的最大值．【分析】（1）先根據(jù)拋物線的對稱軸可計算的值，令可得點的坐標，根據(jù)交點式設(shè)拋物線的函數(shù)表達式；，把代入可得的值，從而得結(jié)論；（2）設(shè)點坐標為，由勾股定理可表示出和，由條件可得到關(guān)于的方程可求得，可求得點坐標；（3）可分別設(shè)出、的坐標，可表示出，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分情況可求得的最大值．【解答】解：（1）拋物線對稱軸為直線，，，拋物線的函數(shù)表達式為：，當時，，解得：，，，，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式；，把代入得：，，拋物線的函數(shù)表達式；；（2）設(shè)點坐標為，由（1）可得點坐標為，，，，，解得，點坐標為；（3）由題意可設(shè)，軸，，令，可解得或，①當時，，顯然，當時，有最大值；②當時，，顯然當時，隨的增大而增大，當時，有最大值，；綜上可知：在點自點運動至點的過程中，線段長度的最大值為12.5．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理等知識點．在（1）中求得點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）中用點的坐標分別表示出、是解題的關(guān)鍵，在（3）中用、的坐標分別表示出的長是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．本題考查知識點較為基礎(chǔ)，難度適中．29．（2023秋?梁山縣期中）已知拋物線經(jīng)過、、三點，直線是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點是直線上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標；（3）在直線上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】方法一：（1）直接將、、三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．（2）由圖知：、點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接，那么與直線的交點即為符合條件的點．（3）由于的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①、②、③；可先設(shè)出點的坐標，然后用點縱坐標表示的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．方法二：（1）略．（2）找出點的對稱點點，根據(jù)，，三點共線求出與對稱軸的交點．（3）用參數(shù)表示的點坐標，分類討論三種情況，利用兩點間距離公式就可求解．（4）先求出的直線方程，利用斜率垂直公式求出’斜率及其直線方程，并求出點坐標，進而求出’坐標，求出’直線方程后再與的直線方程聯(lián)立，求出點坐標．【解答】方法一：解：（1）將、、代入拋物線中，得：，解得：拋物線的解析式：．（2）連接，直線與直線的交點為；點、關(guān)于直線對稱，，設(shè)直線的解析式為，將，代入上式，得：，解得：直線的函數(shù)關(guān)系式；當時，，即的坐標．（3）拋物線的對稱軸為：，設(shè)，已知、，則：，，；①若，則，得：，得：；②若，則，得：，得：；③若，則，得：，得：，；當時，、、三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的點，且坐標為，，，，．方法二：（1）、、，，即．（2）連接，為對稱軸，，，，三點共線時，周長最小，把代入，得．（3）設(shè)，，，為等腰三角形，，，，，，，，，，，經(jīng)檢驗，時，、、三點共線，故舍去，綜上可知，符合條件的點有4個，，，，．追加第（4）問：若拋物線頂點為，點為直線上一動點，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標．（4）作點關(guān)于直線的對稱點交于，作，垂足為，，，，，，，，，，，為的中點，，，，，，，，，．【點評】該二次函數(shù)綜合題涉及了拋物線的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識，在判定等腰三角形時，一定要根據(jù)不同的腰和底分類進行討論，以免漏解．30．（2023秋?新會區(qū)校級期中）如圖，的兩直角邊、分別在軸的負半軸和軸的正半軸上，為坐標原點，、兩點的坐標分別為、，拋物線經(jīng)過點，且頂點在直線上．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若是由沿軸向右平移得到的，當四邊形是菱形時，試判斷點和點是否在該拋物線上，并說明理由．（3）在（2）的條件下，若點是所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點作平行于軸交于點．設(shè)點的橫坐標為，的長度為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍，并求取大值時，點的坐標．【分析】（1）已知拋物線上、點的坐標以及拋物線的對稱軸方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出的長，將、的坐標向右平移個單位，即可得出、的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可；（3）根據(jù)、的坐標，易求得直線的解析式；那么線段的長實際是直線與拋物線的函數(shù)值的差，可將代入兩個函數(shù)的解析式中，得出的兩函數(shù)值的差即為的表達式，由此可求出、的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出取最大值時，點的坐標．【解答】解：（1）的頂點在直線上，可設(shè)所求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，點在此拋物線上，，，所求函數(shù)關(guān)系式為：；（2）在中，，，．四邊形是菱形，，、兩點的坐標分別為、，、兩點的坐標分別是、；當時，，當時，，點和點在所求拋物線上；（3）設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，則，解得：；．軸，點的橫坐標為，點的橫坐標也為，且；則，，，，當時，，此時．此時點的坐標為，．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的性質(zhì)，圖象的平移變換，二次函數(shù)最值的求法等知識，難度適中．應(yīng)用方程思想與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．31．（2023秋?惠城區(qū)校級期中）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當四邊形面積最大時，請求出點的坐標和四邊形面積的最大值；（3）在（2）的結(jié)論下，過點作軸的平行線交直線于點，連接，點是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)直線與軸交于點，與軸交于點，求出點的坐標是，點的坐標是；然后根據(jù)拋物線經(jīng)過、兩點，求出、的值是多少，即可求出拋物線的解析式；（2）首先過點作軸的平行線交直線于點，交軸于點，然后設(shè)點的坐標是，則點的坐標是，求出的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出，進而判斷出當△面積最大時，點的坐標和△面積的最大值以及四邊形面積最大各是多少即可；（3）在拋物線上存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標是多少即可．【解答】解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，點的坐標是，點的坐標是，拋物線經(jīng)過、兩點，解得．（2）如圖1，過點作軸的平行線交直線于點，交軸于點，點是直線上方拋物線上的一動點，設(shè)點的坐標是，則點的坐標是，，，當時，即點的坐標是時，△的面積最大，最大面積是3；此時，四邊形的面積最大，最大面積為：；（3）在拋物線上存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．①如圖2，由（2），可得點的橫坐標是2，點在直線上，點的坐標是，又點的坐標是，，所在的直線的斜率是：；的對稱軸是直線，設(shè)點的坐標是，點的坐標是，則解得或，，點的坐標是，則的解析式為，，的解析式為當時，，則；②如圖3，由（2），可得點的橫坐標是2，點在直線上，點的坐標是，又點的坐標是，，所在的直線的斜率是：；的對稱軸是直線，設(shè)點的坐標是，點的坐標是，則解得或，，點的坐標是．的解析式為：，，的解析式為：，當時，，則；③如圖4，由（2），可得點的橫坐標是2，點在直線上，點的坐標是，又點的坐標是，，的對稱軸是直線，設(shè)點的坐標是，點的坐標是，則解得，點的坐標是，的解析式為：，，的解析式為：，當時，，則；綜上，可得在拋物線上存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標是，，．【點評】此題考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力，待定系數(shù)法函數(shù)解析式的求法，以及二次函數(shù)的最值的求法，三角形的面積的求法，要熟練掌握，靈活運用．32．（2023秋?豐澤區(qū)校級期中）閱讀下面材料，回答問題材料一：若三個非零實數(shù)，，滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實數(shù)，，構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；材料二：一元二次方程兩根，有如下關(guān)系：，．（1）實數(shù)1，2，3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”嗎？請說明理由．（2）若直線與軸交于點，，與拋物線交于，，，兩點．①求證：，，三點的橫坐標，，構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②若，，求點，與原點的距離的取值范圍．【分析】（1）由和諧三組數(shù)的定義進行驗證即可；（2）①由直線解析式可求得，聯(lián)立直線和拋物線解析式消去，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得，，再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；②由條件可得到，可得，由可求得的取值范圍，令，利用兩點間距離公式可得到關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的取值范圍，從而可求得的取值范圍．【解答】解：（1）不能，理由如下：、2、3的倒數(shù)分別為1、、，，，．實數(shù)1，2，3不可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；（2）①、、均不為0，，，都不為0，直線與軸交于點，，，解得，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去可得，即，直線與拋物線交與