2024-2025學年山西省呂梁市高三（上）期中數學試卷（含答案）

2024-2025學年山西省呂梁市高三（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={-2,—1,0,1,2},B-{x|x2<2},則4CB=()

A.[0,1}B.{-1,1}C.{-1,0,1)D.{0}

2.已知復數z=(l+i)2,貝i||z|=()

3.下列函數中，既是奇函數又是減函數的是（）

A./(%)=cosxC./(%)=D./(x)=2%-2

4.已知數列｛an｝的各項均不為0,設甲：ai=an_2an+2（nEN*,n>3）；乙：數列｛即｝是等比數列，則甲是

乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

5.已知△ABC滿足卷1而，AM=^AB+^C,且向量瓦?在向量就上的投影向量為萍，貝UtanNCAM=

西

2

6.如圖，設矩形ABCDQIB<4D）的周長為8si,把△4CD沿4C向△4BC折A

疊，力。折過去后交BC于點P,記aABP的周長為I,面積為S,貝號的最大值

A.3-2A/2

B.3+2A/2

C.6+4^2

D.6—4^/2

7.已知函數/（%）是定義在R上的奇函數，且/（尤+1）為偶函數，當0W比W1時，/（x）=32x+2x-l,則下

列結論中正確的是（）

B.樗)<3

A./(14)>3C./(萬3)<3D./(log218)<3

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TTX

8.當％e[0,2初時，曲線y=2s譏?%-§)3>0)與y=sinS-,)的交點個數為4個，則實數3的取值范圍

是()

A.(|為B.[|,5C.(|,演D.[總芻

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列命題正確的是()

1

A.sin6cos6(tan0+=1

B.sm40°(tanl0°—=1

C.在等差數列｛冊｝中，an=m,am=n,(m^n),則。加十九=0

D.在等差數列｛七｝中，S九為其前幾項和，若S4=6,S8=10,則Si6=18

10.若實數%,y滿足/+y2_/y=2,則()

A.%2+y2<3B.xy>|C.%+y之一的D.y-x<平

11.已知函數/(X)='-mX,則下列結論正確的是()

A.若0<a<b,則/(a)>f(b)

B.f(x)有兩個零點

C./(log20232024)+/(log20242023)=0

D.若/'(a)=「-以：；，a￡(0,1),be(0,+oo),則ae"=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量H=(2,3),b=(m,|),且(2+21)〃Z,則zn=.

13.對于數列｛aj定義數列｛斯+1+斯｝為數列｛陶的“和數列"，若的=1,數列｛a?｝的“和數列”的通

項公式為3-2",則數列｛冊｝的前21項和S2i=.(結果保留指數形式)

14.在銳角△A8C中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若爐―=公，則稱+一的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數/(Y)=2^sina>xcosa>x—2cos2a>x+1(<D>0,xGR),且/'(%)的最小正周期為兀.

(1)將函數f(x)的圖象向右平移9(W>0)個單位長度，得到函數g(x)的圖象，若。(久)是偶函數，求3的最小

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值；

(2)若f(o)=|,ee[o,f],求cos2。的值.

16.(本小題15分)

2

已知函數/(%)=log2(x-2x+2).

(1)證明：曲線y=/(%)是軸對稱圖形；

(2)若函數gQ)=2/W+|x3-2x+a在[—3,3]上有三個零點，求實數a的取值范圍.

17.(本小題15分)

民族要復興，鄉(xiāng)村需振興.為響應國家號召，我市城市規(guī)劃管理局擬將某鄉(xiāng)村一三角形區(qū)域規(guī)劃成休閑度假

區(qū)，通過文旅賦能鄉(xiāng)村經濟發(fā)展.度假區(qū)按如圖所示規(guī)劃為三個功能區(qū)：區(qū)域規(guī)劃為露營區(qū)，

△P4B區(qū)域規(guī)劃為休閑垂釣區(qū)，△27!(；區(qū)域規(guī)劃為自由活動區(qū).為安全起見，預在魚塘四周圍筑護欄.已知

乙ABC=90°,AB=3?m,BC=3km,P為△ABC內一點，乙BPC=120°.

(1)當時，求護欄的長度(△P4B的周長)；

(2)若乙4PB=120°,求tan/PBA；

(3)為了容納更多的游客，露營區(qū)的面積要盡可能大，求露營區(qū)面積的最大值.

18.(本小題17分)

已知函數/(X)=x(lnx+rri)(m&R).

(1)令g(x)=4^+小久之+久，求g(x)的單調區(qū)間；

(2)若存在%1，*2(久1<刀2)使得/'(久1)=/(久2)，求證：%1%2<e-2~2m.

19.(本小題17分)

對于無窮數列｛an｝,“若存在口力一出=eN*即>k),必有。?,+1-縱+1=t”，則稱數列｛an｝具有

M(t)性質.

(1)若數列5｝滿足即=(In-SCn^kneN*)判斷數列5｝是否具有“⑴性質？是否具有M(4)性質？

(2)把(1)中滿足M(t)性質的t從小到大一一列出，構成新的數列｛g｝，若S“=￡之14,求證：Sn<2；

2^-1

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（3）對于無窮數列{即},設T={x|x=dj-aj</},若數列具有M（。）性質，求集合T中元素個數的最大

值.（寫出表達式即可，結論不需要證明）

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參考答案

l.c

2.C

3.C

4.B

5.C

6.A

7.0

8.B

9.4C

IQ.ACD

ll.BCD

12.1

13.411—3

14.(羊竽)

15.解：(1)/(%)=2y^sina)xcosa)x—2cos2(ji)x+1

=y/^sin2a)x—cos2(ji)x=2sin(2a)x—^),

由于/(%)的最小正周期為江，所以3=1,

所以/(%)=2s譏(2%—勺,

將函數/(x)的圖象向右平移＞0)個單位長度，得到函數g(x)=/0-0)=2s譏［2(%-0)-看

71

]=2sin(2x—2(p--^),

由于g(x)是偶函數，所以一20-著=/OT+-W=-Gz,

由于0>0,所以k=一1時，0取得最小值為號.

(2)/(0)=2s譏(28—1)=,,sin(20=1)=|,

由于e6[O,f],20G[0,爭,29—臺[—翳],

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所以cos(2。一勺=Jl-sin2(20-^)=右

所以cos26=cos［(20-^)+?=x^-|x1=4^~3.

UDD/。乙J_U

16.(1)證明:由函數/(%)=/。比(/-2%+2),定義域為R,

22

則/(2-%)=Zo,g2［(2—%)—2(2—%)+2］=log2(x—2x+2),

因此可得/(%)=/(2-x),

故函數y=/(乃的圖象關于久=1,即曲線y=/(%)是軸對稱圖形.

2o7

(2)解：由g(%)=2“%)+-%3—2%+a=%2—2%+2+-%3—2%+a=-%3+%2—4%+2+a,

若函數g(x)=2八，)+|爐—2x+a在［—3,3］上有三個零點，

則方程以久)=|x3+X2-4X+2+a=0在［—3,3］上有三個實根，

即。=-jx3-%2+4x—2在［—3,3］上有三個實根，

令拉⑺=-|x3-x2+4x-2,則y=a與h(x)的圖象在［—3,3］上有三個交點，

又h'(X)=—2x2—2x+4=-2(%+2)(x—1),

當—3<%<—2或1<%<3時，h'(x)<0,

則h(%)在［-3,-2)和(1,3］上單調遞減,

當一2V%VI時，hf(x)>0,則九(%)在(-2,1)上單調遞增,

又h(-2)=x(—2)3—(—2)2+4x(—2)-2=一學'九(1)=xI3—I2+4X1—2=

h(-3)=-|x(-3)3—(—3)2+4x(-3)-2=-5,h(3)=一|x33-32+4x3-2=-17,

因此可得h(久)的圖象如圖所示，

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17.解：（1）在aPBC中，由正弦定理得

sinZ-PCBsin乙BPC

gn二

sin乙-sinl20of

解得sin/PCB=1,

而NPCB為銳角，貝U/PC8=30°,乙PBC=30°,/.PBA=60。，

在△PEB中,由余弦定理得以2=(73)2+(373)2-2X73X3鄧Xcos60°=21,

即R4=721,

所以△P4B的周長，

即護欄的長度為(即+4^3)km；

(2)令銳角NPB4=6,則NPBC=90。一仇乙PCB=60°-(90°-0)=6-30°,

在△PBC中，由正弦定理得:

sin(0-3O°)—s譏120。

貝!JPBs譏120。=3sin(0-3O°),

在△P4B中，由正弦定理得

sinZ.PABsin乙4PB

貝lJPBsinl20。=3避sin（60。-0）,

于是3s譏（8—30。）=3避sin（60?！?）,

整理得tcm。=竽，

所以tan/PBA=早；

（3）設4PBC=,（0°<（p<60°）,貝！UPCB=60°-cp,

PRQ

在△PBC中，由正弦定理得訴『二痂而，

則PB=24sin（6OO-0）,

于是△P8C的面積,BCsin（p=3避sin（60°—0）siri0=3避吟~sin（pcos（p-5?（p）

=3Fd^~stn2（p+7cos2（p"）=^?sin（2（p+30°）—^^,

44424

而30°<2R+30°<150°,

則當2p+30°=90°,即s=30°時，（S4PBC）=攣，

4

所以為了容納更多的游客，露營區(qū)的面積要盡可能大，露營區(qū)面積的最大值為攣人小2.

4

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18.解：(1)易知g(%)="%++mN+%,函數定義域為(0,+8),

h〃目，/、2mx2+x+1

可得9(X)=---------------，

當TH=0時，g'(x)=號>0恒成立，

所以g(x)在(0,+8)單調遞增；

當加>0時，g'Q)>W^>0恒成立，

所以g(x)在(0,+8)上單調遞增；

當m<0時，4=1—8m>0,

令g'(x)=0,

解得久1=T+--8T=-1-《一8優(yōu)>0,

4m4m

因為-1+'1—8m>0,

所以％1<0,

當0<%V%2時，“(%)>0,g(%)單調遞增；

當%>%2時，“(%)V0，9(%)單調遞減，

綜上，當m>0時，g(%)在(0,+8)上單調遞增；

當巾<0時，9(比)在(0,士三加)上單調遞增，在(一1一『而+8)上單調遞減

(2)證明：易知/(久)定義域為(0,+8),

可得「(%)=+m+1,

當0<%ve-m-i時,f(x)<0,f(%)單調遞減;

當久>e-mT時,f'(x)>0,/(%)單調遞增，

m1

所以%1<e--<x2,

因為％1("%1+m)=%2(2+血)，

令第1=tx2,0<t<1,

此叮無2一仇5+m~tf

grpi仇為2+m_

"Int+lnx2+m-'

pti-tjthrt

lnx=--m,

2i-t

所以=Int+lnx2=7^7—m,

1—t

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止匕時仇打十仇=2=-2m(0<t<1),

"：1—1t""

冷一2

即久i%2—e1n

此時只需證明2即可,

1—t

即明(t+1)仇t+2(1—t)<0,

令h(t)=(t+l)Znt+2(1—t),函數定義域為(0,1),

令F(%)=lnx-x+1,函數定義域為(0,+8),

可得F'(久)=亍，

當0<久<1時，尸(久)>0,F(x)單調遞增；

當x>1時，Fz(x)<0,F(%)單調遞減,

所以F(%)<F(1)=0,

所以仇％<%-1,

即吟4一1,

111

所以"(t)=lnt+A-1>1-A+A_1=O,h(。在(0,1)上單調遞增，

則h(t)<h(l)=0.

故久i%2<e~2~2m,

19.解：(1)因為即=｛聚5/色&ENy

當九23時，冊均為奇數，

故若存在。加一以=1(磯々EN*,m>fc),

由題意可得口m+s~ak+s=l，sN3,sGN，

由奇數減奇數為偶數，偶數減偶數為偶數，可得a^+s-隊+s為偶數,

與a?n+s—+s矛盾，

所以數列｛冊｝不具有M(l)性質；

因為。5—。3=4,。6—。4=4,且。5+左一。3+k=4,k6N,

故數列｛冊｝具有M(4)性質；

(2)證明:因為口=圖”>為”N*)，

Q1=2,。2=4為偶數，

n>3時，an均為奇數，故由題設條件知t不可能為奇數，

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又a3+k+n-a.3+k=2n(fc>0,n>1),bn=2n,

令c="—=二_=_____I_____<」_

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