平面向量數(shù)量積有答案

平面向量數(shù)量積、幾何綜合專題(有答案)平面向量與幾何綜合的題型方法主要有：.根據(jù)平面向量線性運算，轉化為已知向量的數(shù)量積.根據(jù)平面向量基本定理，轉化為已知基底，利用數(shù)量積運算律求解.給定坐標時，常建立平面直角坐標系，根據(jù)數(shù)量積坐標運算求解二次函數(shù)最值兀1.已知△川。為直角三角形，C=-,BC=6,AC=8，點P為^ABC所在平面內一點，則？B\PA+~PB)的最小值為(25A——225A——217c.一亍D．175V【答案】A【解析】【分析】-一兀一一一..一 、—.—>——> ( 3至25根據(jù)C=-,以C點建系，設P(x,y)，則尸C(PA+PB)=2(—22)2+2y—-——即當2 1 2y 23x=2,y=-時,取得最小值.【詳解】如圖建系，C(0,0),A(8,0),B(0,6),設P(x,y),尸A=(8—x,—y),PB=(—九6—y),貝IJ~PC?(西+麗)二(一x,—y).(8—2x,6—2y)=2x2—8x+2y2—6y25——>22525——>2252=2(x―2)2+2y―-v2y故選：A.2.已知^筋。中，AB=2,BC=3,ZABC=60。,BD=2DC,AE=EC，則而傣二()TOC\o"1-5"\h\z凡 DC11A.1 B.-2 C.- D.--乙 乙【答案】C【解析】【分析】以BA,BC為基底，將AD,BE用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】 ——*2——：._*——*—2——：---BD=2DC,BD=-BC,AD=BD-BA=-BC-BA,3AE=EC,^BE=-BC+-BA，> 2>一1,1一ADBE=(—BC—BA)-(—BC+—BA)TOC\o"1-5"\h\z2 2 21> 1>一1一=-BC2--BCBA--BA2\o"CurrentDocument"3 6 2\o"CurrentDocument"11=1-—x2x3x—=一6 22故選：C.3.在^ABC中，已知AB=v3,AC=2<3，點D為BC的三等分點（靠近C）,則麗?沅的取值范圍為（）A.（3,5） B,（5,5<3） C,（5,9） D,（5,7）【答案】C【解析】

【分析】利用向量加法法則把所求數(shù)量積轉化為向量AB,AC的數(shù)量積，再利用余弦函數(shù)求最值，得解.【詳解】如圖，ADBC=(AC+O))-(AC-AB)=^AC+|cB^-(aC-Ab)=|ac+-ab-1ac=|ac+-ab-1acI3 32?1?-AC+-AB=2AC2--AB2--AB-AC3 3 3=8-1-1x<3x2”cosZBAC^3=7-2cos乙BAC*/ZBACE(O,n),/.cosZBACE(-1,1),???7-2cos乙BAC逐(5,9),故選C.此題考查了數(shù)量積，向量加減法法則，三角函數(shù)最值等，難度不大.4.已知菱形ABCD的邊長為4,ZABC=60o,E是BC的中點正=-2而，則裙麗=( )

【解析】【分析】【解析】根據(jù)平面向量的基本定理，將麗?麗用基底ab,AD表達，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求解即可.【詳解】由已知得衣=1ad,be=|BC,AD=豌，所以理二四+1bc=ab+|ad,3 乙 乙 乙BF=AJ^-AB=-AD-AB3 ,\一J=-8，所以AEBF=AB+-AD\-

2 )-ab+1adK因為在菱形ABCD中,ZABC=60。所以ZBAD=120°.又因為菱形ABCD的邊長為4所以方?詬=1\一J=-8，所以AEBF=AB+-AD\-

2 )-ab+1adK1x1x(-8)+1x16=-126 6-\AB\2--ABAD+-IAD|2=-16-故選：D.在^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2,BC=2而，AC=3通，則~ADBE的值為()4D4D.3C.3【答案】A【解析】

【分析】先通過平面向量基本定理，將茄,BE，用基底G一）表示，再求解.【詳解】,=L(aB+Ac\bE=AE-AB=-AC-AB2 3 ，/.AD<BE=1(AB+AC/.AD<BE=1(AB+AC)-

2(1—.—.1)C-AB)=-——八-AC2-AB2=-13 )，故選：A..在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=2,AD=5,BC=3,ZA=60。，點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，點M在邊CD所在直線上，則麗?麗的最大值為（ ）71 51A.-- B.-24 C.-- D.-3044【答案】A【解析】【分析】依題意，如圖以A為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據(jù)AE=BE求出E的坐標，求出邊CD所在直線的方程，設M（x,-J3x+5J3），利用坐標表示血,ME，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以A為坐標原點建立平面直角坐標系，由AB=2，ad=5，BC=3，ZA=60。，A（0,0），B1,73），C（4,73），D（5,0）因為點E在線段CB的延長線上，設E（x0,<3），x0<1

?：AE=BEX2+(/3)=(1-XA解得X=-10 0 0...E(八3)cCQv3),D(5,0)，CD所在直線的方程為y=-舊x+5<3因為點M在邊CD所在直線上，故設M(x,-x"x+5V3):.AM=S,-q3X+ME=.\AMME=x(-1-x)+(：3x-4<3)-3Xx+5j3)=-4x2+26x-60=-4x2+26x-60(13A2T(13A2TX-aJ71當x=13時Gm-ME)max71T故選：A7.在平面直角坐標系中，A(1,—2),B(a,-1),C(—b,0),a,bgR.當A,B,C三點共線時，AB-BC的最小值是()A.0 B.1 C.v'2 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示可求得b=1-2a，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可知所求數(shù)量積為(a-1)2+1，由二次函數(shù)性質可得結果.【詳解】由題意得：A5=(〃—1,1)，BC=(-b-a,1)，??.AB,C三點共線，.?.1x(a-1)=1x(-b-a)，即b=1-2a，.?屈=(a-1,1)，^ABBC=Q-11+1>1，即AB-BC的最小值為1.故選：B.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，涉及到向量共線的坐標表示和數(shù)量積的坐標運算形式，屬于基礎題.8.在銳角△ABC中，B=60。,|礪一衣|=2，則AB.AC的取值范圍為（）A.（0,12） B.-4,12J C.（0,4] D.（0,2]【答案】A【解析】【分析】以B為原點，BA所在直線為x軸建立坐標系，得到C的坐標，找出三角形為銳角三角形的A的位置，得到所求范圍.【詳解】解：以B為原點，BA所在直線為x軸建立坐標系，B二60。忸-前二匹卜2,??.(1,3),設A(x,0)???aABC是銳角三角形，/.A+C=120。，.?.30。<AV90。,即A在如圖的線段DE上（不與D,E重合），貝IJAB.AC二X2-???Ab?Ac的范圍為(012).故選：A?

9.如圖，在AAOB中，Naob=y,OB=2，點C為AB的中點，。尸=：。C,則TOC\o"1-5"\h\z而?礪的值為（ ）22A.- B.-- C.-1 D.1\o"CurrentDocument"3 3【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運算化簡辦?瓦，結合數(shù)量積的運算，求得而?瓦的值.【詳解】 / 、麗.礪=!花.礪=!做+礪）礪△焉.礪+礪z!'22=23 6 6 6 3故選：A10.在等腰直角三角形ABC中，/C=900,|G41=2,點p為ABC所在平面上一動點，且滿足|而|=1，求麗-(G4+CB)的取值范圍A.[-272,0] B.[0,2點] C.[-2,2] D.[-2四,2"]【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標系，用坐標表示向量，用參數(shù)方程表示點P的坐標，從而求出麗?島+CB)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，如圖所示則A(0.2),B(2,0),C(0,0),由|BP|=1知，點P在以B為圓心，半徑為1的圓上，設P(2+cose,sine),9E[0,2n)；則BP=(cose,sine),又CA+CB=(2.2)；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"_—.—. ；_ ?！?BP?(CA+CB)=2cose+2sine=2v'2sin(e+4),兀 兀 兀 —,—. 一當e+五=方，即e=五時，BP?(CA+CB)取得最大值2、.-'2,I 乙 I當e+?二3TY^e=5^時，BP?(CA+C)取得最小值22,???BP?(CA+CB)的取值范圍是[-2。,242].

故選D.．【答案】(1、,2.如圖所示，在AABC中，AB=AC=3,ZBAC=90。，點D是BC的中點，且M點在AACD的內部（不含邊界），若說=3-AB+mAC,則加.W的取值范圍．【答案】(1、,2X=1X=1,y=3m,結合M點在AACD的內部（不含邊界）,12<m<小，再利用數(shù)量【解析】【分析】建立如圖所示的坐標系，可知d（3；］,設MG，）），由而=：赤+mAC，可得到V227 33]3]積運算性質、二次函數(shù)的單調性即可得到答案.【詳解】（3解：建立如圖所示的坐標系，D萬，。.V227設M(x,y),AMM=3AB+mAC,

...(x,y)=1(3,0)+m(0,3),3M點在AACD的內部（不含邊界）,二.一〈m〈一.DMBM=--,3mDMBM=--,3m--|-(-2,3m)=2 2)9 1? 1 7—m+1=9(m-—)2+一2 4 16222(1-故答案為-,2.V2 7.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=,/3，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若塞?AF=3，則AE-BF的值是 .9【答案】-9【答案】-2【解析】【分析】以AB,AD為x，y軸建立直角坐標系，把向量運算用坐標表示.【詳解】

，設建立如圖所求的直角坐標系，則A(0,0),B(3,0),C(3,<3),D(0,<3),E(3,，設F(x,73),則荏=(3,0),AF=(x,V3),??.AB-AF=Xx=3,x=1,?-BF=(—2,。3),又A=(3,.\AEBF=3x(-2)+豈x；3=—92 29那么向量AC與EB所成角的余弦值等于【答案】y7故答案為：-913.如圖所示，平行四邊形ABCD中，AB=2AD=2,zBAD=60。,那么向量AC與EB所成角的余弦值等于【答案】y7【解析】【分析】首先利用向量的加減法將AC,EB分別用AB和AD表示，再利用利用向量夾角公式計

算即可.【詳解】由題知：AC=AB+AD,|AC|2=AB2+AD2+2AB.AD=4+1+2x2x1x1=7.TOC\o"1-5"\h\zEb=Ab—ae=Ab-（AD+de）=AB-（Ad+-AB）=-ab—AD2 2Eb2=1ab2+AD2-Abad=1+1-2xix1=14 2ac.Eb=（ab+AD））.（-Ab-AD））=-ab2--Abad-Ad2=2---1=1\o"CurrentDocument"2 2 2 2 2,^^一1一cos<ac.ae>=Ac.AE_cos<ac.ae>=ac||ae|"7一五故答案為：言14.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=BC=2,AD=4,E,F分別是BC,CD的中點，若AE.D=-1，則A?CD的值為.【答案】2【解析】【分析】兀建系，設設ZA=0，由*.DE=-1可得°=7，進一步得到C、F的坐標，再利用數(shù)量積的坐標運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標原點，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設NA=0,則D(4,0),5(2cos6,2sin0),E(l+2cos6,2sin0),C(2+2cos6,2sin0))所以通=(l+2cos0,2sin0),桁=(2cos0-3,2sin0),由通.麗=」,得(l+2cose)(2cos?-3)+4sin20=—1,即cos?=-,又。兀］,所以e=g,故C(3,V3),F(1A,CD=(1,-a/3),AF=J當,15.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB=3,AD=1,CB=CD,71 ./ADB=/BCD 則尼?麗的值為.【答案】-4【解析】

【分析】以點D為坐標原點，DB、AD所在直線分別為1軸、）軸建立平面直角坐標系，寫出A、B、C、D四點的坐標，并求出向量AC、BD的坐標，利用坐標法來計算出AC的值的值.【詳解】如下圖所示，以點D為坐標原點，DB、AD所在直線分別為1軸、）軸建立平面直角坐標系，, c , 兀 , c , 兀 _?.?AB=3，AD=1，NADB=-，：.BD=、AB22-AD2=2<2，乙兀 ，一又CB=CD，且NBCD=-，，岫CD是等腰直角三角形，則點A（則點A（0,—1）、B（2V12,0）、C（2々2）、D（0,0），AC=("2+1)，BD=(2y2,0)因此，AC?BD=<2x貝［JPA-(PB+PC)的(2v2)因此，AC?BD=<2x貝［JPA-(PB+PC)的16.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點，最小值是 ．3【答案】-2【解析】【分析】建立直角坐標系求出三角形ABC各項點的坐標設出P的坐標運用向量坐標表示的加法和數(shù)量積運算的公式，化簡PA?（pB+PC）配方最后求出最小值.【詳解】建立如下圖所示的直角坐標系，A(0,V3),5(-1,0),C(1,O),尸(元,))，則有PA=(-%,^3-y),PB=(-l-x,-y),PC=(l-x-y),一一一 rrJ3>3iPA,(PB+PC)-2x2—2>J^y+2y2=2X2+y————I2J4J3 c/3、 3當X=0,y=，取得最小值2X3故答案為：-517.如圖，在平行四邊形ABC。中，"，皮兒垂足為p,AP=3,點。是ABCD內（包括邊界）的動點，則AP?AQ的取值范圍是【答案】[9,18].【解析】【分析】【詳解】以產為原點，班？所在直線為工軸，巴4所在直線為丁軸，建立平面直角坐標系，產付，0)山0同0國口與=@—“通=/卜斗，與-汨=—?？讪D力量三［一切］，二萬.通電閭18.在AABC中，已知AB=3,AC=2,ZBAC=1200,D為邊BC的中點.若BE1AD，垂足為E,則詼-AC的值為.27【答案】—【解析】【分析】過點C作CF1AD于F,BE=FC,BE-AC=|FC「，計算|而卜今，根據(jù)等面積法得到|FC|=%，得到答案.7【詳解】如圖所示：過點C作CF1AD于F，易知ABED=ACFD，故BE=FC,

，故I研=4（AB，故I研=4（AB+AC）=4,解得|FC卜根據(jù)等面積法：2即H小2.2|阿|Ac|解得|FC卜故答案為：27本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學生的計算能力和轉化能力.故BE./=|FC|2=27.故答案為：27本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學生的計算能力和轉化能力.19.在AABC中，已知M是BC的中點，且AM=1，點P滿足PA=2PM，則PA-(PB+PC)的取值范圍是.「4」【答案】［-9，4【解析】【分析】由中點公式的向量形式可得PB+PC=2PM，即有PA?(PB+PC)=2PA?PM，設pm=x,Zapm=0，有PA?(PB+P)=2Pa?PM=4%2coso，再分別討論三點A,P,M共線和不共線時的情況，找到xf的關系，即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.【詳解】M是BC的中點，.?.而+PC=2而，即。A\PB+PC}=2PAPM設PM=x,<PA,PM>=。，于是"?(時+無)=2"?而=4jpcos0⑴當A,P,M共線時，因為AM=1,TOC\o"1-5"\h\z1 :E 「一.、 4①若點P在AM之間，則PM=-,<PA,尸M>=n，此時，PA?(PB+PC)=—；3 9②若點P在am的延長線上，則PM=1,<PA,PM>=0,此時，PA(PB+PC)=4.⑵當A,P,M不共線時，根據(jù)余弦定理可得，x2+4x2—2xx2xxcos0=1解得cos0=5x21，由—l〈cose<1,解得1<x2<14x2 9—*—?-^ 八一 (4.\PA\PB+PC)=4x2cos0=5x2-1e——,4.97一r41綜上，PA\PB+PC^--A_9_「4」故答案為：-/?20.如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4,AD=BC=<3,E是DC的中點,F是線段BC上的動點，則爐的最的最小值是一4【答案】-3【解析】【分析】以AB中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，用解析法將目標式轉化為函數(shù)，求得函數(shù)的值域，即可求得結果.【詳解】以AB中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，如下圖所示：由題可知，E（0,<2）,C（,\；2）,B（2,0）設赤二九CB，九￡[0』]，故可得FQ+1,<2-Q+1,-①),BF=Q-1,v12-①)故可得EF.BF=3九2—2X-1,Xe[0,1]，因y二3九2-2九一1的對稱軸九二1，.(1-1Y4故可得EF?BF的最小值為3X--2X--1=--.V97 3 34故答案為：--.21.在平面上，正方形ABCD的邊長為、初,BD中點為E,點P滿足IPE1=1,貝IJAP-AC最大值是.【答案】4【解析】【分析】作出草圖，根據(jù)題意，點p位于正方形ABCD的外接圓圓E上，當AP?AC最大時，AP與AC的夾角為0。，點P與點C重合，再根據(jù)數(shù)量積公式，即可求出結果.

【詳解】如圖根據(jù)題意，點E為BD中點，且IPE1=1;所以點P在正方形ABCD的外接圓圓E上；又AP?AC=|AP|?|AC|cosO，其中0為AP與AC的夾角；所以當0=0。時，有最大值，此時點P與點C重合；...AAP.AC)=ACmax故答案為：4．22.設正AABC的面積為2,邊AB,AC的中點分別為D,E,M為線段DE上的動點，則MB?MC+BC2的最小值為【答案】【解析】試題分析：設正A試題分析：設正AABC的邊長為2a,因為正AABC的面積為2,所以a2=233設MD=x,(0<x<a)，則ME=a-xMBMB+BC=MD)+DB)?(ME+EC)+bc2=MD-ME+MD-EC+DB-ME+DB?EC+BC2=-x(a-x)+xacos120°+(a-x)acosl20°+a2