平面向量導(dǎo)學(xué)案

向量的概念及表示【預(yù)習(xí)要點】向量概念，相等向量概念，向量幾何表示，零向量，單位向量，平行向量，【預(yù)習(xí)要求】.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示；.了解零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念，會辨認(rèn)圖形中的相等向量或出與某一已知向量相等的向量；.了解平行向量（共線向量）、相反向量的概念.【知識網(wǎng)絡(luò)】向量的概念向量的表示，向量的長度（模）零向量、單位向量、相等（反）向量平行（共線）向量向量的概念學(xué)習(xí)探究【識記要點】1.向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具.通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題*.向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用..向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量【注意】1。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小2。從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì).向量的表示：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③用有向線段的起點與終點字母：ab；④向量麗的大小一一長度稱為向量的模，記作I而I..零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量，記作00的方向是任意的注意0與0的區(qū)別②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向..平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整 定義；（2）向量a、b、。平行，記作合口6口。..相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.【說明】（1）向量a與b相等，記作a=b;（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向．．．線段的起點無關(guān)..平行向量（共線向量）：平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上.【說明】（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.【探究】.對向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向線段這一概念.在線段AB的兩個端點中，我們規(guī)定了一個順序，A為起點，B為終點，我們就說線段AB具有射線AB的方向，具有方向的線段就叫做有向線段.通常有向線段的終點要畫箭頭表示它的方向，以A為起點，以B為終點的有向線段記為腦，需要學(xué)生注意的是：血的字母是有順序的，起點在前終點在后，所以我們說有向線段有三個要素：起點、方向、長度.既有大小又有方向的量，我們叫做向量，有些向量有大小、方向，還有作用點（起點），比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我們現(xiàn)在所學(xué)的向量一般指后者..向量不能比較大小我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小之分，“對于向量a,b,a〉b,或a<b”這種說法是錯誤的..實數(shù)與向量不能相加減，但實數(shù)與向量可以相乘.初學(xué)向量的同學(xué)很可能認(rèn)為一個實數(shù)與一個向量之間可進(jìn)行加法或者減法，這是錯誤的.實數(shù)與向量之間不能相加減，但可相乘，相乘的意義就是幾個相等向量相加..向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段例1判斷下列說法是否正確，若不正確，請簡述理由.①若向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量AB、AC在同一直線上.②不正確.單位向量模均相等且為1,但方向并不確定.③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④不正確.如圖AC與BC共線，雖起點不 再「同，但其終點卻相4 1 ￡同.例2下列命題正確的有口@與6共線，b與。共線，則a與。也共線②任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點口向量a與6不共線，則a與b都是非零向量④有相同起點的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以口不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以②不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以④不正確；由于零向量與任一向量都共線，故③正確.例3回答下列問題，并簡述理由..平行向量是否一定方向相同？（不一定）.不相等的向量是否一定不平行？（不一定）.與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）.與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）.若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）6.兩個非零向量相等的條件是什么？（長度相等且方向相同）

定）分別7.共線向量一定在同一直線上嗎？（不一例4如圖，設(shè)o是正六邊形abcdef的中心，寫出圖中與向量OUA,淺,淺相等的向量。定）分別uuruuruuruuruuruuruuruuu解：OA=CBr怯臨；O=DC=EO=AF；OC=AB=ED=FO-【課堂檢測】.下列命題中，正確的是（B ）A.若|a|二|b|，則a=b B.若a=b,則a與b是平行向量C.若|a|>|b|,則a>b D.若a與b不相等，則向量a與b是不共線向量.下列說法中錯誤的是（A）??A.零向量是沒有方向的B.零向量的長度為0C.零向量與任一向量平行D.零向量的方向是任意的.把平面上一切單位向量的始點放在同一點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是一個單位圓.已知非零向量a〃b,若非零向量c〃a,則c與b關(guān)系是c〃b..已知@、b是兩非零向量，且a與6不共線，若非零向量c與@共線，則c與b必定_不共線..判定下列命題的正誤：口零向量是惟一沒有方向的向量。 （X）口平面內(nèi)的單位向量只有一個。 （X）口方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量。（J）口向量a與6是共線向量，bnC,則a與c是方向相同的向量。（X）口相等的向量一定是共線向量。（J）.下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是1共線向量是在同一條直線上的向量若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點

與已知非零向量共線的單位向量是唯一的口若四邊形ABCD是平行四邊形，則”與CD,BC與的分別共線.解：已知ABCD是菱形，|登|=1,DDAB=解：已知ABCD是菱形，|登|=1,DDAB=三，則|院3如圖，梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是腰AB、4

的三等分點，且I筋I(lǐng)二2，|BUC|二5，求|EF

分別取BE，CF的中點分別記為M，N，7一由梯形的中位線定理知：IM|二中EUI+BUC）uuriuuruuurIEFI=2(AD+MN)=iuuriuuuuriuur(AD+-IEFI+IBCI)2 2 21uur

AC、回?3uur1 5 9 ?uur??_IEFI=(2+-)=— ??IEFI=3-4 2 2 410.在直角坐標(biāo)系xoy中，已知IOAI=5，OA與X軸正方向所成的角為30o，與y軸正方向所成的角為120o，試作出OA.解：r30o30o1向量的概念及表示學(xué)海導(dǎo)航【預(yù)習(xí)要點】向量概念，相等向量概念，向量幾何表示，零向量，單位向量，平行向量【預(yù)習(xí)要求】.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示；.了解零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念，并會辨認(rèn)圖形中的相等向量或出與某一已知向量相等的向量；.了解平行向量（共線向量）、相反向量的概念.【知識網(wǎng)絡(luò)】向量的概念向量的表示，向量的長度（模）向量的概念,零向量、單位向量、相等（反）向量平行（共線）向量學(xué)習(xí)探究【識記要點】.向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具.通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題.向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用..向量的概念：我們把既有又有的量叫向量【注意】1。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。幌蛄坑蟹较?，大小，雙重性，不能比較大小，2。從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì).向量的表示：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③用有向線段的起點與終點字母：ab；④向量前的大小一一長度稱為向量的模，記作1赤1..零向量、單位向量概念：①長度為 的向量叫零向量，記作00的方向是任意的注意0與0的區(qū)別*②長度為 的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向..平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向 量；②我們規(guī)定0與任一向量平行. 七^說明：(1)綜合①、②才是平行向量的完整 定義；(2)向量a、b、。平行，記作aDbDc..相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.【說明】（1）向量a與b相等，記作a=b;（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向．．．線段的起點無關(guān).．．．．．．．.平行向量（共線向量）：平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上.【說明】（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.【探究】.對向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向線段這一概念.在線段AB的兩個端點中，我們規(guī)定了一個順序，A為起點，B為終點，我們就說線段AB具有射線AB的方向，具有方向的線段就叫做有向線段.通常有向線段的終點要畫箭頭表示它的方向，以A為起點，以B為終點的有向線段記為腦，需要學(xué)生注意的是：血的字母是有順序的，起點在前終點在后，所以我們說有向線段有三個要素：起點、方向、長度.既有大小又有方向的量，我們叫做向量，有些向量有大小、方向,還有作用點（起點），比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我們現(xiàn)在所學(xué)的向量一般指后者..向量不能比較大小我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小之分，“對于向量a，b，a〉b，或a<b”這種說法是錯誤的..實數(shù)與向量不能相加減，但實數(shù)與向量可以相乘.初學(xué)向量的同學(xué)很可能認(rèn)為一個實數(shù)與一個向量之間可進(jìn)行加法或者減法，這是錯誤的.實數(shù)與向量之間不能相加減，但可相乘，相乘的意義就是幾個相等向量相加..向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段【例題解析】例1判斷下列說法是否正確，若不正確，請簡述理由.①若向量AB與cD是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.例2下列命題正確的有口@與6共線，b與。共線，則a與。也共線②任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點③向量a與6不共線，則a與b都是非零向量④有相同起點的兩個非零向量不平行例3回答下列問題，并簡述理由.1.平行向量是否一定方向相同？2.不相等的向量是否一定不平行？.與零向量相等的向量必定是什么向量？4.與任意向量都平行的向量是什么向量？.若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？.兩個非零向量相等的條件是什么？7.共線向量一定在同一直線上嗎？例4如圖，設(shè)o是正六邊形ABCDEF的中心， 二,分別TOC\o"1-5"\h\z寫出圖中與向量OA,淺,淺相等的向量。 、八【課堂檢測】 A.下列命題中，正確的是（） 乙△:A.若|a|二|b|,則a=bB.若a=b,則a與b是平行向量C.若|a|>|b|,則a>b D.若a與b不相等，則向量a與b是不共線向量.下列說法中錯誤的是（）A.零向量是沒有方向的 B.零向量的長度為0C.零向量與任一向量平行 D.零向量的方向是任意的.把平面上一切單位向量的始點放在同一點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是―..已知非零向量anb,若非零向量pa,則c與b關(guān)系是 ..已知a、b是兩非零向量，且a與b不共線，若非零向量c與a共線，則c與b必定..判定下’列命題的正誤:

U零向量是惟一沒有方向的向量?？谄矫鎯?nèi)的單位向量只有一個?？诜较蛳喾吹南蛄渴枪簿€向量，共線向量不一定是方向相反的向量。(口向量a與6是共線向量，b口C,則a與c是方向相同的向量。 (口相等的向量一定是共線向量。 (.下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是共線向量是在同一條直線上的向量 若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點與已知非零向量共線的單位向量是唯一的口若四邊形ABCD是平行四邊形，則q與CD，BC與而分別共線..已知ABCD是菱形，|器|=1，DDAB=巴，則|院|= ,|AC|=3 TOC\o"1-5"\h\z.如圖，梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是腰AB、DC V1的三等分點，且|翳二2,|BC|二5,求I翳.「卜 年?以 iC.在直角坐標(biāo)系xoy中，已知IOAI=5,OA與x軸正方向所成的角為30o,與y軸正方向所成的角為120o，試作出OUA.2.2向量的線性運(yùn)算2.1向量的加法

學(xué)海導(dǎo)航【預(yù)習(xí)要點】向量加法的定義，向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則【預(yù)習(xí)要求】.掌握向量加法的定義.會用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個向量的和向量.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量計算.【知識網(wǎng)絡(luò)】向量的加法向量加法的定義向量的加法,向量加法的三角形法則、平行四邊形法則向量加法滿足的交換律、結(jié)合律學(xué)習(xí)探究【識記要點】.復(fù)習(xí)：向量有關(guān)概念向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置.知識建構(gòu):(1)某人從A到B,再從B按原方向到C,則兩次的位移和：器+bC二學(xué)習(xí)探究【識記要點】.復(fù)習(xí)：向量有關(guān)概念向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置.知識建構(gòu):(1)某人從A到B,再從B按原方向到C,則兩次的位移和：器+bC二aC(2)若上題改為從A到B,再從B按反方向到A則兩次的位移和：AB+BC=AC(3)某車從A到B,再從B改變方向到心A BBCC則兩次的位移和：AB+BC=AC(4)船速為AB，水速為BC，則兩速度和：AB+二AC.向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加5.三角形法則(首尾相接)如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點a，作ab=a，bc=b,則向量ac叫做向量a與b的和，記作a+b,即a+b=AB+BC=AC,規(guī)定：a+0=0a+b【探究】(1)兩個向量的和仍是一個向量;（3）當(dāng)a與b同向時，貝匕+b、a、b（3）當(dāng)a與b同向時，貝匕+b、a、b同向，且時，若lal〉lbbb~a~ba+ba+bl=lal+lbL當(dāng)￡與b反向，貝la+b的方向與a相同，且；若lalVbl，貝1Ja+b的方向與b相同，且la+b1=lbHa（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點,可以推廣到n個向量連續(xù)相加的情形.【例題解析】例1已知向量a、b,求作向量a+b作法：在平面內(nèi)取一點，作0A=aAB=b，貝1oB=a+b.【探究一】加法加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中b+a的結(jié)果與a+b是否相同？驗證結(jié)果相同從而得到：1）向量加法的平行四邊形法則（對兩個向量共線時不適用）2）向量加法的交換律：a+b^b+a（a+b）（a+b）CD=C（b+C）證：如圖：使而=a，bc=b，貝?。╝+b）+c=AC+CD=AD，a+???（a+b）+c=a+（b+c）從而，多個向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.例2P60例題1例3P60例題2【引申】如圖，一艘船從A點出發(fā)以2,：3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/h，求船的實際航行的速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）.解：設(shè)A方表示船垂直于對岸行駛的速度，就表示Di 1匚水流的速度，以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD,則立就是船的 實際航行的速A B在RtAABC中，IAB1=2，IBC1=2<3所以IACI=\；IAB|2+IBC|2=4因為tan/CAB=空=v,3n/CAB=60。2答：船的實際航行的速度的大小為4km/h，方向與水流速間的夾角為60?！舅季S拓展】.一艘船從A點出發(fā)以2.-3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行的速度的大小為4km/h，求水流的速度..一艘船距對岸4.3km，以2、mkm/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達(dá)對岸時，船的實際航程為8km,求河水的流速..一艘船從A點出發(fā)以v的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流1速為v,船的實際航行的速度的大小為4km/h，方向與水流間的夾角是60。，2求v和，1 2.一艘船以5km/h的速度在行駛，同時河水的流速為2km/h,則船的實際航行速度大小最大是 km/億最小是km/h*【課堂檢測】.若AB=DC，則四邊形ABCD是平行四邊形.下列命題正確的有④①單位向量都相等②長度相等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量③若a,b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b④對于任意向量a、b,必有|a+b|s|a|+|b

3.以下四個命題中不正確的有②①若a為任意非零向量，則a口0②Ia+b|=|a|+l③a=b,則反之不成立⑷任一非零向量的方向都是惟一的4?已知|AB|=6,1AC1=4，則IBC|的取值范圍為[2,10]5.設(shè)（AB+CD）+（BC+DA）=a，b豐0，則在下列結(jié)論中，正確的有□□②a□b；□a+b=a； □a+b=b；□Ia+bl<laI+IbI6.化簡maxuurumruur6.化簡AB+BC+CD+DA=.設(shè)a表示“向東走3km”,b表示“向北走4km”,則a+b表示.向東北方向走5km..一架飛機(jī)向北飛行200km后，改變航向向東飛行200km,則飛行的路程為400km，兩次位移的和的方向為東北方向,大小為20v2km9.已知uuuruuuu—9.已知uuuruuuu—IOAI=IOBI=<2,/AOB=120°,七uuuuuu求IOA+OBI..已知在矩形ABCD中，寬為2,長為2后,AB=a，BC=b，AC=c，試作出向量a+b+c,并求出其模的大小。4平方向成60°角的2平方向成60°角的2N,求它的合力的與水平方向成30。角.已知在四邊形ABCD中，AC二AB+器，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.向量的加法向量的加法2.2向量的線性運(yùn)算

2.2.1向量的加法

學(xué)海導(dǎo)航【預(yù)習(xí)要點】向量加法的定義，向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則【預(yù)習(xí)要求】.掌握向量加法的定義.會用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個向量的和向量.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量計算.【知識網(wǎng)絡(luò)】向量加法的定義向量加法的三角形法則、平行四邊形法則向量加法滿足的交換律、結(jié)合律學(xué)習(xí)探究【識記要點】.復(fù)習(xí)：向量有關(guān)概念向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我TOC\o"1-5"\h\z們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向AB C和大小的前提下，移到任何位置.知識建構(gòu)：（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，則兩次的位移和：的+bc二ac（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到TA 7則兩次的位移和：ab+bc=ac 1"（3）某車從A到B，再從B改變方向到￡，_//A B則兩次的位移和：aB+BC=AC AC

（4）船速為油，水速為前，則兩速度和：AB+BC=AC.向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法..三角形法則（首尾相接）如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點a，作麗=a,BC=b,則向量ac叫做向量a與b的和，記作a+b,即a+b=ab+bc=ac,規(guī)定：a+0=0+aa+aa >b^+bk__.【探究】（1）兩個向量的和仍是一個向量;（2）當(dāng)向量〃與力不共線時，〃+力的方向不同向，且S+/VI+I/;（3）當(dāng)〃與B同向時，則〃+八、o___a 〃、〃同向，且a+b>la"lbL當(dāng)a與b反向\時,若la?b,則a+b的方向與a相同，且la"'\一二二號b+bl=lal-lb；若lalVbI，則a+b的方向與b相同，且Ia+b1=lbl-la.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到口個向量連續(xù)相加的情形.【例題解析】例1已知向量a、b，求作向量a+b作法：在平面內(nèi)取一點，作QA=aAB=b，則OB=a+b.【探究一】加法加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中b+a的結(jié)果與a+b是否相同？驗證結(jié)果相同

從而得到：1）向量加法的平行四邊形法則（對兩個向量共線時不適用）2）向量加法的交換律：a+b=b+a【探究二】向量加法的結(jié)合律：證：如圖：使加="，bc【探究二】向量加法的結(jié)合律：證：如圖：使加="，bc=b，則（a+b）+c=AC+CD=ADa+，（a+b）+c=a+（b+c）(a+b)+c=CD=cAB+BD=ADa+(b+c)從而，多個向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.例2P60例題1例3P60例題2【引申】如圖，一艘船從A點出發(fā)以2、；3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/h,求船的實際航行的速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）.解：設(shè)AD表示船垂直于對岸行駛的速度，AB表示 水流的速度，以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD,則ac就是船的 實際航行的速A R【思維拓展】.一艘船從A點出發(fā)以2點km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行的速度的大小為4km/h，求水流的速度.

.一艘船距對岸4.3km,以2-3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達(dá)對岸時，船的實際航程為8km,求河水的流速..一艘船從A點出發(fā)以v的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流1速為v，船的實際航行的速度的大小為4km/h，方向與水流間的夾角是600，2求和vIv.12.一艘船以5km/h的速度在行駛，同時河水的流速為2km/h,則船的實際航行速度大小最大是 km/億最小是km/h*【課堂檢測】.若AB=DC，則四邊形ABCD是.下列命題正確的有①單位向量都相等②長度相等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量③若a,b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b④對于任意向量a、b,必有|a+b|s|a|+|b.以下四個命題中不正確的有①若a為任意非零向量，則@口0②|a+b|=|a|+|b|③a=b,則|a|=|b|,反之不成立 ④任一非零向量的方向都是惟一的.已知|AB1=6,1AC1=4，則IBCI的取值范圍為.設(shè)（AB+CD）+（BC+DA）=a,b豐0，則在下列結(jié)論中，正確的有②a②b；②a+b=a；②a+b=b；②]a+b1<1a?+?b?6.化簡uuuruuuruuuruuur6.化簡AB+BC+CD+DA=.設(shè)a表示“向東走3km”,b表示“向北走4km”，則a+b表示.一架飛機(jī)向北飛行200km后，改變航向向東飛行200km,則飛行的路程為,兩次位移的和的方向為,大小為

9.已知uuuruuuu_|9.已知uuuruuuu_|OA|=|OB|=J2,/AOB=120。,七uuruur小IOA+OBl?10.已知在矩形ABCD中，寬為2,長為2A,AB=a，BuC=b，AC=c，試作出向量a+b+c,并求出其模的大小。11.如圖，一物體受到水平方向和與水平方向成6011.如圖，一物體受到水平方向和與水平方向成60。角的兩個力的作用，已知兩個力的大小均為B2N,求它的合力的大小及方向。12.已知在四邊形ABCD中，AC=AB+AD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.2.2.2向量的減法

學(xué)海導(dǎo)航

【預(yù)習(xí)要點】相反向量的概念；作兩個向量的差向量【預(yù)習(xí)要求】.復(fù)習(xí)向量加法的定義.會用向量減法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的差向量.掌握向量的加法與減法的意義與幾何運(yùn)算，并會用它們進(jìn)行向量計算,【知識網(wǎng)絡(luò)】向量的減法向量減法的定義向量的減法向量減法的三角形法則、平行四邊形法則向量加法與減法運(yùn)算的關(guān)系學(xué)習(xí)探究【識記要點】.相反向量：與a長度相同、方向相反的向量.記作-a規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；-(-a)=a任一向量與它的相反向量的和是零向量a+(-a)=0*如果a、b互為相反向量，則a=-b,b=-a,a+b=0.向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.向量加法滿足三角形法則(首尾相接)和平行四邊形法則(對于兩個向量共線不適用)量加法的交換律：a+b=b+a.向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+D.向量減法的定義：若b+x=a,則x叫做a與b的差，記作a-b或者：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：a-b=a+(-b) 求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.向量的減法是加法的逆運(yùn)算.求作差向量：已知向量a、b, --一 求作向量 門‘一?二(a-b)+b=a+(-b)+b 二. =a+0=a.減法的三角形法則 ,三作法：在平面內(nèi)取一點O,作04=a，OB=b，則BA=a-b即@-6可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量*注意：1。ab表示a-b強(qiáng)調(diào)：差向 = ‘量“箭頭”指TOC\o"1-5"\h\z向被減數(shù) :/2。用“相反向量”定義法作差向 量，a-b=a+(—b) '顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一,a〃b〃c a-b=a+(—b) a-b_a a-ba__? > a―±^OBAB'OBA—b>a a—b a—b > > > ?b O A—bBBO A【例題解析】例1已知向量a、b、c、d,求作向量a—b、c—d解：在平面上取一點。，作oa=a,ob=b,oc=c,od=d,作BA,dc,則BA=a—b,dc=c—d例2(P63練習(xí)1)平行四邊形abcd中，AB=a,AD=b,用a，b表示向量AC、DB.解：由平行四邊形法則得:AC=a+b，DB=AB-AD=a-b變式一：當(dāng)a,b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？(|a|=|b|)變式二：當(dāng)a,b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|?(a,b互相垂直)變式三：a+b與a-b可能是相當(dāng)向量嗎？(不可能，對角線方向不同)例3P62例2【課堂檢測】.下列等式：口a+0=a口b+a=a+b口-(-a)=a口a+(-a)=0口a+(-b)=a-b正確的個數(shù)是4.化簡而-QP+P+爐的結(jié)果等于OQ.已知OA=a,OB=b,若|Oal=12,|OB1=5，且NA0B=90°，則|a-b|= .13.在正六邊形ABCDEF中，AE=m,詬二n,則BA= .m-n.已知a、b是非零向量，則|a-b|=|a|+|b|時，應(yīng)滿足條件.a與b反向.在下列各題中，正確的命題個數(shù)為()⑴若向量a與b方向相反，且|a|〉|b|,則a+b與a方向相同⑵若向量a與b方向相反，且|a|〉|b|,則a-b與a+b方向相同⑶若向量a與b方向相同，且|a|<|b|,則a-b與a方向相反(4)若向量a與b方向相同，且|a|<|b|,則a-b與a+b方向相反TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2 C.3口 D.4.如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填 空：a+b= ,b+c= ，c-d= ,a+b+c-d= . 下.一艘船從A點出發(fā)以2,：3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，而船實際行駛速度的大小為4km/h,則河水的流速的大小為 .2km/h.若a、b共線且|a+b|<|a-b|成立，則a與b的關(guān)系為^a與b的方向相反且都不為零向量.在五邊形ABCDE中，設(shè)AB=a,AE=b,BC=c,ED=d,用a、b、c、d表示cd.b+d-a-c *.如圖所示，。是四邊形ABCD內(nèi)任一點，/,0\試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭 表示），使a+b=AB,c-d=De，并畫出b-c和a+d..已知O是dABCD的對角線AC與BD的交點，若AB=a,bc=b,oD=c，試證明：c+a-b=oB.2．2．2向量的減法

學(xué)海導(dǎo)航【預(yù)習(xí)要點】相反向量的概念；作兩個向量的差向量【預(yù)習(xí)要求】.復(fù)習(xí)向量加法的定義.會用向量減法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的差向量.掌握向量的加法與減法的意義與幾何運(yùn)算，并會用它們進(jìn)行向量計算.【知識網(wǎng)絡(luò)】向量的減法向量減法的定義向量的減法向量減法的三角形法則、平行四邊形法則向量加法與減法運(yùn)算的關(guān)系學(xué)習(xí)探究【識記要點】.相反向量：與a長度相同、方向相反的向量.記作-a規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；-(-a)=a任一向量與它的相反向量的和是零向量a+(-a)=0*如果a、b互為相反向量，則a=-b,b=-a,a+b=0.向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.向量加法滿足三角形法則(首尾相接)和平行四邊形法則(對于兩個向量共線不適用)電！

.?向量加法的交換律：a+b=b+a.向量加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.向量減法的定義：若b+x=a,則x叫做a與b的差，記作a-b或者：向量8加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：a-b=a+（-b）求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法向量的減法是加法的逆運(yùn)算,b求作向量=a+0,b求作向量=a+0?二（a—b）+b=a+（-b）+.減法的三角形法則作法：在平面內(nèi)取一點O,作oa=a，oB=b,則1BA=a-b即a-6可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量注意：1%B表示a-b強(qiáng)調(diào)：差向 .量“箭頭”指向被減數(shù)2。用“相反向量”定義法作差向/X 量，a-b=a+（-b） "【例題解析】例1已知向量a、b、c、d,求作向量a-b、c-d例2（P63練習(xí)1）

在平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b，用“，b表示向量AC、DB.變式一：當(dāng)a,b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直?變式二：當(dāng)a,b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？變式三：a+b與a-b可能是相當(dāng)向量嗎？例3P62例2【課堂檢測】.下列等式：口a+0=a口b+a=a+b口-(-a)=a口a+(-a)=0口a+(-b)=a-b正確的個數(shù)是.化簡OP-QP+PS+SP的結(jié)果等于.已知OA=a,Ob=b,若|Oal=12,|ObI=5,且NA0B=90°,則|a-b=.在正六邊形ABCDEF中，ae=m,通二n,則BA= ..已知a、b是非零向量，則|a-b|=|a|+|b|時，應(yīng)滿足條件..在下列各題中，正確的命題個數(shù)為（）⑴若向量a與b方向相反，且|a|〉|b|,則a+b與a方向相同⑵若向量a與b方向相反，且|a|〉|b|,則a-b與a+b方向相同a-b與a方向相a-b與a+b方向a-b與a方向相a-b與a+b方向D.4⑷若向量a與b方向相同，且|a|<|b|,則相反A.1C.3B.2A.1C.3.如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空:a+a+b= ,b+c= ,c-d=,a+b+c-d=.一艘船從A點出發(fā)以2、3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，而船實際行駛速度的大小為4km/h,則河水的流速的大小為..若a、b共線且|a+b|<|a-b|成立，則a與b的關(guān)系為 ^.在五邊形ABCDE中，設(shè)AB=a,AE=b,BC=c,ED=d,用a、b、c、d表示cd.11.如圖所示，。是四邊形11.如圖所示，。是四邊形ABCD內(nèi)任一點，的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭試根據(jù)圖中給出

表示），使a+b=AB,c-d=De，并畫出b-c和a+d.12.已知。是丫ABCD的對角線AC與BD的交點，若Ab=a,bc=b,oD=c，試證明：c+a-b=oB.2．2．3向量的數(shù)乘（2課時）學(xué)海導(dǎo)航【預(yù)習(xí)要點】向量的數(shù)乘及其幾何意義【預(yù)習(xí)要求】.掌握向量數(shù)乘的定義及其幾何意義；

.掌握向量數(shù)乘滿足的運(yùn)算律；.理解兩個向量共線的條件，能夠運(yùn)用共線條件判定兩向量是否平行.【知識網(wǎng)絡(luò)】向量的數(shù)乘向量數(shù)乘的定義及其幾何意義向量的數(shù)乘,向量數(shù)乘滿足的運(yùn)算律〔向量共線的條件學(xué)習(xí)探究【識記要點】.向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法*向量加法的三角形法則和平行四邊形法則TOC\o"1-5"\h\z.向量加法的交換律：a+b=b+a :.VL<_XCZ 叫 1 mJ.向量加法的結(jié)合律：（a+b）+丁 a+（b+工）.向量的減法向量a加上的b相反/三 向量，叫做a與b的差即：a—b=a+（―b）*■.差向量的意義：OA=a,OB=b,則BA=a-b即@-6可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量9.【探究】已知非零向量凡作出尹a+&和（r）+（r）+（r）a 占‘占‘占’NMQa 占‘占‘占’NMQPoc=oa+ab+bc=尹a+a=3aPN=PQ+QM+MN=（一￡）+（-a）+（一￡）=-3a討論：⑴3月與a方向相同且13al=3ial；⑵-31與a方向相反且I-3al=3ial.向量的數(shù)乘：實數(shù)人與向量a的數(shù)乘還是一個向量，記作：入a⑴I入al=l入llal（2）入＞0時入月與&方向相同；入＜0時入月與&方向相反；入=0時入片0.向量數(shù)乘滿足的運(yùn)定律結(jié)合律：入me）=（入3a①第一分配律：（入+2%入臚卜a ②第二分配律：入（a+b”入尹入b③結(jié)合律證明：如果入=0,y0，a=o至少有一個成立，則①式成立如果入wo,卜。0,a。o有：I入（“）i=i入ii“i=i入II”a（人口aI=I入mJIaI=I入II/Ia，入（“）i=i（入口a如果入、以同號，則①式兩端向量的方向都與a同向；如果入、以異號，則①式兩端向量的方向都與a反向.從而入（“）=（入口a第一分配律證明：如果入=0,y0，片o至少有一個成立，則②式顯然成立如果入w0,pw0，a。0當(dāng)入、以同號時，則人才和Na同向，，（入+n）aI=I入+nIIaI=（I入I+InI）Ia入a+NaI=I入aI+I^aI=I入IIeI+I/IaI=（I入I+InI）Ia.??入、N同號?二②兩邊向量方向都與a同向即I（入+n）aI=I入a+Na當(dāng)入、N異號，當(dāng)入〉N時②兩邊向量的方向都與人a同向；當(dāng)入＜N時②兩邊向量的方向都與口a同向，且I（入+n）aI=I入a+Na?,?②式成立第二分配律證明：如果a=0,卜o中至少有一個成立，或入=0,入=1則③式顯然成立

ABAB11=入1由作法知，aB〃ab有/QAB=/QABii 11ABAB11=入1由作法知，aB〃ab有/QAB=/QABii 11IOAIIABI/.△QAB^AIOAIIABIQABiiIOBIIOBI=入ZAQB=ZA1QB1入OB因此，Q,B,B1在同一直線上，入（b+b”入b+入bOB1OB與入Ob方向也相同1當(dāng)入＜0時可類似證明：入（a+b”入尹入b./③式成立.向量共線的條件若有向量以肝6）、b，實數(shù)入，使卜入b，則b與b為共線向量.若b與b共線（尸6）且1卜：IbI招，則當(dāng)b與b同向時"a；當(dāng)b與b反向時b『b.從而得.向量共線定理向量b與非零向量^^共線的條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使卜入^【例題解析】例1P64例1例2若3m+2n=a,m—3n=b,其中a,6是已知向量，求m,n.分析：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.解：記3m+2n=a^ m—3n=b□3義口得3m—9n=3b□

口一口得11n=a—3b. □n=1a—J_b□11 11將口代入口有：m=b+3n=J_a+Lb11 11的積以及它次方程組的【點評】在此題求解過程中，利用了實數(shù)與向量所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一方法與解實數(shù)的二元一次方程組的方法一致.的積以及它次方程組的例3P64例3例4P65例4【思維拓展】已知凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點分別為E、F,求證ef=1（^b+dc）.2解法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決.過點C在平面內(nèi)作cG=AB，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點.□EF是nADG的中位線，nEF=1DG, □ef=1dg.TOC\o"1-5"\h\z2 2Wr7 - -―I- L -―I—,■I~I一二 1 （,■―I- L、而DG-DC十CG—DC十AB，□EF- （AB十DC）?2解法二：創(chuàng)造相同起點，以建立向量間關(guān) 系如圖，連EB,EC,則有EB=EA+AB,EC=ED+DC，又^E是AD2中點，□有ea+ED=0. '即有EB+EC=AB+DC；以eb與EC為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由F是BC2中點，可得F也是EG2中點.□EF=1EG=1（eb+EC）=1（aB+DC）2 2 2【錯解辨析】判斷向量a=—2e與b=2e是否共線?對此題，有同學(xué)解答如下：解：口@=-26,b=2e,□b=—a,口@與5共線.分析：乍看上述解答，真是簡單明了.然而，仔細(xì)研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存有問題，這是因為，原題已知中對向量e并無任何限制，那么就應(yīng)允許e=0,而當(dāng)e=0時，顯然a=0,b=0,此時，a不符合定理中的條件，且使b=2a成立的力值也不惟一（如丸=—1,2=1,2=2等均可使6=2a成立），故不能應(yīng)用定理來判斷它們是否共線.可見，對e=0的情況應(yīng)另法判斷才妥.綜上分析,此題應(yīng)解答如下：解：（1）當(dāng)e=0時，則a=-2e=0由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時a與6共線.⑵當(dāng)e^0時，則a=—2e^0,b=2e^0b=一a（這時滿足定理中的aW0,及有且只有一個實數(shù)A（2=—1）,使得b=Aa成立）己與6共線.綜合（1）、（2）可知，@與6共線.【課堂檢測】TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)Z，；是兩個不共線向量，則a=e+Xe（keR）與b=-（e一2e）共線的條件是1 2 1 2 2 1，2.解：如圖，已知AD=3AB,D=3BC.試判斷AC與AE2.解：?uuuruuuuuuuuuruuuuruuuuuu \AE=AD+DE=3AB+3BC=3(AB+BC)=3AC \ \???AC與UE共線. '"■■■■->----k3.在nABC中，ab=匕BC=b，AD為邊BC的中線，G為nABC的重心，則用a,b表示向量怒=解法一：②ab=b，bC=b 則BD=1BC=1b2 2□AD=AB+BD=b+1b而AG=2AD2 3

2P+1解法二：過G作BC的平行線，交AB、AC于□□AEFDDABC,AE2P+1解法二：過G作BC的平行線，交AB、AC于□□AEFDDABC,AE=2AB^2^ EF=2BC=21EG=13 3 3 3 2AGAG^AE~^EG^2￡+1b3 3.在yABCD中，設(shè)對角線AC二b，bD寸試用b，?表示ab二E、FEF=1b3，BC二解法一：AO=OC=1b BO=1bD二12 2 2口ab=aO+ob=aO_bO=1￡-1b2 2BC^bO+OC^oC+BO^1b+1b解二：設(shè)AB=x，BC^y則ab+bc=ac，即x^y^S；ad-ab=bd，即x—y=b口x=1(b-b), y=1(b+b)2 2即AB=1(￡-b) BC=1(b+b)2 2.當(dāng)送z時，驗證：入(a+b)=xb+xb證：當(dāng)九二o時，左邊=o?（b+b）=0當(dāng)九為正整數(shù)時，令gn,則有:=b+￡+???+b+b+b+b+…+卜。b+nb即九為正整數(shù)時，分配律成立右邊=0咽+0喟=0分配律成立n（a+b）=（b+b）+（b+b）+.??+（b+b）當(dāng)為負(fù)整數(shù)時，令X=-n（n為正整數(shù)），有-n(a+b)=n[-(a+b)]=n[(-b)+(-b)]=n(-b)+n(-b)=-ng+(-nb)=-n￡-nb分配律仍成立綜上所述，當(dāng)九為整數(shù)時，/a+b）=x尹九b恒成立.6.設(shè)1,J是兩個不共線向量，已知AB=2e+k/,CB1-3/，CD=2e.e,，1 2 12 12 12若三點A,B,。共線，求k的值.解：BD=CD-CB=（2e，e）-（e'+3e）=e-4e‘1 2 12 12

口A,B,口共線口Ab,BD共線口存在九使AB=BDTOC\o"1-5"\h\z即2*+ke=X（e，-4e） ②[26 Dk=-81 2 1 2 1k=-4九7.如圖，MN是nABC的中位線，求證：MN=1BC,且MNnBC. /證明：②乂、N分別是AB、AC邊上的中點，所以am=2AB，an/\=1AC，MN=AN—AM=1AC-1AB=1（AC-AB）=1BC- / \2 2 2 2 2 1r因此，NM=1BC且MNnBC.2【點評】向量是數(shù)學(xué)中重要概念之一，是解決數(shù)學(xué)問題的得力工具，許多幾何里的命題，如果用向量知識來解決就顯得格外簡練.uuur示MA、uuurMB、uuuur

MCuuuurMD．解：uuuruuuruuuruuuruuurrr?AC=AB+BC=AB+AD=a+b，uuuruuuruuurrruuur示MA、uuurMB、uuuur

MCuuuurMD．解：uuuruuuruuuruuuruuurrr?AC=AB+BC=AB+AD=a+b，uuuruuuruuurrrDB=AB-AD=a-b，uuur1uuur 1rr??MA=--AC=--(a+b)2< 211r1r=--a--b，2 2uuur1uuur1rruuuur1uuur1r1rMB=-DB=-(a-b)，MC=-AC=-a+-b，2 2 2 2 2uuuuruuur1r1rMD=-MB=--a+-b-2 2uuur uuur uuuruuur uuur uuuruuurOA、 OB 不共線，AP=tAB(te R)，用OA、 OB 表示OP ?9.如圖，解：口AP=tAB，uuuruuuruuuruuuruuur口OP=OA+AP=OA+tABuuuruuuruuur uuuruuur=OA+1(OB-OA)=(1-1)OA+tOB?uuurrAD=e，2uuur表示DC、uuuruuuurBC、MN?解：（1）②DC<uuur1uuur1r1ruuurrAD=e，2uuur表示DC、uuuruuuurBC、MN?解：（1）②DC<uuur1uuur1r1r口DC=-AB=-e=e2 212(2)uuruuuuuruuuuumuxBC=AC-AB=AD+DC-ABr1rrr1r=e+e-e=e-e221 1 221（3）連接DN，則需二CB，uuuuruuuuruuuur1uuur uuur11rr1r1rr+—e=e-e*2141 211.已知在四邊形abcd中，uuurruurAB1r1rr+—e=e-e*2141 211.已知在四邊形abcd中，uuurruurAB=a+2b，uuurrruuurrrBC=—4ab，CD=—5a3b，求證：ABCD是梯形。證明：顯然AB以CDuuuruuuruuuruuuruuuruuurAD=AC+CD=AB+BC+CDruuurrrrrrrrruuur=(a+2b)+(—4a—b)+(—5a—3b)=2(—4a—b)=2BCuuuruuur②ADPBC，又B點不在AD口ABCD是梯形。2*2*3向量的數(shù)乘（2課時）學(xué)海導(dǎo)航【預(yù)習(xí)要點】向量的數(shù)乘及其幾何意義【預(yù)習(xí)要求】.掌握向量數(shù)乘的定義及其幾何意義；.掌握向量數(shù)乘滿足的運(yùn)算律；.理解兩個向量共線的條件，能夠運(yùn)用共線條件判定兩向量是否平行.【知識網(wǎng)絡(luò)】

向