數(shù)學(xué)課堂探究：三角函數(shù)的定義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂探究探究一三角函數(shù)的定義利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)有以下幾種情況：（1)若已知角α終邊上有一不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)P(x，y），則首先求r＝，則sinα＝，cosα＝,tanα＝；（2)若已知角α終邊所在的位置,只需從終邊上取點(diǎn)P（不同于坐標(biāo)原點(diǎn))，利用三角函數(shù)的定義求值；（3）若已知角α終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類(lèi)討論．【例1】已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4a，3a)（a≠0)，求sinα,cosα，tanα的值．解：r＝＝5|a|．若a〉0，則r＝5a，角α在第二象限，則sinα＝＝＝,cosα＝＝＝－,tanα＝＝＝－；若a〈0，則r＝－5a，角α在第四象限,則sinα＝－，cosα＝，tanα＝－．反思當(dāng)所給角的終邊上的點(diǎn)含有字母時(shí)，一定要注意分類(lèi)討論，并結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行取舍．【例2】已知角α的終邊落在直線y＝－3x上，求10sinα＋3secα的值．分析：先確定角α終邊上一個(gè)點(diǎn)（不同于坐標(biāo)原點(diǎn))的坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求得sinα，secα的值，進(jìn)而求出代數(shù)式的值．解：因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y＝－3x上，所以角α的終邊可能落在第二象限或第四象限．若角α的終邊落在第二象限，則可取其上一點(diǎn)(－1,3）,所以r＝＝．所以sinα＝＝,secα＝＝－，所以10sinα＋3secα＝10×＋3×（－)＝0．若角α的終邊落在第四象限，則可取其上一點(diǎn)(1，－3)，所以r＝＝．所以sinα＝－，secα＝＝．所以10sinα＋3secα＝10×＋3×＝0．綜上所述，10sinα＋3secα＝0．反思要正確理解角的終邊在直線上的意義,因?yàn)榻堑慕K邊是射線，所以可能出現(xiàn)兩種情況，解題時(shí)要注意分類(lèi)討論．探究二判斷三角函數(shù)值的符號(hào)三角函數(shù)值的符號(hào)取決于角的終邊所在位置．三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函數(shù)全是正值，第二象限角正弦函數(shù)是正值，第三象限角正切函數(shù)是正值，第四象限角余弦函數(shù)是正值)來(lái)判斷．【例3】判斷下列三角函數(shù)值的符號(hào)．（1)（θ為第二象限的角)；(2)sin3·cos4·tan5·cot6．分析:確定一個(gè)角的某一三角函數(shù)值的符號(hào),關(guān)鍵要看角在哪一個(gè)象限；確定一個(gè)式子的符號(hào),則需要觀察構(gòu)成該式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及每部分的符號(hào)．解：(1)因?yàn)棣仁堑诙笙薜慕?所以sinθ＞0，cosθ＜0．故<0．(2）因?yàn)?lt;3〈π，π〈4〈,<5<6〈2π,所以sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，cot6＜0．所以sin3·cos4·tan5·cot6＜0．反思這里的sin3就是“sin3（rad）”，將弧度符號(hào)省略了．在第(1）小題中解題的關(guān)鍵是分別判斷出sinθ,cosθ的符號(hào)．【例4】函數(shù)y＝＋的值域是__________．解析：當(dāng)x為第一象限的角時(shí)，sinx〉0，cosx>0，所以y＝＋＝1＋1＝2；當(dāng)x為第二象限的角時(shí),sinx>0，cosx<0，所以y＝＋＝1－1＝0；當(dāng)x為第三象限的角時(shí)，sinx〈0，cosx<0，所以y＝＋＝－1－1＝－2；當(dāng)x為第四象限的角時(shí)，sinx〈0，cosx〉0,所以y＝＋＝－1＋1＝0．所以y＝＋的值域是{－2,0,2}．答案：｛－2，0,2}探究三三角函數(shù)的定義域1．求一個(gè)函數(shù)的定義域就是要找出使這個(gè)函數(shù)有意義的x取值的集合；2．將三角函數(shù)符號(hào)后的整體看做一個(gè)角,從而化為一個(gè)角的三角函數(shù),這種整體的化歸思想在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到,要注意理解與應(yīng)用．【例5】求下列函數(shù)的定義域：（1)y＝；(2)y＝＋．分析：本題主要考查三角函數(shù)的定義域以及定義域的求法，應(yīng)考慮到分式中分母不等于零、偶次根式有意義等條件，還要注意使tanx有意義，解不等式組即可．解:(1）要使函數(shù)有意義，須tanx≠0,所以x≠kπ(k∈Z)，且x≠kπ＋eq\f（π,2）（k∈Z)．所以x≠(k∈Z)．所以函數(shù)的定義域是．（2）若函數(shù)有意義,則得解之得2kπ＋≤x≤