數(shù)學(xué)課堂探究：導(dǎo)數(shù)的運算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運算法則的簡單應(yīng)用1．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，但運算較煩瑣，而利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù),可以簡化求導(dǎo)過程,降低運算難度，是常用的求導(dǎo)方法．2．利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),應(yīng)根據(jù)所給問題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式．有時還要先對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡整理，這樣能夠簡化運算過程．【典型例題1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）y＝xeq\r（x);(2)y＝x4－eq\f(2，x);（3)y＝sinx＋3x；（4）y＝cosx·lnx；(5）y＝(x－1)（x－2）（x－3）;（6)y＝eq\f(x－3,x＋2).思路分析：分析每個函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，緊扣求導(dǎo)運算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),必要時應(yīng)對函數(shù)解析式進(jìn)行恒等變形．解：(1）y′＝(xeq\r（x))′＝（)′＝eq\f(3,2)·＝eq\f（3，2)eq\r(x）;（2）y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x4－\f(2，x)））′＝4x3＋eq\f（2，x2）；(3）y′＝（sinx＋3x）′＝cosx＋3xln3;(4)y′＝(cosx·lnx)′＝－sinx·lnx＋cosx·eq\f（1，x)＝eq\f（cosx，x）－sinx·lnx；(5）方法1:y′＝［（x－1)（x－2）（x－3)]′＝[(x－1）(x－2)］′（x－3)＋(x－1）(x－2)(x－3）′＝[(x－1)′（x－2)＋(x－1)(x－2)′](x－3)＋（x－1）（x－2)＝(x－2＋x－1)(x－3)＋（x－1)(x－2）＝3x2－12x＋11。方法2：由于(x－1）（x－2)（x－3)＝(x2－3x＋2）（x－3）＝x3－6x2＋11x－6，所以y′＝［（x－1)（x－2)（x－3)］′＝（x3－6x2＋11x－6)′＝3x2－12x＋11。(6)方法1：y′＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(x－3,x＋2）))′＝eq\f（x－3′x＋2－x－3x＋2′，x＋22)＝eq\f（x＋2－x－3,x＋22）＝eq\f(5，x＋22)；方法2：由于y＝eq\f(x－3,x＋2)＝1－eq\f（5，x＋2)，于是y′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（5,x＋2)）)′＝－eq\f（－5x＋2′,x＋22）＝eq\f(5，x＋22）.探究二利用導(dǎo)數(shù)公式和運算法則求復(fù)雜函，數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．對于函數(shù)求導(dǎo)問題，一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用,而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用．在實施化簡時,必須注意變換的等價性，避免不必要的運算錯誤．2．若要求導(dǎo)的函數(shù)解析式與三角函數(shù)有關(guān)，往往需要先運用相關(guān)的三角函數(shù)公式對解析式進(jìn)行化簡與整理，然后再套用公式求導(dǎo)．【典型例題2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y＝eq\f（\r(x5)＋\r（x7)＋\r（x9),\r(x));(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x，4))）4＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f（x,4)))4；(3)y＝eq\f(cos2x，sinx＋cosx）；（4）y＝xlneq\r（x）。思路分析：對于較為復(fù)雜,不宜直接套用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則的函數(shù)，可先對函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃闻c化簡，然后,再運用相關(guān)的公式和法則求導(dǎo)．解：(1)y＝eq\f(\r（x5)＋\r（x7)＋\r(x9),\r（x））＝x2＋x3＋x4，∴y′＝4x3＋3x2＋2x.（2）y＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin2\f(x,4)＋cos2\f（x,4)）)2－2sin2eq\f(x,4）cos2eq\f(x,4）＝1－eq\f（1，2)sin2eq\f(x，2)＝1－eq\f（1，2)·eq\f（1－cosx，2）＝eq\f（3，4)＋eq\f（1,4)cosx，∴y′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，4）＋\f(1,4）cosx））′＝－eq\f(1,4)sinx。(3）y＝eq\f(cos2x,sinx＋cosx）＝eq\f（cos2x－sin2x,sinx＋cosx）＝cosx－sinx，∴y′＝(cosx－sinx）′＝－sinx－cosx.(4)y＝xlneq\r（x）＝eq\f(1,2)xlnx，∴y′＝eq\f（1,2）（x）′·lnx＋eq\f（1,2)x·(lnx）′＝eq\f(1,2）lnx＋eq\f（1，2)。探究三復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)1．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如下:復(fù)合函數(shù)y＝f(g（x）)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f（u）,u＝g（x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′（其中yx′表示y對x的導(dǎo)數(shù))．即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)應(yīng)注意以下幾點：（1）分清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，適當(dāng)選定中間變量．(2)分步計算的每一步都要明確是對哪個變量進(jìn)行求導(dǎo)的，而其中要特別注意的是中間變量的導(dǎo)數(shù)．（3）根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．(4)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程熟練后,中間步驟可以省略不寫．【典型例題3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y＝(3x－1)2；(2）y＝ln（5x＋2)；(3）y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)2x＋1；（4)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，3)）);(5)y＝cos2x.思路分析：抓住構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的基本初等函數(shù)是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，解題時可先把復(fù)合函數(shù)分拆成基本初等函數(shù)，再運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則．解：(1)設(shè)y＝u2，u＝3x－1。則y′＝y(tǒng)′u·u′x＝2u·3＝6（3x－1)＝18x－6;(2）設(shè)y＝lnu，u＝5x＋2,則y′＝y(tǒng)′u·u′x＝eq\f（1，u）·5＝eq\f(5，5x＋2）；（3)設(shè)y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）））u，u＝2x＋1。則y′＝y(tǒng)′u·u′x＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2))）ulneq\f（1，2)·2＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)））2x·ln2;(4）設(shè)y＝sinu,u＝2x－eq\f(π,3）,則y′＝y(tǒng)′u·u′x＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π,3）)）;(5）y＝cos2x＝eq\f(cos2x＋1，2），設(shè)y＝eq\f(1,2)cosu＋eq\f（1，2），u＝2x，則y′＝y(tǒng)′u·u′x＝－eq\f（1，2）sinu·2＝－sin2x。探究四導(dǎo)數(shù)運算的綜合問題從導(dǎo)數(shù)運算的特點及規(guī)律出發(fā)，可以將導(dǎo)數(shù)運算與其他數(shù)學(xué)問題有機地聯(lián)系起來，從而獲得問題的簡單、巧妙的解法．【典型例題4】用導(dǎo)數(shù)的方法求和：1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋2014x2013（x≠0，x≠1）．思路分析：從冪函數(shù)的求導(dǎo)法則入手，結(jié)合所求和式的特點求解．解：設(shè)f(x）＝1＋2x＋3x2＋…＋2014x2013,g（x)＝x＋x2＋x3＋…＋x2014，則f（x）＝g′(x)．而由等式數(shù)列求和公式可得g（x)＝eq\f(x1－x2014，1－x）＝eq\f（x－x2015，1－x）,于是f(x）＝eq\b\lc\（\rc\