第19章 相似形-假期晉級(jí)利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第19章相似形【知識(shí)銜接】————初中知識(shí)回顧————相似三角形的判定(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(AAA)．如圖，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF．(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．如圖，若∠A＝∠D，，則△ABC∽△DEF．(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．如圖，若，則△ABC∽△DEF．相似三角形的性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．————高中知識(shí)鏈接————1．(1)相似三角形的判定主要是依據(jù)三個(gè)判定定理，結(jié)合定理創(chuàng)造條件建立對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的關(guān)系．(2)注意輔助線的添加，多數(shù)作平行線．(3)相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用可用來(lái)考查與相似三角形相關(guān)的元素，如兩個(gè)三角形的高、周長(zhǎng)、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內(nèi)切圓的面積等．2．涉及與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實(shí)際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見(jiàn)到切線和割線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1、已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊BC上，且∠BEF=∠BAC．（1）求證：△AED∽△CFE；（2）當(dāng)EF∥DC時(shí)，求證：AE=DE．【分析】（1）首先根據(jù)已知得出∠ABD=∠FEC，以及∠DAE=∠ECF，進(jìn)而求出△AED∽△CFE，（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC，再利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．∴∠FEC=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ECF，∴△AED∽△CFE；（2）∵EF∥DC，∴∠FEC=∠ECD，∵∠ABD=∠FEC，∴∠ABD=∠ECD，∵∠AEB=∠DEC．∴△AEB∽△DEC，∴，∵AD∥BC，∴，∴．即AE2=DE2，∴AE=DE．2、某一天，小明和小亮來(lái)到一河邊，想用平面鏡和皮尺測(cè)量這條河的大致寬度，兩人在確保無(wú)安全隱患的情況下，現(xiàn)在河岸邊選擇了一點(diǎn)C（點(diǎn)C與河對(duì)岸岸邊上的一棵樹(shù)的底部點(diǎn)B所確定的直線垂直于河岸）．小明到F點(diǎn)時(shí)正好在平面鏡中看到樹(shù)尖A，小亮在點(diǎn)D放置平面鏡，小亮到H點(diǎn)時(shí)正好在平面鏡中看到樹(shù)尖A，且F、D、H均在BC的延長(zhǎng)線上，小明的眼睛距地面的高度EF=1．5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1．6m，測(cè)得CF=1m，DH=2m，CD=8．4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根據(jù)以上測(cè)量過(guò)程及測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出河寬BC是多少米？【分析】根據(jù)題意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解析】由題意可得：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH．∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，∴∠ABC=∠EFC=∠CHD=90°，∴△ABC∽△EFC，∴=，即=．∵∠ADB=∠GDH，∠ABC=∠GHD=90°，∴△ABD∽△GHD，∴=，即=，解得BC=9．6m．答：河寬BC是9．6m．3、在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)P在邊CD上，tan∠PBC=，點(diǎn)Q是在射線BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作AB的平行線交射線AD于點(diǎn)M，點(diǎn)R在射線AD上，使RQ始終與直線BP垂直．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；學(xué)-科網(wǎng)（2）如圖2，試探索：的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；若沒(méi)有變化，請(qǐng)求出它的比值；（3）如圖3，若點(diǎn)Q在線段BP上，設(shè)PQ=x，RM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的定義域．【解析】（1）由題意，得AB=BC=CD=AD=8，∠C=∠A=90°，在Rt△BCP中，∠C=90°，∴，∵，∴PC=6，∴RP=2，∴，∵RQ⊥BQ，∴∠RQP=90°，∴∠C=∠RQP，（2）的比值隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有變化，如圖1，∵M(jìn)Q∥AB，∴∠1=∠ABP，∠QMR=∠A，∵∠C=∠A=90°，∴∠QMR=∠C=90°，∵RQ⊥BQ，∴∠1+∠RQM=90°、∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠RQM=∠PBC，∴△RMQ∽△PCB，∴，∵PC=6，BC=8，∴，∴的比值隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有變化，比值為；（3）如圖2，延長(zhǎng)BP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵PD∥AB，∴，∵PD∥AB，MQ∥AB，∴PD∥MQ，∴，∵，RM=y，∴又PD=2，，∴，∴，如圖3，當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)A重合時(shí)，PQ取得最大值，高中經(jīng)典題型1．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在上且，與交于點(diǎn)，則．【答案】【解析】由于四邊形為平行四邊形，則，因此，由于，所以，因此，故．2．如圖，在中，作平行于的直線交于，交于，如果和相交于點(diǎn)，和相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線和相交于．證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】試題分析：（1）由平行線分線段成比例有，所以；（2）由（1）有①，由平行線分線段成比例有，同理，所以②，由①②得，即．試題解析：（1）∵，∴，即，同理，于是．（2）∵，∴，即，同理，所以，又由（1）有，所以，即．3．過(guò)圓外一點(diǎn)，作圓的切線、，、為切點(diǎn)，為弦上一點(diǎn)，過(guò)作直線分別交、于點(diǎn)、．（Ⅰ）若，求線段的長(zhǎng)；（Ⅱ）若，求證：．學(xué)-科網(wǎng)【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析．【解析】試題分析：（I）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可證，，等腰三角形可得，進(jìn)而可得線段的長(zhǎng)；（II）先證四點(diǎn)、、、共圓，四點(diǎn)、、、共圓，進(jìn)而可得，從而．試題解析：（I）如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，且，所以．因?yàn)?、是圓的切線，所以，所以，從而，得．由，得．（II）如圖2，連接、、、，則．因?yàn)?，所以，故四點(diǎn)、、、共圓，四點(diǎn)、、、共圓，所以．又，所以，故．從而．4．如圖，為圓的直徑，為圓的切線，點(diǎn)為圓上不同于的一點(diǎn)，為的平分線，且分別與交于，與圓交于，與交于，連接．（1）求證：平分；（2）求證：【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】5．如圖所示，以直角三角形的斜邊為直徑作外接圓，為圓上任一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作邊上的高，過(guò)點(diǎn)作圓的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)同弧所對(duì)對(duì)圓周角相等，可得，那么在直角三角形中，所以，即可證明；（2）根據(jù)切割線定理，，再在不同的直角三角形內(nèi)求，再根據(jù)（1）的關(guān)系求長(zhǎng)．試題解析：（1）由題可知，是直徑，所以，又由題可知，所以，又，所以，從而得，即．．．．．．．．．5分（2）由條件可知，，因?yàn)闉閳A的切線，所以，從而得到，所以，，由（1）得，，所以．6．在中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：；（2）若，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】試題分析：（1）先由角相等，證得三角形相似，再結(jié)合線段相等即可所證比例關(guān)系；（2）由于，從而得出兩個(gè)三角形相似，結(jié)合相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即得的值．試題解析：（1），，～，又，（2），，～，，7．如圖，為四邊形外接圓的切線，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)首先證明，再利用即可得證；（2）首先根據(jù)切割線定理求得，的長(zhǎng)度，再利用即可求解．【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組1．已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從B、A兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA、AC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AP=2AQ？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形？（3）作DQ∥AB交BC于點(diǎn)D，連接PD，當(dāng)t為何值，△BDP∽△PDQ？【分析】（1）由題意可知BP=t，AQ=2t，則AP=6﹣t，由AP=2AQ可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（2）分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可和AP=2AQ，或AQ=2AP，分別求t即可；（3）由△BDP∽△PDQ可知∠BDP=∠PDQ，且∠BDQ+∠B=180°，可求得∠PDQ=60°，又∠PBD=∠PQD=60°=∠APQ，可證得△APQ為等邊三角形，可得AP=AQ，得到關(guān)于t的方程，可求出t．（2）若△APQ為直角三角形，則∠APQ=90°或∠AQP=90°，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，=cosA=cos60°=，即=，解得t=3；當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，=cosA=cos60°=，即=，解得t=．∴當(dāng)t=3或t=時(shí)，△APQ為直角三角形；（3）∵DQ∥AB，∴=，∵CA=CB，∴BD=AQ=2t，又∵DQ∥AB，∴∠APQ=∠PDQ，當(dāng)△BDP∽△PDQ時(shí)，∴∠B=∠PQD，∴∠B=∠APQ=60°，∴△APQ為等邊三角形，∴AP=AQ，即6﹣t=2t，解得t=2．所以當(dāng)t=2時(shí)，△BDP∽△PDQ．2．如圖，小華在晚上由路燈AC走向路燈BD．當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部；當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知小華的身高是1．6m，兩個(gè)路燈的高度都是9．6m，且AP=QB．（1）求兩個(gè)路燈之間的距離；學(xué)！科網(wǎng)（2）當(dāng)小華走到路燈BD的底部時(shí)，他在路燈AC下的影長(zhǎng)是多少？【分析】（1）如圖1，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=AB，再證明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=AB，則AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；（2）如圖2，他在路燈A下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質(zhì)得=，然后利用比例性質(zhì)求出BN即可．【解析】（1）如圖1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，=，即=，∴AP=AB，∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴=，即=，∴BQ=AB，而AP+PQ+BQ=AB，∴AB+12+AB=AB，∴AB=18．答：兩路燈的距離為18m；【名師點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．3．如圖1，∠BAC的余切值為2，AB=2，點(diǎn)D是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的正方形DEFG的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F都在射線AC上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，聯(lián)結(jié)BG，并延長(zhǎng)BG，交射線EC于點(diǎn)P．（1）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列的線段和角中，④⑤是始終保持不變的量（填序號(hào)）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，線段AP的長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（3）如果△PFG與△AFG相似，但面積不相等，求此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如圖，利用三角函數(shù)的定義得到=2，設(shè)BM=t，則AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，則可判斷∠GAF為定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，則可判斷∠BDG為定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函數(shù)可判斷PB在變化，∠BPM在變化，PF在變化；（2）易得四邊形DEMN為矩形，則NM=DE=x，證明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG與△AFG相似，且面積不相等，利用相似比得到PF=x，利用y與x的關(guān)系式得到y(tǒng)=3x+x=x=x，然后解方程求出x即可．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF為定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG為定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在變化，∴PB在變化，∠BPM在變化，∴PF在變化，所以∠BDG和∠GAC是始終保持不變的量；故答案為④⑤；（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG與△AFG相似，且面積不相等，∴=，即=，∴PF=x，∴AP=x，∴=x，解得x=即正方形的邊長(zhǎng)為．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．如圖，與相交于點(diǎn)，過(guò)作的平行線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，已知，，則____．【答案】．【解析】分析：利用已知條件判斷，列出比例關(guān)系，即可求解的值．詳解：，，且在圓中，，故答案為．2．在直角三角形ABC中，，它的內(nèi)切圓分別與邊，，相切于點(diǎn)，，，聯(lián)結(jié)，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，，，已知，求證：（1）；（2）。【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析．【解析】分析：（1）可證∽；（2）可證同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，如證或，這又可通過(guò)證明∽證得．詳解：（1）聯(lián)結(jié)，，則是等腰直角三角形，于是，故。又，則∽，所以①．3．如圖，在ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D為垂足，E是BC的中點(diǎn)．求證：∠EDC=∠ABD．【答案】詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：先由直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，再由，與互余，與互余，得，從而得證．試題解析：證明：在和中，因?yàn)闉楣步?，所以∽，于是．在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，從而．所以．【名師點(diǎn)睛】1．相似三角形的證明方法：（1）找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等；（2）若只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，再判定這個(gè)角的兩鄰邊是否對(duì)應(yīng)成比例；（3）若無(wú)角對(duì)應(yīng)相等，就要證明三邊對(duì)應(yīng)成比例．2．利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)應(yīng)邊的比、對(duì)應(yīng)角的度數(shù)的相關(guān)運(yùn)算時(shí)，要善于聯(lián)想變換比例式，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造相似三角形，同時(shí)注意面積法的應(yīng)用．4．如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點(diǎn)重合），且DE=DG，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥CE，垂足為F．（Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCGF的面積．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）證再證四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）證明四邊形的面積是面積的2倍．試題