2024-2025學(xué)年牡丹江市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷及答案解析

牡丹江市省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年度高三期中

數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間:120分鐘分值：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.若（2—2i）z=i,貝亍=（）

11.11.11.11.

A.—+—1B.----------1C.-------1D.——+—1

44444444

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z=+再根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念分析判斷.

1i(2+2i)11.

【詳解】因?yàn)椋?—2i）z=i,貝ijz=------F—1,

2-2i(2-2i)(2+2i)44

所以n

故選B.

2.從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)

依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40,這11個(gè)數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（）

A.16B.30C.32D.51

【答案】C

【解析】

【分析】將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.

【詳解】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51,

因?yàn)?1x60%=6.6,這11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32.

故選：C.

3.如圖，在ANBC中，NA4c=120°,48=2,NC=1,。是8c邊上靠近8點(diǎn)的三等分點(diǎn)，E是BC邊

上的動(dòng)點(diǎn)，則/.畫的取值范圍為（）

A

V7741047

B.C.D.

V5335T353

【答案】C

【解析】

【分析】先用余弦定理求出|瑟J,再將向量用基底k,方表示，借助向量運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

|18|2+I4C|2-|5C|2

I，解得|前|

【詳解】由cosNA4C=

2西畫

設(shè)區(qū)=2瓦,OV2<1,

則左?麗=（就+3）?麗=（就+2屈）=g就+=|.就.（而一就）+￡九

=-AC-AB--AC2+-A=--+—AE410

3333335T

故選：C

4.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、

小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為28.5尺，最

后三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為1.5尺，今年3月20日17時(shí)37分為春分時(shí)節(jié)，其日影長(zhǎng)為（）

A.4.5尺B,3.5尺C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【解析】

【分析】由題意構(gòu)造等差數(shù)列{%},設(shè)公差為d,利用基本量代換求出通項(xiàng)公式，然后求如.

【詳解】小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)

成等差數(shù)列{%},設(shè)公差為d,由題意得：

Q]+。2+。3=28.5

+%1+。12=1?5

為=10.5

解得：1

所以a“=%+(〃一l)d=11.5—〃，

所以的=11.5—7=4.5,

即春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為4.5.

故選：A

【點(diǎn)睛】(1)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見(jiàn)考查形式：

求解應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語(yǔ)

言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

(2)等差(比)數(shù)列問(wèn)題解決的基本方法：基本量代換.

5.若函數(shù)/(乃=1。80」(12-辦)在區(qū)間(3,6)上單調(diào)遞增.則。的取值范圍是()

A.(-?,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,2]

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域計(jì)算求解.

【詳解】/(x)=log01(12-辦)在區(qū)間(3,6)上單調(diào)遞增,令/=g⑴/=log。/單調(diào)遞減，

則g(x)=12-辦在區(qū)間(3,6)上單調(diào)遞減且恒為正，

所以。＞0且g(6)=12-6a?0,所以0＜。＜2.

故選：D.

6.已知tan，，tan[§—ej是一元二次方程V+ax—5=0的兩個(gè)根，則。=()

A.66B.-673C.4GD.-473

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得1211，+121111--|=一。，tan，tan[g—，]=-5,再利用兩角和的正

切公式可求出。的值.

【詳解】因?yàn)閠an，，tang一。是一元二次方程必+辦—5=0的兩個(gè)根，

(8兀

八(8TInj.

顯然△=/+20>0，所以tan^+tanl——6——Q,tant)tanI--6，I=-5,

tan+tan----0

所以-----------------4=tan5=-73—ci

1-tan^tan3

所以a=6V"

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=x3+3x+l,若關(guān)于x的方程/卜111%)+/(機(jī)+(：05%)=2有實(shí)數(shù)解，則機(jī)的取值范

圍為()

A.1,V2JB.[-1,1]C.[0,1]D,V2,V2J

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)g(x)=/(x)-1=丁+3%，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把/(sinx)+/(加+cosx)=2轉(zhuǎn)化

成機(jī)=-sinx-cosx,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求機(jī)的取值范圍.

【詳解】令g(x)=/(x)T=d+3x,則g<x)=3x2+3〉0恒成立，則g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(x)

是奇函數(shù).

由/(sinx)+/(m+cosx)=2,得/(sinx)-l=-[/(m+cosx)-l],即g(siwc)=g(-m-cosx),

從而sinx=-m-cosx,即機(jī)=-sinx-cosx=-V2sin(x+^e/0,0]

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)g(x)=/(x)-l=/+3x,可得函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)g(x)

的單調(diào)性，把/(5111%)+/(機(jī)+(：08%)=2轉(zhuǎn)化成加=-^11；(：一(：05工，再求機(jī)的取值范圍.

8.若函數(shù)/(%)=卜一2百%+；機(jī)卜機(jī)X—][機(jī)eN*)在[0,4]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的m

的個(gè)數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】就加＞8、機(jī)=8、1〈加K8分類，每種情況結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其取值范圍.

【詳解】令/(x)=0,則機(jī)=0或sin(，%》—四］=o,

4143；

由A二卜2^^)—m=8—m,

當(dāng)加＞8時(shí)，y=%2一2后1+；加在［0,4］上沒(méi)有零點(diǎn)，

則了=sin［；機(jī)在［0,4］上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，

,,,1?！肛?1

因?yàn)橐桓鵻€——,所以2兀W加一巴＜3兀，即」＜加〈—―,

43133333

與加＞8聯(lián)立得8＜加＜—,因?yàn)榧覧N*,所以用的值依次為9,10；

當(dāng)加=8時(shí)，y=%2一2行工+^加在［0,4］上有1個(gè)零點(diǎn)、萬(wàn)，

y—sin^2x——在［0,4］上有3個(gè)零點(diǎn)0,^-,-^-,不滿足題意；

當(dāng)加＜8時(shí)，y=/—2后x+；加在［0,4］上有2個(gè)零點(diǎn)，

故了=sin［；機(jī)X-1］在［0,4］上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)闄C(jī)eN*，所以該零點(diǎn)與j=x2-2瓜+)的零點(diǎn)不相同，

7T714-7171471

所以0V加——＜71,即一W〃i＜—,與14根＜8聯(lián)立得一V〃1＜—,

33333

因?yàn)闄C(jī)eN*，所以機(jī)的取值依次為2,3,4,綜上得符合條件的機(jī)的個(gè)數(shù)是5.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量)=(-2,1),B=(7,T),則()

A.若GlB，則/=—；B,若2,3共線，則f=—2

C.B不可能是單位向量D.若r0,則內(nèi)—『5

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系、向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C,

利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及利用坐標(biāo)求模判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由gB,得值.B=-2t-i=o＞解得/=—-，A正確；

對(duì)于B,由二B共線，得—2x(—1)—11=0,解得/=2,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)t=0時(shí)，不是單位向量，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)"0時(shí)，21-3=(-4,2)—(0,—1)=(—4,3),則百一可=5,D正確.

故選：AD

10.在等比數(shù)列｛氏｝中，。1%=2,。3=4，貝I()

A.｛%｝的公比為近B.｛叫的公比為2

C.%+=20D.數(shù)列＜log,—＞為遞增數(shù)列

〔'an\

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列出等式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為4,

a、q=2,ciy—1,,

依題意得4I2解得＜c所以4=2"T,

=4,[q=2,

故的+%=2?+24=20,故BC正確，A錯(cuò)誤；

,1,[1~

對(duì)于D,log2—=1-〃，則數(shù)列l(wèi)og2一＞為遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=lnx,若/(x),g(x)的圖象與直線乙：y=%x+4分別切于點(diǎn)

5(X2,J2)(X1＞X2)＞與直線4：了=。2%+&分別切于點(diǎn)C，D,且/r4相交于點(diǎn)

尸(%，%)，則()

A.玉一In%=0

c2e2

C.ax>2-a2D-Xo+汽〉-^

UJ.

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)公切線的有關(guān)概念判斷占與馬的關(guān)系，可判斷A、B選項(xiàng)的真假；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

的圖象的對(duì)稱性，可判斷公切線斜率的關(guān)系，結(jié)合基本不等式，判斷C的真假；也可求兩條公切線的交點(diǎn),

判斷D的真假.

【詳解】由題意得了'(x)=e"g'(x)=，，所以4=/'(xJ=g'(x,)=/t止如J,即

Xxr-x2

?e"1Inx1

%=e*=—=----------由e*=—,整理得％i=—ln%2，且In%。。，A錯(cuò)誤；

x2玉-x2X2

把馬=二，lnx,=一再，代入爐=士電三，整理得B正確；

e*石一々七一1

兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以/(x)圖象上的切點(diǎn)有2個(gè)，即/(x)與g(x)的公切線有2條.

因?yàn)?(x)，g(x)的圖象關(guān)于直線歹=》對(duì)稱，所以點(diǎn)2(西,爐)(石70)關(guān)于直線>的對(duì)稱點(diǎn)為

x

,%=e*,出=g'(e~)=,ax+a2=e'+>2,C正確；

因?yàn)橹本€ZB,C。關(guān)于直線V=x對(duì)稱，則點(diǎn)尸就是直線45與直線V=x的交點(diǎn)，

直線28的方程為歹一爐=爐(工一玉)，與歹=x聯(lián)立得x=?二叵，

eX1-1

濟(jì)四(西一1)爐的］、［2(Xj-l)eX1

所以%=%=—所以/+%=一口—'

e1ei

%x+1.2

由e?=------=1+-------且西>/可得］<再<2,

花一1%1-1

Op2

設(shè)/z(x)=(x-l)e'(l<%<2),則〃(x)=xe”〉0,所以辦(%)<〃(2)=/,所以%()+%<—...，D錯(cuò)誤.

eX1-1

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛（1）同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這一

性質(zhì)的應(yīng)用在判斷D選項(xiàng)時(shí)很重要.

（2）看到不等式，就要想到求代數(shù)式的最值，常見(jiàn)的最值的求法有：第一：與二次函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題的

求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值；第三：利用三角函數(shù)的有界性求最值.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12已知平面向量西萬(wàn)滿足比?為=3,且比（應(yīng)-2方），則同=.

【答案】V6

【解析】

【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量垂直的表示直接計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)辇?，（而?方），

所以加,（機(jī)—2”）=0,則應(yīng)2=2方=6，

所以網(wǎng)=布.

故答案為：V6.

13.若c,且cos2a=cos[a+；J,則。=.

7T

【答案】一五

【解析I

【分析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求出sin[a+；]=；,根據(jù)即可求解.

【詳解】由cos2a=cos[a+,得cos2a—sin2a=^^（cosa—sina）.

因?yàn)閍,所以coso-sinaw0,則cosa+sina=^~,則sin[a+—^=—.

,「兀八,口兀/兀兀if兀兀E/口71

由一行,0,得夕+二￡一二，:卜則。+：=：,解得。二一二.

V2J4144）4612

兀

故答案為:

12

S1t3〃+2

14'設(shè)S/"分別為等差數(shù)列a｝'.的前〃項(xiàng)和，且方.設(shè)/是直線叱外一點(diǎn)，P是直線作

上一點(diǎn)，且萬(wàn)=華氏益則實(shí)數(shù)％的值為.

9

【答案】一五'

【解析】

【分析】運(yùn)用三點(diǎn)共線向量公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】依題意，B,C,P三點(diǎn)共線，

4+a.a,

;+2=1,.*.2=1—2x—

4A

依頤音用_2%_%+%_（%+%）xg_s5_3x5+2_17

依出、‘二雙一標(biāo)一―［一丁…一毛

.179

??2=1—2x——-----

2525

9

故答案為：一工

25

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題需要熟練掌握三點(diǎn)共線向量公式，以及等差數(shù)列的求和公式的逆運(yùn)用.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S）,，？=9，=39.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列｛%-2｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和北.

【答案】⑴4=3"

3日-3/+〃—3

(2)?=3"-3〃+2,T”

2

【解析】

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為的,公比為q,依題意得到關(guān)于4、q的方程組，解得生、q,即

可求出通項(xiàng)公式；

（2）依題意可得，=3"-3”+2,利用分組求和法計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為生,公比為4,

a,q=9[q=327

根據(jù)題意可得2“，解得｛.或｛1.

ax+axq+axq-39國(guó)=3q=一

、3

(7,=3

因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，所以「。,

q=3

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=3".

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛%-"｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，

所以氏_a=1+3(“-1)=3"一2,

所以“=3"-3”+2,

所以北=(3+9+27+--+3")-(1+4+7+--+3〃-2)

_3(1-3")n(l+3?-2)_3"+1-3/?2+?-3

~1-32=2'

16.在銳角V4SC中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為。，“c,且q=

cb~-ac

(1)證明：B=2C.

(2)若點(diǎn)。在邊NC上，且CZ)=5Z)=4,求。的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)(4行,4百).

【解析】

【分析】(1)化簡(jiǎn)己知等式結(jié)合余弦定理可得a=c(l+2cosB),再利用兩角和的正弦公式即可證明結(jié)論;

(2)由已知條件結(jié)合正弦定理可得8C=8cosC,根據(jù)銳角V4SC確定角C的范圍，即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：因?yàn)?=所以a2c=/c—。3,

cb-ac

整理得=c(a+cX(7-c).

又以力1，所以a-cwO,/Ajfub~=ac+c~=a2+c2-2accosB>

c

整理得a=c(l+2cosB),則sirU=sinC(l+2cos5).

由sirU=sin(8+C)=sinScosC+cosfisinC,得siaScosC-cosBsinC=sinC,

即5由（8-。）=5吊0,結(jié)合銳角V45C中，8—

則8—C=C,即8=2C.

【小問(wèn)2詳解】

如圖，由CD=80,可得N4CB=NDBC,則/8DC=?！?/ZC8.

BD

在△BCD中，由正弦定理得----------

sin/BDCsin/BCD

BDsin/BDC4sin2C

整理得8C==8cosC.

sin/BCDsinC

0<Y，

因?yàn)?=2C,且V48C是銳角三角形，所以<0<2C<

P解得恭c<%

TT

0<?i-3C<-,

2

貝也<cosC(立

2

從而472<8cosC<4G，即口的取值范圍為（472,473）.

17.18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒（BrookTaylor）發(fā)現(xiàn)的泰勒公式（又稱麥

克勞林公式）有如下特殊形式：當(dāng)/（x）在x=0處的M〃eN*）階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，

2

/（x）=/（O）+r（O）-x+^）.xH,~|'x"+...*其中，/0）表示/（X）的二

階導(dǎo)數(shù)，即為尸（%）的導(dǎo)數(shù),/㈤⑴（心3）表示/（x）的”階導(dǎo)數(shù).

（1）根據(jù)公式估計(jì)cos；的值；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

.X3X51/XH-12n-l

X?X

(2)由公式可得：sinx=x--++(-1)②+…'當(dāng)時(shí)’請(qǐng)比較s2與

X-上的大小，并給出證明;

6

.(1)

sin----

(3)已知〃￡N*，證明：＜+左J1

￡ln(〃+左+l)-ln(〃+左)12〃+9

【答案】(1)0.88

(2)siru>x--,證明見(jiàn)解析

6

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

2468

【分析】(1)根據(jù)泰勒公式求得cosx=l-土+土-土+——，賦值即可求得近似值;

2!4!6!8!

(x3\

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=sinx-X-—(x>0),利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，即可證明;

I6J

(3)根據(jù)(2)中所得結(jié)論，將目標(biāo)式放縮為

.(1)

sm----/、

_______("+N>\--\]________!____|，再裂項(xiàng)求和即可證明.

ln(〃+左+l)-ln(〃+左)3(2〃+2左一12〃+2左+1J

【小問(wèn)1詳解】

記f(x)=cosx,則/'(X)--sinxJ"(x)=-cosxJ⑶(x)=sinx,/?)⑴-cosx,

2468

XXXX

COSX=1一---1-------1----

2!4!6!8!

所以1

cos—

因?yàn)?

(2左)！(2左+2)!(2左)！(2左+2)!(2左+2)!

1--=0.875<cos—<1--H----——<0.878,r.cos—?0.88.

82816x242

【小問(wèn)2詳解】

f1,

令g(x)=sinx—x---(x>0),則g'(x)=cosx-l+_x2,g"(x)=_sinx+x,g(x)=1-cosx,

g"(X)?o恒成立，，g"(X)在(o,+8)遞增,gH(x)>gH⑼=o,g'(x)在(0,+8)遞增,

,、(x3^，、

g'(x)〉g'(0)=0,.'.g(x)在(0,+e)遞增,g(x)=siiu-x--->g(0)=0,

V3

即sinx>x---.

6

【小問(wèn)3詳解】

由題，〃eN+，lW左V〃，則則sin[^—>0,

n+k\n-\-k)n+k6\n+k)

令O(x)=ln(x+l)-x,"(x)=」~^一1=——、，

易得9(x)在(TO)上遞增，在(0,+。)上遞減，從而°(x)<e(O)=O,

即ln(x+l)Vx(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)),

1

0<ln(〃+左+l)—ln(〃+E)=ln1+

n+k)n+k

1

〉〃+《〉0,

1

sin3

n+k11

〉(〃+左)

ln(〃+A:+l)-ln(〃+k)n+kn+k

41,21,21

=1d------------〉1---------------=1--------------------------

6(2〃+2左)23(2〃+2左)2—13(2n+2k-l)-(2n+2k+l)

.J11]

3{2n+2k-l2n+2k+lJ，

1

sin

----------------------〉n—（---------------1--------------P...-------------）

左=iln（〃+左+l）-ln（〃+左）32〃+12〃+32〃+32〃+54〃-14〃+1

=〃」p---

312〃+14〃+1

1（2n、

—n—--------------

3（（2〃+l）.（4〃+l）J

3（8〃2+6?+1J

If2n}1

>n——%---=n------得證.

3（8/+6〃J12/7+9

【點(diǎn)睛】本題第三問(wèn)的處理關(guān)鍵是能夠利用第二問(wèn)結(jié)論，將原式放縮為

.（1]

________\n+k）1<____1__________1____Y再利用裂項(xiàng)求和法證明，對(duì)學(xué)生已知條件

ln（〃+左+l）-ln（〃+左）312〃+2左一12n+2k+\J

的利用能力以及綜合應(yīng)用能力提出了較高的要求，屬綜合困難題.

18.某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和

4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券；第

二次開(kāi)始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券，記顧客

甲第n次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額X,（1<〃<6）的數(shù)學(xué)期望為E（X,,）.

（1）求E（Xj及X2的分布列.

（2）寫出E（Xj與￡（工_1）（〃》2）的遞推關(guān)系式，并證明｛E（X〃）+50｝為等比數(shù)列；

（3）若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值.（考數(shù)據(jù)：1.26622.986）

【答案】（1）￡（Xj=40,分布列見(jiàn)解析；

（2）E（XJ=L2E（X"_J+1O（2<〃<6）,證明見(jiàn)解析；

（3）593.7（元）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出X1,萬(wàn)2的取值及相應(yīng)的概率，再利用期望的計(jì)算公式，即可求出結(jié)

果;

（2）根據(jù)條件，建立關(guān)系式￡（￡,）=2￡（X,i）x0.6+25x0.4,即可求出結(jié)果，再構(gòu)造成

E（XJ+50=1.2（E（X?T）+50）,利用等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)果；

（3）由（2）得到E（X"）=90X1.2"T—50,即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，抽到一個(gè)紅球的概率為9=0.6,抽到一個(gè)黑球的概率為0.4,

10

顯然X]的值為25,50,則尸（X]=25）=0.4,尸（X]=50）=0.6,

所以E（Xj=25x0.4+50x0.6=40,

又凡的值為25,50,100,

則尸（超=25）=0.4,尸（乙=50）=0.4x0.6=0.24,0（起=100）=0.6x0.6=0.36,

所以X2的分布列為：

2550100

P0.40.240.36

【小問(wèn)2詳解】依題意，當(dāng)“22時(shí)，甲第"次抽到紅球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為2E（X〃T）,對(duì)應(yīng)概率為0.6,

抽到黑球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為25元，對(duì)應(yīng)概率為0.4,

因此當(dāng)2<〃<6時(shí)，￡（X"）=2￡（X“T）X0.6+25X0.4=L2￡（X“T）+10,

E（X“）+50=1.2E（X“T）+60,即E（X,）+5O=1.2（E（X"T）+5O）,又￡（Xj+50=40+50=90,

數(shù)列｛￡（￡）+50｝為等比數(shù)列，公比為1.2,首項(xiàng)為90.

【小問(wèn)3詳解】

由（2）得，￡（X“）+50=90X1.2"T（1<〃<6）,即E（X〃）=90x1.2自—50,

所以顧客甲抽獎(jiǎng)6次，所得獎(jiǎng)券數(shù)額的期望為

90（1-1.26）/A90x（1-2.986）〈。-，一、

士〃1-1.2-0.2

19.已知=

（1）求/（x）的定義域;

(2)若/(x)之。恒成立，求。能夠取得的最大整數(shù)值；

z.x-xnn6810In+4〃~+3〃+2/*\

(3)證明：一+—+—+??-+——-—>I1n-------------weNXT.

149/2'，

【答案】(1)(0,+。)

(2)1(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)有意義，得到不等式組〈，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2-4hw,通過(guò)求導(dǎo)推

出g(x)2g(、/e)〉0,即可得到函數(shù)的定義域；

(2)由題設(shè)不