2024-2025學(xué)年冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊《圓》壓軸訓(xùn)練（含答案）

第二十八章圓的壓軸訓(xùn)練

01壓軸總結(jié)

目錄

壓軸題型一利用垂徑定理求平行弦問題1

壓軸題型二90度的圓周角所對的弦是直徑6

壓軸題型三求某點的弧形運動路徑長度10

壓軸題型四求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積13

壓軸題型五求其他不規(guī)則圖形的面積15

壓軸題型六利用圓周角定理解決圓中綜合問題17

壓軸題型七利用垂徑定理解決圓中的綜合問題30

02壓軸題型

壓軸題型一利用垂徑定理求平行弦問題

例題：（2023九年級?全國?專題練習(xí)）

1.在半徑為10的。。中，弦48=12,弦0=16,且則48與8之間的距離

是一

鞏固訓(xùn)練

（22-23九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）

2.設(shè)/8、CD是。。的兩條弦，AB//CD.若。。的半徑為13,48=24,0）=10,貝UN8與

CD之間的距離為.

（2022?黑龍江牡丹江?二模）

3.在半徑為4cm的。。中，弦CD平行于弦N8,/8=4gcm,/BOD=90°,貝。與

CD之間的距離是cm.

（23-24九年級上?甘肅慶陽?期中）

4.已知。。的半徑為13,弦N8平行于CD,CD=10,AB=24,求和CD之間的距

離.

試卷第1頁，共10頁

壓軸題型二90度的圓周角所對的弦是直徑

例題：（23-24九年級下?廣東茂名?期中）

5.如圖，在矩形N8CL?中，/5=6,8C=4,點E是C￡＞上一動點,連接BE,過點C作W，8E

于點R連接。尸,⑷7.面積的最小值為.

鞏固訓(xùn)練

（2024?江蘇無錫?一模）

6.如圖，在矩形/5CD中，48=4米，/。=6米.點P以每秒5米的速度沿折線43-8。

運動，總有垂足為Q.當(dāng)C。取得最小值時，點尸運動了秒.

（2024?江蘇揚州?三模）

7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，/（-6,0）,。是。/上一點，8是了正半軸上一點，且

OB=AD,DEIAB,垂足為E,則的最小值為.

（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）

8.如圖，點反尸為正方形4BCD的/8、CD邊上兩個動點，且/B=4,CF=23E,

于M,連CN,則CN的最小值為.

試卷第2頁，共10頁

AD

F

E

BC

壓軸題型三求某點的弧形運動路徑長度

例題：

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)90。得到

△A'OB',其中點H與點/對應(yīng)，點2'與點8對應(yīng).如果/(-4,0),3(-1,2).則點/經(jīng)過

鞏固訓(xùn)練

10.如圖，在Rt448C中，ABAC=90°,AB=3cm,/3=60。.將△4BC繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)，得到△NB'C,若點8的對應(yīng)點夕恰好落在線段8C上，則點C的運動路徑長是

11.如圖，△4BC和A/BC'是兩個完全重合的直角三角板，Z8=30。，斜邊長為12cm.三

角板HB'C'繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點4落在邊上時，則點H所轉(zhuǎn)過的路徑長為—

cm.

試卷第3頁，共10頁

壓軸題型四求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積

例題：

12.如圖，將半徑為1,圓心角為60。的扇形048繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)36。，得到扇形

則荔掃過的區(qū)域（即圖中陰影部分）的面積為—.

13.如圖，將△NBC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120。得到已知NC=3,8C=2,則線段N2

掃過的圖形（陰影部分）的面積為.

14.如圖，在Rt/UBC中，AACB=90°,ABAC=60°,AB=8,將ZUBC繞點A按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)到AHB'C'的位置，使C'、48三點在同一條直線上，則直角邊8C掃過的圖形面

壓軸題型五求其他不規(guī)則圖形的面積

試卷第4頁，共10頁

例題：

15.圖1是以為直徑的半圓形紙片，48=8,沿著垂直于N8的半徑0C剪開,將扇形CMC

沿向右平移至扇形O'/'C',如圖2,其中。'是08的中點，O'C'交前于點F,則圖中

陰影部分的面積為

圖2

鞏固訓(xùn)練

16.如圖，正五邊形4JCDE的邊長為1,分別以點C,。為圓心，。長為半徑畫弧，兩弧

交于點尸，圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留萬）

17.如圖，在矩形N8C。中，AD=y/2,AB=1,以。為圓心，以4D長為半徑畫弧，以C

為圓心，以CD長為半徑畫弧，兩弧恰好交于2c上的點E處，則陰影部分的面積

為.

壓軸題型六利用圓周角定理解決圓中綜合問題

例題：（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）

18.如圖，ZUSC中，AB=AC.以N8為直徑作。交8c邊于點。，交C4的延長線于

點￡,連接ND,DE.

試卷第5頁，共10頁

E

（2）若/B=5,DE=4,求4D的長.

鞏固訓(xùn)練

（24-25九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）

19.如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于。。，。是弧/C的中點，延長8c到點E,使CE=/B,連

接BD,ED.

（2）若43C=60。，AD=5,求。。的半徑，

（24-25九年級上?山東荷澤?期中）

20.如圖，A48C中，AB=AC,以AB為直徑作。。，交3c于點D,交配4的延長線于點

E,連接力。、DE.

（1）若DE=3,BD-AD=2,求。。的半徑；

⑵在（1）的條件下，求弦月E的長.

（24-25九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）

21.某數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究：

【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,正方形/5C。的四個頂點都在。。上，若點￡是弧上的一點，F(xiàn)

是DE上的一點，S.DF=BE.①試說明：AADF%ABE；②若DF=1,AF=2五,求。。

半徑.

試卷第6頁，共10頁

【解決問題】如圖2,若點E在弧40上，過點4作/請說明線段BE、DE、之

間滿足等量關(guān)系：BE-DE=2AM.

（2024?黑龍江哈爾濱?三模）

22.如圖，己知四邊形/BCD內(nèi)接于。。，連接交于點瓦且4c平分/BCD.

（2）如圖2,若/8/C+/CEO=120。，求證，是等邊三角形；

（3）如圖3,在（2）的條件下，將4B沿ZC翻折得到的射線交線段C。于點M,交。。于點

N,若NC=3,DM=4,求線段/C的長.

（23-24九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）

23.定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美

角.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若四邊形48。是圓美四邊形，求美角一工的度數(shù).

⑵在（1）的條件下，若。。的半徑為8.

試卷第7頁，共10頁

①求AD的長.

②如圖2,在四邊形4BC。中，若。平分/BCD,試求四邊形ABC。面積的最大值.

⑶在(1)的條件下，如圖3,若NC是。。的直徑，請用等式表示線段43、BC、CD之間

的數(shù)量關(guān)系.(直接寫答案)

壓軸題型七利用垂徑定理解決圓中的綜合問題

例題：(24-25九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí))

24.定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做

等垂點.

⑴如圖1,48、NC是。。的等垂弦，ODLAB,垂足分別為。，E.

求證：四邊形是正方形；

(2)如圖2,42是。。的弦，作。。OCLO8分別交。。于。，C兩點，連接CZ).分

別交48、04與點M、點、E.

求證：AB,CD是。。的等垂弦；

(3)己知。。的直徑為10,AB.CO是。。的等垂弦，尸為等垂點.若AP=3BP.求的

長.

鞏固訓(xùn)練

(24-25九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí))

25.如圖，四邊形48c。是。。的內(nèi)接四邊形，連接NC,E為BC延長線上一點，且CD平

分NACE.

試卷第8頁，共10頁

E

(1)如圖①，若NDCE=60。，求證：△/雙)為等邊三角形；

(2)如圖②，若48=10,50=13,求。。的半徑.

⑵-24九年級上?四川瀘州?期中)

26.如圖，如圖所示，是。。的一條弦，垂足為C,交。。于點。，點E在。。

⑴若ZAOD=62°,求NDEB的度數(shù)；

⑵若。。=4,/3=16,求0/的長.

(2024九年級上?江蘇?專題練習(xí))

27.如圖是放于水平桌面上的帶底座的魚缸，其主體部分的縱截面是弓形開口部分

N8與桌面平行，將一玻璃棒斜放進魚缸(魚缸內(nèi)無水)，使玻璃棒底端恰在弧?Vffi的中點

M處，發(fā)現(xiàn)旬1=月8,將玻璃棒豎立起來(MNJ.AB)時，測得MV=37.5cm.

⑴求/A4M的度數(shù)，并求A8的長;

⑵求弧/Affi的長；

試卷第9頁，共10頁

（3）若向魚缸內(nèi)加水，使水面的寬度為48cm,求魚缸內(nèi)水的深度.

（2024?上海虹口?模擬預(yù)測）

28.如圖1是一張乒乓球桌，其側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)如圖2所示，臺面4B=274cm（臺面厚度忽

略不計）與地面平行，且高度為76cm（臺面與地面之間的距離），直線型支架PE與。尸

的上端E,尸與臺面下方相連，尸尸與。尸的下端P,。與直徑為4cm的腳輪（側(cè)面是圓）

相連（銜接之間的距離忽略不計），直線型支架CG與的上端C,D與臺面N8下方相連,

下端G,H與PE,。尸相連，圓弧形支架G"分別與PE,。尸在點G,，相連，且

ATs

PC1AB,OQ1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,尸，已知￡F=106cm,4=?

CE9

Q

tan/ECG=tanZ.FDH=—

3

圖1

⑴求：CG的長度

（2）當(dāng)初所在的圓經(jīng)過點尸、。時，求：初所在的圓的圓心到臺面N8之間的距離

試卷第10頁，共10頁

1.2或14

【分析】由于弦與8的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論：①弦與8

在圓心同側(cè)；②弦43與。在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求

解即可.

【詳解】解：①當(dāng)弦與CD在圓心同側(cè)時，如圖①，

—二答

\/E'-----/JD

圖①

過點。作。尸，AB,垂足為凡交CD于點、E,連接04OC,

AB//CD,

0E^CD,

■■■AB=12,CD=16,

CE=8,AF=6,

■:OA=OC=\Q,

???由勾股定理得：EO=V102-82=6-OF=7102-62=8-

:.EF=OF-OE=2；

②當(dāng)弦48與CD在圓心異側(cè)時，如圖，

過點。作0ELCD于點E,反向延長OE交N8于點尸，連接。4OC,

同理￡。=JU一=6,0F=7102-62=8>

EF=OF+OE=\4,

所以48與CD之間的距離是2或14.

故答案為：2或14.

【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解.

答案第1頁，共31頁

2.17或7##7或17

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由于42、CD在圓心的同側(cè)或異側(cè)不能確定，故應(yīng)分兩種情

況進行討論.

【詳解】解：①當(dāng)/?、CD如圖（一）所示時，過。作。E1CD,交4B于F,連接。4、

■：AB//CD,OELCD,

■■.OFA.AB,

由垂徑定理可知AF=-AB=-x24=12,CE=-CD=-xl0=5,

2222

在RtAC^O中,0E=Sci_CE。=J132_52=12；

同理，OF=S左一=正2一122=5,

AG

故EF=OE-OF=U-5=7；

②當(dāng)4B、CD如圖（二）所示時，過。作OE1CD,交AB于F,連接。4、OC,

同（一）可得0E=12,OF=5,EF=OE+OF=12+5=17；

故答案為：17或7.

【點睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，解答此題時要注意分類討論，不要漏解.

3.2上+2或26-2

【分析】根據(jù)題意，分析兩種N8的位置情況進行求解即可；

【詳解】解：①如圖，AB//CD,過點。作GH1CD

答案第2頁，共31頁

在（DO中

VZBOD=9Q°,GH1AB.GHVCD

.'.ZGOB+ZDOH=90°

：./GOB=NODH

AOGB=ZDHO

???<ZGOB=ZODH

OB=OD

??.\GOB=NDHO（AAS）

??.BG=OH

???OG1AB

：.OH=BG=-AB=2y5

2

???OG=y]OB2-BG2=^42-（2>/3）2=2

:?GH=OH+OG=2&2

-AB//CD

.'.AB與CD之間的距離即GH

.SB與CD之間的距離為26+2

②如圖，作*_L45、PDLAB,連接4。

則有四邊形PEFD是矩形，

vZBOD=9Q°

ZBAD=45°

???PD_LAB

；,AP=PD

答案第3頁，共31頁

-OFLAB

.-.BE=-AB=2y/3

2

11

■■OE=4OB-BE=，42-(2國=2

■■OD2=OF2+FD2

42=(2+PDF+(26-尸

■■PD=2y/3-2

故答案為：26+2或22

【點睛】本題主要圓的的性質(zhì)、三角形的全等，勾股定理，掌握相關(guān)知識并正確做出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

4.N2和8之間的距離為7或17

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，分當(dāng)。。的圓心。位于A3、8之間時，

當(dāng)OO的圓心O不在兩平行弦、CZ）之間時，兩種情況分別利用勾股定理和垂徑定理求

出點。到AB和CD的距離，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)。。的圓心。位于48、CD之間時，作0E1.48于點E,并延長

E0,交CD于尸點.分別連接/0、CO.

■.■AB//CD,

.-.EF1CD,

-.-CZ>=10,AB=24,

.-.AE^-AB^n,CF^-CD^5,

22

在RtA4E0中，由勾股定理得OE=，”一/〃=5,

在Rt^CFO中，由勾股定理得?！?J。。?-。尸2=12,

EF=OE+OF=5+12=17,

■.AB和CD之間的距離為17；

答案第4頁，共31頁

如圖所示，當(dāng)?shù)膱A心。不在兩平行弦/2、之間（即弦/2、C7）在圓心。的同側(cè)）

時，

同理可得：。尸=12,0E=5,

：.EF=OF-OE=1,

■.AB和CD之間的距離為7；

綜上所述，AB和CD之間的距離為7或17.

5.8

【分析】取3c得中點。，由判斷出尸在以。為圓心，BC為直徑的圓上，即可

求解.

【詳解】解：取8c得中點。，

BA

二尸在以。為圓心，5C為直徑的圓上

-.F到AD的最小距離為AB-OF=4

△/FD面積的最小值為gx4x4=8

故答案為：8.

【點睛】本題考查了動點的軌跡問題，關(guān)鍵是根據(jù)W_L8E,判斷出尸在以。為圓心，BC

為直徑的圓上.

6.-

5

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理.由乙4。。=90。，

知點P在以/。為直徑的。。上，當(dāng)C、0、。三點共線時，C。取得最小值，證明

△CPQSAODQ,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

答案第5頁，共31頁

【詳解】解：???四邊形是矩形，

：.AB=CD=A^z,/D=BC=6米，AD//BC.

AQ1PD,ZAQD=90°,

點尸在以為直徑的。。上，

???當(dāng)C、。、。三點共線時，。。取得最小值，如圖,

,-.OD=^AD=3,CD=AB=4,

?1?OC=V32+42=5，

...CQ=5_3=2,

vCP//OD,

...ACPQsAODQ,

CP_CQCP2

ODOQ'133

CP=2,

???點尸運動了N8+8尸=4+(6-4)=8米，

O

???點尸運動了2秒.

故答案為：g.

7.3A/5-3##-3+3A/5

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，圓周角定理，點到圓上的最短距離，勾股定

理等知識點，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

過點A作/尸，x軸，交DE的延長線于點尸，利用判定出得到

AF=OA=6,再根據(jù)乙4跖=90。推出￡點的運動軌跡，取4月的中點連接OM,用勾

股定理求出加的長，即可求得最小值.

【詳解】解：如圖，過點A作4F_Lx軸，交。E的延長線于點尸，

答案第6頁，共31頁

?.?^4(-6,0),

??.OA=6.

vDE1AB,軸，

ZADE+ZOAB=90°,/F+NADE=90。,

/F=ZOAB,

又?:AD=OB,ZFAD=ZAOB=90°,

.MFADAAOB(ASA),

AF=OA=6,

???ZAEF=90°,

???點E在以/尸為直徑的圓上，

取4尸的中點〃，連接OM,

；.ME=AM=；AF=3,QM=^AM2+AO2=VF+67=375>

.,?當(dāng)點M、E、。三點共線時，有OE的最小值為(W-ME=3括-3;

故答案為：375-3.

8.2V10-2V2

【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及圓的有關(guān)性

質(zhì)等知識，延長百交C2的延長線于點“，得AHBESAHCF,求出HB=4,AH=4y^,得點

〃在以為直徑的圓上運動，取的中點。，由勾股定理得出OC=2麗，從而可得出

CM的最小值

【詳解】解：延長交C8的延長線于點〃，如圖，

答案第7頁，共31頁

.“HBESAHCF,

HBBEBE

''HC~~CF~12BE~^

.,.HC=2HB,

又HC=HB+BC,

；,HB=BC=4,AH7AB?+HB2=4后,

???AM1EF,

："AMH=9G。,

即點〃在以/7/為直徑的圓上運動，

如圖，取的中點。，連接ON。。交O。于點貝(J(W=(Wi=；M7=2后,

當(dāng)O,M,C三點共線時，CM=CMX,此時，CM值最小，

過點。作于點G,則OG〃ZB,

OGHO1HGHO_x

??萬一/一5'~BG~~OA~

???OG=-AB=2,HG=BG=2,

2

??.CG=5G+8C=2+4=6,

?-OC=y/CG2+OG2=V62+22=2M

??CM的最小值為2&U-2亞

故答案為：2而-2血

9.2萬

【分析】/點坐標(biāo)為已知，求出04長度，再利用弧長公式/=怒YITT求V解即可.

180

【詳解】解：-4,0)

如圖，由題意/點以原點。旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了90°

答案第8頁，共31頁

?-?點A經(jīng)過的路徑AA'的長度=意QQ-77二"X4=27

1oil

【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)、弧長等知識點，需要熟練掌握弧長計算公式.

10.6兀

【分析】由于NC旋轉(zhuǎn)到NC',故C的運動路徑長是CC'的圓弧長度，根據(jù)弧長公式求解即

可.

【詳解】以N為圓心作圓弧CC',如圖所示.

則8c=24B=2x3=6(cm).

月C=^BC2-AB2=A/62-32=36(cm).

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AB=AB',又N8=60。，

KABB'是等邊三角形.

:.NBAB'=60°.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，ZCAC'=60°.

故弧CC'的長度為：黑x2x%x/C=fx3如=6乃(cm)；

3603

故答案為：△兀

【點睛】本題考查了含30°角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識

點，解題的關(guān)鍵是明確C點的運動軌跡.

答案第9頁，共31頁

11.2TT

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求弧長，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直

角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到乙4=60。，

AC=^AB=6cm,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得。'=C4,于是可判斷A。/為等邊三角形，所以

=60°,然后根據(jù)弧長公式計算弧44'的長度即可.

【詳解】解：???N/C8=90°,N3=30°,^5=12cm,

Z.A=60°,AC=^AB=6cm,

1??三角板HB'C'繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，點4落在AB邊上，

CA'=CA,

.?.△C44'為等邊三角形，

ZACA'=60°

，遼460^x6c

弧AA的長度=———=2^-cm,

1o(J

即點H所轉(zhuǎn)過的路徑長2萬cm.

故答案為：2TT.

~71

12.—

10

【分析】結(jié)合已知條件及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，根據(jù)面積的和差可得“影=s扇形加"，然后利用扇形面積

公式計算即可.

【詳解】???3=03=1,ZAOB=60°,

.?.△/O8為等邊三角形，

AB-OA=1,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，NOAO'=/BAB，=36°,S^AOB=，

貝US陰影=S扇形"*+SAAOB-S扇形ZQ8+S扇形40?-S“OE，

=S扇形氏4"，

36^-xl2

360

答案第10頁，共31頁

7t

10

故答案為：—

【點睛】此題考查了扇形的面積及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合已知條件將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形的面

積是解題的關(guān)鍵.

5n

13-T

【分析】由于將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)120。得到A40C,可見，陰影部分面積為扇形NC4,減扇

形8C9，分別計算兩扇形面積，再計算其差即可.

【詳解】解：如圖：由旋轉(zhuǎn)可得:

乙4CA'=ABCB'=120°,又NC=3,BC=2,

120/rxAC2

S?ACA^=3萬,

360

1207xBC?4乃

S扇形BCBF

3603

則線段掃過的圖形的面積為3萬-亨=三

故答案為：

【點睛】本題考查了扇形面積的計算和陰影部分的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩扇形面積

的查是解題的關(guān)鍵.

14.16兀

【分析】根據(jù)題意可得：AC=AC'=4,BC=B'C'=AC，NB'AC'=NB'AC=NCAB=60。,

因此直角邊掃過的圖形面積為S=S4BC+S扇形S扇形CNC-S&ABC，因為SAZ*CLS“6C，

因此S=S扇形BXBS扇形C/C，代入數(shù)值即可求得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：NC=/C'=4,BC=B'C'=4人,

NB'AC'=ZB'AC=NCAB=60°,/\ABC^/\AB'C',

答案第11頁，共31頁

所以直角邊8c掃過的圖形面積為S=SAABP+S扇彩B，*B~S扇形U/C—SdABC

由于SAABC—SAABC,

120°x^-x82120°x^x4264%164

所以S=S扇形—S扇形c，/c=-----------------------------------=--------------=107T，

360°360°33

故答案為：167.

【點睛】本題考查了軌跡問題，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出BC掃過的面積構(gòu)成，利用扇

形的面積公式計算即可.

15.y-2^

【分析】根據(jù)題意和圖形，利用勾股定理，可以求得。'尸的長，再根據(jù)圖形，可知陰影部分

的面積=扇形C08的面積SAOOR的面積一扇形C的面積，計算即可.

【詳解】解：連接。尸，

由題意可得，OB=4,00'—2,

圖2

ZOFO'=30°,

NO'OF=60°,

O'F=273，

2

90萬x42x2630XTTX

陰影部分的面積是:

3602360

故答案為：y-2V3

【點睛】本題考查扇形面積的計算、平移的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

16.2上

215

【分析】連接CF,DF,由C/=。尸=CD=1,得/FCD=NFDC=60°,求出

/FCZJn/FDCuGO。，根據(jù)公式求出S扇形品尸，SjE-cm$扇形＜w，即可得到陰影面積.

【詳解】如圖，連接CF,DF,

答案第12頁，共31頁

由題意，得/5。。=（5-2）-180：=]08。,

-CF=DF=CD=\,

，ZFCD=ZFDC=60°,

...Z5CF=108°-60°=48°,

_487rxi2_2TI

??扇形BCL360一!？'

C_V3X12_V3

"△CFO-A1一'

_60^-xI2_7i

扇形皿■-360-丁

_27lVJ7T_y[371

+T--=T--

故答案為：

215

【點睛】此題考查了求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，正多邊形的性質(zhì)，正確理解圖形

面積的計算方法連接輔助線是解題的關(guān)鍵.

【分析】如圖，連接。E,根據(jù)勾股定理，得。后=也，根據(jù)陰影部分的面積岳為：扇形

的面積減去邑，根據(jù)S2的等于扇形DCE的面積減去邑，即可求解.

【詳解】解：連接。￡,如圖:

?.?四邊形/BCD是矩形,

:.NADC=NBCD=90°,AB=DC=1,

答案第13頁，共31頁

EC=DC=1,

/./CDE=45。,

:.ZADE=45°,

「?扇形的面積為：45%x（后）j、

3604

c_Wxl2111

,Scz-ScwfRCE-Ss-^---Xlxl----,

陰影部分的面積為：sx=smADE-s2=^-^-^=^.

故答案為：—.

2

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，扇形的面積，三角形面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公

式，矩形的性質(zhì).

18.（1）見解析

⑵/。=3

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.

（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出乙408=90。，結(jié)合等腰三角形三線合一，即可求

證；

（2）根據(jù)圓周角定理和等邊對等角推出NE=NC,則CD=OE=4,由（1）可得BD=CD=4,

AD1BC,最后根據(jù)勾股定理，即可解答.

【詳解】（1）證明：???/2為。。直徑，

ZADB=90°,即4D12C,

■：AB=AC,

：.BD=CD.

（2）解：=

NB=NC,

???ZB=ZE,

ZE=ZC,

■■■DE=4,

CD=DE=4,

由（1）可得：BD=CD=4,AD1BC,

■.■AB=5,

答案第14頁，共31頁

???AD=ylAB2-BD2=行孑=3-

19.⑴見解析

⑵5

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)；

(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到4/。=NEC。，再證明△48。絲△CED即可得到

BD=ED；

(2)連接。。并延長交。。于尸，連接CF,則NFCD=90。，根據(jù)已知條件得到

NABD=NCBD,AD=CD=5,求得NF=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???〃是弧/C的中點，

■■AD=CD>

AD=DC,

???四邊形4BCD內(nèi)接于。。，

：.ABAD+ABCD=\^°,

???NECD+NBCD=18Q。,

ABAD=/ECD,

?:CE=AB

△ABD段ACED(SAS),

BD=ED；

(2)解：連接。。并延長交O。于尸，連接CF,

???。是弧ZC的中點，

???=①，

/ABD=/CBD,AD=CD=5,

-ZABC=60°,

答案第15頁，共31頁

ZCBD=30°,

???"=/D5C=30。，

??.DF=2CD=10,

.??。。的半徑;。尸=5.

20.⑴半徑為巫

2

(2)AE=jy/10

【分析】(1)根據(jù)半圓(直徑)所對的圓周角是直角、三線合一、同弧或等弧所對的圓周角

相等、等腰三角形的性質(zhì)推得8O=DC=DE=3,再結(jié)合勾股定理即可求得直徑4B,從而

求得半徑.

(2)證明AE￡>CSAR4C,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到2CEC=OC3C求出EC,最后根據(jù)

4E=EC-/C即可得解.

【詳解】(1)解：???48是。。直徑，

ZADB=90°,

即ADLBC,

AB=AC,

:"B=NC,BD=CD,

??

???AD=ADf

/B=/E,

ZE=ZC,

??,BD=DC=DE=3,

'：BD-AD=2,

AD=\,

22

???在放△/B。中，AB=YJAD+BD=Vio，

。。的半徑為巫.

2

(2)解：?：AB=AC=屈,BD=DC=3,

BC=6,

?:NB=NE,ZC=ZC,

答案第16頁，共31頁

MEDCSABAC,

,ECDC

,?麗一就‘

即NCEC=DCBC,

二屈一EC=3x6,

：.EC=*M,

AE=EC-AC==^410.

【點睛】本題考查的知識點是三線合一、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、同弧或等弧

所對的圓周角相等、半圓(直徑)所對的圓周角是直角、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解

題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

21.【問題發(fā)現(xiàn)】①見解析；②巫

2

【解決問題】見解析

【分析】【問題發(fā)現(xiàn)】①由同弧對的圓周角相等及SAS可證明AADF知ABE；②連接BD,

則/?！?=90°；由A4DF咨A4BE得BE=DF=1,AE=AF=2y/2,NDAF=NBAE,貝?。?/p>

可得△/斯是等腰直角三角形，從而求得EF與DE,由勾股定理即可求得直徑皿，從而

求得圓的半徑；

【解決問題】在8E上取連接NG,則可證明△4BG之,得

NBAG=NDAE,AG=AE,則得/E/G=90。；由NAf_LBE及NG=4E1,從而可得

GE=2ME,NMAE=NAEM=45°,則有最后即可得=.

【問題發(fā)現(xiàn)】解：①,:凝=標(biāo),

NADF=NABE；

■:四邊形為正方形，

???AD=AB,ADAB=90°；

■：DF=BE

...^ADF當(dāng)A/3E(SAS)；

②如圖，連接AD,

ADAB=90°,

.?.2。為。。的直徑，

答案第17頁，共31頁

圖1

??.ZDEB=90°；

“ADF知ABE,

BE=DF=\,AE=AF=2y/2,/DAF=NBAE,

???/EAF=/BAE+Z.BAF=/DAF+zBAF=/DAB=90°,

???/\AEF是等腰直角三角形，

???EF=ylAE2+AF2=y[2AF=4，DE=EF+DF=5；

由勾股定理得=/。爐+^爐二向,

.??o。的半徑為也；

2

【解決問題】解：如圖，在3E上取5G=。E，連接力G,

???熊=靛'

ZADE=ZABG；

vAD=AB,ADAB=9Q0,

圖2

???AABG^AADE,

/BAG=ZDAE,AG=AE,

ZEAG=/DAE+ZDAG=zBAG+ZDAG=/DAB=90°；

vAMBE,AG=AE,

GE=2ME,ZMAE=-zEAG=45°,

2

???ZMAE=ZAEM=45°,

答案第18頁，共31頁

AM=ME,

.'.GE=2AM；

BE-BG=GE,

BE-DE=2AM.

【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，90度圓周角對的弦為直徑，全等三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，涉及的知識點較多，證明

三角形全等是解題的關(guān)鍵.

22.(1)見解析；

(2)見解析；

(3)10.

【分析】題目主要考查圓與三角形綜合問題，包括圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì),

全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意得=再由圓周角定理及等量代換得出=利用

等角對等邊即可證明；

(2)根據(jù)圓周角定理得出=再由等量代換確定

ZACD=180°-(ZBDC+NCED)=60°,根據(jù)等邊三角形的判定即可證明；

(3)設(shè)/氏4C=/C4N=a,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理，利用全等三角形的判定

得出結(jié)合圖形，根據(jù)其性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：平分NBC。，

NACB=ZACD,

:弧/8=弧43,

ZACB=ZADB,

:弧，￡>=弧/。，

ZACD=ZABD,

ZADB=ZABD,

AB=AD；

(2)證明：如圖：二,弧弧

ZBAC=ZBDC,且/B/C+NCEZ>=120。，

/.ZBDC+ZCED=120°,

答案第19頁，共31頁

ZACD=180°-(/BDC+ZCED)=60°,

ZABD=ZACD=60°^AB=AD,

「.△ABD為等邊三角形;

(3)解：如圖：設(shè)/BAC=/CAN=a,

???△45。為等邊三角形，

:.ZDAN=60°-2a,

???弧弧8C,

/BDC=/BAC=a,

:.ZADC=600+a,

???弧4C=弧ZC,

ZANC=ZADC=60。+a,

???弧。N=MDN,

/.ZDCN=ADAN=60°-2a,

/.ZCMN=180°-ZANC-ZDCN=60。+a=ZANC,

：.CM=CN=3,

:.CD=CM+DM=1,

ZACD=60°=/ACB,ABAC=/CAN,AC=AC,

:./\ABC會AAMC,

/.BC=CM=3

在C4上截取CF=5C=3,且//CB=60。，

「.△BC方是等邊二角形，

/.BC=BF,ZCBF=60°=/ABD,

ZCBF-ZEBF=/ABD-ZEBF

答案第20頁，共31頁

:.NABF=NCBD,S.AB=BD,

,△ABF出ADBC,

AF=CD=7,

AC=AF+CF=10.

23.（l）ZA=60°

（2）①80=8百；②64百

⑶BC+2CD=gB

【分析】（1）利用圓美四邊形和美角的定義解答即可；

（2）①作出。。的直徑。E,利用圓周角定理和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；

②延長C3至點E,使BE=CD,連接利用圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和全

等三角形的判定與性質(zhì)得到NE=N/C〃=60。，則為等邊三角形；利用

=S"c，求出△AEC的面積的最大值即可得出結(jié)論；

（3）延長8C交的延長線于點￡,利用圓周角定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，直

角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解:???四邊形/BCD是圓美四邊形，

:.ZA=-ZBCD,

2

???四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，

:.AA+ABCD=\^°,

3N/=180°,

ZA=60°.

（2）①作直徑?！?連接BE,如圖，

ZEBD=90°,

由（1）知：乙4=60。,

ZE=ZA=60°,

答案第21頁，共31頁

???。。的半徑為8,

:.DE=16.

:.BD=DE-smE=\6x—=^.

2

②延長C5至點E,使BE=CD,連接4E,如圖,

由(1)知：ABAD=60°,

/BCD=180°-/BAD=120°,

???C4平分/BCD,

NBCA=ZDCA=-/BCD=60°.

2

AB=AD，

/.AB=AD,

???四邊形/BCD是圓的內(nèi)接四邊形,

AABC+AADC=\^°,

-ZABE+ZABC=180°f

/./ABE=NADC.

在aABE和aADC中，

AB=AD

</ABE=/ADC,

BE=DC

△4BE&/Z)C(SAS)

.??Z￡=NACD=60°,

ZEAC=1800-ZE-ZBCA=60°,

ZE=ZACE=ZEAC,

??.△4EC為等邊三角形.

S四邊形/Be。=S4ABe+‘ADC，SMEC=‘WEB+^^ABC，

S.AEC?

答案第22頁，共31頁

ZX/EC的面積最大時，四邊形面積最大.

???當(dāng)/C取得最大值時，的面積最大，

???當(dāng)NC為圓的直徑時，四邊形N3C。面積最大.

即AC=16時，四邊形ABCD面積取得最大值=4/￡。的面積的最大值,

，四邊形/BCD面積的最大值=、16xl6x@=64g.

22

(3)BC+2CD^y/3AB.理由：

延長8c交4D的延長線于點E,如圖,

???/C是。。的直徑,

：.ACDE=90°.

由（1）知：ABAD=60°,

=30°,

:.CE=2CD，

BE=BC+CE=BC+2CD.

「tan八包

BE

AB

3BC+2CD

BC+2CD=43AB.

故答案為：BC+2CD=y/3AB.

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)

角和定理，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全

等三角形的判定與性質(zhì)，本題是新定義型，正確理解新定義并熟練應(yīng)用，連接直徑所對的圓

周角是解題的關(guān)鍵

24.⑴見解析

答案第23頁，共31頁

(2)見解析

(3)4石或2石

【分析】(1)根據(jù)ODLAB,OELAC,得證四邊形/DOE是矩形，結(jié)合

NB=NC,根據(jù)垂徑定理，得==證明四邊形ZDOE是正方形.

(2)連接NC,根據(jù)定義，利用圓周角定理證明.

(3)分尸等垂點在圓內(nèi)和圓外兩種情況求解即可.

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意，得ABJ.AC,OD1AB,OELAC,

四邊形/DOE是矩形，

■：AB=AC,

根據(jù)垂徑定理，^AE=^AB=^AC=AD

???四邊形是正方形.

(2)證明：?.?O0_LCU,OCLOB,

ZAOD=ZBOC=90°,

.-.ZAOD+ZAOC=ZBOC+ZAOC,

ZCOD=ZAOB,

ZACD=-ZAOD=45°