2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）（學(xué)生版+解析）

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）

（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、典型題型..............................................1

題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差.............................1

題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比.............................4

題型三：插入新數(shù)混合...................................5

二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練........7

一、典型題型

題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差

1.（23-24高二下?陜西漢中?階段練習(xí)）己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”=2a"+”3.

（1）證明數(shù)歹支4-1｝為等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）在“"和。用之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為4的等差數(shù)列，求數(shù)列

的前”項(xiàng)和

⑶若對(duì)于任意“CN+，數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

2.(2024?四川瀘州?二模)已知數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S“，S?-|(a?-l)(neN*).

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵在4與a油之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為芝的等差數(shù)列，求”.

3.(2024,湖南?二模)已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，滿足2s“+a“=3；數(shù)列出｝滿足

或+%=2九+1,其中4=1.

⑴求數(shù)列｛4｝,但｝的通項(xiàng)公式;

⑵對(duì)于給定的正整數(shù)幣=1,2,…,n),在a；和ai+1之間插入i個(gè)數(shù)c;1,c⑵…,q,,使a,.,4,

c,2,Q,aM成等差數(shù)列,

(i)求(=d+C21+C22+---+C,,1+c?2+---+c??；

粼-1+~—

5)是否存在正整數(shù)機(jī)，使得------募為恰好是數(shù)列｛%｝或｛〃｝中的項(xiàng)？若存在，求出

b-1-------

m27；—3

所有滿足條件的加的值；若不存在，說明理由.

4.(2024?黑龍江,二模)已知等比數(shù)列｛見｝的前w項(xiàng)和為S“，且S用=3S“+1,其中〃eN*.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)在%與a向之間插入”個(gè)數(shù),使這“+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為服的等差數(shù)列，在數(shù)列｛""｝中

是否存在不同三項(xiàng)4“，dk,必(其中見我，〃成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣

的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5.(2024?四川瀘州?二模)已知數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和S"=?a,-l)("eN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

b

⑵在%，與“用之間插入"個(gè)數(shù)，使這"+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為“的等差數(shù)列，若?！?岌，

求數(shù)列｛““+1｝的前〃項(xiàng)和

題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比

1.（2024?湖北武漢二模）已知等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,,且ax=3S“+2（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）在凡與。用之間插入"個(gè)數(shù)，使這"+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為Z的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中

是否存在3項(xiàng)《“，dk,%（其中〃z,k,。成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣

的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.（23-24高三上,上海普陀?期中）已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,%=2%+3（“22）.

（1）證明：數(shù)列｛q+3｝為等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）在凡與％之間插入"個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為Z的等差數(shù)列，在數(shù)列｛〃“｝中

是否存在不同的三項(xiàng)4“、dk、dp（其中機(jī)、0P成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求

出所有滿足條件的機(jī)、k.P；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.（23-24高三上?湖北?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S,,,且滿足：a“=-S“+l,〃eN*

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）在J與％之間插入〃個(gè)數(shù)，使這九+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為力的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中

是否存在三項(xiàng)4“,4,4（其中根,/U成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

4.(2023?吉林通化?模擬預(yù)測(cè))S”為數(shù)列也,｝的前"項(xiàng)和，已知65"=4+3*-4,且為>0.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式?！埃?/p>

(2)數(shù)列也｝依次為：%,3,%,3。33,%,34,35,36,/3,38,393°…，規(guī)律是在七和七+1中間插入

M左eN*)項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列也“｝的前100

項(xiàng)的和.

題型三：插入新數(shù)混合

1.(23-24高二下?四川綿陽?階段練習(xí))數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為%且S,,+2=2%(〃eN)

⑴求數(shù)列｛“/的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列也｝滿足6*_(/+3々)〃+22=0(ze/?,〃eN*).

①試確定實(shí)數(shù)t的值，使得數(shù)列｛么｝為等差數(shù)列；

②在①的結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)鼠在外與4用之間插入4個(gè)2,得到一個(gè)數(shù)列｛&｝.設(shè)

T,是數(shù)列｛c?｝的前“項(xiàng)和，試求滿足Tni=2glM的所有正整數(shù)機(jī).

2.(23-24高三下?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試)記數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和S,,,對(duì)任意正整數(shù)"，

有2Sn=nan,且叼=3.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵對(duì)所有正整數(shù)機(jī)，若4<#<一,則在雙和/兩項(xiàng)中插入4%由此得到一個(gè)新數(shù)列也｝,

求｛2｝的前91項(xiàng)和.

3.（23-24高三上?天津?期末）已知公差為d的等差數(shù)列｛%｝和公比4＞。的等比數(shù)列也｝中，

%—Z?1—1,a?+83=8,+b?=9.

（1）求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

_n

⑵求+1-Z；

Z=1

⑶若在數(shù)列｛%｝任意相鄰兩項(xiàng)4,a角之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)c“，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛4｝,若

實(shí)數(shù)c”滿足%?！?必=1,求數(shù)列｛〃.｝的前2〃項(xiàng)和S2n.

4.（23-24高二上?廣東?期末）已知數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和S,,,且斗=2"-2

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式,若將數(shù)列｛%｝中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列出｝中,

組成一個(gè)新數(shù)列：4，4，瓦,a2,a3,b3,a4,a5,a6,%,b4,...,%與初1之間插入項(xiàng)

｛%｝中的項(xiàng)，該新數(shù)列記作數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)的和工。。.

二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（23-24高二下?廣東惠州?階段練習(xí)）己知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S“，且％=2,引=9.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）保持?jǐn)?shù)列｛%｝中的各項(xiàng)順序不變，在每兩項(xiàng)4與4+i之間插入一項(xiàng)左（以+1-4）（其中

左=1,2,3,…）組成新的數(shù)列也｝記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為，，若（＞2024,求〃的最小值.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,3s,=2%+1.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）在數(shù)列｛%｝的附和出華項(xiàng)之間插入上個(gè)數(shù)，使得這上+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)歹！J,其中左=1,2,…,”,

將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列｛2｝，設(shè)，為數(shù)歹U｛2｝的前"項(xiàng)和，求心.

3.(23-24高二下?重慶?階段練習(xí))已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.,也｝為等比數(shù)列,

且4=4=1,S4=/?5,%+〃3=%.

(1)求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若在%與4+1之間依次插入數(shù)列｛%｝中的左項(xiàng)，構(gòu)成如下的新數(shù)列｛c,,｝；

"［也,0%,%為，%，％，々，…，記該數(shù)列的前九項(xiàng)和為1,求金.

4.(2024高三?江蘇?專題練習(xí))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝中，q=1且滿足

a,；-。；=2%+2a用，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“,滿足25"+1=3么.

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若在4與%之間依次插入數(shù)列｛%｝中的％項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列｛%｝：白，%,b2,a2,%,b｝,

%，%，&，為，……，求數(shù)列｛5｝中前50項(xiàng)的和豈。.

7.（23-24高二上?黑龍江大慶?期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，4+%+%=6,

%+%+。9=24.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）在%和°用之間插入w個(gè)數(shù)，使這”+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為4,的等差數(shù)列，求數(shù)列

的前”項(xiàng)和7“.

8.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)遞增等比數(shù)列｛/｝滿足4嗎是方程必_10》+16=0的

兩根.

⑴求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列｛%｝依次為4,4,"2也,砥。3也也，%，%，々也，4，%），。5,…，規(guī)律是在外和4+1中間插

入左項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)歹求數(shù)列｛%｝的前60項(xiàng)的

和.

9.（21-22高三上?貴州黔東南?期末）已知等比數(shù)列｛%｝滿足4=2,a“>0,且％

成等差數(shù)列，記％=log,%.

⑴求數(shù)列抄“｝的通項(xiàng)公式；

⑵若在數(shù)列也｝任意相鄰兩項(xiàng)優(yōu)也包之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)g,從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛紇｝.若

實(shí)數(shù)c“滿足以也M?%=1,求數(shù)列｛4｝的前2w項(xiàng)和$2“.

10.(23-24高三上?江西?期中)已知s”是正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，滿足

⑸用一SR)⑸包一2S“+S?-1)=2(n>2),01Hg=瓜

(1)若log%%xlog%gxlog%%X…Xlog%4.+1=6,求正整數(shù)"2的值；

⑵若a=尸，在底與瓦+1(keN*)之間插入｛碼中從d開始的連續(xù)％項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列｛%｝,即

｛%｝為偽，也,求｛cj的前30項(xiàng)的和.

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）

（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、典型題型..............................................1

題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差.............................1

題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比.............................4

題型三：插入新數(shù)混合...................................5

二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練........7

一、典型題型

題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差

（高二下,陜西漢中,階段練習(xí)）已知數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和為，

1.23-24S“SS?=2an+n-3.

⑴證明數(shù)歹￡4-1｝為等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）在。"和。用之間插入"個(gè)數(shù)，使這”+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為口的等差數(shù)列，求數(shù)列］:

的前"項(xiàng)和籌.

⑶若對(duì)于任意“CN+，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】①證明見解析，

an=2"-'+l

⑵北=6-崇

（3）m<2

fS1,M—1/、

【分析】（1）根據(jù)%=;0、c，作差得到”22,從而得到

a?-l=2（^-1）,即可得證，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得;

2”T1n+1

(2)依題意可得點(diǎn)=二則7=不丁，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得；

(3)依題意可得6-霽〉根(?eN+)恒成立，令4=景，利用作差法判斷｛a｝的單調(diào)

性，即可求出6-累的最小值，即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)镾“=2a“+〃一3①，

當(dāng)”=1時(shí)，4=2q-2,所以弓=2.

當(dāng)“22時(shí)，S,T=2%+〃-4②，

由①一②得an=2a.-2a“_1+1,即a.=2a“_]—1,

所以%—l=2(a,T—l),又a「l=l,

所以數(shù)列｛4-1｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以%-1=2"一，故a"=2"T+l.

（2）因?yàn)椋?4+5+1）%所以2"+1=2"+1+5+1）或，

r\n—\1n+1

解得d,='所以

n+1

234n+1

所以q=吩+耍+?+…-I--------

2”T

1234nn+1

―/”=~THH—r+,??H------TH----------

22122232'i2"

兩式相減得/=2+[**+?+...+*]-答

〃+3

所以￡=6-

2"一1'

〃

(3)由于對(duì)于任意“?N+，恒成立，即6-穿+＞3機(jī)恒成立,

〃

等價(jià)于6-皆+3的最小值大于機(jī).

〃+3n+4〃+3—n—2n+2

令?=賓，則&「4=<0,

2"2"TT

所以數(shù)列也｝是遞減數(shù)列，故數(shù)列｛bn｝中的最大值為乙=霽=4,

所以I,的最小值為2,所以當(dāng)北＞“對(duì)于任意"eN+恒成立時(shí)，機(jī)＜2.

3

2.（2024?四川瀘州?二模）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，S“=5（q「D（"€N*）.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵在凡與a角之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為強(qiáng)的等差數(shù)列，求〃.

【答案】（1）為=3"

（2）〃=99

【分析】（1）利用“"與I的關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式即可得解；

（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.

【詳解】⑴因?yàn)镾“=ga“一l）（weN*）,

3

當(dāng)”=1時(shí)，百=］（4-l）=q,所以4=3,

當(dāng)“22時(shí)，S,”i=5（%「1）,

33

所以為=s.-Se=萬（4一1）一,整理得%=3%_,

所以數(shù)列｛%｝是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為an=3"；

（2）因?yàn)?=3",%+產(chǎn)3M,

3"1

由題意得：3,,+1=3"+（/J+1）->即3=1+（〃+1）,,

所以〃=99.

3.（2024,湖南?二模）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，滿足2s“+%=3；數(shù)列出｝滿足

或+%=2〃+1,其中4=1.

⑴求數(shù)列｛q｝,｛優(yōu)｝的通項(xiàng)公式；

⑵對(duì)于給定的正整數(shù)中=1,2,…,n）,在4和4+1之間插入i個(gè)數(shù)cncu,使%ca,

《2,cu,aM成等差數(shù)列.

（i）求北=Q+c21+c22+??-+ctA+c?2+.??+cnn.

%-1+——

（ii）是否存在正整數(shù)機(jī)，使得------表號(hào)恰好是數(shù)列｛%｝或｛，｝中的項(xiàng)？若存在，求出

b-1-------

2T「3

所有滿足條件的根的值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)Q〃

⑵⑴Tn(ii)存在，m=l

乙ZXD

【分析】(1)根據(jù)S“,a”的關(guān)系式可得｛/｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列，再根據(jù)

b”+bn+l=2〃+1可分別對(duì)｛bn｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求通項(xiàng)公式可得

，R="("eN*)；

(2)(i)利用定義可求得新插入的數(shù)列公差47=一42可，求得q=簽2rl并利用錯(cuò)位相減

法即可求出北=口-誓!；

乙ZXD

bm-l+—Im+i

(ii)求得-------黑一二絲中工，易知對(duì)于任意正整數(shù)加均有1<加一“3：:3,而

b12一+3m—1+3"m-1+T

m2Tm-3

a?=QJ'<1，所以不是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)；又2=〃(〃eN*),分別對(duì)其取值為

3"+i

+=2,3時(shí)解方程可求得m=1.

*1+3'"

【詳解】(1)由說+見=3①，當(dāng)"22時(shí)，2s,i+%=3②，

。②得2an+an-an_x=O..'.=g%(nN2),

當(dāng)〃=1時(shí)，2q+4=3,/.q=1,

...｛%｝是首項(xiàng)為1,公比為g的等比數(shù)列，故(〃eN*),

由2+%=2〃+1③.由4=1

得a=2,又優(yōu)+1+2+2=2"+3④.

④-③得口2-2=2,

｛b,,｝的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列：

所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列.

得,“T=l+(/z-l)x2=2?-l,&2n=2+(〃-l)x2=2",;.2=eN*).

綜上可得,b“=〃(〃eN*)；

(2)(i)在%和1之間新插入〃個(gè)數(shù)c“,q,2,…，c”“，使4,c”“,％成等差數(shù)列,

n—\

設(shè)公差為z,則4+12

d〃=

(n+2)-l〃+13"(〃+1)

n—\

2kn2n(n+1)2n

則c〃z=q+胴，?二X。成=

3〃5+1)k=lF's+i)'23〃

Tn=41+01+022+，，，+CH1+或2+一?+或〃二21；+,+???+/)⑤

則)=2。+》…+g]⑥

111

------X—

3〃3n2〃+3

⑤-⑥得:=23

y773ml

7

32〃+3

所以可得(=5

2x3〃

⑷7(PT_32〃+3

(u)由(1)a?=1-I也=M〃eN),又T"=1-布下,

^-1+—

m-1+3^1

_______一+2

由己知

712m+3m-1+3"

b-1---------

機(jī)27；-3

假設(shè)"L1+3：是數(shù)列｛%｝或例｝中的一項(xiàng)，

m—1+3

_i_|_4根+i/、

不妨設(shè)-w-----^-=k｛k>O,meN(左一1)(加-1)=(3—女)?3加,

因?yàn)闄C(jī)—120,3'">0(meN*),所以1<心3,而

所以n不可能是數(shù)列｛g｝中的項(xiàng).

_i3m+1(、

假設(shè)祖w人+I是也中的項(xiàng),貝也￡N*.

m—1

當(dāng)％=2時(shí)，有機(jī)—1=3"，即.=1，

人，/\團(tuán)一1e(.\(\m機(jī)-1-2m+3

之于\m)~3加，于+1)-/￡\m)~3，+i3、--3、+i'

當(dāng)"2=1時(shí)，/(1)</(2);

當(dāng)力N2時(shí),f(m+T)-f(ni)<O,f(l)</(2)>/(3)>”4)>…，

由/⑴=。"(2)=[知舞=1無解.

當(dāng)左=3時(shí)，有機(jī)一1=0,即加=1.

_i3.（、

所以存在m=1使m得+=3是數(shù)列出｝中的第3項(xiàng);

加―1+3根+1_|_Qm+1

又對(duì)于任意正整數(shù)加均有1<W3,所以左“時(shí)，方程上1+J一=女均無解;

m-1+3"2m-1+3"

粼-1+~~~

綜上可知，存在正整數(shù)根=1使得------晶片是數(shù)列也｝中的第3項(xiàng).

b—1-----------

2『3

超-1+--

____________〃/n+2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解是否存在正整數(shù)加，使得恰好是數(shù)列｛凡｝或也｝

112m+3

b-----------

27；—3

_i3W+1（、

中的項(xiàng)時(shí)，關(guān)鍵是限定出1m+W3,再對(duì)數(shù)列｛凡｝的取值范圍進(jìn)行限定可得不是數(shù)

列｛七｝中的項(xiàng)，再由｛2｝只能取得正整數(shù)可知只需討論:二=2或3有無解即可求得結(jié)

論.

4.（2024?黑龍江?二模）已知等比數(shù)列｛見｝的前w項(xiàng)和為工，且S,”|=3S“+1,其中〃eN*.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）在凡與a用之間插入”個(gè)數(shù),使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為4,的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中

是否存在不同三項(xiàng)心，dk,必（其中辦后,P成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣

的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴q,=3"T

（2）不存在，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得%+I=3%（九22）,從而可得公比，故可求首項(xiàng)從而得到通

項(xiàng)公式；

（2）先求出｛4｝的通項(xiàng)，再利用反證法結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得矛盾，從而得到數(shù)列｛4｝

中不存在不同三項(xiàng)以，dk,。（其中肛后,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.

【詳解】（1）因?yàn)镾用=3S.+1,故S“=3S“T+1,故禺M=3q（“22）,

而｛%｝為等比數(shù)列，故其公比為3,

又$2=35]+1,故3“1+%=3弓+1,故q=l,

故a“=lx3"T=3"T.

（2）由題設(shè)可得4=%+「"〃=22’,

n+2-1n+\

若數(shù)列｛4｝中存在不同三項(xiàng)4“，dk,dp(其中成等差數(shù)列)成等比數(shù)列，

2x3"i丫2x3"i2x3p-1?,工必/站可

則------=------x----------,因加,K,p為等差數(shù)列，

(左+1)m+1p+1

^(^+1)2=(m+l)x(p+l)B|Jk2=mp,故J=mp,

故機(jī)=p即機(jī)="=左，這樣九Kp不同矛盾，

故數(shù)列｛4｝中不存在不同三項(xiàng)4“，dk,弘(其中加,匕P成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.

5.(2024?四川瀘州?二模)已知數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和S,,=|(a,-l)(〃eN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

b

(2)在耳，與%之間插入”個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為或的等差數(shù)列，若c,=年，

求數(shù)列｛c“c,+J的前〃項(xiàng)和(.

【答案】⑴。"=3"

(2

產(chǎn)n+2

ISi,M—1_(、

【分析】⑴根據(jù)4=]_s〃>2,作差得到。"=3見1,從而得到｛甩｝是以3為首項(xiàng),

3為公比的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式；

a+la

(2)由(1)^bn="~"=—,從而得至此“1+1=4x]」一一二],利用裂項(xiàng)相消

法求和即可.

【詳解】(1)因?yàn)镾“=*"T("N*),

3

當(dāng)”=1時(shí)S|=5(q-l)=q,解得4=3,

3

當(dāng)心2時(shí)

所以S“_S“T=w(a“T)_](a“_iT),即?！?-??-

所以%=3a“_[,

即數(shù)列｛4｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以?！?3".

(2)因?yàn)?=3",4+1=3”\

n+1n+1

2x3〃

n+1n+2

所以q=4x+,,,+4x

n+1n+2

2Tl

2n+2n+2

題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比

1.（2024,湖北武漢?二模）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且aM=3S.+26eN）

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）在%與a用之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為媒的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中

是否存在3項(xiàng)服，dk,dp（其中機(jī)，k,2成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣

的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴證明見解析；

⑵不存在，理由見解析.

【分析】（1）利用等比數(shù)列定義，根據(jù)將"=1,〃=2代入構(gòu)造方程組解得4=2,q=4,

可得數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式=2x4-1；

（2）假設(shè)存在會(huì)，dk,。成等比數(shù)列，由m,k,2成等差數(shù)列可得象=m+。，且

依+1）2=（m+1）（。+1）,解得左=%=。，與己知矛盾，因此不存在這樣的3項(xiàng).

【詳解】（1）由題意知當(dāng)”=1時(shí)，《4=34+2①

當(dāng)〃=2時(shí)，qq?=3（q+qq）+2②

聯(lián)立①②，解得4=2,4=4；

所以數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式%=2x4”。

（2）由（1）知a“=2x4"T,“用=2x4",

所以am=q+（,+2-1"，可得4="用一4=生世二；

n+1n+1

設(shè)數(shù)列｛4｝中存在3項(xiàng)4，4,%（其中加，3P成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則d：=dm-dp,

2t2m+p2

b,」6x4iy6x4小6x4"-'Bn36x4-36x4-

=,

所以^7F'^TF即（上+ir一（.+1）5+1）；

又因?yàn)闄C(jī)，k,P成等差數(shù)列，所以2左=加+。，

所以（左+1）2=（m+l）（p+l）,化簡得左2+21=wp+Mi+p,即42=〃?/?；

又2k=in+p,所以左=7"=p與已知矛盾；

所以在數(shù)列｛4｝中不存在3項(xiàng)（，dk,打成等比數(shù)列.

2.（23-24高三上?上海普陀?期中）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,a?=2??_1+3（/i>2）.

（1）證明：數(shù)列｛4+3｝為等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）在4與a用之間插入"個(gè)數(shù)，使這"+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為服的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中

是否存在不同的三項(xiàng)公、乙、%（其中機(jī)、k、P成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求

出所有滿足條件的機(jī)、上、P-,若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴證明見解析,4=2向-3

⑵不存在，理由見解析

【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列｛%+3｝為等比數(shù)列，確定數(shù)列｛q,+3｝的

首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列｛q+3｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義出d“，假設(shè)存在滿足條件的三項(xiàng)《“、dk、々（其中機(jī)、k、P

成等差數(shù)列），由已知可得出2左=%+。，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出外=44，,化簡得

出依+l）2=W+l）（p+l）,再利用作差法推出矛盾，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列｛氏｝滿足4=1,%=2a,t+3（:亞2）,

則當(dāng)〃22時(shí)，a“+3=2（a._］+3）,且4+3=4,

所以，數(shù)列｛%+3｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以，a.+3=4-2"T=2"+i,.故a“=2"+J3.

（2）解：在％與。向之間插入w個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為服的等差數(shù)列,

n+1n+\n+l

假設(shè)數(shù)列｛4｝中是否存在不同的三項(xiàng)或、4、外（其中機(jī)、k、P成等差數(shù)列）成等比數(shù)

列，

m++2

（/\（?p+i、22%+22P

貝1^：=4"恐，即［口］m+i即而17=0+1）5+1）'

由已知可得2左=根+2,所以，（女+1）2=（機(jī)+

事實(shí)上，（左+1）2_（機(jī)+l）（p+i）=（左2+2女+1）_（初+機(jī)+p+1）=k2—mp

(m+皿m1+p2+Imp-4mp(加一,J〉.

一12J~mP~4--4->'

即伏+l)2>W+l)(p+l),矛盾,假設(shè)不成立，

故不存在這樣的三項(xiàng)4“、兒、念成等比數(shù)列.

3.(23-24高三上?湖北?階段練習(xí))己知數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為S“，且滿足：%=-S“+l,〃eN*

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵在凡與a用之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為Z的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中

是否存在三項(xiàng)服，4,4(其中加#J成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴為=目

⑵不存在，理由見解析

【分析】(1)由a“=-S“+l(〃eN*),得“,T=-Se+1,兩式相減化簡可得｛%｝是以g為

首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，從而可求出通項(xiàng)公式，

(2)由題意可得dn=-——W,假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)dm,dk,dt成等比數(shù)列，則力=dmd,,

n+ly2)

結(jié)合已知化簡可得結(jié)論.

【詳解】(1)由a“=-S“+107cN*)①

得心2時(shí)磯=-S,7+l②

①-②得%=；a,i(nN2),①中令”=1得q=；,

..?｛4｝是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)歹U，

ny+1_nv

⑵d,…，⑸一⑶一1

n+1〃+1n+}\2）

假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)dm,dk,dt成等比數(shù)列，

??,{4}為遞增數(shù)列，不妨設(shè)根<左</,

+2+，

貝udm<dk<dt,：.di=dmdt=f-V=—f-T—f-

mkfL（A+l）2（2jm+K2jf+l（2

則在不3-（m+l）（?+l）UJ，

???加,左J成等差數(shù)列，

/.2k=m+t,/.（左+1）2=（m+l）?+l）n左之=mt,

f2k―-YYI+1

由〈2，得（加一。2=0,所以機(jī)=r=左，與題設(shè)矛盾

[k=mt

???不存在這樣的三項(xiàng)d“,4,4（其中加質(zhì)1成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.

4.（2023?吉林通化?模擬預(yù)測(cè)）S”為數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和，已知6S“=d+3%-4,且?！?gt;0.

⑴求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式與；

⑵數(shù)列也｝依次為：%3,2,32,3?,%,B’S,3$,/3,38,393°…，規(guī)律是在《和七+1中間插入

M左eN*）項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列｛"｝的前100

項(xiàng)的和.

【答案】⑴?！?3〃+1

388+569

-2

【分析】（1）利用項(xiàng)與和的關(guān)系即可求解；

（2）先確定數(shù)列｛，｝的前100項(xiàng)中含有｛%｝的前13項(xiàng)，含有｛3'｝中的前87項(xiàng)，再利用分

組求和的方法即可求解.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，6s1=6%=+3〃]—4,解得％=4（〃1=一1舍去）,

由6S,=〃；+34—4得〃22時(shí)，6sM=（?！ㄒ籡）?+3^-4,

兩式相減得6%=一a；-+3an-3an_x,（an+J（q一an_x-3）=Q,

因?yàn)?>。所以?！ㄒ?T=3,

所以｛4｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4,公差為3,

所以q=4+3-1）=3〃+1；

（2）由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78,78+12<10。，

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,91+13>104

因此數(shù)列抄）的前100項(xiàng)中含有｛凡｝的前13項(xiàng)，含有｛3〃｝中的前87項(xiàng)，

所求和為S=4X]3+^^X3+3（1-3）:388+569.

21-32

題型三：插入新數(shù)混合

1.(23-24高二下?四川綿陽?階段練習(xí))數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，且S“+2=2q,(〃eN)

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列電｝滿足6“2_(/+32)“+2d=0(teR,”eN*).

①試確定實(shí)數(shù)f的值，使得數(shù)列也,｝為等差數(shù)列；

②在①的結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)鼠在外與之間插入4個(gè)2,得到一個(gè)數(shù)列｛g｝.設(shè)

T?是數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和，試求滿足Tm=2cm+1的所有正整數(shù)機(jī).

【答案】⑴％=2”

(2)①f=4；②加=2

【分析】(1)根據(jù)題意，推得a=2,再求得q=2,得到數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，即可求

an-\

解；

(2)①根據(jù)題意，求得4也也的值，結(jié)合伉+4=2打，求得r=4,即可求解；

k+l2

(2)根據(jù)題意，得到％+1必是數(shù)列｛凡｝中的某一項(xiàng)4M，^Tm=2+2k+2k-2,結(jié)合

k+1

2cm+l=2ak+1=2x2,得出2"+1=嚴(yán)+%=左次+1),進(jìn)而求得心的值.

【詳解】⑴解:因?yàn)樵跀?shù)列｛4｝中，Sn=2an-2,

當(dāng)〃22時(shí),Sa=2a—2,

兩式相減得=2a“-2a“_i,可得an=2an_t(n>2),

又因?yàn)椤?]時(shí),4=S[=2q-2,可得a1=2,

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故。，=2.2"T=2".

—154—3/

(2)①當(dāng)〃=1時(shí)，可得仇=6-?，當(dāng)〃=2時(shí)，得/?2=6-耳，，當(dāng)〃=3時(shí)，得4=--一，

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，可得4+么=2么，可得，=4,

當(dāng)1=4時(shí)，由6/—(，+3/?〃)幾+2/?〃=0,可得=2",

又由%-2=2,當(dāng)力=4時(shí),數(shù)列也｝為等差數(shù)列；

②由題意知。=%=2,。2=。3=2,Q=%=4,。5=。6=。7=。8=2,%=。3=8,…，

則當(dāng)帆=1時(shí)，7；=2w2c2=4,不合題意，舍去；

當(dāng)帆=2時(shí)，=cl+c2=4=2C3,所以m=2成立；

當(dāng)機(jī)23時(shí)，若5+產(chǎn)2,則圖工2%+],理由如下，

從而c,?+1必是數(shù)列｛%｝中的某一項(xiàng)at+l,

T=q+2+,,,+2+a?+2+,,?+2+七+2+???+2++???+ak+2+,,,+2

則m

(2+22+23+..?+2%)+2伯+2+4+???+4)

k2

=2(2*—1)+2xQ；=+2k+2k-2,

又因?yàn)?%討=2/討=2x2^,所以+2嚴(yán)+2左一2=2x2^,

即2"—左之—左+1=0,所以2"+1=左之+左=k(k+1)9

因?yàn)?&+lpeN*)為奇數(shù)，而嚴(yán)+左=左(4+1)為偶數(shù)，所以上式無解，

即當(dāng)比23時(shí)，看尸2%入不合題意,舍去；

綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有m=2.

2.(23-24高三下?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試)記數(shù)列｛七｝的前"項(xiàng)和S“，對(duì)任意正整數(shù)〃，

有2sLi=nan,且%=3.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵對(duì)所有正整數(shù)”?，若4<4'"<ak+l,則在4和a1兩項(xiàng)中插入4",由此得到一個(gè)新數(shù)列也｝,

求｛2｝的前91項(xiàng)和.

【答案】(1)%=3(〃-1)

(2)11563

【分析】(1)由4=5“-51(〃22)得出數(shù)列｛%｝的遞推關(guān)系，然后由連乘法求得通項(xiàng)％;

4

(2)考慮至此晨佝心甲，ag7=258>4,從而確定也,｝的前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自｛風(fēng)｝,其

他4項(xiàng)由4"組成，由此分組求和.

【詳解】⑴由2s“="。"，貝I]2s“+i=(〃+l)a“+i，兩式相減得：2an+1^(n+l)an+1-nan,

,an

即心時(shí)，才n+]=百

整理得：(n-l)a?+1=mn

%n-\n-22々”

所以〃22時(shí)，a?=—■—-?a9=---------------...—3=3(〃

an-ian-2a2n—2n-31

又〃=1時(shí)，2q=q,得％=0,也滿足上式.

故為=3(〃T).

(2)由〃%=270,所以44＜的＜45,

又〃87=258＞4=所以也｝前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自｛凡｝.

所以故4+62+…+”40=(%+〃2+i+%7)+(41+4?+4,+4,

87(%+%)?4(4』)

=11223+340=11563-

24-1

3.(23-24高三上?天津?期末)已知公差為d的等差數(shù)列｛q｝和公比4＞。的等比數(shù)列也,｝中,

%—Z?1—1,a?+83=8,+b?=9.

(1)求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵求+1-Z；

Z=1

⑶若在數(shù)列｛見｝任意相鄰兩項(xiàng)4,a角之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)c“，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛4｝,若

實(shí)數(shù)c“滿足%%+C=1,求數(shù)列｛〃,｝的前2n項(xiàng)和S2n.

【答案】⑴。“=3〃-2也=2^

(2)2"+2-3〃一4

【分析】(1)利用條件計(jì)算等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量即可；

(2)利用錯(cuò)位相減法計(jì)算求和即可；

(3)利用裂項(xiàng)相消法及分組法計(jì)算求和即可.

【詳解】(1)由已知4=4=1,得卜2+,=1+,曹=8解得[=3,4=2,

[a3+b2=l+2d+q=9

=1+3(〃—1)=3〃-2,勿=2"T；

n

⑵記匕=Z*=叫+她T+…+岫，

Z=1

所以￡=1?2"T+4-T-2+...+（3n-2）x2°,

=l-2^2+4-2"-3+...+（377-2）x2^,

‘1-2*（3H-2）

作差得：g勺=2"T+3x（2"-2+2"-...+2°）-2）=2a+3

I1-22

22

=2"+2-3n-4；

（3）由（1）得?！?3〃-2M“+i