2024-2025學年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路：利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性問題（常規(guī)問題）（學生版+解析）

專題02利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性問題（常規(guī)問題）

（典型題型歸類訓練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：求已知函數(shù)（不含參）的單調區(qū)間................2

題型二：已知函數(shù)〃龍）在區(qū)間。上單調求參數(shù)..............2

題型三：已知函數(shù)/（九）在區(qū)間。上存在單調區(qū)間求參數(shù)......3

題型四：已知函數(shù)/（%）在區(qū)間。上不單調求參數(shù)............3

題型五：已知函數(shù)/（九）在單調區(qū)間的個數(shù).................14

三、專項訓練.............................................16

一、必備秘籍

1、求已知函數(shù)（不含參）的單調區(qū)間

①求y=于（x）的定義域

②求廣（X）

③令/'（x）＞0,解不等式，求單調增區(qū)間

④令/'（x）＜。，解不等式，求單調減區(qū)間

注：求單調區(qū)間時，令/'（x）＞0（或/'（x）＜0）不跟等號.

2、已知函數(shù)/（九）的遞增（遞減）區(qū)間為（。/）

=Xi=a,%=b是/'（x）=0的兩個根

3、已知函數(shù)/（九）在區(qū)間。上單調

①已知/（九）在區(qū)間。上單調遞增0Vxe￡＞,/'（力20恒成立.

②已知/（九）在區(qū)間。上單調遞減0Vxe￡＞,/'（x）W0恒成立.

注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.

4、已知函數(shù)/（%）在區(qū)間。上存在單調區(qū)間

①已知/（X）在區(qū)間D上存在單調遞增區(qū)間=±G。，f（%）>0有解.

②已知〃尤）在區(qū)間。上單調遞區(qū)間減=士e￡）,/'（x）<0有解.

5、已知函數(shù)/（九）在區(qū)間。上不單調=三/€。，使得/（X0）=。（且環(huán)是變號零點）

二、典型題型

題型一：求已知函數(shù)（不含參）的單調區(qū)間

1.（2024?貴州貴陽?模擬預測）若/（x）=alnx+b/+尤在x=l和x=2處有極值，則函數(shù)/（x）

的單調遞增區(qū)間是（）

A.（-8,1）B.（2,+00）C.（1,2）D.Q,1

2.（2024,江西鷹潭?模擬預測）函數(shù)y=-V+mx的單調遞增區(qū)間為（）

A.%］B.（0,e）C.［唱D

3.（2024?北京?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=￡^+l,則函數(shù)的單調增區(qū)間為.

4.（2024?廣西?模擬預測）函數(shù)〃尤）=3尤2-2》-3111元的單調遞增區(qū)間為.

題型二：已知函數(shù)A"）在區(qū)間。上單調求參數(shù)

1.（23-24高二上?福建南平?階段練習）己知函數(shù)〃x）=lnx-存在區(qū)間［1,3］上單調遞減，

則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.6Z>1C.aN—D.〃>—

33

2.（23-24高二上?山西長治?期末）若函數(shù)/（x）=?（a>0且awl）在區(qū)間（；,+。上單

調遞增，則實數(shù)。的取值范圍是.

3.（22-23高二下?全國?課后作業(yè)）函數(shù)/（x）=x-2sinx在（0,兀）上的單調遞增區(qū)間為.

4.（23-24高三上?河南?階段練習）若函數(shù)〃x）=sinx+alnx的圖象在區(qū)間《,無）上單調遞

增,則實數(shù)。的最小值為

題型三：已知函數(shù)〃龍）在區(qū)間。上存在單調區(qū)間求參數(shù)

1.（23-24高三上?福建泉州?階段練習）若函數(shù)=-2x在口,4］上存在單調遞

增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.（-l,+oo）C.1co,-焉D.1高

2.（2023高三?全國,專題練習）若函數(shù)g（x）=ln尤+；尤2-。-l）x存在單調遞減區(qū)間，則實

數(shù)6的取值范圍是（）

A.［3,+co）B.（3,+oo）

C.（-oo,3）D.（-8,3］

3.（23-24高二下?江蘇常州?階段練習）若函數(shù)/（村=；》3一62+尤存在單調遞減區(qū)間，則

實數(shù)。的取值范圍為是.

4.（2024高二?全國?專題練習）若函數(shù)/（尤）=仆2+》-也存在增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范

圍為.

題型四：已知函數(shù)/（%）在區(qū)間。上不單調求參數(shù)

1.（2024高三下?全國?專題練習）若函數(shù)-4尤-1在卜1,1］上不是單調函數(shù)，

則實數(shù)。的取值范圍是.

2.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）若函數(shù)〃%）=^（依3-*-2）在區(qū)間（2,3）上不是單

調函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

3.（23-24高二上?河南許昌?期末）若函數(shù)/（無）=：尤2-41n尤在其定義域的一個子區(qū)間

（左-2水+2）上，不是單調函數(shù)，則實數(shù)左的取值范圍是.

4.（23-24高二上?江蘇徐州,階段練習）已知函數(shù)〃x）=V+2d—"+2在［0,2］上不是單調

函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為.

4.（23-24高二下?廣東清遠?期中）已知函數(shù)〃X）=：尤2+2..3原，則外力的單調遞減區(qū)

間是（）

A.（-3,1）B.（0,1）C.（",—3）,（1,內）D.（1,+8）

5.（23-24高二下?重慶?期中）若函數(shù)/（x）=Ax-61nx+d在區(qū)間［1,+8）上單調遞增，則實

數(shù)k的取值范圍為（）

A.［4,+oo）B.（一。,4］C.（4,+oo）D.（^o,4）

6.（23-24高二下?四川內江?階段練習）若函數(shù)〃同=2九2—InX在其定義域內的一個子區(qū)間

信-1,左+1）內不是單調函數(shù)，則實數(shù)人的取值范圍是（）

731

A.k>—B.kz<—

22

313

C.\<k<-D.——<k<-

222

7.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）若函數(shù)〃彳）=1僦+以2-2在區(qū)間g,21內存在單調

遞增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-2,+oo）B.1（,+00］C.-g-21D.［-2,+oo）

8.（23-24高二下?陜西咸陽?階段練習）已知函數(shù)〃x）=e'-alnx在區(qū)間（0,1）上單調遞減，

則。的最小值為（）

,11

A./B.eC.——D.一一y

ee

9.（多選）（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習）已知函數(shù)/（無）=-</+2以-1皿，

若在區(qū)間［1,3］上單調遞減，貝心可以取到的整數(shù)值有（）

A.0B.1C.2D.3

10.（多選）（23-24高二下?寧夏?階段練習）己知函數(shù)/（x）=（x-4）lnx在區(qū)間［L2］上存在

單調遞減區(qū)間，貝"可能的值為（）

A.0B.1C.2D.e

11.（23-24高二下?陜西渭南?期中）已知函數(shù)〃x）=/-12x,若在區(qū)間（2加，價+1）上

單調遞減，則實數(shù)m的取值范圍是.

12.（2024高三下?全國?專題練習）若函數(shù)f（x）=alnx+^x2+2bx在區(qū)間［1,3］上單調遞

增，則a+4b的最小值為.

13.（23-24高二下?陜西西安?階段練習）已知函數(shù)+在1,2上存在單調

遞增區(qū)間，則實數(shù)b的取值范圍是.

14.（23-24高二下?天津和平?階段練習）已知函數(shù)/（x）=or2-lnx在區(qū)間［1,2］上存在單調遞

增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍是

專題02利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性問題（常規(guī)問題）

（典型題型歸類訓練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：求已知函數(shù)（不含參）的單調區(qū)間................2

題型二：已知函數(shù)/（九）在區(qū)間。上單調求參數(shù)..............2

題型三：已知函數(shù)/（九）在區(qū)間。上存在單調區(qū)間求參數(shù).....3

題型四：已知函數(shù)/（%）在區(qū)間。上不單調求參數(shù)............3

題型五：已知函數(shù)/（九）在單調區(qū)間的個數(shù).................14

三、專項訓練.............................................16

一、必備秘籍

1、求已知函數(shù)（不含參）的單調區(qū)間

①求y=于（x）的定義域

②求尸（X）

③令/'（x）＞0,解不等式，求單調增區(qū)間

④令r（x）＜。，解不等式，求單調減區(qū)間

注：求單調區(qū)間時，令/'（x）＞0（或/'（x）＜0）不跟等號.

2、已知函數(shù)/（光）的遞增（遞減）區(qū)間為（。/）

=Xi=a,%=b是/'（x）=0的兩個根

3、已知函數(shù)/（九）在區(qū)間。上單調

①已知/（九）在區(qū)間。上單調遞增0Vxe￡＞,/'（力20恒成立.

②已知/（九）在區(qū)間。上單調遞減0Vxe￡＞,/'（x）W0恒成立.

注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.

4、已知函數(shù)/（%）在區(qū)間。上存在單調區(qū)間

①已知/（X）在區(qū)間D上存在單調遞增區(qū)間=±G。，f（%）＞0有解.

②已知〃尤）在區(qū)間。上單調遞區(qū)間減=士e￡）,/'（x）＜0有解.

5、已知函數(shù)/（九）在區(qū)間。上不單調=三/€。，使得/（X0）=。（且環(huán)是變號零點）

二、典型題型

題型一：求已知函數(shù)（不含參）的單調區(qū)間

1.（2024?貴州貴陽?模擬預測）若〃x）=alnx+b/+尤在x=l和x=2處有極值，則函數(shù)

的單調遞增區(qū)間是（）

A.（-8,1）B.（2,+00）C.（1,2）D.Q,1

【答案】C

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意r（i）=o且r（2）=。，即可得到方程組，從而求出〃、

匕的值，再利用導數(shù)求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間.

【詳解】因為/'（%）=alnx+Zy?+x,所以尸（x）=幺+2法+1,

2

a+2b+l=Qa=——

3

由已知得:a，解得,

-+4Z?+l=0

12b=--

6

所以/（無）=-31nx-2d+x,所以/=尤+]=_（x一?（xT）,

363x33%

由r（x）＞0,解得1＜X＜2,所以函數(shù)“X）的單調遞增區(qū)間是（1,2）.

故選：C.

2.（2024?江西鷹潭?模擬預測）函數(shù)y=-f+inx的單調遞增區(qū)間為（）

A.B.（0,e）D.

【答案】D

【分析】先求導，再由y＞。求解.

【詳解】解：因為y=-/+inx,

所以y'=—2XH—(x>0),

尤

由y'>0,BP-2x+—>0,

x

解得0<x（正,

2

所以函數(shù)y=-Y+inx的單調遞增區(qū)間為0,

故選：D

3.（2024?北京?模擬預測）已知函數(shù)〃尤）=11+1,則函數(shù)/（X）的單調增區(qū)間為.

【答案】（—1,1）

【分析】根據(jù)導函數(shù)求單調區(qū)間即可.

1-X

【詳解】函數(shù)〃尤）的定義域為R,f3可4/^）>0,解得—所以函

數(shù)/（x）的單調遞增區(qū)間為（T1）.

故答案為：（-1,1）.

4.（2024?廣西?模擬預測）函數(shù)〃尤）=gd-2x-31nx的單調遞增區(qū)間為

【答案】（3,+8）

【分析】先確定函數(shù)定義域，利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系求單調增區(qū)間.

【詳解】函數(shù)〃尤）的定義域為（0,+功，

:⑴…2二「—X-3=（1）（x+l）,

XXX

由（（x）>0得x>3或x<-l（因為x>0,故舍去），

所以〃尤）在區(qū)間（3,+"）上單調遞增.

故答案為：（3,+8）

題型二：已知函數(shù)A"）在區(qū)間。上單調求參數(shù)

1.（23-24高二上?福建南平?階段練習）已知函數(shù)〃力=限-"在區(qū)間［1,3］上單調遞減,

則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.B.a>1C.aN—D.4〉一

33

【答案】A

【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的關系將問題轉化為。2工恒成立問題，從而得解.

X

【詳解】因為〃x）=liu--依，所以尸

因為〃尤）在區(qū)間［1,3］上單調遞減,

所以r（x）WO,即LwO,則a2工在［1,3］上恒成立,

XX

因為y=：在［1,3］上單調遞減，所以ymax=i，故a?L

故選：A.

2.（23-24高二上?山西長治?期末）若函數(shù)/（刈=，（a>0且awl）在區(qū)間上單

調遞增，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】5,+動

【分析】函數(shù)求導后，/（X）在區(qū)間上單調遞增，轉化為了'（x"O在區(qū)間［,+少］上

恒成立，然后利用函數(shù)單調性求最值即得.

【詳解】由函數(shù)/（x）=f（a>0且awl）在區(qū)間上單調遞增，

得:（x）="In：優(yōu)=優(yōu)（無?加1）0在區(qū)間上恒成立,

XX7乙）

又/在區(qū)間上恒正，只需滿足xlna-120在區(qū)間上恒成立即可，

令g（尤）=xlna—l,

若0<a<l,則lna<0,則一次函數(shù)g（x）=xlna-l在區(qū)間上單調遞減,不可能恒正；

若。>1,則lna>0,則一次函數(shù)g（x）=xln?！?在區(qū)間單調遞增，

所以只需g（x）>gd0,即gin“-120,解得

故答案為：|52,+8）.

3.（22-23高二下?全國?課后作業(yè)）函數(shù)/（尤）=02s加在（0㈤上的單調遞增區(qū)間為.

【答案】"

【分析】直接利用導數(shù)求遞增區(qū)間即可.

【詳解】由題意得尸（x）=l-2cosx,貝i］cosx＜；,又xw（O,兀），

解得1＜x＜兀，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為兀;

故答案為：［］兀］

4.（23-24高三上?河南?階段練習）若函數(shù)〃x）=sinx+alnx的圖象在區(qū)間g,兀）上單調遞

增，則實數(shù)。的最小值為.

【答案】兀

【分析】利用函數(shù)的單調性轉化為xcosX+心0在區(qū)間Cj上恒成立，

構造函數(shù)g（X）=XCOSX+Q,利用導數(shù)求最小值即可求得g（7l）=-兀+。＞。即兀.

【詳解】因為〃無）=sin尤+aln尤，所以/'（%）=9$%+）=

由〃元）的圖象在區(qū)間5,V上單調遞增,

可知不等式尸⑴之。即xcosx+a2O在區(qū)間（J,兀）上恒成立.

令g（x）=%cosx+a,貝Ugr（x）=cosx-xsinx,

當xeg兀1時，g'（x）＜0,所以g（x）在。，上單調遞減,

故要使廣⑺20在xe1,兀）上恒成立，只需g（*0.

由g（兀）=-兀+。20,解得。2兀，

故實數(shù)。的取值范圍為［兀,口），則。的最小值為兀.

故答案為：兀

題型三：已知函數(shù)人龍）在區(qū)間。上存在單調區(qū)間求參數(shù)

1.（23-24高三上?福建泉州?階段練習）若函數(shù)/2（切=瞋-；加-2x在口,4］上存在單調遞

增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.［-1,-Ko）B.（-l,+oo）C.1一0°，-］D.J|

【答案】D

【分析】根據(jù)條件得出存在xe[l,4],使/(尤)」-6-2>0成立,即存在xe[l,4],使

X

1917

?！匆弧怀闪ⅲ瑯嬙旌瘮?shù)G(x)=(-工”[1,4],求出G(x)的最值即可解決問題.

XX尤

【詳解】因為函數(shù)M無)=丘-：62一2天在[1,4]上存在單調遞增區(qū)間，

112

所以存在xe[L4],使〃(x)=-—以一2>0成立，即存在xe[l,4],使。<^—一成立，

XXX

令G(x)=J-2,xe[l,4],變形得G(x)=d-1)2-1,因為xe[1.4],所以

XXXXi4

1177

所以當一二7，即％=4時，G(x)max,所以a<-二,

x41616

故選：D.

2.(2023高三?全國?專題練習)若函數(shù)g(x)=ln尤+g尤2一。一1八存在單調遞減區(qū)間，則實

數(shù)6的取值范圍是()

A.[3,+co)B.(3,+oo)

C.(-oo,3)D.(-oo,3]

【答案】B

【分析】首先計算出g'⑺,由g(x)存在單調遞減區(qū)間知g(x)<0在(0,小)上有解即可得出

結果.

【詳解】函數(shù)g(x)=lnx+g尤2一e一1〃的定義域為(。，依)，且其導數(shù)為

g(x)=—+x-S-l).由g(x)存在單調遞減區(qū)間知g'(x)<0在(0,+oo)上有解，即

：+x-S-l)有解.因為函數(shù)g(x)的定義域為(0,-),所以X+JN2.要使g+x-3-l)有

解，只需要x的最小值小于6-1,所以2<6-1,即6>3,所以實數(shù)6的取值范圍是

X

(3,-H?).

故選:B.

3.(23-24高二下?江蘇常州?階段練習)若函數(shù)/(x)=g尤3一辦2+x存在單調遞減區(qū)間，則

實數(shù)。的取值范圍為是.

【答案】1)“L”)

【分析】求導后結合二次函數(shù)的性質分析即可.

【詳解】/，（x）=x2-2ar+l,

因為函數(shù)〃彳）=；尤3-a/+x存在單調遞減區(qū)間，

所以存在x,使得r（x）小于零，

所以導函數(shù)的判別式A=4片-4>0,解得。<一1或。>1,

所以實數(shù)。的取值范圍為是（』,-1）U（1,收），

故答案為：（Y°,-1）口（1,+°°）.

4.（2024高二?全國?專題練習）若函數(shù)〃力=加+>原存在增區(qū)間，則實數(shù)”的取值范

圍為?

【答案】］］，+，!

【分析】由題意知，存在x>0使得制x）>0,利用參變量分離法得出2a>5-：,利用基

本不等式在x>0時的最小值，即可得出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】f（x）=ax2+x-lnx,定義域為（0,+動，f'（x）=2ax+l--,

X

由題意可知，存在X>。使得方（尤）>。，即2a

工、門口+11C1丫1、1

當%>0時，---=-----—>—,

xxyx2J44

所以，2a因此，實數(shù)0的取值范圍是卜",+，［.

故答案為：（―

題型四：已知函數(shù)人龍）在區(qū)間。上不單調求參數(shù)

1.（2024高三下?全國?專題練習）若函數(shù)〃同=；/+：|/-4尤_1在卜覃］上不是單調函數(shù)，

則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（——3川（3,口）

【分析】先將問題轉化成求/''（力20或/'（x）W0在［T1］上恒成立，注意到尸（O）=T,從

而轉化成/'（“<。在［-M］上恒成立，從而求得-3Wa<3,再求其補集，即可解決問題.

【詳解】若〃力在上單調函數(shù),則在（力20或7'⑺40在［-1』上恒成立,

由題意，r（x）=Y+依-4,注意至IJ/'（O）=T,所以只能r（x）WO恒成立，即f+依一440

在［-1』上恒成立,

所以|（T）2+ax（-l）-4<°

解得：—3<a<3,

l2+axl-4<0

因為/（x）在［-M］上不是單調函數(shù)，所以。的取值范圍是（f,-3）U（3,y）.

故答案為：（F,-3）U（3,y）.

2.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）若函數(shù)〃司=/（改3_彳-2）在區(qū)間（2,3）上不是單

調函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】

【分析】求導，根據(jù)導函數(shù)的正負與單調性的關系將問題轉化為分2T=。在區(qū)間（2,3）上有

解，即可分類討論求解.

【詳解】函數(shù)的導數(shù)

=er（at3-x-2^+ex（3ar2-l）=eT（ar3+3辦？-x—3）=e'?（辦？-l）（x+3）,

若〃尤）在區(qū)間（2,3）上不是單調函數(shù)，

則/'（力=0在區(qū)間（2,3）上有解，

由/（句=1.（*_1）@+3）=0在區(qū)間（2,3）上有解,

即"2-1=0在區(qū)間（2,3）上有解，

若a40,顯然不符合題意；

若。＞0,即加=1，即Y=L

若廣（力=0在區(qū)間（2,3）上有解,

貝U2〈，口＜3,平方得4〈!＜9,即:〈“〈J,

Vaa94

故實數(shù)0的取值范圍是

故答案為：

3.（23-24高二上?河南許昌?期末）若函數(shù)/（無）=；尤2-41nx在其定義域的一個子區(qū)間

（左-2,左+2）上，不是單調函數(shù)，則實數(shù)上的取值范圍是.

【答案】［2,4）

【分析】由題意求導結合函數(shù)單調性，列出不等式組即可求解.

44

【詳解】由題意尸（司=尸？（尤＞0）單調遞增，且廣⑵=2-］=0,

所以若函數(shù)/（x）=；x2-41nx在其定義域的一個子區(qū)間（4-2,左+2）上，不是單調函數(shù)，

貝IJOM左一2＜2＜么+2,解得2W上＜4.

故答案為：［2,4）.

4.（23-24高二上?江蘇徐州?階段練習）已知函數(shù)〃尤）=爐+2尤2-冰+2在［0,2］上不是單調

函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】（0,20）

【分析】分析可知，函數(shù)”力在［0,2］內存在極值點，根據(jù)導函數(shù)尸（%）在［0,2］上單調遞增

可得出關于實數(shù)。的不等式組，解之即可.

【詳解】因為/（九）=V+2X2一訴+2,貝ij/'（x）=3%2+4x—a,

因為函數(shù)/（x）在［0,2］上不是單調函數(shù)，則函數(shù)/（同在［0,2］內存在極值點，

又因為函數(shù)/'a）=3f+4x-a在［0,2］上是增函數(shù)，

所以,H?！?。，解得。＜"2。，

因此，實數(shù)。的取值范圍是（0,20）.

故答案為：（0,20）.

題型五：已知函數(shù)“尤）在單調區(qū)間的個數(shù)

1.（2024高三?全國?專題練習）若函數(shù)〃%）=加-3/+尤+1恰有三個單調區(qū)間，則實數(shù)a

的取值范圍為（）

A.［3,+co）B.（十,3）C.（^?,0）u（0,3）D.（-℃,0）

【答案】C

【分析】根據(jù)導函數(shù)有兩個不等根計算即可.

【詳解】由題意得函數(shù)/（X）的定義域為R,r（%）=3ar2-6x+l,

要使函數(shù)/（x）=依'-3d+x+1恰有三個單調區(qū)間,

，/、「QWO

則尸（*）=0有兩個不相等的實數(shù)根，二人~…解得。＜3且awO,

△=36—12〃＞0

故實數(shù)a的取值范圍為(-s,0)5。,3),

故選：C.

2.(23-24高二下?四川成都?階段練習)若函數(shù)〃x)=三+依有三個單調區(qū)間，則實數(shù)。

的取值范圍是()

A.[l,+oo)B.(^?,0]C.(0,+(?)D.(-co,l]

【答案】C

【分析】由尸(另=0有兩個不相等的實數(shù)根求得。的取值范圍.

【詳解】f\x)=-^+a,

由于函數(shù)外力=-：/+依有三個單調區(qū)間，

/(力=一尤2+。=0有兩個不相等的實數(shù)根，,a>0.

故選：C.

3.(多選)(23-24高二下?浙江?期中)己知函數(shù)〃上辦+.+aln：在上有三

個單調區(qū)間，則實數(shù)。的取值可以是()

e27

A.-eB.—2\/erC.----D.—

22

【答案】BD

【分析】將問題等價于/'(x)=0在有兩個不同的實數(shù)根，進一步轉化為辦+e，=0

在有唯一不為1的根，構造函數(shù)g(x)=-.,求導得單調性即可求解.

【詳解】由題意可知函數(shù)在上有三個單調區(qū)間，等價產(6=0在有兩個

不同的根.廣(引=區(qū)嗎?2,令((x)=0,則占=1,

即辦+e』在有唯不為1的一根，則有°=一亍有唯一不為1的根，

令g(x)=-2，則g，(x)=-(x二)e',故當l>x>?，g，(x)>0,g(x)單調遞增，

xx2

當2>x>l,g'(x)<0,g(x)單調遞減，且g(l)=-e,g(2)=-5，g&>-2^,

(e2

即a￡---,—2yfe

故選：BD

4.（23-24高三?全國?對口高考）設函數(shù)““=：依3+尤恰有三個單調區(qū)間，試確定。的取

值范圍.

【答案】（一8,0）.

【分析】根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系，分420和。<0討論結合條件即得.

【詳解】由題可知"X）的定義域為R,尸（力=奴?+1,

若則/'（司=辦2+1>0恒成立，此時了⑴在R上單調遞增，即只有一個單調區(qū)間,

不符題意；

若a<0,由/'（x）=6-+1>。解得—J—■L<尤<,

VaVa

由（（x）*+l<0解得一口或x>口，

VaVa

共有三

個單調區(qū)間，符合題意;

所以a的取值范圍是（-8,0）,

三、專項訓練

1.（2024高二?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=ln（x-2）+ln（4-x）,則〃尤）的單調遞增區(qū)

間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（一雙3）D.（3,+8）

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可構造不等式組求得函數(shù)定義域；利用導數(shù)可求得函數(shù)單調遞

增區(qū)間.

%—2>0

【詳解】由4f>0得:2Vx<4,即〃x）的定義域為（2,4）；

11_2(3-x)

因為:食）=

x—24—x(x—2)(4—x)

所以當xe（2,3）時,r（x）>0；當xe（3,4）時，/（x）<0;

所以/（x）的單調遞增區(qū)間為（2,3）.

故選：A.

2.(23-24高二下?江蘇無錫?期中)已知/(x)=V+f在(1,2)上單調遞增，貝心的取值范圍

()

A.(—8,2]B.(—8,2)C.(16,+00)D.(—8,+16]

【答案】A

【分析】由題意可得「(》)=2犬-/20在(1,2)上恒成立，分離參數(shù)，結合函數(shù)的單調性，

即可求得答案.

【詳解】由/(乃=/+三在(1,2)上單調遞增,

得((元)=2x-「20在(1,2)上恒成立，

即°42/，無?1,2)恒成立，而y=2x3在(1,2)上單調遞增，即2de(2,16),

故a?2,

故選：A

3.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(元)=d-2尤+7疝ir在定義域內單調遞增，則實

數(shù)〃2的取值范圍為()

A.B.C.(0,+“)D.[1,+<?)

【答案】B

【分析】由題意可得/(尤)=2尤-2+公20在(0,+8)上恒成立，即形“2f+2%在(0,+")上

X

恒成立.利用二次函數(shù)的性質求出g(x)=-2x?+2x在(0,+向上的最大值即可得答案.

【詳解】解：?."(x)=d-2x+mlnx的定義域為(0,+“)，且在定義域內單調遞增，

「(x)=2x-2+￡20在(0,+8)上恒成立,

即m>-2x2+2尤在(0,+°0)上恒成立.

令g(x)=-2d+2x=-2口-；[+g(x>0),

?,遭(無心=；，

2

即實數(shù)機的取值范圍為；，+s).

故選：B

4.（23-24高二下?廣東清遠?期中）已知函數(shù)〃X）=：尤2+2..3原，則外力的單調遞減區(qū)

間是（）

A.（-3,1）B.（0,1）C.（",—3）,（1,內）D.（1,+8）

【答案】B

【分析】將函數(shù)求導，求得導函數(shù)的零點，結合函數(shù)定義域，由/'（力<0即可求得.

【詳解】由/（x）==f+2元一31nx求導得，r（x）=x+2_3=『+2x_3=（x+3）（D,

2xxx

因x>0,由尸（無）<0可得0<x<l,即〃尤）的單調遞減區(qū)間是（0,1）.

故選：B.

5.（23-24高二下?重慶?期中）若函數(shù)/（x）=^-61nx+d在區(qū)間［1,+8）上單調遞增，則實

數(shù)上的取值范圍為（）

A.［4,+oo）B.（-℃,4］C.（4,-Foo）D.（—0,4）

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的區(qū)間單調性，將問題化為上在口,+8）上恒成立，即可求參數(shù)的

取值范圍.

【詳解】由〃x）=履一61nx+/得/（x）="土竺心，

當在區(qū)間［L+8）上單調遞增時，即2爐+丘-620在［1,+8）上恒成立，

X

所以2/+區(qū)一620在［1,+8）上恒成立，即左22-2x在［1,+8）上恒成立,

對應函數(shù)y=9-2x在［1,+co）上單調遞減，貝口1mx=4,故14.

X

故選：A

6.（23-24高二下?四川內江?階段練習）若函數(shù)〃x）=2%2—In%在其定義域內的一個子區(qū)間

（左-LZ+1）內不是單調函數(shù)，則實數(shù)4的取值范圍是（）

【答案】c

【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后列不等式求解即可

【詳解】/（x）=2x2-lnx,故x>0,

口-14x2-l(2x+l)(2x-l)

且f(x)=4x——=--------=1----------------L.

XXX

由1(%)>。n%,/r(x)<0=>0<x<-^,

」.在[o,；)上單調遞減，在上單調遞增.

^-1>0,

1Q

若〃X）在（"1代+1）內不是單調函數(shù)，則"1＜了解得

k+l>—,

2

故選：C.

7.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）若函數(shù)〃彳）=1僦+以2-2在區(qū)間弓,2）內存在單調

遞增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-2,+oo)D.[-2,+oo)

【答案】A

【分析】根據(jù)了《q＞0在有解，結合參變分離，即可求得參數(shù)范圍.

【詳解】r(x)=1+2?x若〃x）在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間,

貝U/耳勾＞°在xe［5,2）有解，故有解,

而g（x）=-《■在遞增，g（x）＞g［；］=-2,故。＞一2.

故選：A.

8.（23-24高二下?陜西咸陽?階段練習）已知函數(shù)/（x）=e'-alnx在區(qū)間（0,1）上單調遞減，

則。的最小值為（）

,11

A.eB.eC.——D.--

ee-r

【答案】B

【分析】

由題意可知，對任意的x?O,l）,尸（x）VO,由參變量分離法可得a2xe'，利用導數(shù)求出函

數(shù)g（x）=xe*在（0,1）上的值域，即可得出實數(shù)。的最小值.

【詳解】由〃力=e'-aInx得1(x)=e'-,

因為函數(shù)”可在區(qū)間(0,1)上單調遞減，則對任意的xe廣⑺=e，-?W0,

可得a2xex，

令g(x)=xe*,其中xe(O,l),則g'(x)=(x+l)e">0對任意的xe(0,l)恒成立，

所以,函數(shù)g(x)=xe*在(0,1)上單調遞增，當xe(0,l)時，g(0)<g(x)<g⑴，

即0<g(x)<e,所以，a>e,故。的最小值為e.

故選：B.

9.(多選)(23-24高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習)已知函數(shù)/(尤)=-3/