2024-2025學(xué)年北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第四章 圖形的相似（B卷·培優(yōu)卷 單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（解析版）

第四章圖形的相似（B卷?培優(yōu)卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

A卷（共100分）

第I卷（選擇題，共32分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.如圖，四邊形A8CD與四邊形EFGH位似，位似中心是O,若且四邊形A3C。的周長(zhǎng)為

4,則四邊形EFG8的周長(zhǎng)為（）

C.20D.24

【答案】A

【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)，可知兩個(gè)四邊形的周長(zhǎng)之比也為1：3,即可得解.

【詳解】解：由題知：OA:OE=l3

3CADCB=CRGFE=3X4=12,

故選4.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，知道位似圖形周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，直線乙〃4〃4,直線。，b與直線4,k，4分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)O,E,尸，若AB：3c=2：3,

)

C.7D.8

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到部=分，據(jù)此代

BCEF

值計(jì)算即可.

【詳解】解：???4〃/2〃/3,

.AB_DE

VAB：BC=2：3,EF=9,

?DE_2

??=一,

93

DE=6,

故選B.

3.如圖，點(diǎn)￡是：ABCD的邊AD的中點(diǎn)，班平分—ABC交AC于點(diǎn)后下列結(jié)論不正確的是（

A.BF=3EFB.CD=DEC.CF=2AFD.S,=2S

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃5C,進(jìn)而得到△但w，得出B等F=表BC=與CF，結(jié)合線

段中點(diǎn)性質(zhì)即可判斷A,C選項(xiàng)；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可判斷B選項(xiàng)；最后根據(jù)

△AM和AAEF中，底邊防和石尸上的高相等，比較底邊即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,AB=CD,

:?AAEFS&CBF,ZAEB=ZCBE,

.BFBCCF

??而一直一耘’

TE是AZ＞的中點(diǎn)，

???AE=DE=-AD=-BC,

22

BFBCCF

***=——=~■—=2,即卸三Z￡F,CF=2AF,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；

EFEAAF

BE平方NABC,

；?ZABE=NCBE,

JZABE=ZAEB,

/.AB=AE,

：.CD=DE,故B選項(xiàng)正確；

;在和AAEF中，底邊防和肝上的高相等，BF=2EF

SABF=2SAEF,故D選項(xiàng)正確;

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)

與判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，把菱形ABCD沿著它的對(duì)角線AC方向平移1cm,得到菱形EFG",若AC=4cm,則圖中陰影部

分的面積與四邊形的面積之比為（）

A.14:9B.3:2C.4:3D.17:9

【答案】A

【分析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

MFS9

問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.首先得出△MFCs△以c,則笠=等，進(jìn)而得出產(chǎn)”=之,即可得出答

ACAD16

案.

【詳解】ME//AD,

:.Z\MEC^/\DAC,

.ECME

,AC-An，

，菱形ABCD的對(duì)角線AC=4cm,把菱形ABCD沿著它的對(duì)角線AC方向平移1cm,得到菱形印GH,

EC3

/.AE=1cm,EC=3cm,/.-----=一,

AC4

.°qACME_Qy

SfDC16

???圖中陰影部分圖形的面積與四邊形EMCN的面積之比為：::=/=￡.

9+9189

故選：A.

5.如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,E為AD三等分點(diǎn)且他＞DE,連接CE交3D于點(diǎn)尸,

若.DEF的面積為1,則ABCD的面積為（）

【答案】C

【分析】證明△國(guó)4CFB,由相似三角形的性質(zhì)得出品=器，A=（器＞=:，得出沁=]

求出三角形3。的面積，則可得出答案.

【詳解】:四邊形A5CD是平行四邊形，

AD//BC,AD=BC,OB=OD,

：.ZDEF=/BCF,ZEDF=ZFBC,

:?4EFDACFB,

.EDDF

**BC-BF?

,/E為AD三等分點(diǎn)且

.EDDF_1

**BC-BF-3?

???BF=3DF,

,SEFD_（W_J_

SCFB-BF-9'

,-qCFD_1

:J）EF的面積為1,JS^BCF=9,

,?,uqCFD~-）3，

?**SBCD=SCFD+SCFB=3+9=12，

*e?SABCD=25BCD=2x12=24.故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)

是解本題的關(guān)鍵.

6.如圖，直線?！ǎ╟〃d〃e,每相鄰兩條直線之間的距離均相等，點(diǎn)A,B,。分別在直線〃，c,e上，

A5交萬(wàn)于點(diǎn)。，BC交d于點(diǎn)E,C4分別交直線兒。于點(diǎn)G,F.若四邊形D￡FG的面積為2,貝UVABC

的面積為（）

b

ft

【答案】C

【分析】根據(jù)?！ㄒ约懊肯噜弮蓷l直線之間的距離均相等，得到DE,尸分別為各邊中點(diǎn)，G

為AF中點(diǎn)，即可證明△BDESABAC,可得沁=；,同理得到#=：,沁=：,再推出

%BACq,△CBA4^^ABF今

S/\ADG=T^/XABF=G^AABC，可*禾U用^AABC=^ABDE+^AC￡F+^AADG+^DEFG得到方程，解之可得S.ABC?

4o

【詳解】解：a//b//c//d//e,每相鄰兩條直線之間的距離均相等，

:.D,E,尸分別為各邊中點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，

DE//AC,

/\BDE^Z\BAC,

.Sa/B叫1

,?S&BACUsJ4'

同理：.CEFs.CBA,△ADGS^ABF,

SCF

■^EF.fYJS._1

'SACBAUcJ4'S△.一［AB)-“

?,^AABF=S&CBF=5，

**SAADG=S^BF=g^^ABC，

?,^/XABC=S八BDE+S/\cEF+/\ADG+^DEFG

=WS/\ABC+W8AAec+g8AAec+SDEFG=W^AABC+2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理,解題關(guān)鍵是分析出平行于三角形一邊的直線截其他兩

邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

7.如圖，在梯形ABC3中，AD//BC,ZBAD=9(）,AD=1,BC=2,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E.當(dāng)邊

4B的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.點(diǎn)E到邊4B的距離不變B.點(diǎn)E到邊BC的距離不變

C.點(diǎn)E到邊CD的距離不變D.點(diǎn)E1到邊D4的距離不變

【答案】A

【分析】先證△EWsAECB得EC=2E4,EB=2ED,貝UAC=3AE,DB=3DE,過(guò)點(diǎn)E1作EF_LAB于點(diǎn)

F,過(guò)點(diǎn)E作EH/BC,HE的延長(zhǎng)線交AD于K,EP_LCD于P,過(guò)點(diǎn)。作。。，以？于。，證明

22

△BEFs^BAD得EF=],由此可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；證明一。石"s,C4B得EH=§A3,由此可對(duì)選項(xiàng)3進(jìn)

行判斷；根據(jù)KH=AB，得EK=：AB,由止匕可對(duì)選項(xiàng)。進(jìn)行判斷；設(shè)=貝1」￡"=等，EK",

貝|JZ)Q=AB=Q,CQ=1,進(jìn)而得CD=+1，根據(jù)SE4B+S+SEBC+S,EC0=S梯形LCD可得"=2"；+1,由

3/+3

此可對(duì)選項(xiàng)。進(jìn)行判斷.

【詳解】解：,?四邊形ABCD為梯形，AD//BC,AD=l,BC=2,

EAD^ECB,

EA:EC=DE:EB=AD:BC=1:2,

:.EC=2EA,EB=2ED,

:.AC=EA+EC=3AE,DB=ED+EB=3DE,

過(guò)點(diǎn)Er作EF_LAB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作班1的延長(zhǎng)線交A。于K,￡P(guān)_LCD于P,過(guò)點(diǎn)。作

:.ABEF^ABAD,

EF:AD=EB:DB,

即EF:1=2ED:3DE.

.,?點(diǎn)E到邊A3的距離不變，

故選項(xiàng)A正確，符合題意；

QZBAD=90°,AD//BC,

:.ZABC=90°,

又QEHBC,HE1的延長(zhǎng)線交AD于K,

四邊形為矩形，

:.HK〃AB,HK=AB,

CEH^CAB,

:.EH:AB=EC:AC,

即EH:AB=2EA:3AE,

:.EH=-AB,

3

.,?當(dāng)邊AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，E"隨A3的變化而變化，

故選項(xiàng)B不正確，不符合題意；

2

KH=AB,EH=-AB,

.-.EK=HK-EH=AB--AB=-AB,

33

???當(dāng)邊AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，EK隨AB的變化而變化，

故選項(xiàng)D不正確，不符合題意；

設(shè)=則即=彳，EK=%,

ZBAD=ZABC=90°,DQLBC,

二四邊形A3QD為矩形，

/.BQ=AD=1,DQ=AB=a,

.\CQ=BC-BQ=2-1=1,

在Rt^OQC中，由勾股定理得：0=7^+CQ2=7771,

SEAB+SEAD+SEBC+SECD=S梯形"8，

：.-ABEF+-ADEK+-BCEH+-CDEP=-(AD+BC)AB,

22222

:.ABEF+ADEK+BCEH+CDEP=(AD+BC)AB,

BP<7X-1+1X-|-+2X-^-+EP-\ja2+1=(1+2)a,

當(dāng)邊AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，EP隨AB的變化而變化，

故選項(xiàng)C不正確，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直

線的距離，熟練掌握梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

8.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在A。上，若4EC=45。且AE=2,ED=1,則AB的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】分別以A3,為直角邊作等腰RtABF和等腰RtADCG,判定,BEF~ECG,即可得到A3的

長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，分別以A3，8為直角邊作等腰Rt/供和等腰RtADCG,

依題意得/b=NG=ZBEC=45°,

NFBE+NBEF=NCEG+NBEF=135°,

:.NFBE=NCEG,

BEFs、ECG,

FB_GE

,,近一女’

NNCABI+AB

即-------=~f=

AB+242AB

解得：人3=2±姮

（負(fù)值舍去）,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，作輔助線構(gòu)造等腰

直角三角形以及相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

第團(tuán)卷（非選擇題，共68分）

二'填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫(xiě)在答題卡上）

9.如圖，在口ABC。中，對(duì)角線AC,2D相交于點(diǎn)。，在8A的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,連接OE交于點(diǎn)R若

CD=5,8c=8,AE=2,貝!|AF=

【答案】y

【分析】過(guò)。點(diǎn)作求出AM和M。的長(zhǎng)，利用得到關(guān)于A尸的比例式，求出

A尸的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：過(guò)。點(diǎn)作0M

:四邊形ABCO是平行四邊形，。8=。。,

???0河是4A5O的中位線，

151

AM=BM=-AB=-,OM=-BC=4.

222

'：AF/7OM,

：.AAEF^AMEO,

.AE_AF

??昂一而‘

2_AF

A2+-4，

2

故答案為：號(hào).

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題.

10.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,以點(diǎn)A為圓心、AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于

點(diǎn)、D,再分別以2、。為圓心，大于二8。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于N,作直線MN,分別交A3、BC

于點(diǎn)E、F,則線段E尸的長(zhǎng)為—.

3

【答案】

【分析】依據(jù)勾股定理以及線段垂直平分線的的性質(zhì)，即可得到BE的長(zhǎng)，再根據(jù)△ABCsaFBE,即可得

至I」EF的長(zhǎng).

【詳解】解：:RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

...由勾股定理得，42=后+8?=10,

由題可得，AD=AC—6,

.?.80=10-6=4,

由題可得，垂直平分

：.BE=2,ZBEF=ZACB=9Q°,

又,：

：.△ABCs^FBE,

.EFBE

"~CA~~BC'

2

解得EF

2

3

故答案為：—

【點(diǎn)睛】題主要考查了勾股定理和相似三角形解的判定與性質(zhì)，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖

形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.

11.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、O,OECD交BC于點(diǎn)、E,連接AE交3D于點(diǎn)孔

【分析】設(shè)OE=a,證明0E是△■BCD的中位線，得8=AB=2OE=2A,再證明ABFs-EOF得BF=2OF,

BF

進(jìn)而得08=8尸+OF=3OF,BD=2OB=6OF,由此可得——的值.

BD

【詳解】解：設(shè)OE=a,

:四邊形ABC。為矩形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,

：.AB=CD,AB//CD,OB^OD=OC=OA=-BD,NDCB=90°,

2

；OECD,則OE_L3C,

BE=CE,則OE是ABCD的中位線，

CD=AB=2OE=2a,

VAB//CD,OECD,

AB//OE,

：..ABFSBEOF,

BF:OF=AB:OE=2a:a=2,

JBF=2OF,

：.OB=BF+OF=3OF,

：.BD=2OB=6OF,

.BF2OF_1

**BD-6OF-3*

故答案為：g.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三線合一，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解

矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.如圖，在VABC中，平分/ABC,AFLBF于點(diǎn)F,。為A3的中點(diǎn)，連接叱延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E.若

AB=8,BC=10,則線段族的長(zhǎng)為.

【答案】1

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到AD=BD=DF=^AB=4,結(jié)合角平分線推出ZDFB=ZCBF,

得到￡>E〃3C,進(jìn)而證得DE是VA3C的中位線，求出。E=ggC=5即可.

【詳解】解：尸平分,ABC,

/.ZABF=ZCBF,

；AF_L^'于點(diǎn)尸，。為AB的中點(diǎn)，

/.AD=BD=DF=~AB=4,

2

ZABF=ZDFB,

：.ZDFB=ZCBF,

：.DE//BC,：.AADE^AABC,

.ADAE

.?--=--=1A,

BDCE

???DE是VABC的中位線，

DE=-BC=5

2f

：.EF=DE-DF=5-4=1f

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的應(yīng)用，正確

理解直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及三角形中位線性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，NACB=90。,AC=JBC,A。，C瓦JBE，CE垂足分別是Z),瓦AB與EC交于點(diǎn)H,A。=3,8E=l,則

EH的長(zhǎng)為.

【答案】；

【分析】先證明△ACDtACBE,得到CE=AD=3,CD=BE=1,求出DE=2,再證明△ADHs/VBEH,利用

DHAD…?

——=—=3求出EH.

EHBE

【詳解】??,NAa=90。,

ZACD+ZBCE=90°,

?.,AD上CE,BE上CE,

：.NADC=NE=90。，

???ZDAC+ZACD=90°,

:.ZDAC=ZBCE,

VAC=BC,

AAACD^ACBE,

???CE=AD=3,CD=BE=1,

：.DE=2,

VAD±CE,BE.LCEf.,.AD〃BE,

.,.△ADH^ABEH,

.DHAD

??宙一瓦—’

??.EH=L

2

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)及判定定理，相似三角形的判定及性質(zhì)定理，正確理解題意，證得

△ACD^ACBE,求出DE=2是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分，解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡上）

14.由邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的網(wǎng)格，以下各圖中點(diǎn)A、B、C,。都在格點(diǎn)上.

B

:C:D::::4

圖1圖2圖3

(1)在圖1中，PC:PB=；

(2)利用網(wǎng)格和無(wú)刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫(xiě)作法.

①如圖2,在4B上找點(diǎn)P,使得AP:PB=1:3；

②如圖3,在8C上找點(diǎn)P,使得一

【答案】(1)1:2

⑵①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析

【分析】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，相似三角形的判定，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型.

(1)根據(jù)網(wǎng)格性質(zhì)可得AB〃CD,進(jìn)而可得“APBsDPC,即得PC:P3=AB:CD；

(2)①仿照(1)的圖形構(gòu)造相似比為1:3的相似三角形即可；

②利用對(duì)稱(chēng)，即可圖形轉(zhuǎn)化為(1)的形式.

【詳解】(1)解：；AB//CD,

:._APBs.DPC,

：.PC:PB=CD:AB,

'：AB=2CD,

：.PC:PB=1:2.

(2)①如圖中，點(diǎn)P即為所求；

②如圖中，點(diǎn)P即為所求;

15.如圖，在銳角三角形ABC中，CENAB于點(diǎn)E,點(diǎn)。在邊AC上，連接8。交CE于點(diǎn)八且

EFFC^FBDF.

⑴求證：BDLAC-,

(2)求證：AEC^FEB-

⑶連接AF,已知EF:3E=3:5,求AG3c.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)3:5

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵.

(1)證明△BEFsaCDF,得到B￡F=NCDP=90。，即可證明結(jié)論；

(2)由可得，即可證明相似；

AFEF

(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，證明△的s△曲，得至ij=即可求解.

BCBE

【詳解】(1)證明：EFFC=FBDF,

.EF_BF

?,而一衣'

/EFB=NDFC,

,△BEFs/\CDF,

:.BEF=/CDF,

CE1AB,

??./BEF=9伊,

.\ZCDF=90°,

:.BD±AC

（2）證明：由（1）得△BEFs'DF,

:./EBF=ZDCF,

又ZBEF=ZAEC=90°,

AECs/EB；

（3）解：由（2）得/AECsFEB,

.AEEC

,?商一前’

.AEEF

'~CE~~BE'

ZAEF=ZCEB=90°,

:.AAEFSMEB,

.AFEF

EF:BE=3:5

AF:BC=3:5.

16.如圖①，大風(fēng)閣是西安漢城湖的標(biāo)志性建筑，取意于漢高祖劉邦的《大風(fēng)歌》"大風(fēng)起兮云飛揚(yáng)，威加

海內(nèi)兮歸故鄉(xiāng)，安得猛士兮守四方”的意境.小華和曉麗在一個(gè)陽(yáng)光明媚的周末去測(cè)量大風(fēng)閣的高度A5,

如圖②，首先，在C處放置一面平面鏡，小華沿著B(niǎo)C的方向后退，到點(diǎn)E處恰好在平面鏡中看到大風(fēng)閣頂

端A的像，小華的眼睛到地面的距離OE=1.6米，CE=1.2米；然后，同一時(shí)刻大風(fēng)閣在陽(yáng)光下的影子頂端

在〃處，同時(shí)，曉麗測(cè)得小華身高的影長(zhǎng)EG=Q9米，小華的身高麻=1.8米，MC=15.8米，已知

ABLBG,EF1BG,點(diǎn)、B、M、C、E、G在同一水平直線上，點(diǎn)、E、D、尸在一條直線上，請(qǐng)求出大風(fēng)閣A3

的高度.（平面鏡大小、厚度忽略不計(jì)）

【答案】大風(fēng)閣的高度A3為23.7米.

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決

實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.根據(jù)題意得到：ZABC=NFEC=NFEG=90。,ZAMB=NFGE,ZACB=ZDCE,由

此推知AABC^ADEC,所以由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得線段A3的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：由題可得：ZABC=ZFEC=ZFEG=90°,ZAMB=ZFGE,ZACB=ZDCE,

ABMs-FEG,AABC^ADEC.

.ABBMABBC

"~EF^~EG'

,AB_BMAB_BM+15.S

"TS~~0^9'L6-L2--

解得AB=23.7.

大風(fēng)閣的高度AB為23.7米.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知。4=10cm,03=5cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)。開(kāi)始沿Q4邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)；

點(diǎn)。從點(diǎn)2開(kāi)始沿80邊向點(diǎn)。以lcm/s的速度移動(dòng).如果尸、。同時(shí)出發(fā)，用《S)表示移動(dòng)的時(shí)間(0MY5),

⑴用含/的代數(shù)式表示：線段PO=_cm；0Q=cm.

(2)當(dāng)f為何值時(shí)△P。。的面積為6cm2?

(3)當(dāng)△尸。。與VAO8相似時(shí)，求出f的值.

【答案】⑴2M5-。

⑵當(dāng)f=2或3時(shí)，三角形P。。的面積為6cm2

⑶當(dāng)f=1或1時(shí)，△尸。。與VAQB相似

【分析】本題主要考查三角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)，

（1）由運(yùn)動(dòng)知，0P=2/cm,OQ=（5—r）cm,得出結(jié)論；

（2）根據(jù)△尸。。的面積為6cmt建立方程6=gx2/x（5T）,解方程即可求出答案；

（3）分△POQS^AOB或兩種情況，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案.

【詳解】（1）由運(yùn)動(dòng)知，OP=2rcm,OQ=（5-Z）cm,

故答案為：2M5一）；

（2）由（1）知，OP=2rcm,OQ=（5-r）cm,

POQ的面積為6cm2，

6=ex2/x（5-1）,

.二，=2或3,

.??當(dāng)％=2或3時(shí)，三角形尸。。的面積為6cm2.

（3）POQ與NAOB相似，ZPOQ=ZAOB=90°,

POQsAOB或APOQS^BOA,

OPOQ—OPOQ

,OAOBOBOA

當(dāng)”=①，則且==

OAOB105

5

t=一,

2

當(dāng)濠胃時(shí)，嗚*，

當(dāng)f=』或1時(shí)，△POQ與VAO3相似.

2

18.如圖所示，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿砂折疊，使點(diǎn)D落在A3邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)X

處，GH交BC于點(diǎn)、K,連接DG交取于點(diǎn)O,DG=2EF.

H

⑴求證：DEDA^DODG；

(2)探索A3與BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)BC=2AB,理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了相似綜合題，綜合運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握

相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出角相等，進(jìn)而利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)和矩形的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)證明：：四邊形ABCD是矩形，

/.ZDAG=90°,

由折疊性質(zhì)得：DGLEF,

：.ZDAG=ZEOD=90°,

,/ZGDA^ZEDO,

,.DADG

??AAADG00△AODE，??-----=------，

DODE

:.DEDA=DODG；

(2)解：BC=2AB,理由如下：

過(guò)點(diǎn)E1作RV_L3c于N,

H

由折疊性質(zhì)得：DG±EF,

：.ZEOG=ZENF=ZDAG=90°,

???NOEN+NDEO=90°,NDEO+/EDO=90。,

:?NOEN=/EDO,即NNEF=/EDO,

*.ADGA^AEFN,

DADGc

-----=------=2則AD=2EN,

ENEF

??ZAEN=ZA=ZABC=90°,

??四邊形ABA石是矩形,

??EN=AB,

AD=2AB,

：BC=AD,

,?BC=2AB.

B卷（共50分）

一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫(xiě)在答題卡上）

19.如圖垂足分別為BQ,42=2,8=4,30=3.若在直線MN上存在點(diǎn)尸,能使與"CD

相似，貝UPB=

【答案】3或1或1±典

2

【分析】分三種情形①延長(zhǎng)CA交MN于Pi,此時(shí)△PiABs/\PiCD.②當(dāng)點(diǎn)P2在BD上時(shí).③當(dāng)點(diǎn)P3在

BD的延長(zhǎng)線時(shí),分別列出方程即可即可.

【詳解】如圖，

AB1MN,CD1MN,

AB〃CD

△PiAB^APiCD,

PXBAB

而一而一萬(wàn)，

???PiB=BD=3.

②當(dāng)點(diǎn)P2在BD上時(shí)，設(shè)P2B=X,若^ABP2s4CDP2則有而二請(qǐng)，

.2_x

??一，

43-x

x=l,

AP2B=1,

Y2

若ZkABP2s△PzDC,則有：=—,方程無(wú)解.

43-x

③當(dāng)點(diǎn)P3在BD的延長(zhǎng)線時(shí)，?.,△P3AB^ACP3D,

.P3BAB

.尤_2

,々一尤-3'

，x=史巫或主巫（舍棄）

22

；.P3B=3+屈,

2

綜上所述，滿足條件的PB的長(zhǎng)為3或1或巴亙.

2

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、一元一次方程、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用

分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考常考題型.

20.如圖，在正方形ABCD中，E是邊2C的中點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)8作防，AE于點(diǎn)延長(zhǎng)跖交0c于

點(diǎn)G,連接則DF勺的值為.

【分析】此題主要考查了正方形得到性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的

判定和性質(zhì)，理解正方形得到性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.延長(zhǎng)BG與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)證4的￡和，3。6全等得跖=。6,

再根據(jù)點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)得CG=DG,由此可證A3CG和△WDG全等，^\\BC=DH=AD,進(jìn)而得

DF=AD=DH,設(shè)BF=a,再證&ABE和△AFB相似得AB:A尸=BEV據(jù)此得AF=2a,在RtABF中由

DF

勾股定理得小則小=3島，由此可得壽值.

【詳解】解：延長(zhǎng)8G與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)如圖所示:

四邊形A5CD為正方形,

.\AB=BC=CD=AD,ZABC=ZC=ZCDA=90°,

.-.Z2+Z3=90°,

BF±AE,

/.Zl+Z3=90°,

「.N1=N2,

在后和i3CG中,

21=Z2

<AB=BC,

ZABC=ZC=90°

/.ABE^BCG(ASA),

:.BE=CG,

石是邊5C的中點(diǎn)，

BE=-BC=—CD,AB=2BE,

22

/.CG=-CD,

2

:.CG=DG,

在/5CG和△HDG中，

ZC=ZHDG=90°

<CG=DG,

NBGC=ZHGD

BCG沿HDG(ASA),

:.BC=DH=AD,

即點(diǎn)。為AH的中點(diǎn)，

BF^AE,

.\DF=AD=DH，

設(shè)5尸=〃，

ZABE=ZAFB=90°,Z1=Z1,

:.AABE^AAFB.

:.AB:AF=BE:BFf

2BE:AF=BE:a,

:.AF=2a,

在RtABF中，AF=2a,BF=a,

由勾股定理得：AB=^AF2+BF2=y[5a

DF=AD=y/5a,

.DF島非

一~AF~~2a~~2'

故答案為：4-

2

21.如圖，在矩形ABC。中，AD=10,A3=8,將A3沿AE翻折，使點(diǎn)2落在&處，AE為折痕，再將EC

沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段E9上的點(diǎn)C處，跖為折痕，連接AC,若CF=3,則ZAEF=度，

AC'=.

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)即可求出N/回=90。，再證.AB'E~/ECF(AA),可求出CE的長(zhǎng)，利用勾股定理即

可求出AC'的長(zhǎng).

【詳解】解：由翻折性質(zhì)可得：ZAEB=ZAEB,ZCEF=ZCEF,

'：ZAEB+ZAEB+ZCEF+ZCEF=180°,

，ZAEB+ZCEF=90°,

即NAEF=90°；

ZCFE+ZCEF=90°,

ZAEB=ZCFE,

,A5Z~N￡CW（AA）,

,ABBE

??-；—-—；-f

CECF

：.^CE=x,

???4）=10,AB=8,四邊形ABC。是矩形，

???BC=10,

：.BE=10-x,

由翻折性質(zhì)得：BE=BE=10-x,CE=CE=x,AB=AB=8^CF=3,

.8_10—x

■"x-

解得：x=6或4,

BC=BE-C'E=W-2x,

??.B'C'=2或一2（舍），

在RtAS'C'中，由勾股定理得：AB+BC'=AC,

AC=2^fn,

故答案為：90,2而

【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

22.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.點(diǎn)E是2C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE.將./睡沿AE翻折得到

AAFE,延長(zhǎng)跖與直線AD相交于點(diǎn)G.當(dāng)點(diǎn)A,F,C三點(diǎn)共線時(shí)，線段AG的長(zhǎng)為.

【答案】v

4

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、翻折的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，本題利用勾股定理算

出AC,利用翻折得到NAFG="=9O。，證明AbGs,仞。，利用相似三角形的性質(zhì)建立等式求解，即

可解題.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)A,F,C三點(diǎn)共線時(shí)，如圖，

AGD

四邊形ABC。是矩形,

/.ZB=ZD=90°,AD=BC,

在RtZWBC中,

AB=3,BC=4,

???由勾股定理，AC=YIAB2+BC2=5,

「將.ABE沿AE翻折得到AAFE,

AF=AB=3,ZAFE=ZB=90°,

ZAFG=ZD=90°,

又'ZFAG=ZDAC,

.AFG^ADC,

AGAFAG3

——=——，即Rn——=一,

ACAD54

解得AG=f,

4

故答案為：—.

4

23.如圖矩形ABCD中，BC=6,點(diǎn)、E,歹分別在AB,BC邊上，且=BF=CF,連

ED,EC,AF.AF與ED,EC分別交于點(diǎn)G,H.則AG:GH:HF=.

【答案】42:24:11

31

【分析】作E/〃BC,得到多個(gè)相似三角形，由尸得出A/=[AE"=[AF,再由一￡7Gs_ZMG得

出AG=^AF,最后由,ETHSOH得出=

所以可計(jì)算出AG:GH:HF=^AF:^AF:^AF=42:24:11.

【詳解】解：作口〃3c交A/于點(diǎn)/,則.AE/S.AB尸,

BFC

???四邊形ABC。是矩形，

ADA=BC=6,DABC,

：.EI//DA,

BF=CF=-BC=-x6=3,

*.*AE=3BE,

：.AB^AE+BE=3BE+BE=4BE,

.AI_EIAE_3

**AF-BF-AB-4，

33931

EI=-BF=-x3=-,AI=-AF,FI=-AF,

44444

V..EIG^DAG,

9

??.IG=E/J=3,

AG~DA~6~8

AG=——AI=—

?.?EI//CF,

EIH^CFH,

9

.,?勢(shì)=旦=a=3

HF~CF~3~4

：.GH=AF--AF--AF=-AF,

6777

，AG:GH:HF=-AF:—AF:-AF=42-.24:U,

11777

故答案為：42:24:11.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)將線段

AG.GH、都用AF表示出來(lái)，從而求解.

二、解答題(本大題共3個(gè)小題，共30分，解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡上)

24.如圖，VA5c是一塊銳角三角形余料，iiBC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件尸QMN,

使一邊在2C上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊4B、AC上，尸。交ZD于H點(diǎn).

(2)若矩形PNMQ的周長(zhǎng)為220mm,求出PN的長(zhǎng)度.

【答案】⑴60

(2)20mm

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比；

(1)由-APQS..ABC,得到坐=空=代入即可求解，

BCAB2

(2)根據(jù)尸?！?C,得到APQ^ABC,得到對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，絲=坐，從而得到PN的長(zhǎng),

ADDC

【詳解】(1)解：??,［為AB中點(diǎn),

.AP_1

??=一,

AB2

??,在矩形PQMN中，PQ//BC,

：.ZAPQ=ZABC,ZAQP=ZACB,

：.^APQ^^ABC,

.P2=

??茄一花—2'

PQ=gBC=60mm.

故答案為：60.

(2)解：,?,四邊形尸NMQ為矩形，

???PQ//BC,

,:ADJ.BC,

：.PQLAD,

：.PN=DH

AHAD-DH^80-PN.

?.四邊形尸NMQ為矩形，

PQ=MN,DH=PN,

.?矩形PNMQ的周長(zhǎng)為220mm

?.PQ=U0-PN,

：PQ//BC,

\APQ^ABC,

,AHPQ

‘益一疏’

.80-PN11?！狿N

--80---120-'

\PN=20（mm）.

25.已知正方形ABC。與正方形AEFG,正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

圖I

圖3備用圖

DE

⑴如圖1,連接3G、DE,很明顯△ABG/,從而我們可以得出笑的值為

DCJ

求北的值;

(2)如圖2,連接3G、CF,

(3)當(dāng)正方形用G旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，連接CF、BE,分別取CF、3E的中點(diǎn)M、N,連接MN,試探究:

與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(4)連接3區(qū)BF,分別取BE、B尸的中點(diǎn)MQ,連接QN,AE=6,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段QN掃過(guò)的面積.

【答案】(DAADE，1

⑵0

G)BE=2MN,MN1BE

(4)9JI

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AD,AE=AG,ZBAG=ZDAE,可得AABG^AADE,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得皆=獎(jiǎng)=1.

CFl

(2)通過(guò)證明CAF^,BAG,可得。=a.

BG

(3)連接ME,過(guò)C點(diǎn)作CF/〃EF,交直線ME于點(diǎn)連接3”,設(shè)CF與AD交于點(diǎn)P,CP與AG交

于點(diǎn)R,證明，,CMH段,.FME,得CH=EF.HM=EM,AE=CH,根據(jù)CW〃EF〃AG得NHCF=NCRA,

證明ZBCH=ZBCF+ZHCF=ZAPR+,根據(jù)ZDAG+ZAPR+ZARC=180°,ZBAE+ZDAG=180°得

ZBAE=NBCH,利用3C=,證明△3C”也△&!￡1,可得BH=BE,NCBH=NABE,

ZHBE=ZCBA=90°,根據(jù)MH=ME1，點(diǎn)N是BE的中點(diǎn)可得8"=2MN,MN〃8”，最終可得

BE=2MN,MN±BE.

(4)取AB中點(diǎn)。，連接ON,OQ,A/"根據(jù)A￡=6,三角形中位線定理可得AF=60,。。=30,ON=3,

點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，3正為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可得線段。N掃

過(guò)的面積為兀x(3忘A-兀x(3y=9兀.

【詳解】(1)解：根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AD,AE=AG,ZBAG=ZDAE

AABG當(dāng)AADE

DEAB,

.BGAD

(2)解：如圖，連接AF、AC

四邊形ASCD和四邊形AEFG都是正方形

:.AC=?AB,AF=?AG，^CAB=ZGAF=45°,ABAD=90°

ArAF

ZCAF=ZBAG,—二

AB~AG

:.ACAF^ABAG

;.史=生=及

BGAB

(3)解：如圖，連接“石，過(guò)。點(diǎn)作CH/EF,交直線M石于點(diǎn)H,連接5”,設(shè)C尸與AD交于點(diǎn)P,CF

與AG交于點(diǎn)R，

CH//EF

:.ZFCH=ZCFE

「點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)

:.CM=MF

又?ZCMH=ZFME

:△CMHBAFME(ASA)

:.CH=EF,ME=HM

:.AE=CH

CH//EF,AG//EF

:.CH//AG

:.ZHCF=ZCRA

AD\BC

:.ZBCF=ZAPR

/.ZBCH=ZBCF+ZHCF=ZAPR+ZARC

/DAG+ZAPR+ZARC=180°,/BAE+ZDAG=180°

:.ZBAE=ZBCH

又.BC=AB,CH=AE

/.△BCH^ABAE(SAS)

/.BH=BE,ZCBH=ZABE

.\ZHBE=ZCBA=90°

=1，點(diǎn)N是班的中點(diǎn)

:.BH=2MN,MN//BH

;.BE=2MN,MN【BE

(4)解：如圖，取A5中點(diǎn)。，連接ON,OQ,A/

AE=6

AF=6^2

，點(diǎn)N是跖的中點(diǎn)，點(diǎn)。是正的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)

:.OQ=；AF=3?QN=*AE=3

點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，30為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)

2

二線段QN掃過(guò)的面積=TIX（3后）-7tx3=9K

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形、相似三角形、三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)

點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

26.【問(wèn)題初探】

⑴在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給出如下問(wèn)題：如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E是線段BC上