2023中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型《最值模型-將軍飲馬》含答案解析

專(zhuān)題09最值模型…將軍飲馬

最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，將軍飲馬問(wèn)題是由軸對(duì)稱(chēng)衍生而來(lái)，同時(shí)還需

掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主,

中考說(shuō)明中曾多處涉及。本專(zhuān)題就最值模型中的將軍飲馬問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法

還有:利用軸對(duì)稱(chēng)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”

等。

模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）

【模型解讀】在一條直線機(jī)上，求一點(diǎn)P,使融+尸5最小;

（1）點(diǎn)A、5在直線機(jī)兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、5在直線同

側(cè)：

A*

*

B

-------------------------?m

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中/’是A關(guān)于直線機(jī)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

例1.（2022,湖南婁底?中考真題）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,NABC=45。，點(diǎn)？、。分別是BC、

BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+P。的最小值為.

例2.（2022?四川眉山,中考真題）如圖，點(diǎn)?為矩形4BCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡為BC

的中點(diǎn)，連接產(chǎn)￡,PB,若AB=4，BC=46,則PE+陽(yáng)的最小值為.

例3.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中，點(diǎn)E為A。的中點(diǎn)，

將ACDE沿CE翻折得ACME,點(diǎn)M落在四邊形4BCE內(nèi).點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

N作NP//EM交MC于點(diǎn)P,則MN+NP的最小值為.

例4.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）【模型介紹】

古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸

同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)A8.他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營(yíng).如圖①，他時(shí)

常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱(chēng)的方法巧妙地解決

了這個(gè)問(wèn)題.如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連結(jié)A?與直線/交于點(diǎn)尸，連接PB,

則AP+5P的和最小.請(qǐng)你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過(guò)程中，完成解答.理由：如圖

③，在直線/上另取任一點(diǎn)尸'，連結(jié)AP',BP，BP，回直線/是點(diǎn)B,9的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)

p,P'在/上，

（1）0PB=,PB=,SAP+PB=AP+PR=.在AAP'B'

中，回+^AP+PB<AP'+P'B'，即AP+m最小.

【歸納總結(jié)】在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，我們利用軸對(duì)稱(chēng)變換，把點(diǎn)在直線同側(cè)的問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用"兩點(diǎn)之間線段最短"，即轉(zhuǎn)化為"三角形兩邊之和大于

第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中點(diǎn)？為A?與/的交點(diǎn)，即A,P,?三點(diǎn)共線）.由此，可

拓展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.

【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,￡為川?的中點(diǎn)，方是AC上一動(dòng)點(diǎn).求

石尸+EB的最小值.

解析：解決這個(gè)問(wèn)題，可借助上面的模型，由正方形對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)E與。關(guān)于直線AC對(duì)

稱(chēng)，連結(jié)￡）￡交AC于點(diǎn)/，則針+2的最小值就是線段ED的長(zhǎng)度，則轉(zhuǎn)+”的最

小值是__________

圖⑥

（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為14物，底面周長(zhǎng)為16cm,在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一

滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4c機(jī)與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)峰的最

短路程為cm.

（4）如圖⑥，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ZABC=60°,將4廊沿射線BD的方向平移，

得到AA'RD'，分別連接AC,A。，B'C,則AC+8'C的最小值為.

模型2.平移型將軍飲馬（將軍過(guò)橋模型）

【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往8點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于

河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？

考慮長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可.問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通

過(guò)平移，使AM與A?連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A'位置（圖

2）.

問(wèn)題化為求A'N+N2最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）.

將軍A將軍A

圖1圖2圖3

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1.（2022?重慶中考模擬）如圖，已知直線/1〃匕，乩/2之間的距離為8,點(diǎn)P到直線/i

的距離為6,點(diǎn)Q到直線匕的距離為4,PQ=4廊，在直線/i上有一動(dòng)點(diǎn)4直線匕上有一

動(dòng)點(diǎn)B,滿足AB_L/2,且%+AB+BQ最小，此時(shí)%+BQ=.

例2.（2022?廣西?二模）已知，在河的兩岸有A,B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊

的直線距離AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修

建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為（）

A.2>713B.1+3如C.3+后D.屈

模型3.修橋選址模型

【模型解讀】已知A、8是兩個(gè)定點(diǎn)，P、。是直線機(jī)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在。的左側(cè)，且P。

間長(zhǎng)度恒定,在直線機(jī)上要求尸、Q兩點(diǎn)，使得出+PQ+Q8的值最小。（原理用平移知識(shí)解）

⑴點(diǎn)A、B在直線機(jī)兩側(cè):（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè):

A.C

如圖1如圖2

（1）如圖1,過(guò)A點(diǎn)作AC〃/"，且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接8C,交直線機(jī)于。，。向左平移PQ

長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)尸、。即為所求的點(diǎn)。

（2）如圖2,過(guò)A點(diǎn)作AE〃s，且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8',連接B，E,交

直線根于。，。向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、。即為所求的點(diǎn)。

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1.（2022.山東青島九年級(jí)一模）如圖，已知A（3,1）與B（1,0）,PQ是直線y=x上

的一條動(dòng)線段且PQ=加（Q在P的下方），當(dāng)4P+PQ+QB最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(―,—)B.(迎，迎)C.(0,0)D.(1,1)

3333

例2.(2022?四川自貢?中考真題)如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中點(diǎn),

線段EF在邊屈上左右滑動(dòng)；若郎=1，則GE+CF的最小值為

例3.(2022?廣東?九年級(jí)期中)如圖，CO是直線x=l上長(zhǎng)度固定為1的一條動(dòng)線段.已知

A(-1,0),B(0,4),則四邊形ABC。周長(zhǎng)的最小值為.

模型4.求多條線段和(周長(zhǎng))最小值

【模型解讀】在直線機(jī)、”上分別找兩點(diǎn)P、Q,使加+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)

在外側(cè)：

(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):

A1

m

（4）臺(tái)球兩次碰壁模型

1）已知點(diǎn)A、2位于直線“z,”的內(nèi)側(cè)，在直線72、機(jī)分別上求點(diǎn)。、E點(diǎn)、,使得

圍成的四邊形AOEB周長(zhǎng)最短.

2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)、PA+PQ+QA

周長(zhǎng)最短.

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1.（2022?江蘇九年級(jí)一模）如圖，RQABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分別是

AB,BC,AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則ADEF的周長(zhǎng)的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

例2.（2022?湖北武漢市?九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在X軸上，且G（-

3,0）,B（-2,0）,HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，ZGAH=60°,P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)

點(diǎn)，則BP+PQ+CQ的最小值是（）

A.6B.7C.8D.9

例3.（2022?湖北青山?八年級(jí)期中）如圖，在RtA/WC中，/ACB=90。，NABC=30。，AC=

2,以BC為邊向左作等邊A8CE,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，連接CD,點(diǎn)P、Q分別為CE、8上的動(dòng)

點(diǎn).

（1）求證：AAOC為等邊三角形；（2）PD+PQ+QE

E

例4.（2022?山東泰安,中考真題）如圖，ZAQB=30。，點(diǎn)/W、N分別在邊。1、06上，且

OM=3,ON=5,息P、Q分別在邊08、上，則"尸+PQ+QV的最小值是（）

C.5^4-2D.-J35-2

模型5.求兩條線段差最大值

【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使與PB的差最大;

（1）點(diǎn)A、B在直線機(jī)同側(cè)：

A

A

延長(zhǎng)AB交直線機(jī)于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P,A-P,B<AB,而/H-P8=AB

此時(shí)最大，

因此點(diǎn)尸為所求的點(diǎn)。

（2）點(diǎn)A、8在直線機(jī)異側(cè)：

B'

*、、

過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PBPA-PB最大值為AB,

【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。

例1.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)。作OE1CD交對(duì)角線AC

于點(diǎn)￡,連接班，點(diǎn)?是線段放上一動(dòng)點(diǎn)，作p關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，點(diǎn)。是AC上

一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，DQ.若恁=14，CE=18,則。。-PQ的最大值為.

Q/EI

例2.（2022?河南南陽(yáng)?一模）如圖，已知0ABe為等腰直角三角形，AC=BC=6,0BCD=15°,

P為直線。上的動(dòng)點(diǎn)，貝U|B4—P2|的最大值為.

例3.（2022?江蘇?九年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A,B在直線的同側(cè)，A到MN的距離AC=8,

B到肱V的距離即=5,已知CD=4,尸是直線肱V上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記Q4+PB的最小值

為a,|P4-尸耳的最大值為。，則的值為（)

C.140D.130

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?山東泰安?二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,點(diǎn)、E、F分別是邊BC、

CO上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=4,點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連接P。、PM,則PQ+PM

的最小值為（）

A.10B.6A/3C.8D.80

2.（2022?廣東廣州?二模）如圖，在等腰直角三角形ABC中,0ABe=90。，AB=6,線段尸0

在斜邊AC上運(yùn)動(dòng)，且尸。=2.連接BP,BQ.則"尸。周長(zhǎng)的最小值是（）

A

A.6A/2+2B.2A/19+2C.8D.4#+2

3.（2022?安徽合肥?二模）如圖，在矩形A2CD中，點(diǎn)￡、尸、G、"分別是邊A3、BC、CD、

D4上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,

則四邊形EFG”周長(zhǎng)的最小值等于（）

C.5后D.50

4.（2022?湖北鄂州?中考真題）如圖，定直線MN〃PQ,點(diǎn)8、C分別為MN、尸。上的動(dòng)點(diǎn),

且8C=12,8c在兩直線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有SBCQ=60。.點(diǎn)A是腦V上方一定點(diǎn)，點(diǎn)。是

PQ下方一定點(diǎn)，^.AE//BC//DF,AE=4,DF=8,AD=24g,當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中,

D.12715

5.（2022?山東濰坊?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（0,1）,司4,2）,尸。是x

軸上的一條動(dòng)線段，且PQ=1,當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時(shí)，點(diǎn)。坐標(biāo)為.

6.（2022?江蘇南通,一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P機(jī)+2）,點(diǎn)。（n,0）,

點(diǎn)M（l,1）,則PQ+QM最小值為

7.（2022?江蘇南通?一模）如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AZMBC于點(diǎn)。，點(diǎn)

E、廠分別是線段AB、AO上的動(dòng)點(diǎn)，且則BF+CE的最小值為

8.（2022?浙江金華?八年級(jí)期末）在綜合實(shí)踐課上，小明把邊長(zhǎng)為2c機(jī)的正方形紙片沿著對(duì)

角線AC剪開(kāi)，如圖/所示.然后固定紙片AABC,把紙片AADC沿AC的方向平移得到△AOC,

連43,D'B,D'C,在平移過(guò)程中：（1）四邊形48。。的形狀始終是_；（2）4B+ZXB的

最小值為

9.（2022?貴州遵義中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC中，N54C=90°,點(diǎn)N

分別為BC,AC上的動(dòng)點(diǎn)，且4V=CM,A5=V2.當(dāng)AM+BN的值最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為

A

10.（2022?廣西賀州?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,尸分別是AD,

A8的中點(diǎn)，NADC的平分線交于點(diǎn)G,點(diǎn)P是線段。G上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝心他的周

長(zhǎng)最小值為.

11.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，菱形A8C。中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,ZBAD=60°,

AD=3,AH是ABAC的平分線，CE1AH于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP+PE

的最小值是.

12.（2022?安徽安慶?八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABC。中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,

在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N,使△4WN的周長(zhǎng)最小，則//VMN=

13.（2021?山東威海?八年級(jí)期中）【源模：模型建立】

白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.一一《古從軍行》唐李欣

詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們稱(chēng)之為"將軍飲馬”問(wèn)題.關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)變換，把

直線同側(cè)兩點(diǎn)的折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問(wèn)題,從而解決距高和最短的一類(lèi)問(wèn)題."將

軍飲馬”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如圖所示：

【新模1:模型應(yīng)用】

如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在邊AB上，且膽=1，尸為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),

欲使△BEE周長(zhǎng)最小.

（1）在圖中確定點(diǎn)尸的位置（要有必要的畫(huà)圖痕跡，不用寫(xiě)畫(huà)法）；

（2）△8EE周長(zhǎng)的最小值為.

【新模2：模型變式】

（3）如圖2,在矩形ABCD中，AB=5,旬=%在矩形ABCD內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)乙滿足

SWAB=；S矩形加8,則點(diǎn)戶到A,B兩點(diǎn)的距離和PA+PB的最小值為.

【超模：模型拓廣】

（4）如圖3,ZABD=NBDE=90°,AB=2<即=DE=3.請(qǐng)構(gòu)造合理的數(shù)學(xué)模型，并

借助模型求J/+4+7（3-X）2+9（X>O）的最小值.

E

BD

14.(2022?江蘇?南外雨花分校一模)閱讀并解答下列問(wèn)題：老師給出了以下思考題：如圖1,

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,3),B(5,1),C(a,0),D(a+2,0),連接

AC,CD、DB,求AC+CD+OB的最小值.

【思考交流】

小明：如圖2,先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)4,作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)3,連

接48/交x軸于點(diǎn)D,將點(diǎn)D向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,連接此時(shí)AC+CZXDB

的最小值等于43+CD

小穎：如圖3,先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)4,作點(diǎn)4關(guān)于x軸的的的點(diǎn)4，連

接A2B可以求解.

小亮：對(duì)稱(chēng)和平移還可以有不同的組合...

【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是,

【靈活運(yùn)用】如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,3),B(5,1),C(a,1),

ZXa+2,0),連接AC、CD、DB,則AC+CD+DB的最小值是,此時(shí)a=.并

請(qǐng)?jiān)趫D5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CQ+DB最小時(shí)CD的位置(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡).

【拓展提升】如圖6,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,3),C是一次函數(shù)方尤圖像

上一點(diǎn)，。與y軸垂直且C￡>=2(點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)),連接AC,CD,AD,直接寫(xiě)出AC+CD+DA

的最小值是,此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

15.(2022?浙江,九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OAC8的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn),

頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3,0),B(0,4),。為邊。2的中點(diǎn).

(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求ACDE的周長(zhǎng)最小值；

(2)若E、E為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=1,當(dāng)四邊形CDE尸的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、尸的

坐標(biāo).

16.(2022?廣東?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖已知EF//GH,AC_LE尸于點(diǎn)C,BD±

EF于點(diǎn)、D交HG于點(diǎn)、K.AC=3,DK=2,BK=4.(1)若CD=6,點(diǎn)M是CD

上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等時(shí)，求CM的長(zhǎng)；(2)若CD=4

2

點(diǎn)尸是上一點(diǎn)，點(diǎn)。是以'上一點(diǎn)，連接AP,PQ,QB,求AP+PQ+Q8的

最小值.

G-----------------------------------------------H

B

專(zhuān)題09最值模型…將軍飲馬

最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，將軍飲馬問(wèn)題是由軸對(duì)稱(chēng)衍生而來(lái)，同時(shí)還需

掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主,

中考說(shuō)明中曾多處涉及。本專(zhuān)題就最值模型中的將軍飲馬問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法

還有:利用軸對(duì)稱(chēng)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”

模型1.求兩條線段和的最小值(將軍飲馬模型)

【模型解讀】在一條直線機(jī)上，求一點(diǎn)P,使BL+P3最小;

(1)點(diǎn)A、5在直線機(jī)兩側(cè)：(2)點(diǎn)A、5在直線同

側(cè)：

AA

A

B

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中，'是A關(guān)于直線，"的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

例L（2022?湖南婁底?中考真題）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,ZABC=45。，點(diǎn)P、Q分別是BC、

8。上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為.

【答案】72

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE0AB于E,交B。于G,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題以及垂線段最短

可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，在直角三角形

BEC中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE0AB于E,交BD于G,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題以及

垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，。與G重合時(shí)，PQ+QC最小,

BPFC

?.?菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,ZABC=45°,.1RtABEC中，EC=—BC=y[l

2

PQ+QC的最小值為0故答案為：V2

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求線段和的

最小值是解題的關(guān)鍵.

例2.（2022?四川眉山?中考真題）如圖，點(diǎn)尸為矩形A3CD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC

的中點(diǎn)，連接PE,PB,若AB=4,BC=4幣,則PE+P3的最小值為.

【答案】6

【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)交AC于點(diǎn)F,連接B'E交AC于點(diǎn)P,則PE+PB的

最小值為B'E的長(zhǎng)度；然后求出B力和BE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求出答案.

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B,交AC于點(diǎn)F,連接BE交AC于點(diǎn)P,則PE+PB

的最小值為3Z的長(zhǎng)度；

B

S4C是矩形的對(duì)角線，a4B=CD=4,EMBC=90°,

在直角0WBC中，AB=4,BC=4A/30tanZACB=—==—,回ZACB=30°,

BC4石3

由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得B，B=2BF,B'BIAC,0BF=1BC=273,0B'B=2BF=4也

@BE=EF=26，NCB/=60。，甌BEF是等邊三角形,

SBE=BF=B'F,團(tuán)ABES'是直角三角形，

0B'E=yjBB'2-BE2=7（4^）2-（2A/3）2=6.國(guó)產(chǎn)石+尸3的最小值為6；故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的找到點(diǎn)P使得FE+PB有

最小值.

例3.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形A8CD中，點(diǎn)￡為的中點(diǎn)，

將ACDE沿CE翻折得ACME,點(diǎn)M落在四邊形A8CE內(nèi).點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

N作NP//EM交MC于點(diǎn)P,則MN+NP的最小值為

【分析】過(guò)點(diǎn)M作AW3CD于凡推出MN+NP的最小值為的長(zhǎng)，證明四邊形。EMG為

菱形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,

由折疊的性質(zhì)知CE是SDCM的平分線，回點(diǎn)P在CD上，

過(guò)點(diǎn)M作MFBC。于R交CE于點(diǎn)G,

0MN+NP=MN+NP'4MF,?MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，

連接DG,DM,由折疊的性質(zhì)知CE為線段的垂直平分線，

SAD=CD=2,DE=1,0CE=^/i2+22=A/5,

El-CExDO=-CDxDE,回。。=述，回E0=@，

2255

回AffiaCD,0￡DC=9O°,0DE0MF,^\EDO=^GMO,

EICE為線段OM的垂直平分線，^\DO=OM,SDOE=^MOG=90°,

^DOESBMOG,^DE=GM,團(tuán)四邊形OEMG為平行四邊形，

aWOG=90°,回四邊形。EMG為菱形，?EG=2OE=q5,GM=DE=1,EICG=孑叵，

55

回。EELWF,即DE3\GF,00CFG0ECDE,

FGCG338

團(tuán)---=---,即/G二飛-0FG=—，^\MF=1+—=—,

DECE555

1-V5

QQ

回MV+NP的最小值為丁故答案為：

【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱(chēng)在解決線段和最小的問(wèn)題，熟悉對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的運(yùn)用和畫(huà)法，知道何

時(shí)線段和最小，會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

例4.（2022,江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）【模型介紹】

古希臘有一個(gè)著名的"將軍飲馬問(wèn)題"，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸

同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)48.他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營(yíng).如圖①，他

時(shí)常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱(chēng)的方法巧妙地解

決了這個(gè)問(wèn)題.如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)玄，連結(jié)A9與直線/交于點(diǎn)尸，連接PB,

則AP+BP的和最小.請(qǐng)你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過(guò)程中，完成解答.理由：如圖

③，在直線/上另取任一點(diǎn)P',連結(jié)AP，BP',B'P,回直線/是點(diǎn)3,B'的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)尸，

P'在/上，

中，SAB'<AP'+P'B',SAP+PB<AP,+P'B',即AP+3P最小.

【歸納總結(jié)】在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，我們利用軸對(duì)稱(chēng)變換，把點(diǎn)在直線同側(cè)的問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為"三角形兩邊之和大于第

三邊”的問(wèn)題加以解決（其中點(diǎn)尸為48'與/的交點(diǎn)，即A,P,夕三點(diǎn)共線）.由此，可拓

展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.

【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4,E為48的中點(diǎn)，尸是AC上一動(dòng)點(diǎn).求

EF+W的最小值.

解析：解決這個(gè)問(wèn)題，可借助上面的模型，由正方形對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)3與。關(guān)于直線AC對(duì)

稱(chēng)，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)尸，則所+￡8的最小值就是線段即的長(zhǎng)度，則EF+FB的最小

值是.

螞蟻力

（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為14cm,底面周長(zhǎng)為16c〃z,在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有

一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4。"與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)峰的

最短路程為cm.

（4）如圖⑥，在邊長(zhǎng)為2的菱形A5CD中，ZABC=60°,將A4BD沿射線8。的方向平移，

得到AAE。'，分別連接AC,AD,B'C,則A'C+3'C的最小值為.

【答案】（1）PB',P'B',AB'；（2）275;（3）17；（4）273

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可求解；

（2）根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性知B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是D,連接ED,則ED是砂+EB的最小值；

（3）先將玻璃杯展開(kāi)，再根據(jù)勾股定理求解即可；

（4）分析知：當(dāng)AZ'與B'C垂直時(shí)，AC+3'C值最小，再根據(jù)特殊角計(jì)算長(zhǎng)度即可；

【詳解】解：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知：PB=PB,PB=PB,AP+PB=AP+PB=AB,

故答案為：PB',P'B',AB';

（2）根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性知B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是D,連接ED回￡口是郎+^6的最小值

又回正方形的邊長(zhǎng)為4,E是AB中點(diǎn)回￡0=在彳=26回跖+用的最小值是2百；

（3）由圖可知：螞蟻到達(dá)峰的最短路程為AC的長(zhǎng)度：

[?]AE=AE=4cm,BF=3cm,BC=Scm,EB=11cm[?]AB=15cm

回AC=y/AB2+BC2=7152+82=17cm

（4）團(tuán)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ZABC=60°,將AABZ）沿射線8。的方向平移，得到

AA'B'D'

SAB=AB=2,ZABD=30°當(dāng)4月與垂直時(shí)，A'C+3'C值最小

0AB//AB//CD,AB=AB=CD回四邊形A力CO是矩形，ZBAC=30°

0BC=—,A'C=^^AC+B'C=2y/3

33

【點(diǎn)睛】本題考查"將軍飲馬"知識(shí)遷移，掌握"將軍飲馬”所遵循的數(shù)學(xué)原理，判斷出最小是

解題關(guān)鍵.

模型2.平移型將軍飲馬（將軍過(guò)橋模型）

【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往8點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于

河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？

考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可.問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通

過(guò)平移，使AM與A?連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在4位置（圖

2）.

問(wèn)題化為求A'N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）.

將軍A將軍A

圖1圖2圖3

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1.（2022?重慶中考模擬）如圖，已知直線/1〃匕，乩/2之間的距離為8,點(diǎn)P到直線/i

的距離為6,點(diǎn)Q到直線匕的距離為4,PQ=4回，在直線/i上有一動(dòng)點(diǎn)4直線/2上有

一動(dòng)點(diǎn)B,滿足AB_L/2,且%+AB+BQ最小，此時(shí)%+BQ=.

【答案】16.

【詳解】作PELi于E交卜于F,在PF上截取PC=8,連接QC交I2于B,作BALi于A,此

時(shí)PA+AB+BQ最短.作QD_LPF于D.在RtAPQD中，VZD=90°,PQ=/J^,PD=18,

DQ=^PQ：-PDZ',?,AB=PC=8,AB〃PC,...四邊形ABCP是平行四邊形，；.PA=BC,

CD=10,.?.PA+BQ=CB+BQ=QC=J0Q：+CD：=J156+100=16.故答案為16.

例2.（2022?廣西?二模）已知，在河的兩岸有A,B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊

的直線距離AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修

建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為（）

A.2^/13B.1+375C.3+737D.底

【答案】A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB-與靠近A的河岸相交于M,作MN

垂直于另一條河岸，則MNIBBB，且MN=BB-于是MNBBJ為平行四邊形，故MB-BN；根據(jù)

“兩點(diǎn)之間線段最短”,AB，最短，即AM+BN最短,此時(shí)AM+BN=AB'.

【詳解】解：如圖，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交于

M,作MN垂直于另一條河岸，則MNI3BB，且MN=BBT于是MNBB，為平行四邊形，故MB，

=BN.

根據(jù)"兩點(diǎn)之間線段最短"，AB，最短，即AM+BN最短.

回AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，團(tuán)在RTAABC中，AC=A/AB2-BC2=6>

在RTAAB（中，B，C=l+3=4千米，I3AB，=JAC?+B'C一=2如千米;故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)一最短路徑問(wèn)題，要利用"兩點(diǎn)之間線段最短"，但許多實(shí)際問(wèn)題

沒(méi)這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之

間線段最短的問(wèn)題.目前，往往利用對(duì)稱(chēng)性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

模型3.修橋選址模型

【模型解讀】已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、。是直線機(jī)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸在Q的左側(cè)，且P。

間長(zhǎng)度恒定,在直線機(jī)上要求尸、。兩點(diǎn)，使得B4+PQ+Q8的值最小。(原理用平移知識(shí)解)

(1)點(diǎn)A、B在直線相兩側(cè):(2)點(diǎn)A、B在直線”2同側(cè):

如圖1如圖2

(1)如圖1,過(guò)A點(diǎn)作AC〃叫且AC長(zhǎng)等于長(zhǎng)，連接BC,交直線加于0,Q向左平移P。

長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)尸、。即為所求的點(diǎn)。

(2)如圖2,過(guò)A點(diǎn)作AE〃九且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于根的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)方,連接方及交

直線機(jī)于Q,。向左平移P。長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、。即為所求的點(diǎn)。

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1.(2022.山東青島九年級(jí)一模)如圖，已知人(3,1)與B(1,0),PQ是直線y=x上

的一條動(dòng)線段且PQ=^(Q在P的下方)，當(dāng)AP+PQ+QB最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為()

B.(返，返)C.(0,0)

D.(1,1)

A包33

【解答】解：作點(diǎn)B關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，（0,1）,過(guò)點(diǎn)A作直線MN,使得MN平行

于直線y=x,并沿MN向下平移加單位后得A（2,0）連接AF交直線y=x于點(diǎn)Q,如圖

理由如下：,:AA'=PQ=?,AA〃PQ.?.四邊形APQA是平行四邊形：.AP=A'Q

:AP+PQ+QB=8'Q+AQ+PQ且PQ=J^.?.當(dāng)AQ+8'Q值最小時(shí)，AP+PQ+QB值最小

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,即A,Q,三點(diǎn)共線時(shí)AQ+BC值最小

VB'(0,1),A(2,0)直線AB'的解析式)/=-」x+l

2

—x+1,即X=2，Q點(diǎn)坐標(biāo)（2,—）故選：A.

；.x=

2333

例2.（2022?四川自貢?中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中點(diǎn),

線段所在邊48上左右滑動(dòng)；若EF=1,則GE+CF的最小值為

【答案】3亞

【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,在C。上截取C”=l,然后連接HG咬AB于E,在

EB上截取EF=1,此時(shí)GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到

G'H=EG'+EH=EG+CF,再由勾股定理求出HG'的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：如圖，作G關(guān)于A8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,在8上截取CH=1,然后連接HG咬AB于E,

在EB上截取EF=1,此時(shí)GE+CF的值最小，

H

D

0G'E=G￡,AG=AG',

團(tuán)四邊形ABC。是矩形，EMB0CD,AD=BC=2SCH^iEF,

團(tuán)CH=EF=1,El四邊形EFCH是平行四邊形，

B1EH=CF,BG'H=EG'+EH=EG+CF,

EL4B=4,BC=AD=2,G為邊4。的中點(diǎn)，EMG=AG'=1

WG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

0HG'=ylDH2+DG'2=V32+32=30，

即GE+CF的最小值為34.故答案為：3也

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定

GE+CF最小時(shí)E,F位置是解題關(guān)鍵.

例3.(2022?廣東?九年級(jí)期中)如圖，C。是直線x=l上長(zhǎng)度固定為1的一條動(dòng)線段.已知

A(-1,0),B(0,4),則四邊形ABC。周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】3應(yīng)+而+6

【分析】在y軸上取點(diǎn)E,使BE=CO=L則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得

到AB,作點(diǎn)A關(guān)于直線x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,得到A、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，AO+DE最小值為AE

的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AE,即可得解；

【詳解】解：如圖，在y軸上取點(diǎn)E,使BE=CD=1,則四邊形BCDE為平行四邊形，

；B(0,4),A(-1,0),；.0B=4,0/(=1,：.0E=3,/4B=712+42=V17-

作點(diǎn)A關(guān)于直線x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,(3,0),AD=A'D,

：.AD+DE=A'D+DE,即A、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，AO+DE最小值為AE的長(zhǎng)，

在RtZWOE中，由勾股定理得AE=J32+32=3立，

：.C四邊形ABC。最小值=4B+CO+BC+/W=4B+CO+AE=7F7+l+5=VF7+6.故答案為：

3應(yīng)+至+6.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題、勾股定理、位置與坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析作圖計(jì)算是解

題的關(guān)鍵.

模型4.求多條線段和(周長(zhǎng))最小值

【模型解讀】在直線機(jī)、〃上分別找兩點(diǎn)P、Q,使協(xié)+尸。+。3最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè):(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)

在外側(cè):

A

B

A

m

B

Br

（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):

（4）臺(tái)球兩次碰壁模型

1）已知點(diǎn)A、B位于直線九"的內(nèi)側(cè)，在直線小機(jī)分別上求點(diǎn)。、E點(diǎn)，使得

圍成的四邊形仍周長(zhǎng)最短.

2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA

周長(zhǎng)最短.

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1.（2022?江蘇九年級(jí)一模）如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分別是

AB,BC,AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則ADEF的周長(zhǎng)的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

【答案】C

【分析】如圖作。關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,作。關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,連接CM,CM

CD,EN,FM,ON,DM.由N/WC4=NOC4,ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,推出N/WCD+

ZNCD=180°,可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF,FM+EN+EF>MN,可知當(dāng)M、F、

E、N共線時(shí)，且CD_LAB時(shí)，OE+EF+FO的值最小，最小值=2CD,求出CD的值即可解決問(wèn)

題.

【詳解】解：如圖，作。關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,作。關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,連接CM,

CN,CD,EN,FM,ON,DM.

：.DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,：.CD=CM=CN,

:/MCA=/DCA,ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,

：.ZMCD+ZNCD=180°,：.M,C、N共線，:DF+DE+EF=FM+EN+EF,

'：FM+EN+EF>MN,.?.當(dāng)M、F、E、N共線時(shí)，且CO_LAB時(shí)，OE+EF+FD的值最小，最小值

為MN=2CD,

,11.AB-AC12

\'CD±AB,：.-*AB*CD=-?AB?AC,..CD=------------=—=2.4,

22AB5

.?.DE+EF+FD的最小值為4.8.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)以及垂線段最短解決最短問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

例2.(2022?湖北武漢市?九年級(jí)期中)如圖，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G(-

3,0),B(-2,0),HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，NGAH=60。，P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)

點(diǎn)，則BP+PQ+CQ的最小值是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】分別作B、C關(guān)于AG和AH對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)￡、C,連接BP、CQ、B'C.C'Q,PQ,得

出BP+PQ+CQ的最小值為8'C',再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)分別求得

B'P+PN和C'Q+QN即可求得.

【詳解】解：分別作B、C關(guān)于AG和AH對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)g、C,連接BP、CQ、B'C、C'Q,PQ

：HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，