2023中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型《手拉手模型（從全等到相似）》含答案解析

專題03手拉手模型（從全等到相似）

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知

識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注

重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了.本專題就手拉手模型

進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型（全等模型）

【模型解讀】

將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉

手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。

【常見(jiàn)模型及證法】

（等腰直角）

公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二

個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。

對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD）,右手拉右手（即連結(jié)CE）,得，ABDmACE。

1.（2022?青海?中考真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把

它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為"手拉手"

圖形.

⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若ABC和"3是頂角相等的等腰三角形，BC,OE分別是底邊.

求證：BD=CE；

⑵解決問(wèn)題：如圖2,若△ACB和,DCE均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,點(diǎn)A,

D,E在同一條直線上，CM為DCE中。￡邊上的高，連接BE,請(qǐng)判斷0AE8的度數(shù)及線段

CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

2.（2022?黑龍江?中考真題）ABC和.ADE都是等邊二角形.

（1）將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接8。，CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A重

合），有Rl+PB=PC（或R4+PC=PB）成立；請(qǐng)證明.（2）將皿?繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的

位置時(shí)，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接B4,猜想線段抬、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？并加以證明；（3）將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接2D,CE相交于點(diǎn)P,連

接出，猜想線段孫、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明.

C

E

D

圖①圖②圖③

3.（2022?吉林?九年級(jí)期末）如圖①，在ABC中，ZC=90°AC=BC=?^D,￡'分

別在邊AC,BC±,且CD=CE=B止匕時(shí)AD=3E,AD_LBE成立.

圖①圖②圖③

（1）將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)度；（2）

當(dāng)MDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，/⑦與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立?

若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將△（?￡?￡繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周

的過(guò)程中，當(dāng)A,D,￡三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的的長(zhǎng)度.

模型2.手拉手模型（旋轉(zhuǎn)相似模型）

【模型解讀與圖示】

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.

L（2022?四川達(dá)州?中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不

同的等腰直角三角形45c和等腰直角三角形CDE,按如圖1的方式擺放，ZACB=ZECD=9Qa,

隨后保持ABC不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a（0。<（z<90。），連接AE,BD,

延長(zhǎng)8。交AE于點(diǎn)F,連接CT.該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究,請(qǐng)你幫忙解答：

4AA

cDBcBCB

圖1圖2圖3

A

CB?....—--------------—

CDBCB

圖4圖5圖6

（1）【初步探究】如圖2,當(dāng)即〃3C時(shí)，則。=

（2）［初步探究】如圖3,當(dāng)點(diǎn)E,F重合時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出AF,所，CF之間的數(shù)量關(guān)系:

（3）【深入探究】如圖4,當(dāng)點(diǎn)E,F不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給

出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.⑷【拓展延伸】如圖5,在ABC與中，

ZACB=/DCE=90。,若8C=%AC,CD=mCE（m為常數(shù)）.保持.ABC不動(dòng)，將△CDE

繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a（0。<=<90。），連接4￡,BO,延長(zhǎng)8。交AE于點(diǎn)F,連接C/,

如圖6.試探究AT,BF,CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

2.（2022?山東煙臺(tái)?中考真題）

（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,0ABe和財(cái)DE都是等邊三角形，連接BDCE.求證：BD=CE.

⑵【類比探究】如圖2,0ABe和0AOE都是等腰直角三角形，0ABe=0A￡）E=9O。.連接BD,

CE.請(qǐng)直接寫(xiě)出絲的值.⑶【拓展提升】如圖3,和0AOE都是直角三角形，0ABC

CE

=0ADE=9O。，且名=鐺=1.連接8。，CE.①求總的值；②延長(zhǎng)CE交8。于點(diǎn)孔

DCDE4CE

交AB于點(diǎn)G.求sinEB尸C的值.

3.（2022?山東?東營(yíng)市一模）【提出問(wèn)題】

（1）如圖1,在等邊0ABe中，點(diǎn)Af是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)3、C）,連結(jié)AM,以

AM為邊作等邊0AMM連結(jié)CN.求證：0ABe=0ACN.

【類比探究】（2）如圖2,在等邊0ABC中，點(diǎn)〃是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,

其它條件不變，（1）中結(jié)論0ABe=0ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展延伸】（3）如圖3,在等腰0ABC中，BA=BC,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)

B、C）,連結(jié)AM,以AM為邊作等腰0AMN,使頂角0AMN=0A8C.連結(jié)CM試探究0ABe

與0ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

4.（2022?山西長(zhǎng)治?九年級(jí)期末）問(wèn)題情境：如圖1,在0ABe中，AB=6,AC—5,點(diǎn)、D,E

分別在邊AB,AC上，且。E〃3c.數(shù)學(xué)思考:

（1）在圖1中，一的值為_(kāi)_____；（2）圖1中BABC保持不動(dòng)，將BADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较?/p>

CE

旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其它條件不變，連接BA,CE,則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)

明理由；⑶拓展探究：在圖2中，延長(zhǎng)BD,分別交AC,CE于點(diǎn)RP,連接AP,得到圖

3,探究0APE與0ABe之間有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）若將0ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)到圖4的位置，連接8。，CE,延長(zhǎng)8。交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,8P交AC于點(diǎn)F,則

（3）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出0APE與0ABe

之間的數(shù)量關(guān)系.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練：

1.（2022?湖南?中考真題）如圖，點(diǎn)。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，Q4=2,OB=1,OC=6,

則AAO3與ABOC的面積之和為（)

C.述D.也

4

2.（2022?四川宜賓?中考真題）如圖,ABC和aADE都是等腰直角三角形,

NA4C=mtE=90。，點(diǎn)。是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），OE與AC交于點(diǎn)?

連結(jié)CE.下列結(jié)論：①BD=CE；②NDAC=NCED；③若BD=2CD,則色￡=4；④

AF5

在,ABC內(nèi)存在唯---點(diǎn)P,使得B4+P3+PC的值最小，若點(diǎn)。在AP的延長(zhǎng)線上，且

AP的長(zhǎng)為2,則CE=2+G.其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）

E

c.①③④D.①②③④

3.（2022?湖北,襄陽(yáng)市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AOB和，MON都

是等腰直角三角形(巫OA<OM=ON),EL405=0^0^=90°.

2

（1）如圖①，連接AM,BN,求證：AOMHBON；（2）若將.MON繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)N恰好在A8邊上時(shí)，求證：BN?+AN?=20N?;

②當(dāng)點(diǎn)A,M,N在同一條直線上時(shí)，若。8=4,ON=3,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BN的長(zhǎng).

4.(2022?山西朔州,九年級(jí)期末)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境:在數(shù)學(xué)課上老師出了這樣一道題:如圖1,在，中鉆=&C=6,NBAC=30。,

求3C的長(zhǎng).

(1)探究發(fā)現(xiàn):如圖2,勤奮小組經(jīng)過(guò)思考后，發(fā)現(xiàn):把鉆C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ADE,

連接BD,BE,利用直角三角形的性質(zhì)即可求解，請(qǐng)你根據(jù)勤奮小組的思路，求BC的長(zhǎng)；

(2)探究拓展：如圖3,縝密小組的同學(xué)在勤奮小組的啟發(fā)下，把ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。

后得到ADE,連接3D,CE交于點(diǎn)F,交A3于點(diǎn)G,請(qǐng)你判斷四邊形AE甲C的形狀并證

明；

⑶奇異小組的同學(xué)把圖3中的3G尸繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接AF,發(fā)現(xiàn)AF

的長(zhǎng)度在不斷變化，直接寫(xiě)出AF的最大值和最小值.

5.(2022?湖北武漢?八年級(jí)期末)已知，A8C中，0BAC=6O",以AB和BC為邊向外作等邊

4BD和等邊BCE.

cc

圖1圖2圖3

（1）連接AE、CD,如圖1,求證：AE=CD；

（2）若N為CD中點(diǎn)，連接AN,如圖2,求證：CE=2AN

⑶若ABSBC,延長(zhǎng)A8交。E于M,DB=正,如圖3,貝|（直接寫(xiě)出結(jié)果）

6.（2022,湖南?長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1,在用0ABe中，0B=9O°,

AB=BC=4,點(diǎn)。，E分別為邊AB,8C上的中點(diǎn)，且BD=BE=啦.

⑴如圖2,將SBQE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度a,連接A。，EC,則線段EC與AQ的關(guān)系

是;

（2）如圖3,DE^iBC,連接AE,判斷SEAC的形狀，并求出EC的長(zhǎng)；

⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)SBOE,當(dāng)0AEC=9O。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EC的長(zhǎng).

7.（2022?廣東?惠州一中八年級(jí)期中）ABC為等邊三角形，AB=4,AC2C于點(diǎn)AE

為線段AD上一點(diǎn)，AE=6以AE1為邊在直線4D右側(cè)構(gòu)造等邊連結(jié)CE,N為

CE的中點(diǎn).

（1）如圖1,E尸與AC交于點(diǎn)G,①連結(jié)NG,求線段NG的長(zhǎng)；②連結(jié)ND,求NDNG

的大小.

（2）如圖2,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a.M為線段E戶的中點(diǎn).連結(jié)DN、

MN.當(dāng)30。<?<120。時(shí)，猜想NDMW的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論.

備用圖

8.（2022?新鄉(xiāng)中考模擬）在△ABC中，CA=CB=m,在△AED中，DA=DE=Lm,請(qǐng)?zhí)?/p>

2

索解答下列問(wèn)題.

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,若/ACB=/A￡>E=90°,點(diǎn)。，E分別在CA,AB±,貝UCD

與BE的數(shù)量關(guān)系是—，直線CD與BE的夾角為—；

【類比探究】（2）如圖2,若NACB=/Ar>E=120°,將△&￡￡>繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示

的位置，則CD與BE之間是否滿足（1）中的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由.

【拓展延伸】（3）在（1）的條件下，若機(jī)=2,將△?!￡：￡）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B,E,D

三點(diǎn)共線.請(qǐng)直接寫(xiě)出CD的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

9.（2022?虹口區(qū)期中）如圖,在AABC和AAOE中，ZBAD=ZCAE,ZABC=AADE.

（1）求證：△ABCs△ADE；（2）判斷△AB。與△ACE是否相似？并證明.

10.(2022?長(zhǎng)垣市一模)在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，NCDE=NBAC

=a,CD=ED,連接BE,EC.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若a=60°,則,

AD與EB的數(shù)量關(guān)系是；

(2)類比探究：如圖②，當(dāng)a=90°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出NEBA的度數(shù)及A。與班的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)

明理由；

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)E為正方形ABC。的邊上的三等分點(diǎn)，以DE為邊在DE

上方作正方形DEFG,點(diǎn)0為正方形DEFG的中心，若OA=?,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF的

長(zhǎng)度.

圖①圖③

11.(2022?山西?壽陽(yáng)縣教研室九年級(jí)期末)問(wèn)題情境：如圖1所示，在她3c中，D、E分

另U是AB、AC上的點(diǎn)，DE//BC,在圖1中將AZJE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2,

然后將8。、CE分別延長(zhǎng)至M、N,使EN=^CE,得到圖3,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

c

cD

（1）猜想證明：若A8=AC,請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖2中，30與CE的數(shù)量關(guān)系是

②在圖3中，猜想回MAN與SBAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）拓展應(yīng)用：其他條件不變，若A8=0AC,按上述操作方法，得到圖4,請(qǐng)你繼續(xù)探究:

回MAN與aBAC的數(shù)量關(guān)系？AM與AN的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想.

12.（2022?遼寧?東港市第七中學(xué)一模）如圖，在ABC.ADE中，AB=AC,AD=AE,

^ZBAC=ZDAE=a.連接BD,以3C、BD為鄰邊作BDFC,連接￡F.

（1）若。=60。，當(dāng)A￡＞、AE分別與AB、AC重合時(shí)（圖1）,易得EF=C尸.當(dāng)ADE繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段E/、B的數(shù)量關(guān)系；⑵若，=90。，

當(dāng)汨繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時(shí)，試判斷線段反、CT的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論；⑶若。為任意角度，AB=6,BC=4,AD=3,_ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周

（圖4）,當(dāng)A、E、下三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)度.

專題03手拉手模型（從全等到相似）

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知

識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注

重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了.本專題就手拉手模型

進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型（全等模型）

【模型解讀】

將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉

手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。

【常見(jiàn)模型及證法】

（等腰直角）

公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二

個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。

對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD）,右手拉右手（即連結(jié)CE）,得，ABDmACE。

1.（2022?青海?中考真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把

它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為"手拉手"

圖形.

⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若ABC和"3是頂角相等的等腰三角形，BC,OE分別是底邊.

求證：BD=CE；

⑵解決問(wèn)題：如圖2,若△ACB和,DCE均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,點(diǎn)A,

D,E在同一條直線上，CM為DCE中。￡邊上的高，連接BE,請(qǐng)判斷0AE8的度數(shù)及線段

CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖1圖2

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）ZDCE=90。；AE=AD+DE=BE+2CM

【分析】（1）先判斷出回54AEICAE,進(jìn)而利用SAS判斷出△BWEECAE,即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法判斷出ABW幽CAE,得出AD=8E,^ADC^BEC,最后用角的差，即

可得出結(jié)論.

【解析】（1）證明：0ABC和是頂角相等的等腰三角形，

0AB=AC,AD=AE,ZBAC=/DAE,

BiZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,^ZBAD=ACAE.

AB=AC

在..BAD和VC4E中，＜=,

AD=AE

S\/\BAD^Z\CAE(SAS),RBD=CE.

⑵解：ZAEB=90P,AE=BE+2CM,

理由如下：由（1）的方法得，VACD^VBCE,

^\AD=BE,NADC=NBEC,

E/\CDE是等腰直角三角形，

0ZCDE=ZC￡D=45°,

0ZADC=180°-ZCDE=135°,

0ZBEC=ZADC=135°,

0ZAEB=ZBEC-ZCED=135°-45°=90°.

0CD=CE,CMLDE,^DM=ME.

^ZDCE=90°,^DM=ME=CM,

^\DE=2CM.^\AE=AD+DE=BE+2CM.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三

角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACZBBBCE是解本題的關(guān)鍵.

2.（2022?黑龍江?中考真題）ABC和，ADE都是等邊三角形.

（1）將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接8。，CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A重

合），有Rl+PB=PC（或R4+PC=PB）成立；請(qǐng)證明.（2）將皿?繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的

位置時(shí)，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接B4,猜想線段Bl、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？并加以證明；⑶將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接2。，CE相交于點(diǎn)P,連

接出，猜想線段出、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）圖②結(jié)論：PB=PA+PC,證明見(jiàn)解析（3）圖③結(jié)論：

PA+PB=PC

【分析】（1）由AABC是等邊三角形，得AB=AC,再因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)A重合，所以尸

PC=AC,PA=0,即可得出結(jié)論；（2）在8尸上截取BF=CP,連接AF,證明.BAD當(dāng).CAE（SAS）,

得NABD=NACE,再證明△CAT監(jiān)ABAF（SAS）,得NCAP=/BAF,AF=AP,然后證

明,APP是等邊三角形，得P/=AP,即可得出結(jié)論；(3)在CP上截取CF=BP,連接AE,

證明BAD^CAE(SAS),得ZABD=ZACE,再證明4P四△CAP(SAS),得出

ZCAF=ZBAP,AP=AF,然后證明，47是等邊三角形，得尸尸=AP,即可得出結(jié)論:

PA+PB=PF+CF=PC.

⑴證明：團(tuán)0ABe是等邊三角形，0AB=AC,

回點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，^\PB=AB,PC=AC,PA=O,

^\PA+PB=PC^PA+PC=PB-,

(2)解：圖②結(jié)論：PB=PA+PC

證明：在5尸上截取B/=CP,連接AF,

0ABC和都是等邊三角形，

SAB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°

^ZBAC+ZCAD^ZDAE+ZCAD,

^ZBAD=ZCAE,0CAE(SAS),SZABD=ZACE,

EL4c=A2,CP=BF,HACAF^ABAF(SAS),

S\ZCAP=ZBAF,AF=AP,ZCAP+ZCAF=ZBAF+ZCAF,

0ZfAP=Zfi4C=6O°,ELAFP是等邊三角形，

^PF=AP,^\PA+PC=PF+BF=PB；

⑶解：圖③結(jié)論：PA+PB=PC,

理由：在CP上截取CF=3P,連接AE

0ABC和.、ADE都是等邊三角形，

回AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°

0ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,^\ZBAD=ZCAE,

團(tuán)BAD^CAE(SAS),ZABD=ZACE,

SAB=AC,BP=CF,0ABAP^AC4F(SAS),

SZCAF=ZBAP,AP=AF,ZBAF+ZBAP=ZBAF+ZCAF,

^ZFAP=ZBAC=60°,ELAFP是等邊三角形，

^PF=AP,^PA+PB=PF+CF=PC,PA+PB=PC.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角

形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?吉林,九年級(jí)期末）如圖①，在aABC中，ZC=90°,AC=BC=&Y、D,E分

別在邊AC,BC±,且CD=CE=B此時(shí)AD=3E,AD_LBE成立.

圖②圖③

（1）將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)度；（2）

當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，/⑦與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立?

若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周

的過(guò)程中，當(dāng)A,D,E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的的長(zhǎng)度.

【答案】（1）補(bǔ)充圖形見(jiàn)解析；BE=20；（2）AD=BE,AD,BE仍然成立，證明見(jiàn)解

析；⑶AD=j5-l^AD=y/5+l.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖的方法作圖，再根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可；

（2）根據(jù)SAS證明AACD=ABCE得AO=8E,01=02,再根據(jù)01+回3+回4=90°得團(tuán)203+04=90°,

從而可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，運(yùn)用勾股定理求解即可.

【詳解】解：（1）如圖所示，

根據(jù)題意得，點(diǎn)。在BC上，回MCE是直角三角形，且BC=#,CE=V2

由勾股定理得，BE=yJCE2+BC2=J（勾了+（6）2=2及；

（2）AD=BE,AD,BE仍然成立.證明：延長(zhǎng)AD交8E于點(diǎn)

0ZACB=ZDCE=90°,ZACD=ZACB-ZBCD,NBCE=ZDCE-NBCD,

^\ZACD=ZBCE,

又?CD=CE,AC^BC,EIAACD=ABCE,^\AD=BE,Z1=Z2,

在及ABC中，Zl+Z3+Z4=90°,0Z2+Z3+Z4=90°,S\ZAHB=90°,S\AD±BE.

（3）①當(dāng)點(diǎn)。在AC上方時(shí)，如圖1所示，

同（2）可得"8=/\爪2￡

SAD=BE

同理可證BE-LAE

在RfACQE中，CD=CE=y[2

0DE=[C?+CE2=2

在RSACB中，AC=BC=瓜

?AB=7AC2+BC2=2A/3

設(shè)AD=BE=x,

在RtAABE中，BE2+AE2=AB1

0X2+(X+2)2=(2A/3)2

解得,x=Vs-1

0AD=45-1

②當(dāng)點(diǎn)。在AC下方時(shí)，如圖2所示,

圖2

同(2)可得/\ACD=Z\BCE

SAD=BE

同理可證

在RfACDE中，CD=CE=y/2

^DE=yJcD2+CE2=2

在RSACB中，AC=BC=而

^AB=^AC-+BC1=2A/3

設(shè)AD=BE=x,

在RdABE中，BE2+AE2=AB2

0X2+(X-2)2=(2A/3)2

解得,X=&+1

0AD=^+1.

所以的值為6-1或6+1

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練解答本題

的關(guān)鍵.

模型2.手拉手模型（旋轉(zhuǎn)相似模型）

【模型解讀與圖示】

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.

1.（2022?四川達(dá)州?中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不

同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,按如圖1的方式擺放，ZACB=ZECD=9Q°,

隨后保持，ABC不動(dòng)，將△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a（0。<?<90。），連接AE,BD,

延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F,連接CP.該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答:

圖1圖2圖3

圖4圖5圖6

⑴【初步探究】如圖2,當(dāng)￡D〃BC時(shí)，則。=；

（2）【初步探究】如圖3,當(dāng)點(diǎn)E,F重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出"，3尸，CP之間的數(shù)量關(guān)系:

⑶【深入探究】如圖4,當(dāng)點(diǎn)E,F不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給

出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）【拓展延伸】如圖5,在，MC與△CDE中，

ZACB=NDCE=90°,若3C=mAC,CD=mCE（m為常數(shù)）.保持一ABC不動(dòng)，將MDE

繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a（0。＜0＜90。），連接AE,2。，延長(zhǎng)3D交AE于點(diǎn)F,連接CP,

如圖6.試探究AF,BF,CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）45。（2）臺(tái)尸=A尸+0CF⑶3尸=A尸+在CF仍然成立，理由見(jiàn)解析⑷

BF=-\/l+m2FC+mAF

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得ACLBC,根據(jù)題意可得AC_LE。，根據(jù)

等原三角形的性質(zhì)可得AC平分/ECO,即可得/4CE=45。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知/EG4=Q；

（2）證明ACE0△BCD,可得鉆根據(jù)等腰直角三角形可得瓦＞=0CE，由

BE=BD+ED,即可即可得出3P=AF+0CF;

（3）同（2）可得AACE/ABCD,過(guò)點(diǎn)C,作?！╛1/0交8尸于點(diǎn)“，證明FECqHDC,

△AFCABHC,可得BH=AF,即可得出BE=A尸+忘（不；

（4）過(guò)點(diǎn)C作CG_LCF,交加'于點(diǎn)G,證明△ACE's"CD，可得3G=mAF,GC=mFC,

在RtbCG中，勾股定理可得FG=J1+r/FC，即可得出班'=++.

（1）.,等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,.?./ECD=90。，AC±BC

ED//BC:.ED1ACZAC￡=a=45。故答案為：45°

圖3

圖4

(2)ZACB=Z.ECD=90°ZACE+AACD=ZACD+ZBCDZACE=NBCD

AC=BC

在iACE與△BCD中，＜NACE=NBCDACE/乙BCD，AE=DBBE=BD+ED

EC=DC

y.ED=-J1CEBE=AE+^2CE瓦P重合，2F=A尸+四CF故答案為：

BF=AF+6CF

⑶同(2)可得ACE/ABCDAE=DB,NEAC=ZDBC

過(guò)點(diǎn)C,作C”,產(chǎn)C,交BF于點(diǎn)H,

則ZECF+ZFCD=NFCD+Z.DCH=90°,；.NECF=ZDCH,

ZFEC=ZHDC

在.PEC與△HDC中,\EC=CD,FEC%HDC,

ZECF=ZDCH

.?.尸C=CH,CEE是等腰直角三角形，.?."=0FC，CH=FC,

2FCH=ZACF+ZACH=90°,NACB=ZBCH+ZACH=90°,ZACF=ZBCH,

FC=HC

在△AFC與中，＜/ACF=/BCH,/.AAFCABHC,

AC=BC

:.BH=AF,;.BF=FH+BH=CCF+AF，BPBF=AF+y[lCF

⑷過(guò)點(diǎn)。作CGLCF,交互于點(diǎn)G,

ACBC

BC=mAC,CD=mCE,—=——,

ACCEEC-DC'

ZACE=/BCD=a,:./\ACE^ABCD,.ZCBG=ZCAF,

ZFCA-^-ZACG=ZGCB+ZACGf

AZFCA=ZGCBAFCS&BGC,—=—=—=

fAFFCAC

BG=mAF,GC=mFC,

Rt、FCG中，F(xiàn)G=dFC+CG2=yJl+^FC，

BF=FG+GB=71+m2FC+mAF，即斯=?+府FC+mAF-

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似

三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵.

2.(2022?山東煙臺(tái)?中考真題)

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,0ABe和財(cái)。E都是等邊三角形，連接B。，CE.求證：BD=CE.

⑵【類比探究】如圖2,BABC和0ADE都是等腰直角三角形，HABC=0A￡)E=9O。.連接

CE.請(qǐng)直接寫(xiě)出”的值.⑶【拓展提升】如圖3,0ABe和0ADE都是直角三角形，0ABC

=0AD￡=9O°,且照=當(dāng)=1.連接8。，CE.①求總的值；②延長(zhǎng)CE交8。于點(diǎn)孔

DCDE4CE

交AB于點(diǎn)G.求sinEBFC的值.

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)變⑶①』；②當(dāng)

255

【分析】(1)證明△BADH3cAE,從而得出結(jié)論；

(2)證明△BA。釀CAE,進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)①先證明△A8O30ADE,再證得△CAE00BA。，進(jìn)而得出結(jié)果；

②在①的基礎(chǔ)上得出a4CE=SAB，進(jìn)而副尸C=IB3AC,進(jìn)一步得出結(jié)果.

(1)證明：回0ABe和AAOE都是等邊三角形，

^\AD=AEfAB=ACf團(tuán)DAE=同BAC=60°,

^\DAE-^\BAE=^BAC-姐AE,

^\BAD=BCAEf回團(tuán)朋。釀CAE(SAS),^1BD=CE；

⑵解：的48。和朋0E都是等腰直角三角形，

ABAB1

..—=—=^DAE=^\BAC=45°,^IDAE-^\BAE=^\BAC-^BAE,

AEACV2

DF)AD15

團(tuán)團(tuán)5A。=團(tuán)CAE,^1BAD^\CAE,——=—=-==—；

CEAC62

40AT)3

(3)解：①一=—=一，^ABC=^ADE=90°,

ACDEA

ABAD3

^\ABC^\ADE[21I215AC—^\DAE,==—,

fACAE5

BDAD3

mt?]CAE—^IBAD團(tuán)團(tuán)CAE回國(guó)BA。，---=---=—；

fCEAE5

②由①得：^CAES^BAD,aa4CE=0A3￡),

BC4

SSAGC^BGF,fflBFC=0BAC,Elsin0BFC=——=-.

AC5

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握"手拉手”模型及其變形.

3.(2022?山東?東營(yíng)市一模)【提出問(wèn)題】

(1)如圖1,在等邊0ABC中，點(diǎn)M是8C上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)8、C),連結(jié)AM,以

AM為邊作等邊0AMN,連結(jié)CN.求證：0ABe=0ACN.

【類比探究】（2）如圖2,在等邊0ABe中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,

其它條件不變，（1）中結(jié)論0ABe=a4CN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展延伸】（3）如圖3,在等腰0ABe中，8A=8C,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)

B、C）,連結(jié)AM,以AM為邊作等腰0AMN,使頂角0AMN=0A8C.連結(jié)CN.試探究0ABe

與0ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）^ABC^CAN,理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用SAS可證明團(tuán)%m03cAN,繼而得出結(jié)論.

（2）也可以通過(guò)證明回BAMEBCAN,得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣.

AnAC

（3）首先得出回BACHMAN,從而判定她BCfflAA/N,得到——=—,根據(jù)EIBAM=EIBAC-

AMAN

SMAC,^CAN=^\MAN-SMAC,得到MAM=EICAN,從而判定EIBAMIBCAN,得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）證明：00ABC＞0AMN是等邊三角形，

SAB=AC,AM=AN,SBAC=^MAN=60°.EBBAM=EICAN.

AB=AC

團(tuán)在EIBAM和回CAN中，＜ZBAM=ZCAN,

AM=AN

^EBAMSECAN（SAS）.^SiABC=^ACN.

（2）結(jié)論0ABC=0ACN仍成立.理由如下：EEABC、0A"N是等邊三角形，

SAB=AC,AM=AN,SBAC=^MAN=60°.^BAM^CAN.

AB=AC

團(tuán)在IBBAM和I3C4N中，＜ZBAM=ZCAN,

AM=AN

^\BAMSJ3\CAN(SAS),^\ABC=^ACN.

(3)SABC=^ACN.理由如下：

SBA=BC,MA=MN,頂角0ABe=0AAfN,

回底角勖AC=EM4N,EBABCHEAMN,S—=—,

AMAN

XE0BAM=EIBAC-SMAC,^\CAN=SiMAN-SMAC,

WAM=S\CAN,S^BAMSBCAN,^\ABC^ACN.

4.(2022?山西長(zhǎng)治,九年級(jí)期末)問(wèn)題情境：如圖1,在0ABe中，AB=6,AC=5,點(diǎn)。，E

分別在邊48,AC上，且DE"3c.數(shù)學(xué)思考：

(1)在圖1中，一的值為；(2)圖1中0ABC保持不動(dòng)，將0ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其它條件不變，連接8Z),CE,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)

明理由；⑶拓展探究：在圖2中，延長(zhǎng)80,分別交AC,CE于點(diǎn)尸，P,連接AP,得到圖

3,探究0APE與0ABe之間有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；⑷若將0ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)到圖4的位置，連接8。，CE,延長(zhǎng)8。交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,8P交AC于點(diǎn)用貝U

(3)中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出0APE與0ABe

之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(l)g(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析⑶0APE=0ABC,理由見(jiàn)解析

⑷結(jié)論不成立，回APE+EL43c=180。，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到回8A￡)=EICAE,由(1)可證明EIBADEBCAE,從而可證EL4PE+0ABC

BDAR6

得至!]——=—=-；(3)由(2)可證0ABe)=0ACE,證明0AF8EHPFC和回AfPEHBFC即可得

CEAC5

到結(jié)論；

(4)證明fflABZHSACE,推出A、B、C、尸四點(diǎn)共圓即可得到結(jié)論；

⑴解：?DE〃BC,團(tuán)些="，回變="=9；

ABACCEAC5

(2)解：中結(jié)論仍然成立，理由如下：

回旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，00AZ)E=0ABC,^AED=^ACB,

00ADEI30ABC,回42=逆，

ABAC

在圖2中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，0BAC=0DAE,

BDAB6

00BA￡)=0C4￡,00BAD00CAE,0一=——=一；

CEAC5

(3)解：0ApE=I3ABC,理由如下：

由(2)得回BAOaaCAE,0a4BD=0AC￡,

XEEL4FB=EIPFC,00AFBEI0PFC,

AFBFAFPF

團(tuán)----=----，ZBAC=ZBPC,團(tuán)---------，

PFCFBFCF

又西AF尸二團(tuán)BFC,國(guó)A廠Pl非團(tuán)團(tuán)C8尸二蛇4尸,

團(tuán)團(tuán)APE二團(tuán)ACE+團(tuán)以方，^\ABC=^ABF+^CBFf團(tuán)團(tuán)APE二團(tuán)ABC；

（4）解：（3）結(jié)論不成立，0AP￡+0ABC=180°,理由如下：

由（2）知，0BAD00CAE,0EIABZ）=0AC￡,

0A、B、C、尸四點(diǎn)共圓，EBAPE+a48c=180°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等等，熟練掌握相關(guān)三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練：

1.（2022?湖南?中考真題）如圖，點(diǎn)。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=2,OB=1,OC=6,

則AAO3與ABOC的面積之和為（）

A.走B.BC.述D.6

424

【答案】C

【分析】將AAO3繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得ABCD,連接0。，得到3OD是等邊三角形,

再利用勾股定理的逆定理可得NCOD=90。，從而求解.

【詳解】解：將AAOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得ABCD,連接。。，

A

:.OB=OD,ZBOD=60°,CD=OA=2,r.ABQD是等邊三角形，:.OD=OB=l,

VOD2+0C~=I2+(73)2=4,CD"=22=4,:.OD~+OC2=CD~,:.ZDOC=9CP,

2

AAOB與ABOC的面積之和為SB0C+SBCD=SBOD+SCOD=-x]+-xlxy[3=^-.故

DtzCDCZ,/DUL)CCzrJ42'4

選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，

利用旋轉(zhuǎn)將AAO3與ABOC的面積之和轉(zhuǎn)化為sB℃+SBCD,是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?四川宜賓?中考真題）如圖，，ABC和一ADE都是等腰直角三角形，

N&lC=NmE=90。，點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），OE與AC交于點(diǎn)凡

連結(jié)CE.下列結(jié)論：①BD=CE；②NDAC=NCED；③若BD=2CD,則工二=壯；④

AF5

在，ABC內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P,使得R4+P3+PC的值最小，若點(diǎn)。在AP的延長(zhǎng)線上，且

AP的長(zhǎng)為2,則CE=2+后.其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）

A,①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】證明:區(qū)位注C4E,即可判斷①，