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專題05一線三等角(K型圖)模型(從全等到相似)
全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知
識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn),其變化很多,難度大,是中考的??碱}型。如果大家平時(shí)注
重解題方法,熟練掌握基本解題模型,再遇到該類問題就信心更足了.本專題就一線三等角
模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析,方便掌握。
模型1.一線三等角(K型圖)模型(全等模型)
【模型解讀】
在某條直線上有三個(gè)角相等,利用平角為180。與三角形內(nèi)角和為180。,證得兩個(gè)三角形全
等。
【常見模型及證法】
同側(cè)型一線三等角(常見):
銳角一線三等角直角一線三等角(“K型圖”)鈍角一線三等
角
條件:ZA=NCED=/B+CE=DE
證明思路:/4=/8,/。=/3££>+任一邊相等=BED=ACE
異側(cè)型一線三等角:
銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角
條件:ZFAC=ZABD=ZCED+任意一邊相等
證明思路:ZA=ZB,ZC=ABED+任一邊相等=>_BED=_ACE
1.(2022?湖南湘潭?中考真題)在中,NE4c=90。,AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,過
點(diǎn)、B、C分別作/的垂線,垂足分別為點(diǎn)。、E.
(1)特例體驗(yàn):如圖①,若直線/〃BC,AB=AC=42,分別求出線段BD、CE和的長(zhǎng);
⑵規(guī)律探究:①如圖②,若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)。(0<口<45。),請(qǐng)?zhí)骄烤€段
BD、CE和的數(shù)量關(guān)系并說明理由;②如圖③,若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)
針旋轉(zhuǎn)。(45。V,〈90。),與線段BC相交于點(diǎn)衣,請(qǐng)?jiān)偬骄€段BD、CE和的數(shù)量關(guān)系
并說明理由;
⑶嘗試應(yīng)用:在圖③中,延長(zhǎng)線段3D交線段AC于點(diǎn)方,若CE=3,DE=1,求
2.(2022?黑龍江?九年級(jí)期末)(1)如圖(1),己知:在E1ABC中,勖AC=90。,AB=AC,直
線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)A,加團(tuán)直線"z,C£H直線如垂足分別為點(diǎn)。、E.證明配汨=2£)+CE
(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線加上,
并且有&804=媯£。=回區(qū)4。=%其中。為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論。E=8O+CE是否成立?
如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線機(jī)上的兩動(dòng)點(diǎn)(。、A、E三
點(diǎn)互不重合),點(diǎn)B為SBAC平分線上的一點(diǎn),且EA8F和0ACP均為等邊三角形,連接B。、
CE,若回BD4=EIAEC=EIBAC,試判斷EIDE尸的形狀.
cc
D
(圖1)(圖2)(圖3)
3.(2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))【感知模型】"一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模
型之一,請(qǐng)根據(jù)以下問題,把你的感知填寫出來:
①如圖1,是等腰直角三角形,ZC=90°,AE=BD,貝uAE儂.
②如圖2,為正三角形,BD=CF,NEDF=60°,則BDEM
③如圖3,正方形ABCD的頂點(diǎn)B在直線/上,分別過點(diǎn)A、C作AE,/于E,CF,/于凡若
A£=bCF=2,則球的長(zhǎng)為
【模型應(yīng)用】(2)如圖4,將正方形ORC放在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)。為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐
標(biāo)為\,,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
【模型變式】⑶如圖5所示,在,MC中,NACB=90°,AC=BC,BELCE^-E,ADSiCE
于。,DE=4cm,A£)=6cm,求盛的長(zhǎng).
模型2.一線三等角模型(相似模型)
【模型解讀與圖示】
“一線三等角”型的圖形,因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角,一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的‘'一
對(duì)角相等”,再利用平角為180。,三角形的內(nèi)角和為180。,就可以得到兩個(gè)三角形的另外
一對(duì)角也相等,從而得到兩個(gè)三角形相似.
1.(2022?四川?一模)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí),發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形:
(1)如圖1,已知:在財(cái)8C中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)上,并且有
NBD4=/4EC=NB4C=a.試猜想。E、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(2)老師鼓勵(lì)學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探索相似的情豚于是,學(xué)習(xí)小組又研究以下問題:如圖2,“8C
中,ZB=NC=a(0<a<60。).將一把三角尺中30。角頂點(diǎn)尸放在8c邊上,當(dāng)P在邊
上移動(dòng)時(shí),三角尺中30。角的一條邊始終過點(diǎn)A,另一條邊交AC邊于點(diǎn)。P、。不與三角
形頂點(diǎn)重合.設(shè)=當(dāng)月在許可范圍內(nèi)變化時(shí),。取何值總有AABP回APC。?當(dāng)。在
許可范圍內(nèi)變化時(shí),戶取何值總有AABP回△QCP?
(3)試探索有無可能使AABP、△。尸C、AABC兩兩相似?若可能,寫出所有a、P的值(不
寫過程);若不可能,請(qǐng)說明理由.
圖2
2.(2022?河南新鄉(xiāng)?二模)如圖,a48c和0AOE是有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)等腰直角三角形,
回D4E=E1BAC=9O。,AD=AE,AB=AC=6,。在線段BC上,從8到C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M和點(diǎn)N
分別是邊BC,OE的中點(diǎn).
(1)【問題發(fā)現(xiàn)】若點(diǎn)。是2C邊的中點(diǎn)時(shí),一=,直線8。與MN相交所成的銳角
MN
的度數(shù)為(請(qǐng)直接寫出結(jié)果)(2)【解決問題]若點(diǎn)。是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí),上述結(jié)論
是否成立,請(qǐng)說明理由.
⑶【拓展探究】在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng),及CN的最小值.
3.(2022,山東荷澤?二模)(1)問題:
如圖1,在四邊形ABC。中,點(diǎn)尸為A3上一點(diǎn),當(dāng)4)PC=NA=N6=90。時(shí),求證:
ADBC=APBP.
(2)探究:若將90。角改為銳角或鈍角(如圖2),其他條件不變,上述結(jié)論還成立嗎?說
明理由.
(3)應(yīng)用:如圖3,在-筋。中,A8=2后,NB=45。,以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰放幾位花.點(diǎn)
。在8C上,點(diǎn)E在AC上,點(diǎn)尸在BC上,且4FD=45°,若CE=#,求。的長(zhǎng).
圖1
模型3.一線三直角模型(相似模型)
【模型解讀與圖示】
“一線三直角”模型的圖形,實(shí)則是“一線三等角”型的圖形的特例,因?yàn)檫@種圖形在正方
形和矩形中出現(xiàn)的比較多,對(duì)它做一專門研究,這樣的圖形,因?yàn)橛腥齻€(gè)角是直角,就有兩
個(gè)角相等,再根據(jù)“等角的余角相等”可以得到另外一對(duì)角相等,從而判定兩個(gè)三角形相似.
L(2022?湖南郴州?中考真題)如圖1,在矩形ABC。中,Afi=4,BC=6.點(diǎn)E是線段
AO上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,。重合),連接CE,過點(diǎn)E作EF1CE,交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:71£7-£>CE;⑵如圖2,連接CR過點(diǎn)2作BGLCF,垂足為G,連接AG.點(diǎn)
M是線段BC的中點(diǎn),連接GM.①求AG+GM的最小值;②當(dāng)AG+GM取最小值時(shí),求
線段。E的長(zhǎng).
2.(2022?山東濟(jì)寧?二模)情境觀察:將含45。角的三角板的直角頂點(diǎn)R放在直線/上,分別
過兩銳角的頂點(diǎn)N作/的垂線,垂足分別為P,Q,
(1)如圖1.觀察圖1可知:與NQ相等的線段是,與NNA。相等的角是
⑵問題探究直角中,ZB=90°,在AB邊上任取一點(diǎn)連接CD,分別以AC,DC
為邊作正方形AC£方和正方形C/)G8,如圖2,過E,X分別作BC所在直線的垂線,垂足
分別為K,L試探究EK與乩之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
⑶拓展延伸:直角中,ZB=90°,在AB邊上任取一點(diǎn)。,連接8,分別以AC,DC
為邊作矩形ACE尸和矩形CDGH,連接EH交BC所在的直線于點(diǎn)T,如圖3.如果AC=ACE,
CD=/月,試探究7E與7W之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
3.(2022?浙江?嘉興一中一模)閱讀材料:我們知道:一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角
頂點(diǎn),過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線,即可得三垂直模型"如圖①:在0ABe中,SACB
=90。,AC=BC,分別過A、B向經(jīng)過點(diǎn)C直線作垂線,垂足分別為。、E,我們很容易發(fā)
現(xiàn)結(jié)論:0AOCE0CE8.
圖①
⑴探究問題:如果ACwBC,其他條件不變,如圖②,可得到結(jié)論;ElADGaaCEB.請(qǐng)你說
明理由.
(2)學(xué)以致用:如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線C。交于點(diǎn)M(2,1),且
兩直線夾角為a,且tana=:,請(qǐng)你求出直線C。的解析式.
⑶拓展應(yīng)用:如圖④,在矩形A8CD中,AB=4,8C=5,點(diǎn)E為8c邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接
AE,將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,當(dāng)點(diǎn)尸在矩形外部時(shí),連
接PC,PD.若SDPC為直角三角形時(shí),請(qǐng)你探究并直接寫出BE的長(zhǎng).
課后專項(xiàng)訓(xùn)練:
1.(2022?貴州銅仁?三模)(1)探索發(fā)現(xiàn):如圖1,已知及.ABC中,ZACB=90°,AC=BC,
直線/過點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD,/,過點(diǎn)8作BE1/,垂足分別為。、E.求證:CD=BE.
(2)遷移應(yīng)用:如圖2,將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),三角板的
一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合,另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi),已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為
(4,2),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)拓展應(yīng)用:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知直線y=-4x+4與y軸交于點(diǎn)P,與x
軸交于點(diǎn)。,將直線P。繞尸點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后,所得的直線交無軸于點(diǎn)R求點(diǎn)R
的坐標(biāo).
2.(2022?廣東?汕頭市潮陽區(qū)教師發(fā)展中心教學(xué)研究室一模)(1)模型建立,如圖1,等腰
直角三角形ABC中,0ACB=9O°,CB=CA,直線即經(jīng)過點(diǎn)C,過A作AZMED于。,過8
作。于E.求證:SBECSECDA;
(2)模型應(yīng)用:①已知直線A3與y軸交于A點(diǎn),與x軸交于8點(diǎn),sinEAB。/,02=4,
將線段A2繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,得到線段BC,過點(diǎn)A,C作直線,求直線AC的解析
式;
②如圖3,矩形ABC。,。為坐標(biāo)原點(diǎn),2的坐標(biāo)為(8,6),A,C分別在坐標(biāo)軸上,P是
線段BC上動(dòng)點(diǎn),已知點(diǎn)D在第一象限,且是直線y=2x-5上的一點(diǎn),若0AP。是以。為直
角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo).
3.(2022?黑龍江?樺南縣九年級(jí)期中)如圖1,在aMC中,ZACB=90°,AC=BC,直線
MN經(jīng)過點(diǎn)C,且于Q,于£.(1)由圖1,證明:DE=AD+BE;
(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),請(qǐng)猜想出AD,班的等量關(guān)系并說明理
由;
⑶當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),試問AQ,m又具有怎樣的等量關(guān)系?
請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系(不必說明理由).
4.(2022?山東?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))(1)課本習(xí)題回放:"如圖①,ZACB=90°,AC=BC,
AD1CE,BELCE,垂足分別為。,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求m的長(zhǎng)",請(qǐng)直
接寫出此題答案:材的長(zhǎng)為.
(2)探索證明:如圖②,點(diǎn)B,c在的邊40、AN上,AB=AC,F在NMAN
內(nèi)部的射線AD上,且ZBED=NCFD=NBAC.求證:MBE^ACAF.
(3)拓展應(yīng)用:如圖③,在AABC中,AB=AC,AB>BC.點(diǎn)。在邊BC上,CD=2BD,
點(diǎn)E、廠在線段AD上,NBED=NCFD=NBAC.若AABC的面積為15,則AACF與ABDE
的面積之和為.(直接填寫結(jié)果,不需要寫解答過程)
5.(2022?無錫市九年級(jí)月考)(1)如圖1,直線m經(jīng)過等腰直角AABC的直角頂點(diǎn)A,過點(diǎn)
B、C分別作BD_Lm,CElm,垂足分別是D、E.求證:BD+CE=DE;
(2)如圖2,直線m經(jīng)過AABC的頂點(diǎn)A,AB=AC,在直線m上取兩點(diǎn)D、E,使NADB
=ZAEC=a,
補(bǔ)充/BAC=(用a表示),線段B。、CE與之間滿足BO+CE=OE,補(bǔ)充條件后
并證明;
(3)在(2)的條件中,將直線m繞著點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置,并
改變條件4OB=NAEC=(用a表示).通過觀察或測(cè)量,猜想線段B。、CE
與OE之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并予以證明.
m
--“-1I//i|D\\'
o.--------
?c/6cI
rai圖2圖3
6.(2022?河南新鄉(xiāng)?九年級(jí)期中)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形相似時(shí),發(fā)現(xiàn)了下面這種典型
的基本圖形.
(1)如圖1,在ABC中,0BAC=90°,——=k,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,8?;刂本€/,CE上直線
AC
I,垂足分別為。、E.求證:學(xué)=k
AE
(2)組員小劉想,如果三個(gè)角都不是直角,那么結(jié)論是否仍然成立呢?如圖2,將(1)中
的條件做以下修改:在.ABC中,——=k,D、A、E三點(diǎn)都在直線/上,并且有aBD4=0AEC
AC
=BBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)你給出
證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神,并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題:如圖3,在
ARAC1
ABC中,沿一ABC的邊A3、AC向外作矩形A瓦汨和矩形ACFG,——=——A”是
AEAG2
8C邊上的高,延長(zhǎng)交EG于點(diǎn)/.①求證:/是EG的中點(diǎn).②直接寫出線段8C與A/
之間的數(shù)量關(guān)系:.
7.(2022?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))[問題背景](1)如圖1,是等腰直角三角形,AC=BC,
直線/過點(diǎn)C,AM11,BN11,垂足分別為叔,N.求證:AAMCdCNB;
[嘗試應(yīng)用](2)如圖2,AC=BC,NACB=90。,N,B,E三點(diǎn)共線,CNLNE,NE=45。,
CN=1,BN=2.求AE的長(zhǎng);[拓展創(chuàng)新](3)如圖3,在jDCE中,NCDE=45°,點(diǎn)A,
1
6分別在OE,CE上,AC=BC,ZACB=90°,若tan/DC4=j,直接寫出丁的值
8.(2022?黑龍江齊齊哈爾?三模)數(shù)學(xué)實(shí)踐課堂上,張老師帶領(lǐng)學(xué)生們從一道題入手,開始
研究,并對(duì)此題做適當(dāng)變式,嘗試舉一反三,開闊學(xué)生思維.
⑴原型題:如圖1,AB1BD于點(diǎn)8,CD,即于點(diǎn)Q,尸是眇上一點(diǎn),AP=PC,APIPC,
則八旬通4_______,請(qǐng)你說明理由.(2)利用結(jié)論,直接應(yīng)用:①如圖2,四邊形ABCD、
EFGH、NHMC都是正方形,邊長(zhǎng)分別為a、b、c,A、B、N、E,尸五點(diǎn)在同一條直線上,
則△CBNgA________,(用含服b的式子表示).②如圖3,四邊形ABCD
中,AB\DC,ABLBC,AB=2,CD=4,以BC上一點(diǎn)。為圓心的圓經(jīng)過A、。兩點(diǎn),
且ZAOD=90°,則圓心O到弦AD的距離為.
⑶弱化條件,變化引申:如圖4,M為線段杷的中點(diǎn),品與BD交于點(diǎn)C,
ZDME=ZA=ZB=45。,且DM交AC于點(diǎn)F,ME交BC于點(diǎn)G,連接FG,貝U40F與
BGAf的關(guān)系為:,若AB=4及,AF=3,則PG=.
9.(2022?鄭州一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中.邊長(zhǎng)為4的等邊△048的邊在
x軸上,C、D、E分別是AB、OB,0A上的動(dòng)點(diǎn),且滿足8O=2AC,DE//AB,連接C。、
CE,當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí),與△人"相似.
10.(2022?廣東中考模擬)(1)模型探究:如圖1,D、E、F分別為MBC三邊BC、加、
AC上的點(diǎn),AZB=ZC^ZEDF=a,ABDE與ACTO相似嗎?請(qǐng)說明理由.
(2)模型應(yīng)用:AABC為等邊三角形,其邊長(zhǎng)為8,E為邊AB上一點(diǎn),尸為射線AC上一
點(diǎn),將MEF沿EF翻折,使點(diǎn)A落在射線CB上的點(diǎn)。處,且應(yīng))=2.①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在
線段BC上時(shí),求等的值;
AF
②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。落在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),求ABDE與ACFD的周長(zhǎng)之比.
11.(2022?山西晉中,一模)閱讀材料:
我們知道:一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn),過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線,
即可得三垂直模型"如圖①,在,中,ZACB=90°,AC=BC,分別過A、B向經(jīng)過點(diǎn)C
直線作垂線,垂足分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論:AADC^ACEB.
(1)探究問題:如果ACHBC,其他條件不變,如圖②,可得到結(jié)論;AADCsACEB.請(qǐng)
你說明理由.
(2)學(xué)以致用:如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=gx與直線CD交于點(diǎn)"(2」),且
3
兩直線夾角為明且tana=:,請(qǐng)你求出直線CD的解析式.(3)拓展應(yīng)用:如圖④,在矩
形ABCD中,AB=3,BC=5,點(diǎn)£為加邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接此,將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋
轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,當(dāng)點(diǎn)p在矩形ABCZ)外部時(shí),連接尸C,PD.若△DPC為直角三角
形時(shí),請(qǐng)你探究并直接寫出班的長(zhǎng).
12.(2022?山東青島,九年級(jí)期中)【模型引入】
我們?cè)谌葘W(xué)習(xí)中所總結(jié)的"一線三等角、K型全等”這一基本圖形,可以使得我們?cè)谟^察新
問題的時(shí)候很迅速地聯(lián)想,從而借助已有經(jīng)驗(yàn),迅速解決問題.
圖1圖2
AD
D
圖3圖4
圖7圖8
【模型探究】如圖,正方形ABC。中,E是對(duì)角線8。上一點(diǎn),連接AE,過點(diǎn)E作EE3AE,
交直線C8于點(diǎn)F.(1)如圖1,若點(diǎn)尸在線段上,寫出EA與EF的數(shù)量關(guān)系并加以證
明;
(2)如圖2,若點(diǎn)/在線段CB的延長(zhǎng)線上,請(qǐng)直接寫出線段BC,BE和8尸的數(shù)量關(guān)系.
【模型應(yīng)用】(3)如圖3,正方形ABC。中,AB=4,£為C£>上一動(dòng)點(diǎn),連接AE交8。于
F,過F作切3AE于F,過H作//G0B。于G.則下列結(jié)論:?AF=FH;②0HAE=45。;
③BD=2FG;④回CE8的周長(zhǎng)為8.正確的結(jié)論有個(gè).
(4)如圖4,點(diǎn)E是正方形ABC。對(duì)角線BD上一點(diǎn),連接AE,過點(diǎn)£作交線段
BC于點(diǎn)凡交線段AC于點(diǎn)M,連接AF交線段2。于點(diǎn)H.給出下列四個(gè)結(jié)論,①AE=
EF;②@DE=CF;(3)SAAEM^SAMCF;④BE=DE+梃BF;正確的結(jié)論有個(gè).
【模型變式】(5)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形08。是正方形,且。(0,2),
點(diǎn)E是線段08延長(zhǎng)線上一點(diǎn),M是線段。8上一動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)。、B),作MV0OM,垂
足為交EICBE的平分線與點(diǎn)N,求證:MD=MN
(6)如圖6,在上一間的條件下,連接DN交BC于點(diǎn)凡連接尸貝靦EMN和EIMWB之間
有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)給出證明.
【拓展延伸】(7)已知回MON=90。,點(diǎn)A是射線ON上的一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)8是射線上的
一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足。8>。4.點(diǎn)C在線段OA的延長(zhǎng)線上,S.AC=OB.如圖7,在線段8。
上截取BE,使BE=OA,連接CE.若團(tuán)054+團(tuán)。CE=£,當(dāng)點(diǎn)8在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí),£的
大小是否會(huì)發(fā)生變化?如果不變,請(qǐng)求出這個(gè)定值;如果變化,請(qǐng)說明理由.
(8)如圖8,正方形ABC。中,A£)=6,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),連接。E,過點(diǎn)E作EF
VED,交A8于點(diǎn)己連接。F,交AC于點(diǎn)G,將沿EF翻折,得到△£府,連接
DM,交E尸于點(diǎn)N,若點(diǎn)P是邊的中點(diǎn),則△即M的面積是
專題05一線三等角(K型圖)模型(從全等到相似)
全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知
識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn),其變化很多,難度大,是中考的??碱}型。如果大家平時(shí)注
重解題方法,熟練掌握基本解題模型,再遇到該類問題就信心更足了.本專題就一線三等角
模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析,方便掌握。
模型1.一線三等角(K型圖)模型(全等模型)
【模型解讀】
在某條直線上有三個(gè)角相等,利用平角為180。與三角形內(nèi)角和為180。,證得兩個(gè)三角形全
等。
【常見模型及證法】
同側(cè)型一線三等角(常見):
銳角一線三等角直角一線三等角(“K型圖”)鈍角一線三等
條件:ZA=ZCED=ZB+CE=DE
證明思路:44=/氏/。=/3£0+任一邊相等=>八3£0=ACE
異側(cè)型一線三等角:
銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角
條件:ZFAC=ZABD=ZCED+任意一邊相等
證明思路:44=/氏/。=/8£?+任一邊相等二>一班。=ACE
1.(2022?湖南湘潭?中考真題)在ABC中,ABAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,過
點(diǎn)、B、C分別作/的垂線,垂足分別為點(diǎn)£>、E.
⑴特例體驗(yàn):如圖①,若直線/〃BC,AB=AC=y[2,分別求出線段3。、CE和。E的長(zhǎng);
⑵規(guī)律探究:①如圖②,若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)1(0<£<45。),請(qǐng)?zhí)骄烤€
段9、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由;②如圖③,若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順
時(shí)針旋轉(zhuǎn)1(45。<。<90。),與線段3c相交于點(diǎn)7/,請(qǐng)?jiān)偬骄€段3D、CE和OE的數(shù)量關(guān)
系并說明理由;
⑶嘗試應(yīng)用:在圖③中,延長(zhǎng)線段5D交線段AC于點(diǎn)F,若CE=3,DE=1,求入昉八
【答案】(1四。=1;CE=1;DE=2
25
⑵①DE=CE+BD;理由見解析;②BD=CE+DE;理由見解析(3)5n=三
AsO
90°
【分析】(1)先根據(jù)得出ZABC=ZAC2=—=45。,根據(jù)/〃水:,得出/045=//45。=45。,
2
ZEAC=ZACE=45°,再根據(jù)N3A4=NCE4=90°,求出NAB£>=45°,NACE=45。,
即可得出ZDAB=ZABD=Z.EAC=ZACE=45°,最后根據(jù)三角函數(shù)得出A£>=8£>=1,
AE=CE=1,即可求出?!?45+隹=2;
(2)①DE=CE+BD;根據(jù)題意,利用"AAS"證明也AG4E,得出AD=CE,BD=AE,即
可得出結(jié)論;
@BD=CE+DE;根據(jù)題意,利用"AAS"證明AAB陣AC4E,得出AD=CE,BD=AE,即可得出
結(jié)論;
_________Ar\Ap
(3)在Rt0A£C中,根據(jù)勾股定理求出AC=ylAE2+CE2=5,根據(jù)DF//CE,得出大==7,
AECF
代入數(shù)據(jù)求出AF,根據(jù)AC=5,算出C尸,即可求出三角形的面積.
(1)解:SZBAC=90°,AB=AC,0ZABC=ZACB=—=45°,
^\l//BC,^\ZDAB=ZABC=A5°,ZEAC=ZACE=45°,
^\BD^AE,CE^\DE,^\ZBDA=ZCEA=90°,
團(tuán)ZABD=90°-45°=45°,ZACE=90°-45°=45°,
^\ZDAB=ZABD=ZEAC=ZACE=45°,
BAD=BD=ABxsinZDAB=V2x—=1,
2
AE=CE=ACxsin/EAC=V2X=1,團(tuán)DE=AD-]-AE=2.
2
(2)①DE二CE+BD;理由如下:0BDI2L4E,CE^\DE,
^ZBDA=ZCEA=90°,0ZDAB-^-ZDBA=90°,
0ZBAC=9O°,0ZZMB+ZC4E=9O°,^\ZDBA=ZCAE,
^\AB=ACf團(tuán)A4B£^AC4E,^\AD=CEfBD=AEf
^\DE=AD+AE=CE+BD,即DE=CE+BD;
②BD=CE+DE,理由如下:
團(tuán)SOME,CE^\DE,^ZBDA=ZCEA=9Q°f團(tuán)NDAB+ND5A=90。,
團(tuán)NBAC=90。,0ZZMB+ZC4E=9O°,團(tuán)ZDBA=NC4E,
[MB=AC,⑦AAB*ACAE,^\AD=CEfBD=AE,
^BD=AE=AD+DE=CEWE,BPBD=CE+DE.
(3)根據(jù)解析(2)可知,AD=CE=3,團(tuán)AE=AP+DE=3+1=4,
在RtM石。中,根據(jù)勾股定理可得:AC=dAE2+CE2=5,
AZ)AF3AF15
0B£>EL4£,CEEL4E,SDF//CE,0—=—,即一=——,解得:AF=一,
AECF454
ECF=AC—AF=5——=--,I3AB=AC=5,0S.?Fr=—CFxAB=—x—x5=—.
44ABFC2248
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,
平行線的性質(zhì),解直角三角形,根據(jù)題意證明是解題的關(guān)鍵.
2.(2022?黑龍江?九年級(jí)期末)(1)如圖(1),已知:在0ABe中,0BAC=90°,AB=AC,直
線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)A,加回直線CEH直線加,垂足分別為點(diǎn)。、E.證明前E=8Z)+CE.
(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在0ABe中,AB=AC,。、A、E三點(diǎn)都在直線切上,
并且有aBD4=fflAEC=aBAC=a,其中。為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論。E=8D+CE是否成立?
如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線機(jī)上的兩動(dòng)點(diǎn)(。、A、E三
點(diǎn)互不重合),點(diǎn)尸為SBAC平分線上的一點(diǎn),且媯3尸和0AC尸均為等邊三角形,連接B。、
CE,若ELBm=0AEC=ELBAC,試判斷SDEP的形狀.
【答案】(1)見解析(2)成立,證明見解析(3)aDEF為等邊三角形,證明見解析
【分析】(1)因?yàn)镈E=DA+AE,故由全等三角形的判定AAS證她。施I3CE4,得出DA=EC,
AE=BD,從而證得DE=BD+CE;⑵成立,仍然通過證明EIAOBEBCEA,得出BD=AE,AD=CE,
所以DE=DA+AE=EC+BD;
(3)由BAOBEBCEA得BD=AE,^DBA.=0CA£,由0AB尸和ElACf'均等邊三角形,得
SABF=BCAF=60a,FB=FA,^^DBA+^ABF=^CAE+^CAF,^DBF=^\FAE,^^DBF^SiEAF,
所以尸D=尸E,^BFD=^AFE,再根據(jù)回。/茁=回。剛+她巫=團(tuán)。胡+勖打)=60°得至靦。所是等邊
三角形.
【詳解】解:(1)證明:副£氾直線機(jī),C£H直線HI,fflB£)A=EICEA=90o.
00BAC=90°,00BAZ)+0CAE=9O°.00BA£>+0ABD=9O°,00CAE=0AB£).
XAB=AC,0EL4DB0EICEA(AAS).^AE=BD,AD=CE.SDE=AE+AD=BD+CE;
(2)成立.證明如下:00B£)A=0BAC=?,
^3\DBA+^BAD=^BAD+ECA£=180°-a.^S\DBA=^CAE.
00BZ)A=EIA£C=?,AB=AC,BSiADB^CEA(AAS).
S\AE=BD,AD=CE.SDE=AE+AD=BD+CE;
(3)SDEF為等邊三角形.理由如下:
由(2)知,0ADBE0CEA,BD=AE,EIDBA^CAE,
0BABF和0ACF均為等邊三角形,00ABF=0CAF=6O".
^EDBA+SABF=SCAE+^CAF.^DBF=^FAE.
SBF=AF,EBDB脫團(tuán)%F(SAS).SDF=EF,0BFD=0AFE.
^EDFE=SiDFA+SAFE=^DFA+SBFD=60°.SSDEF為等邊三角形.
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定,解題的關(guān)鍵是熟
練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì)和判定.
3.(2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))【感知模型】"一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模
型之一,請(qǐng)根據(jù)以下問題,把你的感知填寫出來:
①如圖1,ABC是等腰直角三角形,ZC=90°,AE=BD,則2;
②如圖2,ABC為正三角形,BD=CF,ZEDF=6Q°,貝|BDE冬;
③如圖3,正方形ABCD的頂點(diǎn)B在直線/上,分別過點(diǎn)A、C作于E,C尸,/于?若
AE=1,CF=2,則石尸的長(zhǎng)為.
【模型應(yīng)用】(2)如圖4,將正方形。止。放在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)。為原點(diǎn),點(diǎn)人的坐
標(biāo)為O'石),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
【模型變式】(3)如圖5所示,在,ABC中,ZACB=90°,AC=BC,BE±CE^,
EADSJCE
于nDE=4cm,AD=6cm,求BE的長(zhǎng).
【答案】①回8。尸;②回叱。;③3;(2)(-后1)(3)2cm
【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系,可得0A即回SBAE
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系,可得SBD比回CED;
③根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系,可得0AB砸SBCR由全等三角形的性質(zhì)即可求得E尸的
長(zhǎng);
(2)分別過A、C作x軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)。、E,根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系,可
得回。0瓦回。4。,從而可求得?!?、CE的長(zhǎng),進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)由三個(gè)垂直及等腰直角三角形可證明SBCE0回CA。,由全等三角形的性質(zhì)即可求得8E
的長(zhǎng).
【詳解】①甌ABC是等腰直角三角形,回C=90°
034=(32=45°00BDF+0BF£)=18O0-0B=135°
00EZ)F=45°0EL4Z)E+0B£)F=18O°-0£Z)F=135°0EL4£?£=0BF£)
在0AEZ)和I3BDF中
ZA=ZB
<NADE=ZBFD^AEDSBBDF(AAS)答案為:SBDF;
AE=BD
②甌ABC是等邊三角形
00B=0C=6O°00BZ)E+0BEZ)=18Oo-0B=12O°
aSEDF=60°^\BDE+^\CDF=180°-^EDF=120°^BED=^CDF
在回BOE和EICFD中
ZB=ZC
<ABED=ZCDF甌3£>£ffiiai)(AAS)故答案為:0CFD;
BD=CF
③回四邊形4BC£)是正方形甌ABC=90°,AB=BC
0BABE+0CBF=18O。-0ABe=90°
0AE0/,CFS\t3EAEB=^CFB=90°
00ABE+0EAB=9O°00£AB=0CBF
在EA8E和EJBCP中
ZAEB=ZCFB
<NEAB=ZCBF00ABE00BCF(AAS)
AB=BC
^AE=BF=1,BE=CF=2^EF=BE+BF=2+1=3故答案為:3;
(2)分別過A、C作x軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)。、E,如圖所示
回四邊形OABC是正方形EHAOC=90°,AO=OC
EfflCO£+0AOD=18O0-EIAC(?=90°
EA。取軸,CEElr軸EECEO=0ADO=90°
00ECO+ECO£=9O°^EECO=^\AOD
在EICOE和回。4。中
ZCEO=ZADO
<NECO=ZAOD^CO^OAD(AAS)SCE=OD,OE=AD
OC=AO
EA(1,V3)0OD=1,AD=^^\CE=1,OE=y/3
回點(diǎn)c在第二象限國(guó)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(一61)故答案為:(一61);
(3)函AC5=90°^BCE+^ACD=90°
團(tuán)3況CE,AD^CE^\CEB=^\ADC=90°
團(tuán)團(tuán)8CE+團(tuán)CBE=90°^\CBE=^\ACD
在姐CE和團(tuán)CA。中
ZCBE=ZACD
</CEB=ZADC回團(tuán)8CE0回CAO(AAS)
BC=AC
⑦BE=CD,CE=AD=6crc\^\BE=CD-CE—DE-6—4=2(cm)
【點(diǎn)睛】本題是三角形全等的綜合,考查了全等三角形的判定與性質(zhì),掌握全等三角形的判
定方法是關(guān)鍵.
模型2.一線三等角模型(相似模型)
【模型解讀與圖示】
“一線三等角”型的圖形,因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角,一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一
對(duì)角相等”,再利用平角為180。,三角形的內(nèi)角和為180。,就可以得到兩個(gè)三角形的另外
一對(duì)角也相等,從而得到兩個(gè)三角形相似.
1.(2022?四川?一模)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí),發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形:
(1)如圖1,已知:在EABC中,AB^AC,。、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)上,并且有
N3D4=NAEC=N54C=a.試猜想。E、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(2)老師鼓勵(lì)學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探索相似的情形.于是,學(xué)習(xí)小組又研究以下問題:如圖2,AABC
中,ZB=ZC=a(0<a<60°).將一把三角尺中30。角頂點(diǎn)P放在BC邊上,當(dāng)尸在8c邊
上移動(dòng)時(shí),三角尺中30。角的一條邊始終過點(diǎn)A,另一條邊交AC邊于點(diǎn)。,P、。不與三角
形頂點(diǎn)重合."CPQ=B.當(dāng)夕在許可范圍內(nèi)變化時(shí),。取何值總有△ABPEAPCQ?當(dāng)a
在許可范圍內(nèi)變化時(shí),B取何值總有A4BP回AOCP?
(3)試探索有無可能使AABP、AOPC、AABC兩兩相似?若可能,寫出所有a、夕的值(不
寫過程);若不可能,請(qǐng)說明理由.
圖1圖2
【答案】(1)OEuAE+ADuBD+CE;證明見解析;(2)a=30°;6=75。;(3)可能;
1=30°,/=30?;?/=52.5。,4=75。.
【分析】(1)證明0ADBH3CEA(A4S),由全等三角形的性質(zhì)得出AE=BZ),AD=CE,則可得
出結(jié)論;
(2)由川=回2或回1=團(tuán)(7。尸,即回2=30。+卅a=£,解得a=30。,即可求解;由£=回1或回2=EICQP,
同理可得:£=75。,即可求解;
(3)①當(dāng)a=3當(dāng),£=30。時(shí),則EI2=l3B=a=30。,即可求解;②當(dāng),£=75°,a=52.5°時(shí),同理可
解.
【詳解】解:(1)如圖1,SZBDA=ZBAC=a,
^XDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=\?,G°-a,^ZDBA=ZCAE,
在0AD8和EICEA中,
ZDBA=ZEAC
<ZBDA=ZAEC,^ADBS^CEA(AAS),SAE=BD,AD=CE,
BA=AC
0DE=AE+AD=BD+CE;
(2)在EABP中,ZAPC=ZB+Z2=a+Z2=30°+^,團(tuán)Nl=150。-4,
同理可得:/2=30。+尸一";由尸=N2或N1=NCQP,
即/2=30。+夕一。=尸,解得£=30°,貝IlBABPEBPCQ
國(guó)當(dāng)月在許可范圍內(nèi)變化時(shí),1=30°時(shí),總有她即唱回尸。。;
由尸=N1或N2=NCQP,同理可得:#=75。.
團(tuán)當(dāng)。在許可范圍內(nèi)變化時(shí),4=75。總有&48日33?!?;
(3)可能.①當(dāng)a=30°,#=30°時(shí),則N2=NB=0=30。,則0ABpEBPCQH38cA;
②當(dāng)£=75°,a=52.5。時(shí),
同理可得:Nl=150。-尸=75。=夕,Z2=30°+y3-a=52.5°=ar,|?!|?]ABP^CQFmBCA.
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和
性質(zhì),熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
2.(2022?河南新鄉(xiāng)?二模)如圖,0ABe和0ADE是有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)等腰直角三角形,
0£>AE=0BAC=9O°,AD^AE,AB=AC=6,。在線段8C上,從8到C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M和點(diǎn)N
分別是邊8C,OE的中點(diǎn).
⑴【問題發(fā)現(xiàn)】若點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)時(shí),苦=,直線8。與MN相交所成的銳角
的度數(shù)為(請(qǐng)直接寫出結(jié)果)⑵【解決問題]若點(diǎn)。是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí),上述結(jié)論
是否成立,請(qǐng)說明理由.
⑶【拓展探究】在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng),及CN的最小值.
【答案】(1)&,450(2)成立,理由見解析(3)N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為6,CN的最小值為3
【分析】(1)證明是等腰直角三角形,可得結(jié)論.(2)結(jié)論不變.連接AM,AN,證
明SBAD甌MAM可得結(jié)論.(3)利用三角形中位線定理,垂線段最短解決問題即可.
⑴解:如圖1中,
當(dāng)點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)時(shí),SAB=AC,0AD0BC,AD平分MAC,
EHCAZ)=0A£)E=45°,0AQ3OE,0AC平分。E,回點(diǎn)N落在AC上,
BD
WM=AM=y/2MN,0WC=45°,0-=72,故答案為:后,45°.
(2)解:如圖2中,連接AM,AN.0AB=AC,0BAC=9O°,BM=CM,
0AMSMC,AM=BM=CM,^AB=^AM,同法可證AO=^AN,
^BAM=^DAN=45O,^BAD^MAN,
ABADBDAB「
團(tuán)——=——,釀3Ao團(tuán)團(tuán)MAN,團(tuán)——=——=J2,^ABD=^AMN=45°.
AMANMNAM、
⑶解:如圖3中,當(dāng)。在線段BC上,從2運(yùn)動(dòng)到C時(shí),由(2)問可知,0AMN=45。,所
以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是圖3中的線段MN,MN=i_BE=6.當(dāng)CN3MN時(shí),CN的值最小,最小
值=J_AC=3.
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題,考查了等腰直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),
三角形中位線定理,垂線段最短等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造相似三角
形解決問題,屬于中考?jí)狠S題.
3.(2022?山東荷澤?三模)(1)問題:
如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)尸為A3上一點(diǎn),當(dāng)NDPC=NA=ZB=90。時(shí),求證:
ADBC=APBP.
(2)探究:若將90。角改為銳角或鈍角(如圖2),其他條件不變,上述結(jié)論還成立嗎?說
明理由.
(3)應(yīng)用:如圖3,在LC中,43=2應(yīng),/8=45。,以點(diǎn)4為直角頂點(diǎn)作等腰處八4。石.點(diǎn)
D在BC上,點(diǎn)E在AC上,點(diǎn)F在BC上,且心力=45。,若CE=#,求⑺的長(zhǎng).
APBDFC
【答案】(1)見解析;(2)成立,理由見解析;(3)
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