2024-2025學年八年級數學上學期期中必刷壓軸60題【含答案】

期中真題必刷壓軸60題（17個考點專練）

一.三角形的角平分線、中線和高（共1小題）

（2023秋?永興縣期中）

1.已知：NMON=40。，OE平分NMON,點、A、B、C分別是射線OM、OE.ON上的動點

（/、B、C不與點。重合）連接NC交射線OE于點D設/CMC=x。.

圖1圖2

（1）如圖1,若AB〃ON,則

①448。的度數是_____；

②當時，工=；當時，x=.

（2）如圖2,若則是否存在這樣的x的值，使得3408中有兩個相等的角？若存

在，求出x的值；若不存在說明理由.

二.三角形三邊關系（共2小題）

（2023秋?乾安縣期中）

2.已知a,b,c是A42C的三邊長，a=4,b=6,設三角形的周長是x.

（1）直接寫出c及x的取值范圍；

（2）若x是小于18的偶數

①求c的長；

②判斷△/8C的形狀.

（2023秋?平果市期中）

3.已知A42C的三邊長分別為a,b,c.

（1）若a,b,c滿足（a-6）2+（6-c）2=0,試判斷A48C的形狀；

（2）若a=5,6=2,且c為整數，求A42C的周長的最大值及最小值.

三.三角形內角和定理（共13小題）

（2023秋?東港區(qū)校級期中）

試卷第1頁，共24頁

4.如圖，在△/BC中，BD、BE分別是高和角平分線，點尸在C4的延長線上，FH1BE

交BD于G,交BC于H,下列結論：①NDBE=NF；②2/BEF=NBAF+/C；③

Z^=1（Z^C-ZC）；@/BGH=/ABD+/C,正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

（2023秋?鐘祥市校級期中）

5.在zMBC中，乙4=36。.當NC=°,△N8C為等腰三角形.

（2023秋?乾安縣期中）

6.在△48C中，NABD=NBAD=2ND,NC是2540的平分線，交40邊上的高BE于點

F.

⑴求—N5E的度數；

⑵求/BFC的度數.

（2023秋?昌邑區(qū)校級期中）

7.如圖，AF,分別是△NBC的高和角平分線，且Z8=36。，ZC=76°,求ND4F的度

數.

試卷第2頁，共24頁

8.在△/8C中,

⑴如圖①，如果N/=60。，N4BC和的平分線相交于點尸，那么/APC=

(2)如圖②，//8C和乙48的平分線相交于點尸，試說明=

(3)如圖③，/C8D和Z8CE的平分線相交于點P.猜想/8PC與//的關系并證明.

(2023秋?裕安區(qū)校級期中)

9.試解答下列問題：

(1)在圖1我們稱之為“8字形”，請直接寫出//、NB、/C、之間的數量關系：

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數是個；

(3)在圖2中，若/。=40。，NB=36。,/D4B和48CD的平分線4P和CP相交于點尸，并

且與C。、A8分別相交于M、N.求，尸的度數.

(2023秋?柳江區(qū)期中)

10.如圖所示，已知AD為△4BC的角平分線，為△N2C外角//CE的平分線，且與AD

交于點D；

⑴若N/8C=60。，ZDCE=70°,貝!JZD=—°；

⑵若4BC=70°,NN=80°,貝l|/D=°；

(3)當/4BC和//CB在變化，而立/始終保持不變，則』。是否發(fā)生變化？為什么？由此

試卷第3頁，共24頁

你能得出什么結論？（用含//的式子表示一。）

（2023秋?花山區(qū)校級期中）

11.如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形

圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/8DC與NB、/C之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖2,把一塊三角尺屹放置在△NBC上，使三角尺的兩條直角邊打、AZ恰好經過點

B、C,若N/=50。，直接寫出/ABX+//CY的結果；

②如圖3,DC平分/4DB,EC平分乙4EB,若ND4E=50。,403￡=130。，求NDCE的

度數;

③如圖4,乙4皿,乙48的10等分線相交于點Gl、G〉…、G?,若4DC=140。,/夙2=77。,

求//的度數.

（2023秋?東港區(qū)校級期中）

12.如圖①，NMON=80。，點/、8在NMON的兩條邊上運動，與/。加的平分

線交于點C.

（1）點4、B在運動過程中，ZACB的大小

會變嗎？如果不會，求出N/C3的度數；如果會，請說明理由.

（2）如圖②，是NM45的平分線，ND的反向延長線交3C的延長線于點E,點/、8在

試卷第4頁，共24頁

運動過程中，NE的大小會變嗎？如果不會，求出/￡的度數；如果會，請說明理由.

⑶若NMON=n,請直接寫出44cB=；NE=.

（2023秋?廬江縣期中）

13.已知：如圖1,在aABC中，CD是高，若NA=NDCB.

圖I圖2

（1）試說明NACB=90。；

（2）如圖2,若AE是角平分線，AE、CD相交于點F.求證：ZCFE=ZCEF.

（2023秋?潼南區(qū)期中）

14.請完成下面的說明：

①②

⑴如圖①所示，△NBC的外角平分線交于點G,試說明NBGC=90。乙4

⑵如圖②所示，若ZUBC的內角平分線交于點I,試說明48/。=90。+；乙4

⑶根據（1）,（2）的結論，你能說出/8GC和4B/C的關系嗎？

（2023秋?啟東市期中）

15.引入概念1：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個

三角形互為“等角三角形”.

引入概念2：從不等邊三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把

這個三角形分割成兩個小三角形.若分成的兩個小三角形中一個是滿足有兩個角相等的三角

形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割

試卷第5頁，共24頁

c

c

圖1圖2

(1)如圖1,在必中，4cB=90。，CDLAB,請寫出圖中兩對“等角三角形”.

①—；②_.

(2)如圖2,在△48C中，CD為角平分線，乙4=40。，乙8=60。.請你說明CD是的等

角分割線.

(3)在△/BC中，若乙4=40。，CD為的等角分割線，請你直接寫出所有可能的N8度

數.

(2023秋?岳陽樓區(qū)校級期中)

16.如圖1至圖2,在△NBC中，NB/C=e,點。在邊/C所在直線上，作。E垂直于直

錢BC,垂足為點E；為△4BC的角平分線，/4DE的平分線交直線8c于點G.

①NABC=

②求證：AC1AB；

試卷第6頁，共24頁

(2)如圖2,當a<90。，OG與反向延長線交于點b,用含。的代數式表示/BAD；

(3)當點。在直線/C上移動時，若射線DG與射線相交，設交點為N,直接寫出N9VD

與a的關系式.

四.三角形的外角性質(共3小題)

(2023秋?漢陰縣期中)

17.如下幾個圖形是五角星和它的變形.

(1)圖①中是一個五角星，求NN+N8+NC+ND+NE的和.

(2)如果把圖①中的點/向下移到2E上，形成如圖②中五個星的和(即

ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE)有無變化？說明你的結論的正確性.

(3)如果把圖②中點C向上移動到2。上，形成如圖③的圖形，則此時五個角的和(即

ZCAD+ZB+ZACE+ZD+ZE)有無變化？說明你的理由.

18.在△4BC中，4E平分NB4C,ZC>.

(1)如圖1,若ADJ.BC于點D,48=40。，ZC=60°,則NE/D的度數為二(只寫答案,

不寫解答過程)

(2)如圖1,根據(1)的解答過程，猜想并寫出NB、NC、NE4D之間的數量關系且說明

理由；

(3)小明繼續(xù)探究，如圖2在線段NE上任取一點P,過點P作PDLBC于點。，請直接寫出

試卷第7頁，共24頁

NB、/C、NEPD之間的數量關系.

（2023春?廣陵區(qū)期中）

19.【概念認識】

如圖①，在△/BC中，若3D,BE叫做N/2C的“三分線”.其中，BD

是“鄰43三分線”，BE是“鄰3c三分線”.

【問題解決】

（1）如圖②，在A/BC,44=80。，ZB=45°,若乙8的三分線2D交NC于點。，求/BDC的

度數；

（2）如圖③，在ZUBC中，BP、CP分別是248C鄰8c三分線和/NC3鄰8c三分線，

ZBPC=140°,求乙4的度數；

【延伸推廣】

⑶在△4BC中，44。是ZUBC的外角，28的三分線所在的直線與的三分線所在

的直線交于點P若/4=加°（加>54）,/3=54。直接寫出N8PC的度數.（用含加的代數式

表示）

五.全等三角形的性質（共1小題）

（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）

20.如圖①，在Rt/\48C中，ZC=90°,BC=9cm,AC=12cm,42=15cm,現有一動

點、P,從點/出發(fā)，沿著三角形的邊NC->C8->8/運動，回到點N停止，速度為3cm/s,

設運動時間為由.

試卷第8頁，共24頁

⑴如圖①，當/=時，△/PC的面積等于△ABC面積的一半；

（2）如圖②，立）EF中,ZE=90°,DE=4cm,DF=5cm,ND=ZA.在△/BC的邊上,

若另外有一個動點。，與點尸同時從點N出發(fā)，沿著邊43fBCfC4運動，回到點4停

止.在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△/尸。與AZ）￡F全等，求點。的運動速度.

六.全等三角形的判定（共1小題）

（2023秋?東湖區(qū)期中）

21.如圖，ZUBC中，ZACB=90°,AC=6cm,5C=8cm,直線/經過點C且與邊48相

交.動點P從點A出發(fā)沿4-Cf3路徑向終點B運動；動點。從點B出發(fā)沿Cf4

路徑向終點A運動.點尸和點。的速度分別為lcm/s和2cm/s,兩點同時出發(fā)并開始計時，

當點尸到達終點B時計時結束.在某時刻分別過點P和點。作尸E，/于點E,。尸，/于點尸，

設運動時間為/秒，則當/=_秒時，APEC與△QFC全等.

七.全等三角形的判定與性質（共18小題）

（2023秋?臨湘市期中）

22.如圖，在△NBC中，48=/C,點。為線段上一動點（不與點3,C重合），連接

AD,作乙4?！?=40。，交線段/C于點E,下列結論：①NDEC=NBDA；②若

AB=DC,則③當DE2/C時，則。為BC中點；④當△NOE為等腰三角形時,

4840=40。；其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（2023秋?慈溪市校級期中）

23.添加輔助線是很多同學感覺比較困難的事情.如圖1,在RtZUBC中，ZABC=90°,

2

5。是高，E是ZX/aC外一點，BE-BA,ZE=ZC,DE=—BD,AD=16,BD=20,

試卷第9頁，共24頁

求△8DE的面積.同學們可以先思考一下…，小穎思考后認為可以這樣添加輔助線：在BD

上截取=（如圖2）.同學們，根據小穎的提示，聰明的你可以求得△3DE的面積

為.

圖1圖2

（2023秋?南崗區(qū)校級期中）

24.如圖，在AZBC中，N/C5=90。，點。在邊上，AD^AC,點￡1在8C邊上,

CE=BD,過點E作跖/C。交于點尸，若AF=2,BC=8,則。尸的長為

（2023秋?南陵縣校級期中）

25.如圖，在△4BC中，為8c邊的中線，￡為AD上一點，連接BE并延長交NC于點

F,若ZAEF=NFAE,BE=4,EF=1.6,則CF的長為.

（2023秋?船營區(qū)校級期中）

26.在△4BC中，AB=AC,。是邊8c上一點，點E在4D的右側，線段4E=AD,且

NDAE=ABAC=a.

試卷第10頁，共24頁

￡

Ikii圖2

（1）如圖1,若c=60。，連接CE,DE.則/4DE的度數為」5。與C￡的數量關系是

（2）如圖2,若a=90。，連接EC、BE.試判斷ABCE的形狀，并說明理由.

（2023秋?乾安縣期中）

27.如圖，己知?！旯?2,垂足為E,DF1AC,垂足為尸，若AE=CF,DA=DC.求

證：4D是/B/C的平分線.

（2022秋?吉林期中）

28.如圖，在△4BC中，AB=AC,點在邊8C上（點。不與點8,點C重合），作

ZADE=NB,DE交邊AC于點E.

⑴求證：/BAD=NCDE；

⑵若DC=AB,求證：AABD=ADCE；

（3）當48=50。，且△/￡）￡是等腰三角形時，直接寫出/3ZM的度數.

（2023秋?江干區(qū)校級期中）

29.在4DEF中，DE=DF,點B在EF邊上，且NEBD=60。，C是射線BD上的一個動點

（不與點B重合，且BC我BE）,在射線BE上截取BA=BC,連接AC.

（1）當點C在線段BD上時，

①若點C與點D重合,請根據題意補全圖1,并直接寫出線段AE與BF的數量關系為；

②如圖2,若點C不與點D重合，請證明AE=BF+CD；

試卷第11頁，共24頁

（2）當點C在線段BD的延長線上時，用等式表示線段AE,BF,CD之間的數量關系（直

接寫出結果，不需要證明）.

（2023春?三水區(qū)校級期中）

30.如圖：已知4。,0）、8（0,6）,且a、b滿足（a-2）2+|26-4|=0.

（2）如圖2,點C在線段上（不與/、2重合）移動，ABVBD,且/COZ>=45。，猜想

線段NC、BD、CD之間的數量關系并證明你的結論；

⑶如圖3,若尸為x軸上異于原點。和點/的一個動點，連接尸B,將線段尸B繞點尸順時

針旋轉90°至PE,直線/￡交y軸于點0,當P點在x軸上移動時，請判斷：線段8E和線

段8。中，哪條線段長為定值，并求出該定值.

（2023秋?壺關縣期中）

31.在中，乙4c5=90。，AC=BC,直線MN經過點C,且4DLWN于。，BELMN于

試卷第12頁，共24頁

M

MD

B

圖1

圖2

N

⑴當直線九W繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：?ADC=ACEB.②DE=AD+BE；

(2)當直線"N繞點C旋轉到圖2的位置時，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明;

若不成立，說明理由.

(2023秋?海門市期中)

32.(1)如圖①，在四邊形中，AB=AD,NB=ND=90。,E,尸分別是邊BC,CD

上的點，且.請直接寫出線段M,BE,FD之間的數量關系：一；

(2)如圖②，在四邊形48co中，AB=AD,ZS+ZZ>=180°,E,尸分別是邊BC,CD上

的點，且=(1)中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；

2

(3)在四邊形中，AB=AD,/8+/。=180。，E,尸分別是邊BC,CD所在直線上

的點，且=；NB4D.請直接寫出線段斯，BE,FD之間的數量關系：

圖①圖②備用圖備用圖

(2022秋?南關區(qū)校級期中)

33.如圖，在四邊形中，AD=BC=4,AB=CD,8。=6,點￡從。點出發(fā)，以每

秒1個單位的速度沿向點A勻速移動，點廠從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿

Cf8fC勻速移動，點G從點8出發(fā)沿AD向點。勻速移動，三個點同時出發(fā)，當有一

個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動.

試卷第13頁，共24頁

(1)試證明：AD//BC.

（2）在移動過程中，小明發(fā)現當點G的運動速度取某個值時，有△DEG與ABPG全等的情況

出現，請你探究當點G的運動速度取哪些值時，ADEG與ABFG全等.

（2023秋?湖北期中）

點。是8c上一點，ZADE=NC.

圖1圖2

(1)如圖1,若NC=90。，ZDBE=135°,求證:

①NEDB=N4

@DA=DE

⑵如圖2,請直接寫出NDBE與/C之間滿足什么數量關系時，總有D4=O￡成立.

（2023秋?蓬江區(qū)校級期中）

35.如圖所示，已知，在中，ZACB=90°,/C=BC,直線經過點C,且

于BN1MN千N.

⑴當直線繞點C旋轉到圖①的位置時，求證：MN=AM+BN；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖②的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明;

若不成立，寫出線段/M、與之間的數量關系？并說明理由.

試卷第14頁，共24頁

（2023秋?涼州區(qū)校級期中）

36.【探究與發(fā)現】（1）如圖1,是△4BC的中線，延長ND至點￡,使瓦＞=/。，連接

BE,寫出圖中全等的兩個三角形

【理解與應用】（2）填空：如圖2,即是底下的中線，若E尸=5,DE=3,設EP=x,

則%的取值范圍是

（3）已知：如圖3,4D是△NBC的中線，NBAC=ZACB,點Q在的延長線上，

QC=BC,求證：AQ-2AD.

（2023秋?鼓樓區(qū)期中）

37.如圖，ZsABC和ADEC都是等腰直角三角形，zACB=zDCE=90°,E在線段AC上，連

接AD,BE的延長線交AD于F.

（1）猜想線段BE、AD的數量關系和位置關系：_（不必證明）；

（2）當點E為aABC內部一點時，使點D和點E分別在AC的兩側，其它條件不變.

①請你在圖2中補全圖形；

②（1）中結論成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（2023秋?商丘期中）

38.已知△ABC的高所在直線與高3E所在直線相交于點尸，過點尸作尸G〃臺C,交直

線于點G.

試卷第15頁，共24頁

A

⑴如圖，若ZUBC為銳角三角形，43c=45。.

求證：①△8DF名△/OC,@FG+DC=AD.

（2）如圖，當249C為135。時，寫出尸G,DC,4D之間的等量關系，說明相應理由.

（2023秋?越秀區(qū)期中）

39.如圖，在平面直角坐標系中，/（一2,0）,2（0,3）,C（3,0）,。（0,2）.

（1）求證：48=8且么8_1。。；

⑵以/為直角頂點在第二象限內作等腰直角三角形/BE,過點E作彷，x軸于點尸，求點

F的坐標；

⑶若點P為了軸正半軸上一動點，以/尸為直角邊作等腰直角三角形幺尸。，ZAPQ=90°,

。尺，工軸于點心當點尸運動時，。尸-跳的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，

請說明理由.

八.全等三角形的應用（共1小題）

（2023秋?乾安縣期中）

40.如圖，一條河流九W旁邊有兩個村莊A,B,AD工MN于D.由于有山峰阻擋，村莊B

到河邊的距離不能直接測量，河邊恰好有一個地點C能到達A,B兩個村莊，與A,B

的連線夾角為90。，且與A,B的距離也相等，測量C,。的距離為150m,請求出村莊B

到河邊的距離.

試卷第16頁，共24頁

MDCN

九.等腰三角形的性質（共2小題）

（2023秋?榆樹市校級期中）

41.用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.

（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？

（2）能圍成有一邊長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）

42.如圖，在A48C中，LABC=2/-ACB,8。為―臺。的角平分線；

（1）若AB=BD,則乙4的度數為。（直接寫出結果）；

（2）如圖1,若E為線段上一點，ADEC=U：求證：AB=EC.

（3）如圖2,若E為線段8。上一點，乙DEC=U,求證：AB=EC.

一十.等腰三角形的判定（共1小題）

（2022秋?長春校級期中）

43.如圖，在△NBC中，NB=9Q°,AB=16cm,5C=12cm,AC=20cm,P、Q^AABC

邊上的兩個動點，其中點尸從點/開始沿方向運動，且速度為每秒1cm,點。從點3

開始沿3-CTN方向運動，且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為f秒.

備用圖

（1）BP=（用f的代數式表示）.

試卷第17頁，共24頁

(2)當點0在邊8c上運動時，出發(fā)一秒后，△「如是等腰三角形.

(3)當點0在邊C/上運動時，出發(fā)幾秒后，△BC。是以BC或8。為底的等腰三角形？

一十一.等腰三角形的判定與性質(共4小題)

(2022秋?跳北區(qū)校級期中)

44.如圖，在AZBC中，//8C和N/C8的平分線交于點。，過點。作EF〃8c交48于

E,交NC于E,若3￡=10,CF=3,求線段斯的長.

45.(1)如圖①，在△ABC中，ZABC,的平分線相交于點尸，過點尸作

DE//BC,分別交N5,NC于點D,E.求證：DE=DB+EC.

(2)如圖②，若尸是24BC的平分線和△4BC的外角44CG的平分線的交點，(1)中的

其他條件不變，請猜想線段DE,。。,EC之間有何數量關系，并證明你的猜想.

(2023秋?雙臺子區(qū)校級期中)

46.如圖，在△/8C中，AB=AC,點。，E,尸分別在邊上，且=

BD=CE.

(1)求證：即是等腰三角形；

(2)求證：Z5=ZDEF；

⑶當乙4=40。時，求4DE尸的度數.

試卷第18頁，共24頁

（2023秋?廣州期中）

47.如圖所示，在A45C中，乙BAC=15°,乙4cB=35。,乙42c的平分線AD交邊/C于點

D.

（1）求證：為等腰三角形；

（2）若NA4c的平分線/￡交邊3C于點￡,如下圖所示，求證：BD+AD^AB+BE,

（3）若乙B/C外角的平分線/E交C5延長線于點E,請你探究（2）中的結論是否仍然成立?

若不成立，寫出正確的結論并證明.

一十二.等邊三角形的性質（共3小題）

（2023秋?西陵區(qū)校級期中）

48.如圖1,點尸、。分別是邊長為4cm的等邊△N2C邊48、BC上的動點，點尸從頂點A,

點0從頂點3同時出發(fā)，且它們的速度都為lcm/s.

⑴連接/。、CP交于點”，則在尸、。運動的過程中，變化嗎？若變化，則說明理

由，若不變，則求出它的度數；

試卷第19頁，共24頁

（2）試求何時APBQ是直角三角形？

（3）如圖2,若點P、。在運動到終點后繼續(xù)在射線43、BC上運動，直線“。、CP交點為

M,則NCMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數.

（2023秋?武江區(qū)校級期中）

49.如圖，在等邊△ABC中，/8=/C=8C=10厘米，Z>C=4厘米.如果點〃■以3厘米/

秒的速度運動.

⑴如果點M在線段C8上由點。向點B運動，點N在線段區(qū)4上由B點向A點運動.它們同

時出發(fā)，若點N的運動速度與點”的運動速度相等.經過2秒后，ABMN和△COM是否全

等？請說明理由.

（2）在（1）的條件下，當兩點的運動時間為多少時，九W是一個直角三角形？

（3）若點N的運動速度與點M的運動速度不相等，點N從點B出發(fā)，點M以原來的運動速

度從點C同時出發(fā)，都順時針沿△4BC三邊運動，經過25秒點M與點N第一次相遇，請直

接寫出點N的運動速度是多少厘米/秒？

（2023秋?承德期中）

50.已知：如圖，AABC是邊長為3c加的等邊三角形，動點P、0同時從48兩點出發(fā)，分

別沿/8、8C方向勻速移動，它們的速度都是1c加/s,當點尸到達點B時，P、。兩點停止

運動，設點尸的運動時間《s）,當/為何值時，APB。是直角三角形？

一十三.等邊三角形的判定與性質（共3小題）

（2023秋?寧江區(qū)校級期中）

51.如圖，點。是等邊△NBC內一點，。是△/BC外的一點，乙408=110。，ZBOC=a,

△BOC知ADC,ZOCD=60°,連接

試卷第20頁，共24頁

(1)求證：A。。是等邊三角形；

⑵當a=150。時，試判斷△4。。的形狀，并說明理由;

(3)當々=時，是等腰三角形.

(2023秋?二道區(qū)校級期中)

52.如圖，AA8C是等邊三角形.

(1)如圖①，DE//BC,分別交48、/C于點D、E.求證：AADE是等邊三角形；

⑵如圖②，A4DE仍是等邊三角形，點8在的延長線上，連接CE,貝吐8EC是多少度,

試判斷線段/￡、BE、CE之間的數量關系，并說明理由.

(2023秋?朔州期中)

53.如圖，己知△4BC和ACDE均為等邊三角形，且點3、C、。在同一條直線上，連接

AD,BE,交CE和NC分別于G、“點，連接G”.

⑴求證：AD=BE；

(2)求證：ABCH咨A4CG；

(3)試猜想：ACG”是什么特殊的三角形，并加以說明.

一十四.含30度角的直角三角形(共1小題)

(2023秋?船營區(qū)校級期中)

54.如圖，在△ABC中，N4cB=90°,44=30。，48的垂直平分線分別交48和NC于點

試卷第21頁，共24頁

D,E.

(1)求證：AE=2CE；

(2)連接CO,請判斷△BCD的形狀，并說明理由.

一十五.多邊形內角與外角(共3小題)

(2023秋?前郭縣期中)

55.在四邊形/BCD中，/比1。的平分線交邊3c于點E,N4DC的平分線交直線/￡于

點。.

⑴當點。在四邊形的內部時.

①如圖①，若AD〃BC,ZB=40°,ZC=70°,貝I|ZDOE=°,

(2)如圖②，試探索48、/C和NDOE之間的數量關系，并說明理由；

(3)如圖③，當點。在四邊形的外部時，請你直接寫出/8、/C和乙DOE之間的數量

關系.

(2023秋?漢陰縣期中)

56.如圖，小東在操場的中心位置，從點A出發(fā)，每走6m向左轉60。，

^60/

-?

_____a匚

JB、

(1)小東能否走回點A處？若能，請求出小東一共走了多少米；若不能，請說明理由.

(2)小東走過的路徑是一個什么幾何圖形？并求這個幾何圖形的內角和.

試卷第22頁，共24頁

（2023秋?澄海區(qū)校級期中）

57.“轉化”是數學中的一種重要思想，即把陌生的問題轉化為熟悉的問題，把復雜的問題轉

化為簡單的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題.

（1）請你根據已經學過的知識求出下面星形圖①中ZA+/B+NC+ND+NE的度數；

（2）若將圖①中的星形截去一個角，如圖②，請你求出+++++的度數;

（3）若再將圖②中的星形進一步截去角，你能由題（2）中所得的方法或規(guī)律，猜想出圖③中的

4+NB+NC+ND+NE+/+NG+/H+NN+/N的度數嗎？（只要寫出結論，不需要寫出解

題過程）

一十六.作圖-軸對稱變換（共2小題）

（2023秋?臨江市期中）

58.A48C在平面直角坐標系中的位置如圖所示.A.B、C三點在格點上.

（1）作出A42C關于x軸對稱的A4//G，并寫出點C/的坐標；

（2）作出△/8C關于y對稱的△血星。2，并寫出點G的坐標.

（2023秋?東城區(qū)校級期中）

59.已知/M4N=3O。，點B為邊上一個定點，點尸為線段48上一個動點（不與點A,

8重合），點尸關于直線/N的對稱點為點0,連接工。，8。，點A關于直線8。的對稱點

試卷第23頁，共24頁

為點C,連接尸0,CP.

圖1圖2

(1)如圖1,若點P為線段的中點.

①直接寫出，的度數；

②依題意補全圖形，并直接寫出線段CP與4尸的數量關系；

(2)如圖2,若線段CP與2。交于點。.

①設=求/。尸。的大小(用含々的式子表示)；

②用等式表示線段PC,DQ,DP之間的數量關系，并證明.

一十七.軸對稱-最短路線問題(共1小題)

(2023秋?濱海新區(qū)校級期中)

60.如圖，NMON=60。，點、A、B分別是射線OM、射線CW上的動點，連接ZAMB

的角平分線與ZNBA的角平分線交于點P.

(2)在點A、8運動的過程中，一尸的大小是否發(fā)生改變？若不改變，請求出一尸的度數；若

改變請說明理由；

(3)連接。尸，C是線段O尸上的動點，。是線段。區(qū)上的動點，當S/OB=12,08=6時，求

4C+CD的最小值.

試卷第24頁，共24頁

1.⑴①20。；②120。，60°

（2）存在,x=20、35、50、125

【分析】本題考查了三角形的內角和定理和三角形的外角性質的應用，角平分線的相關計算,

平行線性質，分類討論的運用是解題的關鍵.

（1）①根據角平分線的定義結合平行線的性質可求解；②可分兩種情況：當ABAD=ZABD

時，當=時，根據三角形點的內角和定理分別計算可求解；

（2）可分兩種情況：當點。在線段03上時；當點。在線段OS延長線上時，再分別從當

N4BD=2ND4B=90。時，當乙4D3=2/D43時，當/D43=244D3N時，三個角度分別計算可

求解.

【詳解】（1）解：@---ZMON=4Q°,OE平分NM0N,

ZAOB=ZBON=20°,

AB//ON,

/ABO=20°；

ABAD=ZABD,

ABAD=20°,

AAOB+ZABO+ZOAB=180°,

ZAOB+ZABO+ZOAC+ABAD=180°,

ZOAC=1800-ZAOB-ZABO-ABAD=180°-20°-20°-20°=120°,

???ABAD=ABDA,ZABO=20°,

ZBAD=80°,

ZAOB+ZABO+NOAB=180°,

ZOAC=60°；

故答案為：①20。；②120。，60°；

（2）①當點。在線段。5上時，

???OE是AMON的角平分線，

ZAOB=-AMON=20°,

2

???ABLOM,

：.ZAOB+ZABO=90°,

ZABO=70°,

答案第1頁，共78頁

若ABAD=ZABD=70°,則x=20,

若ZBAD=ABDA=1(180°-70°)=55°,貝!]x=35,

若NADB=NABD=70°,則Z8/D=180°-2x70°=40°,貝!]x=50,

②當點。在射線BE上時，因為乙43￡=110。，

所以只有=此時x=125.

綜上可知，存在這樣的x的值，且x=20、35、50、125.

2.(1)12cx<20；(2)①c=4,c=6；②A42C是等腰三角形.

【分析】(1)根據三角形三邊關系求出。的取值范圍即可求得答案；

(2)①根據周長的范圍以及x是小于18的偶數可求得x值即可求得c的長；

②根據三角形三邊的長度即可判斷a/BC的形狀.

【詳解】(1)因為。=4,b=6,

所以2<c<10,

故周長x的范圍為12Vx<20；

(2)①因為周長為小于18的偶數，

所以x=16或無=14,

當x為16時，c=6,

當尤為14時，c=4；

②當c=6時，b=c,AA8C為等腰三角形；

當c=4時，a=c,A43c為等腰三角形，

綜上，A48C是等腰三角形.

【點睛】本題考查了三角形三邊關系的應用、等腰三角形的判定等，熟練掌握三角形三邊關

系是解題的關鍵.

3.(1)等邊三角形；(2)最大值13,最小值11

【分析】(1)根據完全平方式的非負性即可得出結果；

(2)根據三角形三邊關系即可得出答案.

【詳解】解：⑴；(a-b)2+(b-c)2—0,

■■a-b—0,b-c=0,

■■a=b=c,

，AABC是等邊三角形；

答案第2頁，共78頁

(2)?.-a—5,b—2,且c為整數，

?--5-2<c<5+2,即3<c<7,

■?■c—4,5,6,

.?.當c=4時，A42c周長的最小值=5+2+4=11；

當c=6時，AJ8C周長的最大值=5+2+6=13.

【點睛】本題考查了算術平方根的非負性，三角形三邊關系等知識點，熟知相關知識是解題

的關鍵.

4.C

【分析】①根據8OL/C，FHLBE,以及/尸GO=Z8G〃即可推出=/尸；②根

據角平分線的定義和三角形外角的性質證明即可；③證明//BZ)=9()o-/A4C,由①知：

/DBE=N尸即可證明NF=；C—NC)；④由同角的余角相等證明ZBGH=/BED,

再根據三角形外角的性質及角平分線的性質即可推出=+即可判斷.

【詳解】解：

:"F+/FGD=90。.

?：FH工BE,

,"DBE+/BGH=90°.

,?"FGD=/BGH,

???NDBE=ZF.

故①正確；

vBE平分ZABC,

/ABE=/CBE=-/ABC.

2

???ZBEF=ZCBE+ZC,

2ZBEF=2(/CBE+ZC)=ZABC+2ZC.

vZBAF=ZABC+ZC,

；.2NBEF=NBAF+NC.

故②正確；

???BE平分ZABC,

??./ABE=-ZABC=-(l80°-ABAC-ZC)=90°--NBAC--ZC.

2222

BD_LAC,

答案第3頁，共78頁

；,/ABD=900—/BAC.

ZDBE=ZABE-ZABD=(90°-1ABAC-|zC)-(90°-ABAC)=|{ABAC-ZC).

由①知：NDBE=NF,

...NF=；(NBAC—NC).

故③正確；

■■BD1AC,FH1BE,

：.NBGH+ZDBE=90°,ABED+ZDBE=90°.

ZBGH=ABED=ZCBE+ZC.

???BE平分/ABC,

ZABE=ZCBE,

："BGH=NABE+ZC.

：.NBGH豐4ABD+ZC

故④錯誤；

綜上可知，正確的有①②③，共3個，

故選C.

【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，同角的余角相等等知識,

正確運用三角形的高、角平分線的概念以及三角形的內角和定理是解題的關鍵.

5.72。、36。、108°

【分析】在等腰三角形中，當不確定乙(為頂角還是底角時，分類處理：(1)當乙4=36。為頂

角，可得底角NC的值.(2)當乙4=36。為底角時，ZC為頂角或底角，根據內角和性質代入

求解即可得出結論.

【詳解】解：(1)當〃1=36。為頂角時，ZC=18°°~36°=72°；

2

(2)當乙4=36。為底角時，NC若為底角，貝比。=乙4=36。，

NC若為頂角，NC=180。-36。-36。=108。，

故答案為72。、36。、108°

【點睛】本題考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理，本題關鍵在于不確定等腰三角形

的頂角與底角的情況下，要注意分類討論.

6.(1)18°

(2)54°

答案第4頁，共78頁

【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、外角的定義和性質等知識，熟練掌握三角形內

角和定理是解題的關鍵.

（1）首先根據題意以及三角形內角和定理求出一。，和的度數，利用直角

三角形兩銳角互余求出答案即可；

（2）利用角平分線定義以及外角性質即可求解.

【詳解】（1）解：???在△ABC中，N4BD=NBAD=2ND,JLZABD+ZBAD+Z￡>=180°,

2ND+2ZD+ND=5ND=180。，

ND=36°,ZABD=ZBAD=72°,

■.■BELAD,

.-.ZAEB=90°,

NABE=90°-ZBAD=18°；

（2）「/C是的平分線，

...ABAC=ZCAD=-ZBAD=36°,

2

???/AFC為的外角，

NBFC=ABAC+NABF=54°.

7.20°

【分析】由N3NC的度數利用三角形內角和定理可求出/A4c的度數，根據平分

/8/C可得出NC4。的度數，在RM/Ob中可求出/C4尸的度數，再根據

ZDAF=ACAD-NCAF即可求出結論.

【詳解】解：???/5=36。，ZC=76°,

ABAC=180°-ZS-ZC=68°.

?；4D平分NBAC,

ZCAD=-ZBAC=34°.

2

AF1BC,ZC=76°,

/C4F=90°-ZC=14°,

ZDAF=ZCAD-NCAF=34°-14°=20°.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理以及角平分線的性質，根據三角形內角和定理求出

/C4F及/C4D的度數是解題的關鍵.

8.（1）120°

答案第5頁，共78頁

(2)見解析

(3)Z5PC=90°-1Z^,證明見解析

【分析】本題考查三角形內角和定理，角平分線定義，外角性質.

(1)根據角平分線定義可得=NACB=2NPCB,再利用三角形內角和定理

計算即可；

(2)根據角平分線定義可得=^-ZACD=ZPCD,再利用外角性質即可求

22

出；

(3)根據角平分線定義及三角形內角和定理機器推論進行證明即可得出本題答案.

【詳解】(1)解：???//8C和N/C3的平分線相交于點P,

；./ABC=2ZPBC,ZACB=2ZPCB,

■.■ZA=180。-(//8C+//C3)=180。-2(NPBC+ZPCB),

.-.ZA=180。-2(180°-NBPC),

：.ZA=-180°+2ZBPC,

.-.ZA+180°=2ZBPC,

ZBPC=90°+-Z^=90°+-x60°=120°,

22

故答案為：120。；

(2)解：???/4BC和乙4co的平分線相交于點尸，

NABC=ZPBC,-ZACD=ZPCD,

22

???NNCD=ZA+NABC,NPCD=NBPC+NPBC,

.-.ZBPC=-ZA；

2

(3)解:猜想：/BPC