2024-2025學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（一）（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（一）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若集合A={x|0<x<1},B=[%||x-l|蕓},則2nB=()

1331

A.{x\-<x<-}B.{x|0<x<-}C.{x\x=-}D.0

2.已知i是虛數(shù)單位，若i-z=9產(chǎn)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.4B.2C.-2D.-4

3.已知向量Z=(2,3)3=(k,-4),且五1瓦則k的值為()

oo

A.-6B.6C.-~D.-

4.函數(shù)y(x)=x+力在區(qū)間(i,+8)上的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

5.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A./(%)=-x2+3B./(%)=lg|x|C.f(x)=sinxD.f[x}=x3

6.設(shè)函數(shù)/0）="+三在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞減，則正數(shù)a的取值范圍為（）

A.(0,1]B.(0,1]C.(2,3)D.[2,3]

7.記函數(shù)f(x)=y/l+sinx+y/l-sinx,設(shè)ae層,等],甲：ae彥川；乙：f(a)=2s碣，則甲是乙的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知a=2e-,b=器1c=器，則()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

TT

9.已知函數(shù)/（久）=3s出（2%+二），下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（幻的最小正周期是兀

TT

B.把函數(shù)/（%）的圖象向右平移每個(gè)單位長度可得到函數(shù)g（%）=3s譏2%的圖象

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77

C.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-記,0)中心對稱

D.函數(shù)/(比)的圖象在區(qū)間(冬牌)上單調(diào)遞增

10.現(xiàn)有一組各不相同且從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)比1，K2,右，…，久39,%40.下列說法正確的是()

A.%1，%2>*3，…，*39，比40的下四分位數(shù)為

B.%1，乂2，久3，…，X19，久20，久21的中位數(shù)為久11

C.%1，%2，尤3，…，尤19，％20的平均數(shù)小于乂21，X22，%23，…，乂39，久40的平均數(shù)

D.2孫+3,2X2+3,2*1+3,…，2孫0+3的方差是小，x2,x3,…，x39,久40的方差的4倍

11.設(shè)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)/''(%)的定義域均為R,g(x)=f'(x),若/'(3久)=/(2-3x),g(x-2)的圖象關(guān)于x=1

對稱，g(x)在［—1,1］上單調(diào)遞減，且g(7)=3,則()

A.g(x—l)為偶函數(shù)B.g(x+1)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱

C.5(2041)=3D.g(x)的極小值為3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.熱市高三年級1萬名男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52),則身高超過180cm的男生約

有A.(參考數(shù)據(jù)：PW-c<X<M+^)?0.682,P(〃-2c<X<11+2a)?0954,

P(4-3<T<X<M+3a)?0.997)

13.已知函數(shù)f(久)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)/(久)=%(1+久)，貝療(-3)=；當(dāng)x<0時(shí)，

/(久)=?

14.已知函數(shù)/(久)=2s譏(3X+9)(3>0,4<9<0)相鄰兩條對稱軸之間的距離為看且貝U

f(x)在［0.2網(wǎng)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

—4

在△4BC中，角2,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知COST!=］,a=4,6sinB=SsinC.

(1)求6的值；

(2)求△ABC的面積.

16.(本小題15分)

已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是0.5,現(xiàn)有n門大炮同時(shí)對某一目標(biāo)各射擊一次.

(1)當(dāng)n=5時(shí)，求給好擊中目標(biāo)2次的概率(精確至IJ0.01)；

(2)如果使目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過80%,至少需要多少門大炮？。g2?0,301)

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17.(本小題15分)

如圖，在直四棱柱4BCD-2止1射。1中，底面48CD為矩形，441=6,AB=4,AD=2,點(diǎn)E,F,G分別在

棱8遇1，B1C1,B1B上,A1E=3,BG=1,

(1)若=1,證明：平面2孫〃平面EFG；

(2)若8/=1,求直線4F與平面ACDi所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(久)=%3+bx2-x+a圖象的對稱中心為(0,1).

(1)求a和6的值；

(2)若對于任意的x>0,都有/(無)+e2x-2mx>x3-x+2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知橢圓C：*+《-1但>b>0)的離心率為室，短軸長為2,過圓心在原點(diǎn)，半徑為巡的圓。上一動(dòng)點(diǎn)

P作橢圓C的兩條切線P4PB,切點(diǎn)分別為4B,延長24與圓交于另一點(diǎn)M,延長P8與四交于另一點(diǎn)N.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)假設(shè)向量五萬的夾角為0,定義：axb=\a\-\b\-sind.

⑴證明：OMxON=d；

(ii)求而義麗的取值范圍.

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參考答案

1.C

2.D

3.5

4.D

5.B

6.A

7.4

8.C

9.ACD

1Q.BCD

11.AB

12.230

13.—12x—x2

14.6

15.解:(1)由已知有6sinB=5sinC,

根據(jù)正弦定理，得6b=5c,所以b=除

由余弦定理小=b2+c2-2bccosA,a=4,

可得16=||C2+C2-2X￥XCX|,

3o64

所以C2=36,解得c=6(負(fù)值舍去)，

故b=jx6=5；

o

Q

(2)因?yàn)?<A<7i,cosA=7,

4

所以s譏a=^/l-cos2x=,1一.=卓

所以54ABC=^bcsinA=1x5x6x^=15f.

16.解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)n=5時(shí)，即有5門大炮同時(shí)對某一目標(biāo)各射擊一次,

若恰好擊中目標(biāo)2次，該概率Pi=髭X(0.5)2x(1一0.5)3=I。*0.55?0.31；

(2)根據(jù)題意，假設(shè)幾門大炮同時(shí)對某一目標(biāo)各射擊一次，

若目標(biāo)至少被擊中一次，其概率P2=1-(0.5)n,

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若目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過80%,Bpi-(0.5)n>0.8,

變形可得(0.5尸<0.2,

又由九是正整數(shù)，必有n23,

即至少需要3門大炮同時(shí)對某一目標(biāo)各射擊一次.

17.證明：(1)由題意，在直四棱柱4BC0—中,

AAi=6,AB=4,AD=24E=3,BG=1,

所以BiE邛MLF=*10=如道=|,

所以EF〃4iQ,GF//BCr,

又因?yàn)榱〃&Ci，AD\"BC\,

故￡77/",GF11AD

因?yàn)锳Cu平面力CD1,EFC平面ACDi，A￡)iU平面AC。1，GFC平面4C￡)i，

所以EF〃平面"小,GF〃平面AC%,

又因?yàn)镋FClGF=F,

所以平面AC小〃平面EFG.

解：(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi所在直線分別為x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，

則。1(0,0,6),4(2,0,0),C(0,4,0),F(l,4,6),

則用=(2,0,-6),猊=(0,4,-6),

設(shè)平面力CDi的法向量為元=(x,y,z),

(n-D^A=2x-6z=0

則&-D^C=4y-6z=0所以％=2y=3z,

令z=l,得％=3,y=5,所以幾=(3,/1),

又赤=(-1,4,6),

所以由加碉

故直線4F與平面4CD1所成角的正弦值為嚅1.

18.1?：(1)由/(%)=%3+bx2-x+a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=%3+bx2-x+a圖象的對稱中心為(0,1),

所以/(%)+/(-%)=2,

所以13+bx2—x+a—%3+bx2+%+a=2,

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化簡可得：2bx2+2a=2,^bx2+a=1,

因此。=1,b=0.

(2)由(1)可知/(無)=x3-x+1,對于任意的%>0,都有/(%)+e2x-2mx>x3-x+2恒成立，即e?久

—2mx>1恒成立.

令九(%)=e2x—2mx,可得h'(%)=2e2x—2m,

令h'(x)=0,即2，%—2m=0,gpe2x=m,

①當(dāng)時(shí)，"(%)>0,則九(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，/i(x)>/i(0)=l,符合題意；

②當(dāng)0<?n<l時(shí)，e2x=m,則％=|■①zn<0,

則"(%)>0,/i(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,h(x)>/i(0)=l,符合題意；

③當(dāng)m>1時(shí)，=則％=^Inm>0,

當(dāng)久G(0/加1)時(shí)，*(%)<0,則h(%)在(0,加6)上單調(diào)遞減，

當(dāng)久G&nm,+8)時(shí)，H(x)>0,則h(%)在弓伉皿+oo)l：單調(diào)遞增，

所以h(%)Nhginm)=elnm—2m--Inm=m—mlnm,

令g(jri)=m—mlnm,m>1,貝Ug'Qn)=—Inm<0,

所以g(zn)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以g(zn)Vg(l)=1,不合題意；

綜上所述，me(-ooj].

19.解：(1)因?yàn)闄E圓C的短軸長為2,

所以2b=2,①

因?yàn)殡x心率e=?=乎，②

又扶=q2—。2,③

聯(lián)立①②③，

解得Q=2,b=1,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為曰+y2=I；

(2)(i)證明：設(shè)PCwo),

當(dāng)直線P4PB的斜率都存在時(shí)，

設(shè)過p與橢圓相切的直線方程為y=fc(x-xo)+加，

(y=k(x-x)+y

聯(lián)立|乃+y2=i00,消去y并整理得(1+4k2)%2+8k(yo—fcvo)x+4(yo—k*o)2—4=0,

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22-22-4

止匕時(shí)/=64k(y0-k-x0)4(l+4fc)[4(y0-^?^o)]=0,

2

RP(4—Xo)^+2xoyok+1-yo=0,

設(shè)直線P4PB的斜率分別為/q,k2,

此時(shí)的卜2

又就+y]=5,

所以1-(5-就)_就-4__1

所以4一就-4-xg-1'

則PM1PN,

即MN為圓。的直徑，

所以sin〈曲?而〉=0,

故而x麗=0；

當(dāng)直線P4或PB的斜率不存在時(shí)，

設(shè)P(2,l),

此時(shí)直線P8的方程為x=2,

所以N(2,—1),M(—2,l),

此時(shí)滿足sin〈麗，而〉=0,

所以而x而=0,

綜上，OMxON=0；

(ii)設(shè)點(diǎn)4(%i,yi)，B(%2，y2)，

當(dāng)直線24的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線P4的方程為y=fci(x-Xi)+71，

■y=

聯(lián)立正+y2=l,消去y并整理得(1+4好)/+8的(yi-kiRx+4仇_七/)2_4=0,

2

止匕時(shí)4=64/ci(y1-k1x1)-4(l+4好)[4(yi-/q%i)2-4]=0,

即(4一妊)般+2%1丫*14-1—yi=0,

,,…%1丫1一%1月X1

此時(shí)的=一二海=方-=一荻，

所以直線P4的方程為y=-在(x—xi)+yi，

整理得簽+yiy=1,

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線P4的斜率不存在時(shí)，直線P4的方程為x=2或x=-2也滿足華+y3=1,

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同理可得直線PB的方程十+y2y=1，

因?yàn)镻(Xo,yo)在直線P4PB上，

f^+yiyo=1

所以[李+及歷

=1'

則直線力B的方程為竿+y°y