2024-2025人教版高二年級數(shù)學(xué)上冊期中模擬檢測四（含答案）

2024-2025高二上期中模擬檢測四（2019人教A版）

檢測范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.（2021?全國?高考真題）拋物線/=2"（°>0）的焦點到直線y=x+l的距離為&，則

P=（）

A.1B.2C.2^2D.4

2.（22-23高二上?江西撫州?期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點'（一"）''（1'1）<（2'8+1）,。為

的邊/C上一動點，則直線AD斜率后的變化范圍是（）

3.（23-24高二上?吉林延邊?期中）已知點，），），右

A,B,C三點共線，則a,6的值分別是（）

A.-2,3B.-1,2C.1,3D.-2,2

4.（22-23高二上?云南臨滄?期末）己知半徑為3的圓°的圓心與點，（一2，1）關(guān)于直線

x->+1=°對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.（X+1）2+（^-1）2=9B.（^-l）2+（J-l）2=81

C.Y+（y+l）2=9口.x2+y2=9

5.（24-25高二上?安徽合肥?階段練習(xí)）已知仲"為空間的一個基底，則下列各組向量中

能構(gòu)成空間的一個基底的是（）

A.Q+B,c+bfa-cB.。+23，b,a-c

C.2a+b92c+b,a+b+cD.a+b,a+b+c,c

22

cJ-2=l（a>0,b>0）

6.（23-24高三上?河南?開學(xué)考試）己知雙曲線管卜的左、右頂點分別

為4,4,尸為C的右焦點，c的離心率為2,若尸為C右支上一點，PHFAZ,記

ZAtPA2=《o<e<5

,則tan6=（）

1

A.2B.1C.百D.2

7.（2023?山東?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系》°了中，點/色3）,直線/：>=2X-4.設(shè)圓

。的半徑為1,圓心在/上.若圓C上存在點“，使的⑷=2|MO|,

則圓心。的橫坐標(biāo)。的

取值范圍為（）

1212

A.吟B.吟C.D.吟

22

A+4=l（q>b>0）口

8.（23-24高二上?廣東廣州?期末）已知橢圓°：/〃,的左右焦點分別為片,

用，過鳥的直線交橢圓C于4,8兩點，若防=3|第I,點M滿足詢=3訴且

AM1FrB,則橢圓c的離心率為（）

J_2

A.3B.3C.3D.3

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得

0分）

9.（22-23高二上?河北保定?期末）己知向量”=（U°）,“=（°，1，1）,°=。，2，1）,則下列結(jié)

論正確的是（）

71

A.向量。與向量加的夾角為§

B.，g）

C.向量。-在向量6-上的投影向量為122

D.向量）與向量。，B共面

10.（21-22高二上?重慶?期末）對于直線4：Q+2y+3a=0,/2：3苫+（"1）尸3一°=0.以下說

法正確的有（）

A.4〃4的充要條件是。=3

_2

B.當(dāng)05時，A112

C.直線/一定經(jīng)過點.8°）

D.點尸（U）到直線4的距離的最大值為5

11.（23-24高二上?安徽合肥?期末）如圖，已知拋物線0「=2"（。＞0）的焦點為F,

拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點D,過點尸的直線I（直線/的傾斜角為銳角）與拋物

線°相交于48兩點（/在x軸的上方，B在x軸的下方），過點/作拋物線C的準(zhǔn)

線的垂線，垂足為M,直線/與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點N,則（）

A.當(dāng)直線/的斜率為1時，M同=4。B.若N尸|=但叫，則直線/的斜率為2

C.存在直線/使得NA0B=90。D.若萬'=3礪，則直線/的傾斜角為60°

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線

±）

12.（2023?湖南長沙,一模）已知橢圓G與雙曲線G有共同的焦點即鳥，橢圓G的離心率

為,，雙曲線C?的離心率為點尸為橢圓G與雙曲線在第一象限的交點，且

兀11

ZF.PF,=-—+—

一3,則G%的最大值為.

13.（22-23高三上?廣東?開學(xué)考試）過點尸Q2）作圓一+產(chǎn)=4的兩條切線，切點分別為A

、B,則直線疝?的方程為.

14.（22-23高三上?河北唐山?期末）如圖，在四棱柱中，/4,底面

4BCD,且底面/3C。為菱形，e=3,4B=2,ZABC=120C,尸為8c的中點，”在

/4上，°在平面/Be。內(nèi)運(yùn)動（不與P重合），且尸。工平面"4G。，異面直線P0與

V5

所成角的余弦值為T,則tanZAQM的最大值為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟）

15.（13分）（23-24高二上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知橢圓仁的中心在原點，焦點在

N在橢圓C上.

X軸上，焦距為26，且點

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過?'一8）且斜率為2的直線/交橢圓于A,8兩點，求弦的長.

16.（15分）（2022高二上?全國?專題練習(xí)）已知直線’的方程為:

(2++(1-2m^y+(4-3m)=0

⑴求證：不論次為何值，直線必過定點M；

（2）過點M引直線燈使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求4的方程.

17.（15分）（23-24高二上?江蘇南通?期末）如圖，在四棱錐「一/8。中，尸/_L平面

ABCD,ABLAD,AD//BC,AP=AB=AD=1,BC=2

⑴求二面角8-尸。一C的正弦值；

（2）在棱尸C上確定一點￡,使異面直線尸。與BE所成角的大小為60°,并求此時點E到平

面P8D的距離.

18.（17分）（2023?四川巴中?模擬預(yù)測）設(shè)拋物線C：/=2"（">0）的焦點為歹，點

尸（“’4）在拋物線C上，APOF（其中。為坐標(biāo)原點）的面積為4.

⑴求。；

4

（2）若直線/與拋物線C交于異于點尸的4,5兩點，且直線P4總的斜率之和為證

明：直線/過定點，并求出此定點坐標(biāo).

19.（17分）（22-23高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐S-/5CO中，四邊形

NBC。是矩形，AS/D是正三角形，且平面S/Z）,平面N8C。，AB=\,P為棱/。的中點,

2A/3

四棱錐的體積為3

⑴若￡為棱S3的中點，求證：尸￡〃平面5。；

273

（2）在棱SN上是否存在點使得平面尸八必與平面S4D所成銳二面角的余弦值為丁?

若存在，指出點出的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.

參考答案:

題號12345678910

答案BDDCBADBABDBD

題號11

答案AI)

1.B

【分析】首先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合點到直線距離公式可得夕的值.

【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為12人

?-0+1

d=-2/一■=V2

其到直線xf+l=°的距離：<1+1,

解得：〃=2(°=-6舍去)

故選：B.

2.D

【分析】作出圖象，求出的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】如圖所示，

因為。為△NBC的邊NC上一動點，

所以直線8。斜率片的變化范圍是(-*"。［班"00)

故選：D.

3.D

【分析】由/,B,C三點共線，得通與就共線，然后利用共線向量定理列方程求解即

可.

【詳解】因為“3T5),8(0,6,2),C(2,7,-l),

所以荏=(-a,6+3,-3),SC=(2,7-Z>,-3)i

因為4B,C三點共線，所以存在實數(shù)左，使/8=人8C,

所以(-+3,-3)=左(2,7-6,-3),

-a-2k

<b+3=k(l-b)

所以1一3=3,解得左=1,°=_2,6=2,

故選：D

4.C

【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)對稱關(guān)系列出方程組，求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合半徑為3,即可

求解.

【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)eg*),由圓心c與點尸關(guān)于直線y=x+i對稱，

得到直線CP與廣x+i垂直，

結(jié)合>=x+i的斜率為1,得直線c尸的斜率為T,

-=-1

所以-2-a,化簡得a+b+l=O①

1+Z7。-2

------------F1

再由CP的中點在直線N=x+1上，22，化簡得"6-1=0②

聯(lián)立①②，可得"°，6=T,

所以圓心C的坐標(biāo)為(-)，

所以半徑為3的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+?+4=9

故選：C

5.B

【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個向量求解判斷.

【詳解】對于A,設(shè)1+B=xC+B)+加-3),^a+b=ya+xb+(x-y)ct解得》=尸1,

所以￡c+b,a-c共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；

對于B,^a+2b=xb+y(a-c\xj無解，

所以a+24瓦a-c不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；

卜=-1

對于C,^2a+b=x(2c+b)+y(a+b+c)=ya+(x+y)b+(2x+y)c解得

所以2a+B,2c+b,“+5+c共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故c錯誤；

fx=1

對于D,3+ft=x(a-l-b+c)+yc=xa+xb+(x+y)c解得［歹=-1,

所以a+B,“+3+c,c共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤.

故選：B.

6.A

【分析】設(shè)C的焦距為2c,根據(jù)離心率可得c=2a/=6a,由尸尸,可得點p的坐標(biāo),

在直角三角形中求出tan/24尸，tan/P4尸，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求解.

【詳解】設(shè)C的焦距為2。，點尸(X。/。)，由C的離心率為2可知c=2a,6=ga,

c2yl

因為小工廠出，所以無。=c,將尸(cj。)代入c的方程得/工，即岡=回，

tanZ/M,F=""=3,XanZPA^F=—曠人、=1

所以一"ac-(-a),

3-11

tan(9=tan(ZPAF-NP&F)=-----=-

故I?71+3x12.

故選:A.

7.D

【分析】先求得圓C的方程，再利用W曰=2|MO|求得點M滿足的圓的方程，進(jìn)而利用兩

圓有公共點列出關(guān)于?的不等式，解之即可求得a的取值范圍.

【詳解】圓心C的橫坐標(biāo)為。，則圓心C的坐標(biāo)為(32。-韋,

則圓C的方程(x-a)2+3_2a+4)2=1,

設(shè)M(x,y),由喇=2阿0|,

可得>/x~+(y-3)~=2yjx2+y~,整理得工2+(y+1)~=4,

則圓(x-4+(廣2a+4>=l與圓/+(y+l)2=4有公共點,

則2-14J(0-a)2+(-l-2a+4)2W2+1,

0<a<—

即145a2T2a+9<9,解之得5.

故選：D

8.B

【分析】由的=3|網(wǎng)、*=3匝結(jié)合正弦定理可得=又

AM1FiB,故國引陽，再結(jié)合余弦定理計算即可得離心率.

31

【詳解】由橢圓定義可知M用+M閭=2。由M=3叫，故的=于，叫=2“

|必|_3典|」典|

點滿足加詼，即由閭=跖|,

M=33貝/月叫3MF2\\MF^

以用山川|^|\F2M\

又sinAAMFXsinZ.FXAMsinAAMF2sinZF2AM,

防_sin//._阻_smZAMF2

即/叫一sinNG="一一sinNg/四yZAMFt+ZAMF2=180°

sinZAMF{=sinZAMF2貝sin/片=sin/g/Mg|jZF^AM=ZF2AM

3

即平分工，又AM』F、B,故“回一"用-2",

31

JBF^=2a~2a=a,川阿|=2"』.

a。?+［；。)-⑶一2c231

cosZAF2F1=----------——'——Ze

2x2cx-aace

2

-2+/_〃24c2

cosZBF^F,=---------------=----=e

2x2cxaAac,

由

ZAF2FX+/BF?F\=180°

故

cosZAF2F{+cosZBF2FX=0

V3

2e-—+e=0g=

BPe,gp3e9=1,又e>0,故”3.

故選：B.

y八

二白、

?

M/Fy):r

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于由MH叫、閨M=3即|,得至PM平分4年,

結(jié)合WG巴從而得到3HM.

9.ABD

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂

直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計算出投影向量為所以C錯誤，己=1+B得出向量共面

判斷D.

【詳解】因為“=lxO+lxl+lxO=l,所以愀&c°sB,a=l,

-11

cosb,a=,=——,=—__&

可得a+F+OxjF+F+O2,則向量。與向量加的夾角為故A正確;

因為*G-B)=(l,2，D(l,0,-l)=lxl+2x0+lx(_l)=0

所以"6"),即B正確；

根據(jù)投影向量的定義可知，向量￡在向量刃上的投影向量為

同.COS7^9=#B=；(0,1,1)=

b2

\\H所以c錯誤;

由向量八（1，1，0）,1（。,1,1）一=（1,2,1）,可知［二+S

向量。與向量。，刃共面，所以D正確.

故選：ABD

10.BD

_2

【分析】求出自〃4的充要條件即可判斷A；驗證”一與時，兩直線斜率之積是否為-1,判斷

B；求出直線4經(jīng)過的定點即可判斷c；判斷何種情況下點尸（u）到直線4的距離最大，并求出

最大值，可判斷D.

【詳解】當(dāng)4〃4時，?（?-1）-6=0解得。=3或。=-2,

x—y+3=0,x—yH—=0

當(dāng)。=-2時，兩直線為-3符合題意；

當(dāng)。=3時，兩直線為3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合題意，故A錯誤;

Cl——ucciurtok,'k,=--X5=—1

當(dāng)5時，兩直線為X+5)+3=0,15%_37+13=0,71%5

所以乙,乙，故B正確；

直線/i："+2y+3a=0即直線a(x+3)+2k0,故直線過定點(一3，°),c錯誤；

因為直線4：以+2尸3a=0過定點(-3,0),當(dāng)直線4：-+2y+3a=0與點尸(1,3)和(-3,0)的

連線垂直時，尸03)到直線4的距離最大，最大值為，(1+3)2+(3-0：=5,

故D正確，

故選：BD.

11.AD

【分析】根據(jù)拋物線的焦點弦的性質(zhì)一一計算即可.

F|^,0IAB-.y=k\x-^\(k>^,、，、

【詳解】易知12人可設(shè)I2J，設(shè)鳳%23),

y=k\X--|、上22

<(21n左729/_(z左?2P+2?卜_|——_--o

與拋物線方程聯(lián)立得〔/=2Px,

k2p+2pp2

則H4,

對于A項，當(dāng)直線/的斜率為1時，此時占+%=3p,

叫+阿1/+修%+勺陷故人正確;

由拋物線定義可知

易知AMIW是直角三角形，若四|=|刊田,

則ZANM=NFMN=NAMF=ZFAM,

\AF\=\AM\,所以小“尸為等邊三角形，即乙4八=60。，此時后=6,故B錯誤;

又

/,2/xP2k2

由上可知石"必％=("+1戶M2―--(^1+^2)+^-

個+1)9_￡4+小二八°

k742E44

即德?無故c錯誤;

—

AF-3FB=>——%1=31^2—I-X]=2p—3x2

若2I2J

p2p3P

又知4-6'i2,所以必=J3p,

則”2,即直線/的傾斜角為60°,故D正確.

故選：AD

473

12.3

【分析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得如+3。；=4c;設(shè)

11

at^2ccos0,a2=^~c-sm0-------1--------

，利用三角換元求出9的最大值即可.

2,2丫22

一X+匕

G：=1（%>o）G萬=1（。2也〉。）

a；

【詳解】設(shè)橢圓而,雙曲線名。2

且設(shè)附1=卻叫=",

由橢圓的定義得機(jī)+“=2%①，

由雙曲線的定義得帆一"二2。2②,

①②■2得mn=a；-a；

由余弦定理可得（2c）2=/+/-ZmwcosNFFB

所以4c2③，

~2百.

a.=2ccos/a生=---c-sin3

設(shè)3

J-+J_=￡t+”=2C+哈i團(tuán)竽sin（嗚）

所以，e2cc

0+—=1kit+—（keZ）O-—+2kn—1M

當(dāng)32,即6時，烏e2取最大值為3

4A/3

故答案為：亍

13.%+y_2=0

【分析】由題知/（°乂）、，（2,0）,進(jìn)而求解方程即可.

【詳解】解：方法L由題知，圓一+/=4的圓心為（0,0）,半徑為「=2,

所以過點PQ2）作圓-+V=4的兩條切線，切點分別為“（°，2）、8（2,0）,

所以％=一1,

所以直線48的方程為V=f+2,即x+y-2=0；

x；+療=4

星,9=7

方法2：設(shè)“（和必），8（馬，為）,則由［不占-2,可得看+弘=2,

同理可得XZ+%=2,

所以直線的方程為x+y-2=o

故答案為：x+N-2=0

14.9/9

【分析】連接8。交NC于點。,推導(dǎo)出平面/4GC,然后以點O為坐標(biāo)原點，

力、礪、的方向分別為X、丁、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)“6瓦°/）,

'-A。］—

其中0W/W3,利用空間向量法可求得，的值，求出點0的坐標(biāo)為〔2''求出的

最小值，即可求得tan乙4。”的最大值.

【詳解】連接交NC于點。，,平面48CD,8Du平面Z8CD,則

因為四邊形/3CD為菱形，則3DLNC,

■-AA^AC=At/4、/Cu平面/4GC,J_平面也。。，

以點°為坐標(biāo)原點，OA,礪、"4的方向分別為X、＞、z軸的正方向建立如下圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

/Kin

r，一，U

則/g,0,0）4（V3,0,3）c（百,0,0）5（0,1,0）￡>（0,-1,0）22

烏(0,1,3)

易知平面/4℃的一個法向量為加

因為尸0人平面44。。，所以，尸0〃加，

設(shè)點2伊3),其中04/43,貝心”=(后-"3),

B]M.ml

|cos<B[M,m>|=1

PM,時，3+1+（/-3）25

由已知可得

因為0W3,解得"2,即點亂心,。，2),

1+烏―,o'

/、PQ=*22

設(shè)點。(”,0),則IJ,

x+lox=-@J。1

"5

因為則2,可得2,且2，可得

U/6-------

2

所以，點

因為平面43cO,AQ尸0u平面/BCD,AAMLPQAM1AQ

,八,AM2,2473

tanZAQM=-----=——<—產(chǎn)=^~

AQAQ3G9

所以,2

4A/3

故答案為：

X22,

——+y=1

15.（1）4

4回

（2尸

《+J1

【分析】（1）依題意設(shè)橢圓的方程為/b2即可得到關(guān)于。、6、c的方

程組，解得/、b2,即可得解；

（2）首先得到直線/的方程，設(shè)力（再，必）、8（%,%）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出

韋達(dá)定理，最后利用弦長公式計算可得.

22

工+匕=1

【詳解】（1）依題意設(shè)橢圓的方程為/b2（a>b>0）,

2c=2A/3

31,a2=4

X-rd-------7=1

a24b2b2=l

c2=a2-b2—+/=1

則I,解得c=VJ

（2）依題意直線/的方程為y=設(shè)/（國,乂）、/孫％）,

y=2x-\/3

由14'，消去〉整理得17/-16瓜+8=0,

（2）2%+）+4=0

【分析】⑴列出方程。一2?一3）加+2x+y+4=0,分別令x-2y-3=0,2x+p+4=0可

求出定點;

>=0，x=—―_八_,

（2）先令」令x=0'>=%-02,再表達(dá)出三角形面積，最后利用基本不等式

求解即可.

【詳解】⑴證明：：直線/的方程為：（2+加）x+°-2加）尸（4-3加）=0

.?.提參整理可得：（x-2L+2x+y+4=°.

{x——3=0（x=—l

令j2x+y+4=0,可得jy=-2,

二不論加為何值，直線必過定點"（一1'-2）.

（2）設(shè)直線4的方程為…（a）一2（%<°）.

k-2

令了=°，貝I]~k,

令x=0,.則”"2,

，直線4與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積

S=:導(dǎo)卜2|臼口)+5+4］臼2.).圖+4=4

當(dāng)且僅當(dāng)一"二1,

即上=-2時，三角形面積最小.

此時4的方程為2x+y+4=°.

2A/2

17.(1)3

PE=-PC1=述

(2)39

【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角；

-------->------->

（2）設(shè)尸￡=彳尸C,由空間向量法求異面直線所成的角得出九，再由向量法求點面距.

【詳解】（1）以伊0}為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

Pi

因為BC=2,AP=AB=AD=l

所以8(1,0,0),P(0,0,1),O(0,l,0),C(l,2,0),

則麗=(1,0,-1),歷=(0,1，-1),詼=(,1,0)

設(shè)平面尸助的法向量4=a，必，zj,

nx.PB=項_Z]=0

則"必-Zi=0,取士=1得々=(1,1,1),

設(shè)平面PCD的法向量〃2=(工2，%，Z2),

n?DC=x+y=0

<22?2一

則[n2-PD=y2-z2=0,取/=1得%=(L-1，T)

設(shè)二面角B-PO-C的大小為夕，則

sin。=Vl-cos2^=2及

所以3.

⑵設(shè)近=2正=(Z22,Y)(O<2V1),則

BE=PE-PB=(A-l,2A,-A+\)

因為異面直線尸。與BE所成角的大小為60。,

cos600=|cos<PD,BE>|=〔2,+("1)|=J_2

所以行X,2(…2+4萬2,解得一？或4=0(舍去).

南C42)

此時1333人

4

\PE-n,

所以點E到平面四的距離八百W去一_述9

18.（l）a=2；

（2）證明見解析，定點（-4,2）.

【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于。的方程，解之即可求得。的值；

（2）先設(shè)出直線/的方程/：、=碼"+'，并與拋物線方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法求得

".的關(guān)系，進(jìn)而求得直線/過定點的坐標(biāo).

【詳解】（1）因為點尸（"'4）在拋物線。上，所以16=2以，即8=pa,

1..

—x—x4=4

因為尸的面積為4,所以22,解得P=4,所以。=2.

⑵由⑴得C：「=8x,P（2,4）,

當(dāng)直線/斜率為0時，不適合題意；

當(dāng)直線/斜率不為0時，設(shè)直線八片叼+/,設(shè)，（再，必），8（9,外）,

J/=8^

由［%=叩+/，得「_8機(jī)》_&=（）,

則A>0=2ZW2+/>0,必+%