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2024-2025學(xué)年廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)
檢測(cè)試題
本試卷共4頁(yè),19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng):
1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上,并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題
卡上的指定位置.
2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在
試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.非選擇題的作答:用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和
答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1,已知集合”=卜區(qū)2°},8=卜值<3},則zn(CM)=()
A.(0,+e)B,[0,+oo)c.(-a>,3]D,(3,+oo)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算計(jì)算即可求得結(jié)果,再用區(qū)間表示可得答案.
【詳解】由5={小43}可知%5={小〉3},
又/={x|x20},故2門((8)=(3,+oo).
故選:D.
2.已知2=1—i,則z2=()
Z
A.2iB.2+2iC.2+3iD.3i
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得復(fù)數(shù)z,再平方,即可求解.
221-i2
【詳解】因?yàn)橐?1—i,故z=-=二二=1+乙故z?=2i
z1-i1-i
故選:A.
3已知Q=?!鉢b=0.2\c=log7ro.2,貝!J()
A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用“0」分段法”確定正確答案.
【詳解】由?!?>兀°=1,0<0.2"<1,10gli0.2<log」=0,故。>b>c.
故選:D
4,已知2tan(a+/?)=3tana=6,貝1Jtan/?=()
2311
A.一B.-C.-D.一
3572
【答案】C
【解析】
【分析】由題設(shè)得tan(a+£)=3,tana=2,結(jié)合和角正切公式列方程求目標(biāo)函數(shù)值.
【詳解】因?yàn)?tan(a+£)=3tana=6,所以tan(a+£)=3,tana=2,
/介\tana+tan^2+tan/?「
所以tan(a+/)=----------=------—=3,
1-tanotan尸1-2tan^
故2+tan4=3-6tan4,解得tan/?=;.
故選:C
5.在△48C中,。為6C邊上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn),£為線段40(含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn),若
ED=AEB+/dEC(2,//GR),貝ij()
A.4+〃=1B.〃=24C.〃=3XD.A-u=--
3
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合圖形,運(yùn)用平面向量的基本定理將近用而和沅線性表示,找到九4的數(shù)量關(guān)系即得.
【詳解】
HI)
________________________
如圖,當(dāng)瓦。不重合時(shí),ED^EB+BD=EB+-BC
3
=EB+-(EC-EB}=-EB+-EC,即X=L,〃=2,
當(dāng)E,D重合時(shí),歷=0,此時(shí),。=麗=左礪+2左反則必有〃=22成立,
綜上,都有〃=2%成立,即只有B始終成立.
故選:B.
s
6.設(shè)等比數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S",且%%=3,%%0=9,則個(gè)久=()
A.243B.244C.81D.82
【答案】B
【解析】
【分析】由等比中項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,得到公比,再由等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式得到比值.:
【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得4%o=%%=9,
設(shè){4}的公比為則4==3,
a^ci-j
q(i-
故率=一1—q—1一^/0=1+/=244.
(l-q51-/
S5ax
i—q
故選:B.
7.在四面體48CD中,AB=BC=AC=BD=2,AD=CD=6,且四面體48CD的各個(gè)頂點(diǎn)均在球
。的表面上,則球。的體積為()
,16岳「32岳
R8A/3TI
-----D.----------------k_/.------D.2扃
27927
【答案】C
【解析】
【分析】取ZC的中點(diǎn)為E,根據(jù)已知條件證E為RtZUCD的外3且平面進(jìn)而確定外接
球球心的位置,并求出半徑,即可得球的體積.
【詳解】如圖,取NC的中點(diǎn)為E,由48=8C,則8£J_NC,
連接。E,又AD?+CD?=AC?,故ZDLCD,故E為RtZUCD的外心,
由題設(shè),易得BE=道,DE=1,BD=2,所以BE?+DE?=BD?,即BE,ED,
又4CCED=E,且NC、EQu平面/C。,所以BE,平面/CD,
所以球心。在BE上,設(shè)球。的半徑為廠,
L2
在RtZkOEC中,0E-+CE2=0C2>BP(V3-r)2+12=:r2,解得廠=下,
所以球。的體積為廠=±仃3=±兀義?叵.
33927
故選:C
(J5,0)的直線/與。交于48兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線
》=—字和/于點(diǎn)MN,若HB|=WM,貝心的斜率可以為()
A.V3-2B.拒C.2D.2+指
【答案】D
【解析】
【分析】先判斷出曲線C是雙曲線1一/=1的右支,設(shè)出直線/的方程并與曲線c的方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)寫
出根與系數(shù)關(guān)系,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得根據(jù)兩者相等列方程,由此求得直線/的斜率.
【詳解】因?yàn)榍€C:X=JC+1?1,X2-/=1(X>1),所以C是雙曲線V—/=1的右支,
其焦點(diǎn)為少(血,0),漸近線為y=±x.
由題意,設(shè)/子=左卜—血),且附>1(故A選項(xiàng)可排除),
y=k(x-6),
聯(lián)立《得(左2一1)/一2岳2x+2左2+1=0,4=4(/+])〉0,
x={y?+L
2辰22左2+1
所以q+馬=左2_1,//=r_]
左~|=Jl+父XJ(xJ/)2_4X/B
=J1+|x^—xB
2
“2〃+l2k~+2
=Jl+rX-4x———=—:---
k2-l\k--\
f
2左2+2+\[?2立
因?yàn)閨48|=WM,所以
左2—1-網(wǎng)+—
F-12J
解得左=±(2+C
故選:D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:
聯(lián)立方程求交點(diǎn):通過(guò)設(shè)出直線的方程并與曲線聯(lián)立,求得交點(diǎn)坐標(biāo).這一步主要是應(yīng)用代數(shù)方法求解二
元一次方程組,是求解斜率的基礎(chǔ).
弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用:利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算兩點(diǎn)間的距離,并結(jié)合題意的垂直平分線性質(zhì),建立方程求解.弦長(zhǎng)
公式對(duì)于確定點(diǎn)間關(guān)系至關(guān)重要.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合
題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.已知曲線。:2爐+3/=12,則()
A.C的焦點(diǎn)在歹軸上B.C的短半軸長(zhǎng)為2
c.C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(虛,0)D.c的離心率為]
【答案】BCD
【解析】
【分析】曲線經(jīng)過(guò)變形后可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,計(jì)算“c的值即可確定選項(xiàng).
【詳解】設(shè)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為。,短半軸長(zhǎng)為6,半焦距為J
由題意可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+己=1,所以橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
64
由橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1,畚a=娓,b=2,c=yja2-b2=41,
64
故其短半軸長(zhǎng)為2,右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(、歷,0),故選項(xiàng)B,C正確.
橢圓C的離心率e='=噌=@,故選項(xiàng)D正確.
。3
故選:BCD.
1II
10.已知正數(shù)滿足x—JV+1=-----,貝!J()
xy
A.lg(j-x+l)>0B.cosy>co&xC.2025》r〉lD.\y-2\>\x-2\
【答案】AC
【解析】
,IIIIi
【分析】由x—y+l=——;放縮得到不等式y(tǒng)——>x——,構(gòu)造函數(shù)/(久)=y—5,無(wú)>0,判斷其單調(diào)性,
xyyx
推得x<y,對(duì)于A,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即得;對(duì)于B,通過(guò)舉反例即可排除;對(duì)于C,利用指數(shù)函數(shù)
的單調(diào)性即得;對(duì)于D,與B項(xiàng)同,只需舉反例排除即可.
1,11
【詳解】由題意可得%-一+i=y-一一一,
xyx
令函數(shù)/(X)=久-:,久>0,易知/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
由x一,<歹一1可得/(x)</(y),即可得x<y;
%y
對(duì)于A,由V>x,可得y-x+l>l,故lg(y-x+1)>0,故A正確;
對(duì)于B,分別取x=l(工,丫=二史>四,則cosy<0<cosx,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于D,分別取x=l<=,y=土―2|=直二<|x—2|=1,故D錯(cuò)誤;
2222
對(duì)于C,因?yàn)閥—x〉0,2025>1,貝。2025廣工>1,故C正確.
故選:AC.
11.已知定義在R上且不恒為0的函數(shù)/(x)對(duì)任意X/,有/(肛+/(》))=^(田+2,且/(x)的圖
象是一條連續(xù)不斷的曲線,則()
A./(x)的圖象存在對(duì)稱軸B./(x)的圖象有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心
C./⑺是單調(diào)函數(shù)D./(x)為一次函數(shù)且表達(dá)式不唯一
【答案】AC
【解析】
【分析】先證明若/(a)=/(b)時(shí),必有a=b,再通過(guò)賦值證明
/(x)=[/(2)-/(l)]x+/(/(2))-/(/(l)),設(shè)/(x)=sx+7,由恒等式求s/,由此可得結(jié)論.
【詳解】取兩個(gè)實(shí)數(shù)氏6,a^b,且/(a)#0,
用a替換x,b替換y,有/(ab+/(a))=40)+2,①
用Z,替換x,。替換九有/(仍+/(b))="(a)+2,②
假設(shè)/(a)=/(b),①一②可得("A)/(a)=0,
故a=6,這與假設(shè)矛盾,
所以awb時(shí),/(a)jtf(b),
故若/(a)=/(b)時(shí),必有a=6,
用/(a)替換x,b替換歹,則原式等價(jià)于/(/(a)b+/(/(a))=/(a)/(b)+2,
用/修)替換X,。替換則原式等價(jià)于/(/㈤/(/他))=/(。"伍)+2,
則/(a)b+/(/(a))=/0"+/(/0)),
令a=l,則/⑴"/(/⑴)=/(?+/(/(?),
令。=2,則/⑵"/(/⑵)=2/㈤+/(/0)),
兩式相減則可得/優(yōu))=[/⑵—/⑴]6+/(/(2))_/(/⑴),
即/(司=卜(2)-/⑴]》+/(/(2))-/(/⑴),
設(shè)/⑵-/⑴="0,/(/(2))-/(/(1))=^0,
則/(x)=sx+Z,代入原條件且令歹=X解得$2》+S/+/=比+2,
故/=f/(s+l)=2,解得s=/=l,
即/(x)=x+l,/(x)存在唯一表達(dá)式,D錯(cuò)誤;
因?yàn)?(x)=x+l,所以函數(shù)/(x)是單調(diào)函數(shù),C正確;
由表達(dá)式可知/(x)存在無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸,且有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心,A正確,B錯(cuò)誤.
故選:AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解決的關(guān)鍵在于先通過(guò)合理賦值先證明若/(。)=/("時(shí),必有a=6,再通
過(guò)賦值確定該函數(shù)為一次函數(shù).
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.樣本數(shù)據(jù)90,80,79,85,72,74,82,77的極差和第75百分位數(shù)分別為.
【答案】18,83.5
【解析】
【分析】根據(jù)極差和百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為:72,74,77,79,80,82,85,90,共8個(gè),
極差為90—72=18,
82+85
因?yàn)?義75%=6,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為------=83.5.
2
故答案為:18,83.5.
13.已知函數(shù)/(切=5M|0、+1[(0〉0)在區(qū)間[0,;5)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn),則/(x)最小正周期的
最小值為.
71
【答案】-
2
【解析】
【分析】由x的范圍,確定+?/=,當(dāng)0+冬,再結(jié)合?!瓷?+&W2兀即可求解.
3U123J123
【詳解】因?yàn)楫?dāng)xe[。,五]時(shí),0x+]e)因?yàn)?(x)在區(qū)間[°,石"]上只有1個(gè)零點(diǎn),
故兀<!|0+^42兀,解得|<0<4,故/(x)最小正周期的最小值為牛='.
兀
故答案為:一
2
11a
14.已知數(shù)列{an}中,%=l,%+i=〃%,則X——=.
k=lakan-k
【答案】1024
【解析】
Ua
【分析】先根據(jù)累乘法求得為=(〃—1)!,利用排列數(shù)可得X—J=C:°+C;o+C;o+…+C],進(jìn)而可
k=iakal2_k
得.
【詳?shù)挠深}意得T=〃*=〃T……>
故a”=a{--^―-...”二lxlx2x3x...x(〃-l)=(〃-l)!,
an-\an-2a\
且經(jīng)檢驗(yàn)為=0!=1滿足該通項(xiàng)公式,
V%]910!10!10!10!
T^akan_k占/——左)!0!10!1!9!10!0!
lo
=C>C;o+C^o+-+C=2=lO24.
故答案為:1024.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
15.仙人掌別名老鴉舌,神仙掌,這一獨(dú)特的仙人掌科草本植物,以其頑強(qiáng)的生命力和獨(dú)特的形態(tài)在自然
界中獨(dú)樹(shù)一幟,以其形似并攏手指的手掌,且?guī)в写痰奶卣鞫妹?仙人掌不僅具有極高的觀賞價(jià)值,還
具有一定的藥用價(jià)值,被譽(yù)為“夜間氧吧”,其根莖深入土壤或者干燥的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分
進(jìn)行儲(chǔ)藏來(lái)提高生存能力,我國(guó)某農(nóng)業(yè)大學(xué)植物研究所相關(guān)人員為了解仙人掌的植株高度V(單位:
cm),與其根莖長(zhǎng)度x(單位:cm)之間是否存在線性相關(guān)的關(guān)系,通過(guò)采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù):
樣本編號(hào)i1234
根莖長(zhǎng)度玉10121416
植株高度N6286112132
參考數(shù)據(jù):20,2792,73490?59.1.
(1)由上表數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)廠,并說(shuō)明是否可用線性回歸模型擬合N與X的關(guān)系(若H>075,則可用
線性回歸模型擬合,計(jì)算結(jié)果精確到0.001);
(2)求y關(guān)于X的線性回歸方程.
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(西,%),(%,%),…,(Z/"),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式,相關(guān)
【答案】(1)r=0.998,可用
(2)y=11.8x-55.4
【解析】
【分析】(1)利用相關(guān)系數(shù)公式結(jié)合條件即得;
(2)根據(jù)最小二乘法可得線性回歸直線方程.
【小問(wèn)1詳解】
_1_1
易得X=Z(10+12+14+16)=13/=Z(62+86+112+132)=98,
(-36)+(-1)x(-12)+1x14+3x34=236
Z=1
236_236~59
?0.998.
J20>2792-4x,3490?59.1
則討>0.75,故可用線性回歸模型模擬.
【小問(wèn)2詳解】
b=
ci—y—bx=98—11.8x13=—55.4,
故線性回歸方程為v=11.8x-55.4.
16.己知△45C中,角4民。的對(duì)邊分別為見(jiàn)“c,且2abeosC=a2sin25+b2sin24
(1)求C;
(2)若c=2,求△NBC面積的最大值.
77
【答案】(1)-
4
⑵V2+1
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等變換等知識(shí)求得C.
(2)利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值,進(jìn)而求得三角形面積的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
zy卜qinqinR
由正弦定理及倍角公式得2cosc=2sin25+上sin2Z=-——sin2B+-——sin2^
basin5sinZ
=2sirL4cos8+2sirtScosZ=2sin(Z+8)=2sinC,得cosC=sinC,
即tanC=l,Ce(0,兀),故。=
【小問(wèn)2詳解】
由余弦定理可得,=4=/+〃-y[2ab>(2-42^ab,
解得必44+28,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b="+2虛時(shí)取等號(hào),
△ABC的面積S="加111cV&+1.
2
故4ABC面積的最大值為V2+1.
17.如圖,五面體ZBCDW中,底面四邊形/5CD為邊長(zhǎng)為4的正方形,MN=1.
(1)證明:AB//MN-,
(2)已知G為線段CD的中點(diǎn),點(diǎn)M在平面48CD上的投影恰為線段5G的中點(diǎn),直線MG與平面
ABCD所成角的正切值為名叵,求直線AN與平面ADM所成角的正弦值.
5
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
⑵巫
28
【解析】
【分析】(1)先證明Z8//平面CQW,由線面平行性質(zhì)定理證明ZB//MN;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求直線NN的方向向量和平面4a0的法向量,利用向量夾角公式求結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)樗倪呅?5CD是正方形,所以AB//CD,
又48(2平面cnw,CDu平面CDMN,所以48//平面cnw,
又平面ZBNWc平面=平面所以AB〃MN.
【小問(wèn)2詳解】
記5G的中點(diǎn)為。,的中點(diǎn)為E,48上靠近點(diǎn)8的四等分點(diǎn)為尸,
連接。£,。尸,。河,拉6,則有0E//A8,OF//AD,OMABCD,
又OE,OPu平面45CD,所以(W_LOE,(W_LOP,
故OMQEQF兩兩相互垂直,
以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OEQFQM所在的直線分別為x/,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-平,
z,
因?yàn)橹本€MG與平面ABCD所成的角為ZMGO,GO=-BG="+牛=
22
所以tanNMGO=W=3Q5,得MO=2。,
GO5
由題意得,^(3,2,0),D(3,-2,0),M(0,0,2V3),N(-1,0,2塔,
所以病=卜4,—2,26),方=(0,4,0),加=卜3,2,2檔).
設(shè)平面ADM的一個(gè)法向量丘=(x,y,z),
n-DA=O14y=0
則〈___.,即〈r
n-DM=0-3x+2y+2j3z=0
令x=2,則y=0,z=G,
故為=(2,0,百)為平面/DM的一個(gè)法向量.
設(shè)直線AN與平面ADM所成的角為a,
|-8+0+6|_V14
則sina-cos〈4N,n)\=-~~?=:
,1?同ZN732x77—28
所以直線NN與平面NZW所成角的正弦值巫.
28
a0,
18.已知函數(shù)/(x)=—x-ae+eInx.
2J
(1)當(dāng)a=l時(shí),求/(x)的最小值;
(2)當(dāng)a<0時(shí),求/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),/(x)>e(x-l),求。的取值范圍.
【答案】(1)---
2e
(2)2
(3)[2,+oo)
【解析】
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,極值,最值即可;
(2)法一、令g(x)=|x-ae+e",/z(x)=lnx,將原函數(shù)分解成兩個(gè)函數(shù)的乘積,分區(qū)間討論結(jié)合零點(diǎn)
存在性定理求函數(shù)的零點(diǎn)即可;法二、直接解方程分析即可;
(3)構(gòu)造差函數(shù),由特殊點(diǎn)分類討論確定aW1時(shí)不符合題意,再在a〉1的情形下取特殊值/(e)?0,構(gòu)
造函數(shù)r(a)=-£e+e〃-e?+e,利用不等式恒成立得出一個(gè)必要條件ae[2,+co),再證充分性,變換
主元構(gòu)造q(a)=|x-ae+e",得其單調(diào)遞增,從而只證。=2時(shí)滿足題意,利用多次求導(dǎo)判定/(e)20即
可.
【小問(wèn)1詳解】
a=1時(shí),此時(shí)f(x)=gxlnx(x>0),/'(%)=g(lnx+1),
令/'(x)=0,解得x=5,
當(dāng)xe,.]時(shí),單調(diào)遞減,
當(dāng)X,+00
時(shí),/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,
故/(X)有唯一極小值點(diǎn)即為最小值點(diǎn).
1
則/(x)min=f
2e
【小問(wèn)2詳解】
解法一:令g(x)=1^-起+6",〃(%)=lnx,則/(x)=g(x)/(x),
①當(dāng)xe(0,l)時(shí),g(x)>g(l)=-ofe-1-j+ea>0,A(x)</z(l)<0,則/(x)<0,
②當(dāng)x=l時(shí),/(x)=0,
、
③當(dāng)X>1時(shí),A(x)>/z(l)>0,當(dāng)l,2e------時(shí),/(x)>0,
Ia)
’2e。\
當(dāng)xe2e-------,+co時(shí),/(x)<0,即x=2e------為/(x)的一個(gè)零點(diǎn),
\a)a
綜上所述,/(X)共有兩個(gè)零點(diǎn).
解法二:
令/(x)=°,則lru=0或唯一公+』=0,即x=1或x=2e-至-,
2a
2ea2ea
因?yàn)閍<0時(shí),x=2e------〉2e,故2e-------#1,
aa
故有兩個(gè)零點(diǎn)
【小問(wèn)3詳解】
x=l時(shí),等號(hào)兩邊成立,滿足題意,
(aa)1/e—aea
令/(x)=I—x—tze+eJlux-e(x-1),/=-luxH-------------e+—
(2e")
①當(dāng)a<0時(shí),由(2)知/2e------<0,不符合題意;
、a?
②當(dāng)a=0時(shí),/(x)=liu-e(x-l),/(e)<0,不符合題意;
③當(dāng)0<a<l時(shí),r(l)=e"—ae—e+"1"=e(e"T—1)+冬1—2e)<0,
則必然存在xw(1,d)使得/'3<0,即/(x)在xe(1,名)上單調(diào)遞減,
而/⑴=0,則/(x)在xe(l,d)上為負(fù),不符合題意;
④當(dāng)a=l時(shí),Z(x)=^-xlnx-e(x-l),/(2)=ln2-e<0,不符合題意;
⑤當(dāng)a〉l時(shí),首先/⑴應(yīng)當(dāng)滿足/(e)?0,即—|e+e〃—e2+eN0,
令r(a)=—■1e+e"—e?+e,則/(a)=—ge+e"〉0在該定義域內(nèi)恒成立,
即r(a)單調(diào)遞增,
又注意到「(2)=0,至此,我們得到了滿足題意的一個(gè)必要條件ae[2,+8).
下面我們證明其充分性:
=-|-x-(2e+e4Z,/(Q)=gx-e+e">0
即對(duì)于一個(gè)給定的(〃)單調(diào)遞增,
從而證明Q=2的情形即可,此時(shí)/(x)=(x—2e+e2)lnx—e(x—l)/(x)=lnx+匚空—e+1,
re+e
令夕(x)=/'(%)=lnx+^———-e+1,;2(x)=--2^=0,解得x=e2-2e,
JCJC
得到/'(x)在(1,e2-2e)上單調(diào)遞減,W-2e,+“)上單調(diào)遞增,
又/'(e)=0可知%=6為/(x)的極小值點(diǎn),
又/(e)=0可知Z(x)>0對(duì)任意xe[1,+“)恒成立,充分性證畢,
綜上所述,。的取值范圍是[2,+co).
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:第三問(wèn)先利
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