2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：探照燈模型（解析版）

大招探照燈模型

詞H模型介紹

定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A,A到直線BC距離為定值（定高），

/BAC為定角，則AD有最小值，即AABC的面積有最小值.定角夾定高也叫探

照燈模型.

回模型剖析

如何確定aABC面積的最小值呢？

首先我們連接OAQBQC.過(guò)O點(diǎn)作OHXBC于H點(diǎn).（如右上圖）

顯然OA+OH2AD,當(dāng)且僅當(dāng)A,O,D三點(diǎn)共線時(shí)取"=".由于/BAC的大

小是一個(gè)定值，而且它是圓O的圓周角，因此它所對(duì)的圓心角/AOB的度數(shù)，

也是一個(gè)定值.

因此OH和圓O的半徑有一個(gè)固定關(guān)系，所以O(shè)A+OH也和圓O的半徑，

有一個(gè)固定的等量關(guān)系.再根據(jù)我們剛才說(shuō)的OA+OHNAD,就可以求得圓O半

徑的最小值.

簡(jiǎn)證：OA+OH>AD,

...四邊形OEDH為矩形，.-.OH=ED,

在Rtz^AOE中，AO>AE,J.AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD

國(guó)步驟指引

1.作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為r,用r表示圓心到底邊距離及

底邊長(zhǎng)；

2.根據(jù)“半徑+弦心距之定高”，求r的取值范圍；

3.用r表示定角定高三角形面積，用r取值范圍求面積最小值.

□

例題精講

【例1].如圖，在△ABC中，ZBAC=60,AOLBC于點(diǎn)。，且AZ)=4,H

的最小值為應(yīng)2.

—3―

A

BD0

解：作△A3C的外接圓。0,連接04,OI3,0C,過(guò)點(diǎn)。作OE_LBC于點(diǎn)E,

、?

VZBAC=60°,

：.ZBOC=120°,

?：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=30°,

BE=J^-OB=^-r,

設(shè)。。的半徑為r,則OE=、OB=L,

2222

：.BC=y/3r,

'：OA+OE^AD,

/.r+—r^4,

2

解得：「力反，

3

3

S=|BC'AD>2x8^X4=

AABC-----,

3

???AABC的面積的最小值為獨(dú)巨，

3

故答案為：應(yīng)a.

3

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，在矩形A2C￡>中，AB=2,BC=12,點(diǎn)、E,尸均在A。上，且NA8E+

解：將△OC尸向左平移，使。C與重合，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,

AZGBE=90°,

作的外接圓O,連接OB,

貝ljOB^AB,

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，02取得最小值，最小值為2,

；.GE的最小值為4,

.?.△32￡1的面積最小=工*3?42=上又4義2=4,

22

四邊形矩形ABC。的面積-LABE的面積-ACDF的面積=矩形A2CD的面

積-AGBE的面積，

當(dāng)4GBE的面積最小時(shí)，四邊形BCFE的面積有最大值，

.,?四邊形BCFE最大=2X12-4=20,

四邊形8CFE面積的最大值為20.

故答案為：20.

【變式1-2].如圖，在四邊形ABC。中，AB=A￡>=CO=4,AD//BC,NB=60°,點(diǎn)E、

廠分別為邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/EAP=60°,則的面積的最小值是」

由旋轉(zhuǎn)得：BM=DF,AM=AF,ZABM=ZD=120°,ZMAB=ZFAD,

VZABC=60°,

ZABM+ZABC=18Q°,

：.M,B、E共線，

ZMAE=ZMAB+ZBAE=ZFAD+ZBAE=60°,

60°,AE^AE,

：./\FAE^/\MAE(SAS),

ZMEA=ZFEA,

過(guò)A作AH_LBC于H,作AKJ_EF于K,

/.AH—AK—AB,sin60°=2j§,

作的外接圓O。，連接。4、OE、OF,

過(guò)。作ONLEF于N,

VZ￡AF=60°,

：.ZEOF=120°,

；.NNOF=60°,

設(shè)所=2x,則NF=x,

RtzXONP中，。囚=近無(wú)，。尸=2巨x,

33

ON+OA=OF+ON=Mx，

?；OA+ON^AK,

.,.百注26

*??SAAEF=-1-￡FMX-=y.2x'2V3=2?在4料，

.?.△AEP面積的最小值是4百.

【例2].如圖，已知在四邊形ABC。中，ZABC=60°,連接AC、BD交于點(diǎn)E,EC=2AE

=4,若BE=2ED,則8。的最大值為.

解：如圖，作△ABC的外接圓O。，連接02,OA,OC,OE,過(guò)點(diǎn)。作OH,AC于"

VZAOC=2ZABC,ZABC=60°,

；./AOC=120°,

\'EC=2AE=4,：.AE=2,

；.AC=AE+EC=6,

\"OA=OC,OH±AC,：.AH=HC=3,EH=AH-AE=1,

；/OAC=NOC4=30。，/.(?H=AH*tan30o=?,

E=22

°VOH+EH=V(Vs)2+12=2,OA=2OH=2Vs>

OB=OA=2M，

:BEWOB+OE,.?.8EW2+2我，」.BE的最大值為2+2?,

：8E=2QE,；.OE的最大值為1+/目，二夕。的最大值為3+3?.故答案為3+3百.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].已知點(diǎn)0為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線距離為4,點(diǎn)A、B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，

且/AO8=30°

則△ABO的面積最小值為64-16y.

解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作直線/'〃直線/,則直線/與直線/'之間的距離為4,作點(diǎn)8關(guān)于直

線/'的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接。8'，AB',AB'交直線/'于點(diǎn)T,連接87,過(guò)點(diǎn)A作AH_L

BT于H,過(guò)點(diǎn)T作TW±AB于W.

在RtZiABB'中，2-BB'2=VAB'2-64）

AAB,的值最小時(shí)，AB的值最小，

：OA+OB=OA+OB',

...當(dāng)A,O,B'共線時(shí)，AB'的值最小，此時(shí)AB的值最小,

???直線/垂直平分線段8夕，

:.TB=TB',

：.ZTBB'=/TB'B,

'：ZTBA+ZTBB'=90°,ZTAB+ZTB'8=90°,

:.NTAB=NTBA,

：.TA=TB,

:cosZAOB=cosZATB=近，

2

.TH_V3

??--,

TA2

可以假設(shè)AT=TB=2k,

：.BH=TB-TH=（2-我）k,

:.AH=k,

?'-AB=VAH2+BH2=Vk2+[（2-V3）k]2=2注4-f%'

,：S^TAB=-"AB-TW=1--TB-AH,

22

.?.1X244-愿"X4=』X2"X?

22

解得k=4<4-愿，

△ABO的面積最小值為=；.工X2V4-V3X4V4-V3X4=6416a,

2

故答案為：64-16A/3.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,點(diǎn)。是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連

接A。，以A。為邊作△AOE,使△ADEs^ABC,則△ADE面積的最小值為_(kāi)』也_.

解：VZBAC=90°,AB=3,BC=5,

'-AC=I/BC2-AB2=V25-9=4,

?'?S^ABC=—XAB,AC=6,

2

:△ADEs^ABC,

.SAADE_(、AD)2,

^AABC杷

.?.當(dāng)AO_LBC時(shí)，A。有最小值，即△AOE面積有最小值,

止匕時(shí)，AD=22￡§.=￡,

55

12

.,.△ADE面積的最小值=6X(_§_)2=因，

325

故答案為：的.

25

2.如圖，ZAOB=45°,在邊。4,。2上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D.連接C。，以C。為直角

邊作等腰直角三角形CDE,當(dāng)CD的長(zhǎng)度保持不變且等于2cm時(shí)，則OE的最大值是

Vw±V2_.

0DB

解：如圖所示，在CD的左邊，以CD為斜邊，作等腰直角△CD尸，則。、F、E三點(diǎn)共

線時(shí)0E的值最大，

:△CZ)/和△COE是等腰直角三角形，

：.ZCDF=ZCDE=45°,

:.NEDF=90°,

,:CD=2,

:.DE=2近,DF=M，

由勾股定理得：EF=7DF2+DE2=V(V2)2+(2V2)2=J而1

0E=OF+￡F=V2+VT0，

OE的最大值是a+國(guó)，

故答案為：A/2+VTO-

3.如圖，已知△ABC中，ZBAC=60°,平分NBAC,交.BC于D,且A￡>=4,貝!laABC

面積的最小值為西巨.

—3―

解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,作。足LAC于點(diǎn)尸,

VZBAC=6Q°,AD平分NBAC,

：.ZBAD=ZCAD=3O°,

設(shè)AB=c,AC=b,

在RtZXADE中，DE^AD-sinZBAD=4sin30°=2,

在RtZ\ACG中，CG=AC?sin/BAC=6?sin60°=^-b,

2

平分/8AC,DELAB,DFLAC,

：.DE=DF=2,

*.*SMBC=SMBD+SMCD,

...AAB?CG=—AB'DE+—AC'DF,

222

即：JLCX返i>=」XcX2+」XZ>X2,

2222

'.c+b=^-^-bc,

4

：（五-五）220,

:.c+l注2瓜當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)取等號(hào)，

:.?bc》2瓜,

4

解得：兒》21,

3

4433

故答案為：應(yīng).

3

BDC

4.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=135",ZB=60°,Z￡)=120°,AD=5,AB=6,

△AEF面積的最小值當(dāng)巨

E、P分別為邊BC及射線C。上的動(dòng)點(diǎn)，/瓦1尸=45°,

—4—

D

，

BEC

解：如圖，過(guò)點(diǎn)4作AM_LBC于M,過(guò)點(diǎn)E作EH_LA/于H,ANLCD,交CO的延長(zhǎng)

線于N,

：.ZBAM=30°,

???5M=3,AM=3?,

VZADC=120°,

ZADN=60°,

AZNAD=30°,

：.DN=-AD=^~,

222

VZBAD=135°,ZEAF=45°,ZBAM=30°,

：.ZMAE+ZDAF=60°,

又?.?/4￡^=/。71/+/。物=60°,

：.ZMAE=ZAFDf

又?：/AME=/N=9U°,

???&AFNs叢EAM,

???-AE二ME,

AFAN

設(shè)ME=x,則AE=｛皿2+虹2=癡+乂2,

.——AE?AN=5yX、27+x2

MEa'

VZEAF=45°,HE.LAF,

"E哼但隼義標(biāo)0,

.?.△AEP面積(27+x2)=^-/Ax(-2L

28x8x

??,當(dāng)m。為正數(shù)時(shí)，(〃-。)22o,

■+序>2ab,

：.ZVIEF面積一5遙x(27+X)25%X2義廬^二,

8x8Vx

AA￡F面積的最小值為應(yīng)2,

4

故答案為竿.

5.已知點(diǎn)D(2,°)為直線y=--lx+3上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處旋

轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終交無(wú)軸于A、8兩點(diǎn)，C(0,-1)為y軸上一點(diǎn)，連接AC,BC,

則四邊形ACBD面積的最小值為/

取AB的中點(diǎn)尸，連接。尸，

VZADB=90°,

：.AB=2DF

?.?點(diǎn)D(2,o)為直線y=--l.r+3上一點(diǎn)，

.,.a=--X2+3=2,

2

：.D(2,2),

過(guò)點(diǎn)D作DELAB于E,

：.DE=2,E(2,0),

,S四邊形(OC+DE)=—AB=3DF,

2222

要四邊形ACBD的面積最小，即DR最小，

;點(diǎn)D(2,2),點(diǎn)F在x軸上,

當(dāng)。尸,尤軸時(shí)，。尸最小，最小值為。E=2,

??S四邊形ACBD最小=3X2=6,

故答案為6.

V

6.如圖，在Rt^ABC中，NA=90°,AB^AC,點(diǎn)。在A3上，點(diǎn)E在AC上,且4。=

CE,連接。E,求些的最小值.

CD

解：設(shè)AB=AC=1,

VZA=90°,AB=AC,

.?.△ABC是等腰直角三角形，ZB=45°,

:.BC=?AB=?

設(shè)AD=CE=x,

.".AE=BD=1-x,

過(guò)點(diǎn)。作DFL2C于R如圖所示:

則LBDF是等腰直角三角形,

：.BF=DF=^1BD='^-

2

(l-x),OE=^AD2AE2=“+(bX)2=72-2X+1,

22+

CF=BC-BF=?-叵(1-x)=亞(x+1),

22

2

=2(x+1)]2=V2+l)

CDVDF4CF-x)]+x

.DE_V2X2-2X+1_

2竽

F&+ix*+l

設(shè)“，+l-=y,整理得：yx1-2x+y-1=0,

x2+l

為實(shí)數(shù),

，△=(-2)2-4y(y-1)20,即：y2-y-1^0,

2.2

，y最大值為1啖,

7.邊長(zhǎng)為為常數(shù))的正方形A5CD中，動(dòng)點(diǎn)E、尸分別在邊CD和邊3。上，且NEA尸

=45°

(1)線段跖的最小值;

(2)SAECF的最大值;

(3)SZXECV的最小值.

解：(1)設(shè)CE=x,CF=y,

(x-y)220,

.??/+/22孫，

VEF2=X2+/,

.?.EF最小時(shí)，x1+y2=2xy,

即(x-y)2=0,

.\x=y,即CE—CF,

：.EFLAC,EG=FG,

???AC垂直平分ER

：.AE=AF,ZEAG=ZFAG,

??,四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC=D=AD,ADLCD,AB±BC,ZBAD=90°,ZBAC=ZDAC=45°,

:?DE=BF,

VZEAF=45°,

???ZDAE=ZCAE=ZCAF=NBAF,

；.DE=GE=GF=BF,叢ECG和△/CG是等腰直角三角形，

設(shè)OE=GE=x,貝UEF=2x,

■:DE+CE=CD=a,

；?x+^f^x=a,

解得：x=(A/2-1)〃，

：.EF=2x=(2V2-2)a；

即EF的最小值為(272-2)〃；

(2)當(dāng)CE=CF=y[^(5/2-1)a=(2-y[2)a時(shí)，S^ECF最大,

.”△￡。尸的最大值=/小乂。/=』(2-V2)aX(2-V2)a=(3-272)a2.

(3)當(dāng)E尸與CQ或BC重合時(shí)，EF=a,邊EF上的高為0,

SAECF的最小值=1。義0=0.

8.如圖，在正方形ABC。中，AB=4,點(diǎn)E是C￡＞邊上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，得到

△APE,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，為點(diǎn)P,連接EP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F,連接AF、CP.

(1)求證：Z￡AF=45°；

(2)當(dāng)A尸〃CP時(shí)，求。E的長(zhǎng)；

(3)試探究△AEP的面積是否存在最小值，若存在，求出△&￡尸面積的最小值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)證明：I?將△ADE沿AE折疊，得到△人2￡1,

：.AD=AP,ZD=ZAPE=90°,ZDAE=APAE,DE=PE,

：.ZB=ZAPF=90°,AP=AD^AB,

又：AP=AR

.?.RtAABF^RtAAPF(HL),

：.ZBAF=ZFAF,

：.ZEAF^ZFAF+ZR\E^—ZBAD^45°；

2

(2)解：,/RtAABF^RtAAPF,

/.ZAFB=ZAFP,BF=PF,

'：AF//CP,

：.ZAFP=ZFPC,ZAFB=ZFCP,

：.ZFPC=ZFCP,

：.PF=CF,

：.PF=CF=BF=—BC=2,

2

V￡F2=CF2+C￡2,

(2+D￡)2=4+(4-DE)2,

.-.DE=A；

3

(3)解：如圖，作尸的外接圓O。，連接AO,EO,FO,過(guò)點(diǎn)。作。HLEE于H,

設(shè)OO的半徑r,

,：ZEOF=2ZEAF=90°,OE=OF=r,OHLEF,

:.EF=4^OE=?r,08=2■所=亞廣，

22

'：AO+OH^AP,

.〉+亞廠24,

2

.?.r28-4&,

當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)O,點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，，有最小值為8-4&,

此時(shí)，取最小值為8a-8,

...△AEP面積的最小值=!XE"AP=!X4X(8&-8)=1672-16,

22

...△4所面積的最小值為16&-16.

9.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸的正半軸上.△AOB

的兩條外角平分線交于點(diǎn)P，尸在反比例函數(shù)y=9的圖象上.以的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)C,

X

總的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)。，連接CD

(1)求NP的度數(shù)及點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)求△OCD的面積；

(3)AAOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

：.ZPMA=ZPHA=90°,

VZPAM=APAH,B4=B4,

/./\PAM^^\PAH(AAS),

：?PM=PH,NAPM=NAPH,

同理可證：△BPN”ABPH,

：?PH=PN,/BPN=/BPH,

:?PM=PN,

VZPMO=ZMON=ZPNO=90°,

J四邊形PMON是矩形，

AZMPN=90°,

/.ZAPB=ZAPH+ZBPH=-Q/MPH+/NPH)=45°,

2

?：PM=PN,

???可以假設(shè)P(m,m),

VP(m,m)在y=9上，

x

/.m2=9,

Vm>0,

/.m=3,

：.P(3,3).

(2)設(shè)OA=〃，OB=b,貝(|AA/=AH=3-〃，BN=BH=3-b,

.\AB=6-a-b,

VAB2=(9A2+(?B2,

/.a2+b2=(6-a-b)2,

可得ab=6a+6b-18,

3?+3Z?-9=—ab,

2

U：PM//OC,

.CO=OA

，ePMAM，

?.?一OC-_■a，

33-a

.?.OC=2-,同法可得oz)=①

3-a3-b

?*.SACOD=--OC'DO=—,—-------------------=—,-------------------=—,—,"b——=

2■「2(3-a)(3-b)29-3a-3b+ab2.Aab+ab

解法二：連接。尸.

?；NPOA=NPOB=ZCP￡>=45°,

：.ZCOP=ZPOD==135°,

VZPOB=ZPCO+ZOPC=45°,ZAPO+ZOPD=45°,

:.NPCO=NOPD,

：./\COP^/\POD,

：.OC-OD=OP2=18,可求△CO￡)的面積等于9.

(3)設(shè)OA=a,OB=b,貝UAM=AH=3-a,BN=BH=3-b,

".AB—6-a-b,

：.OA+OB+AB=6,

a+b+Va2+b2=6>

*e?2Vab+72abW6，

(2+A/2)?abW6,

Vab^3(2-&),

??."W54-36^2?

：.S^AOB=—ab^Zl-1872，

2

：.^AOB的面積的最大值為27-1872.

10.在四邊形ABCQ中，點(diǎn)E在BC邊上(不與8、C重合).

(1)如圖(1),若四邊形是正方形，AE±EF,AE=EF,連C尸.

①求NBC尸的大小；

②如圖(2),點(diǎn)G是C尸的中點(diǎn)，連。G、ED,若。石=6,求。G的長(zhǎng)；

(2)如圖(3),若四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M在4。邊上，ZA￡M=60°,CD=9,求

線段AM的最小值.

BE

BEBE

圖（1）圖(2)圖(3)

解：(1)①如圖(1),在A2上取一上點(diǎn)使A8=CE,連接EH,

斗、'

?_?*********_1/

BEC

圖⑴

???四邊形A5CO是正方形,

：.AB=BC,N5=90°,

:?BE=BH,

；./BHE=45°,

AZAHE=135°,

VZAEF=90°,

AZAEB+ZCEF=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

:?NBAE=NCEF,

?；AE=EF,

：./\AHE^/\ECF(SAS),

：.ZBCF=ZAH￡=135°；

②如圖(2),在AB上取一上點(diǎn)H使A〃=CE,連接EX,BD,

圖(2)

由①知：AAHEq/\ECF,

：.EH=CF,

設(shè)8E=2x,則￡H=CP=2&x,

是CP的中點(diǎn)，

CG=&x,

..圖=^=&,

CGV2x

?..四邊形A8C。是正方形，

：.BD=y/2CD,

：ZDBE=ZDCG=45°,

ADBEs^DCG,

..DE=BD

DGCD

:DE=6,

\DG=3?；

(2)如圖(3),作△AEM的外接圓O,過(guò)點(diǎn)。作ONLUf于N,連接OA,OE,OM,

VZAEM=60°,

AZAOM=120°,

*.?ONLAM,

:,AN=MN,ZAON=ZNOM=60°,

AZOAN=ZOMN=30°,

設(shè)ON=a,則OA=2a,AN=y/~3a,

貝！JOE+ON'AB,

即當(dāng)E,O,N三點(diǎn)共線時(shí)，。最小，此時(shí)AM最小,

/.〃+2〃=9,

.?.4=3,

的最小值是6V3-

11.如圖，在RtZXABC中，AC=8愿，/BAC=90°,ZC=30°,AO_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E、

廠分別在A3、AC邊上，且/即尸=120°,連接EK

(1)如圖①，當(dāng)。E_LAB時(shí)，求。尸的長(zhǎng)；

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)。作DGLOE交AC于點(diǎn)G.連接EG.

①求證：EG//DF-,

②求△。￡尸面積的最小值.

圖①

圖②

(1)解：VZBAC=90°,/C=30°,

/.ZB=60°,

"：DE.LAB,

；.NEDB=30°,

:NEDF=120°,

AZF￡)C=180°-30°-120°=30°,

：.ZFDC=ZC=30°,

:,FD=FC,

U：AD±BC,

：.ZDAC=ZFDC=60°,

：.FA=FD=FC=4y/3；

(2)①證明：如圖②中，EG的中點(diǎn)。，連接04,OD.

圖②

VDGXDE,

：.ZEDG=ZEAG=90°,

?：E0=0G,

：?0A=0G=0E=0D,

???A,E,D,G四點(diǎn)共圓，

：.ZEGD=ZBAD=30°,

,：ZEDF=12O°,NEDG=90°,

；?NFDG=NEGD=30°,

：.EG//DF；

②解：如圖③中，過(guò)點(diǎn)。作。HLAC于點(diǎn)H,作△OG/的外接圓OO,連接OG,OF,

0D,過(guò)點(diǎn)。作0TLic于點(diǎn)■

圖③

,:EG〃DF,

/.S^DEF=S/\DFG=—?FG?DH,

2

VZADC=90°,AC=8?,ZC=30°,

：.AD=^AC=4yf3>

：.CD=y/3AD=12,

：.DH=—CD=6,

2

S叢DEF=3GF,

設(shè)FG=x,

ZGOF=2ZGDF=60°,OF=OG,

???△O廠G是等邊三角形，

：.OD=OG=OF=FG=x,OT=^-x,

2

:OD+OT^DH,

返x26,

2

：.x^24-12A/3>

：.FG的最小值為24-12?,

:ADEF的面積的最小值為72-36V3.

12.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=2,過(guò)點(diǎn)8作直線機(jī)〃AC,^AABC

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△>!'B'C(點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B'),射線CA',CB'

分別交直線加于點(diǎn)P,Q.

(1)如圖1,當(dāng)尸與A'重合時(shí)，求NACA'的度數(shù)；

(2)如圖2,設(shè)A'B'與BC的交點(diǎn)為當(dāng)M為A'B'的中點(diǎn)時(shí)，求線段P。的長(zhǎng)；

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P,。分別在CA',C8'的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形以,夕

。的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形B'Q的最小面積；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=AC=2,

VZACB=90°,AB=47,AC=2,

:.BC=M，

VZACB=90°,m//AC,

ZA'BC=90°,

cosZA'CB==返，

A'C2

ZA'CB=30°,

AZAC4'=60°；

（2）為48的中點(diǎn)，

ZA'CM=ZMA'C,

由旋轉(zhuǎn)可得，ZMA'C=ZA,

：.ZA=ZA'CM,

tanZPCB=tanZA=,

2

：.PB=^3-BC=—,

22

'：ZPCQ=ZPBC^90°,

ZBQC+ZBPC=ZBCP+ZBPC=90°,

:./BQC=NBCP=NA,

tan/BQC=tanNA=，

：.BQ=BCX^=-=2,

V3

:.PQ=PB+BQ=三;

（3）,:S四邊形24歸，Q=S△尸C。一SAA'CB1—S^PCQ-Vs>

***S四邊形PA'B'。最小，即S^PCQ最小，

/.S^PCQ^—PQXBC=叵PQ,

22

法一：（幾何法）取PQ的中點(diǎn)G,

VZPCe=90°,

：.CG=^PQ,BPPQ=2CG,

2

當(dāng)CG最小時(shí)，PQ最小，

：.CG±PQ,即CG與CB重合時(shí)，CG最小，

CGmin=y[3，PQmin=2^^3，

S^PCQ的最小值=3,S四邊形以,⑶Q=3-V3；

法二（代數(shù)法）設(shè)尸3=x,BQ=y,

由射影定理得：孫=3,

**?當(dāng)PQ最小時(shí)，x+y最小，

/.（x+y）2=x2+2xy-i-y2=x2+6+y22xy+6=12,

當(dāng)％=y=愿時(shí)，"=”成立，

???尸。=?+百=2?，

SAPCQ的最小值=3,S四邊形0=3-V3.

13.輔助圓之定角定高求解探究

（1）如圖①，已知線段A2,以A2為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；

（2）如圖②，在△ABC中，ZACB=60°,CO為A8邊上的高，若C￡>=4,試判斷AB

是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形

ABCDZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6&,點(diǎn)E、尸分別為AB、AD±.

的點(diǎn)，若保持CELCF,那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面

積的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

A---------------------------B/

ADBAEB

圖①圖②圖③

解：（1）如圖①中，△ABC即為所求.

圖①

（2）如圖②中，作△ABC的外接圓O。，連接。4,OB,OC,作OELAB于E.設(shè)。4

=0C=2x.

C

3

(3)如圖③中，連接AC,延長(zhǎng)BC交的延長(zhǎng)線于G,將△(；￡)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△

CBH,作△CE"的外接圓。。

VZADC=ZABC^9Q°,AC^AC,CD=CB,

：.RtAACD^RtAACB(HL),

S^ACD=SAACB,

VZDAB=45°,

：.ZDCB=135°

/.ZDCG=45°,

VZCDG=90°,

:.CD=DG=6近,

：.CG=?CD=12,

AB=GB=12+65/2，

由(2)可知，當(dāng)△CEH的外接圓的圓心。在線段BC上時(shí)，△EC#的面積最小，此時(shí)

四邊形AFCE的面積最大，

設(shè)OC=OE=r,易知OB=EB==r,

2

+支，=6M,

2

.36&(2-揚(yáng)，

:.EH=Hr=12(2-&),

四邊形AFCE的面積的最大值=2X4X(12+6A/2)X6A/2-4X12(2-V2)X6加

=144.

14.問(wèn)題提出

(1)如圖①，點(diǎn)。是等邊△ABC的內(nèi)心，連接03、0C,則/BOC的大小為120。；

問(wèn)題探究

(2)如圖②，在RtZkABC中，NA=90°，點(diǎn)。、￡分別在邊A3、AC上，5.DE//BC,

點(diǎn)M、N分別是。E、8c的中點(diǎn)，連接MN.若BD=8,CE=6,求MN的長(zhǎng)；

問(wèn)題解決

(3)如圖③，某小區(qū)計(jì)劃在一片足夠大的空地上修建四邊形的花園ABC。，根據(jù)設(shè)計(jì)要

求，在四邊形A8C。中，AD//BC,且8C=2A。，AO與8C之間的距離為40加，ZA+

/。=225°.試求四邊形花園ABC。面積的最小值.

解：(1):點(diǎn)。是等邊△ABC的內(nèi)心，

：.BO,C。分別平分/ABC、ZACB,ZABC=60°,ZACB=60°,

.?./O2C=/OCB=30°,

：.ZBOC=1SO°-ZOBC-ZOCB=120°；

(2)如圖：過(guò)點(diǎn)M分別作M/〃AB交BC于點(diǎn)尸，MG〃AC交BC于點(diǎn)G,

BFNGC

又■:DE//BC,

：.四邊形DBFM、MGCE都是平行四邊形，

：.DM=BF,ME=CG,MF=BD=8,MG=CE=6,

'：MF//AB交BC于點(diǎn)F,MG//AC,

：.ZB=ZMFG,NC=/MGF,

VZA=90°,

：.ZB+ZC=90°,

：.ZMFG+ZMGF^90°,

...△M/G是直角三角形，即八7=10,

又：點(diǎn)M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，

：.DM=ME=BF=CG,BN=CN,

：.BN-BF=CN-CG,即FN=NG,

MN是直角三角形MFG斜邊的中線，

:.MN=、FG=5；

2

(3)如圖：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H,則AH=40,

取BC的中點(diǎn)E,連接AE,

:.BC=2EC.

；BC=2AD,AD//BC,

J.AD//EC,AD=EC,

四邊形AECD是平行四邊形,

：.AE//CD,

：.ZEAD+ZD=1SO°,

又?；NA4Z)+Nr>=225°,

/.ZBAE=45°,

作△ABE的外接圓。。，連接。4、OE、0B,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)

則/30￡=2/氏4￡=90°,ZBOM=ZEOM=45a,

設(shè)。。的半徑為r,則OM=J^r=BM=ME,BE=42r,

2

OA+OM^AH,

.?.廠+亞廠240,

2

解得：r280-40a,

/.當(dāng)A、0、M三點(diǎn)共線時(shí)，r取得最小值80-40A/2.此時(shí)BE取得最小值80&-801

四邊形ABCD=Lx40x(AD+BC)=20(AD+BC)=30BC=60BE,

2

?**S四邊形ABCD最小—60X(80A/2-80)=480072-4800,

，四邊形花園ABC。面積的最小值為(48007歷-4800)總.

15.問(wèn)題探究

(1)如圖①，已知在△ABC中，N2=/C=30°,BC=6,則S.BC=3F.

(2)如圖②，已知四邊形ABCZ)中，ZABC+ZADC=180°,AD=DC,BD=4、叵,請(qǐng)

求出四邊形ABCD面積的最大值.

問(wèn)題解決

(3)如圖③，某小區(qū)有一個(gè)四邊形花壇ABC。，AD//BC,AB=AD^CD^15m,/B=

NC=60°.為迎接“十四運(yùn)”，園藝師將花壇設(shè)計(jì)成由兩種花卉構(gòu)成的新造型，根據(jù)造

型設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)￡、