初中數(shù)學(xué)同步九年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題14四類母子型相似含答案及解析

專題14四類母子型相似目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、“母子”模型（斜射影模型） 1類型二、雙垂直模型（射影模型） 4類型三、“母子”模型（變形） 6類型四、共邊模型 12壓軸能力測(cè)評(píng)（10題） 13母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步?！灸Ｐ徒庾x與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，結(jié)論：；類型一、“母子”模型（斜射影模型）例．定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，動(dòng)點(diǎn)，分別以每秒和的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊一直移到點(diǎn)為止，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為止（點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)）(1)請(qǐng)直接用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)和的長(zhǎng)，并寫(xiě)出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，與相似？【變式訓(xùn)練2】．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．類型二、雙垂直模型（射影模型）例．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為_(kāi)_______．【變式訓(xùn)練2】．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點(diǎn)G，若BC=4，AF=1，則CE的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝．類型三、“母子”模型（變形）例．如圖，點(diǎn)是ΔABC的邊上的一點(diǎn)，若添加一個(gè)條件，使ΔABC與相似，則下列所添加的條件錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，連接，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖，若，求證：；(3)如圖，若延長(zhǎng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．(1)求AB的長(zhǎng)．(2)當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的值．(3)如圖2，將本題改為點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，其它條件不變，求當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點(diǎn)E、D，連接EC、CD．（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；（2）求證：；（3）若，⊙O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)．類型四、共邊模型例．如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個(gè)相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過(guò)射線上點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連結(jié)，射線與射線交于點(diǎn)，若與互為母子三角形．求的值．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，為的兩條切線，，為切點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，求的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是的直徑，是的弦，是的切線，切點(diǎn)為，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的大?。唬?）若，求的面積．1．如圖，中，，，，點(diǎn)，分別在，上，，．把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)落在線段上．若點(diǎn)在的平分線上，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．如圖，正方形ABCD中，△繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)到，，分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE=4，則的值為（

）A．8 B．12 C．16 D．203．如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為4和2，∠B＝120°，則圖中陰影部分的面積是（）A．3 B．2 C．4 D．34．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，平分交于E，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)線交于G，則的值是．?5．如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長(zhǎng)為．6．如圖，在中，點(diǎn)D在AB上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是．7．如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為．8．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．設(shè)λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長(zhǎng)為；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為．9．如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)與相似？10．如圖：在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)Р以的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向C點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）______m，______m，_____m（用含t的代數(shù)式表示）（2）t為多少秒時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似？（3）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，四邊形ABQP與CPQ的面積能否相等？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

專題14四類母子型相似目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、“母子”模型（斜射影模型） 1類型二、雙垂直模型（射影模型） 4類型三、“母子”模型（變形） 6類型四、共邊模型 12壓軸能力測(cè)評(píng)（10題） 13母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，結(jié)論：；類型一、“母子”模型（斜射影模型）例．定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)為的理想點(diǎn),理由見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）由是的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)在上時(shí)，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長(zhǎng)度；當(dāng)在上時(shí)，，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求長(zhǎng)度；不可能在上．【詳解】（1）解：點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，理由如下：是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）①在上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，或，當(dāng)時(shí)，，，，即是邊上的高，當(dāng)時(shí)，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點(diǎn)”不可能在邊上，③在邊上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，，又，，，即，，綜上所述，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，動(dòng)點(diǎn)，分別以每秒和的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊一直移到點(diǎn)為止，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為止（點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)）(1)請(qǐng)直接用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)和的長(zhǎng)，并寫(xiě)出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，與相似？【答案】(1)AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（）(2)或【分析】（1）根據(jù)題意求解即可；（2）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)6≤t≤16時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：由題可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（）（2）解：當(dāng)時(shí)①若QP∥BC，則有△AQP∽△ABC．∴又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm，∴解得：；②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，則有△AQP∽△ACB．∴，∴解得：t=6.4（不合題意，舍去）當(dāng)6≤t≤16時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∵∠A=∠A，只有當(dāng)∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB．∴∴解得：綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AD=．【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結(jié)論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE?BC，∴BC===，∴AD=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．類型二、雙垂直模型（射影模型）例．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為_(kāi)_______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）證出，證明∽，得出，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則（），同（1）得，則，在中，，過(guò)作于，易證，求出，再由平行線分線段成比例定理即可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則（），，證明∽，得出，，求出，證明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴設(shè)，則（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，過(guò)作于，如圖2所示：則，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖3所示：∵，∴設(shè)，則（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例定理等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì),證明三角形相似是解題的關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練2】．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點(diǎn)G，若BC=4，AF=1，則CE的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)D做于點(diǎn)H，由正方形ABCD的性質(zhì)，通過(guò)證明和計(jì)算得到，再通過(guò)證明從而求得CE的長(zhǎng)．【詳解】如下圖，過(guò)D做于點(diǎn)H

∴∵正方形ABCD∴且∵∴∴又∵∴∴∵∴

又∵正方形ABCD∴∴∵于點(diǎn)G∴∴∴∵∴∵且∴∴∴故選：A．方法二：∵∠BEC+∠FCD=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠BEC=∠DFC，又∵∠CDF=∠BCE,BC=CD,∴△BCE≌△CDF，∴CE=DF=4-1=3;【點(diǎn)睛】本題考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝．【答案】【分析】證明△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．類型三、“母子”模型（變形）例．如圖，點(diǎn)是ΔABC的邊上的一點(diǎn)，若添加一個(gè)條件，使ΔABC與相似，則下列所添加的條件錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在ΔABC與中，已知有一對(duì)公共角∠B，只需再添加一組對(duì)應(yīng)角相等，或夾已知等角的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，即可判斷正誤．【詳解】A．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；B．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；C．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；D．若，但夾的角不是公共等角∠B，則不能證明兩三角形相似，錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，連接，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖，若，求證：；(3)如圖，若延長(zhǎng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明，得出，證明四邊形為平行四邊形，得出，則可得出結(jié)論；（2）證明，得出，證明，得，則得出結(jié)論；（3）證明，得出，設(shè)，解方程求出，則可得出答案．【詳解】（1）在和中，又（SAS）四邊形為平行四邊形（2）又，即．又，即（3），．設(shè)，則有解得（負(fù)值舍去）【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．(1)求AB的長(zhǎng)．(2)當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的值．(3)如圖2，將本題改為點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，其它條件不變，求當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．【答案】(1)10(2)或時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似(3)或或時(shí)，為等腰三角形【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)解得即可；(2)分①當(dāng)時(shí)和②當(dāng)時(shí)，兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)解答即可；(3)分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)得出比例解答即可．【詳解】（1）解：（2）解：解：①當(dāng)時(shí)，，即，解得：，②當(dāng)時(shí)，，即，解得：，綜上所述，或時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，（3）解：①如圖3，當(dāng)時(shí)，，解得：，②如圖4，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，則∠，，，，，，，即，解得：，③如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，，，即，解得：，綜上所述，或或時(shí)，為等腰三角形【點(diǎn)睛】本題考查考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，已知正切求邊長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合，分類討論思想的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點(diǎn)E、D，連接EC、CD．（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；（2）求證：；（3）若，⊙O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)．【答案】（1）相切，見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）5．【分析】（1）連接OC，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證明OC⊥AB，據(jù)此解題；（2）連接OC，90°圓周角所對(duì)的弦是直徑，證明DE為⊙O的直徑，再證明△BCD∽△BEC，最后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解題；（3）根據(jù)正切定義得到，解得OC=OE=3，再由△BCD∽△BEC，設(shè)BC=x，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，及勾股定理得到9+x2=（2x-3）2，解此一元二次方程，驗(yàn)根即可解題．【詳解】解：（1）AB與⊙O相切，連接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∵點(diǎn)C在⊙O上，∴AB與⊙O相切；（2）連接OC，∵OC⊥AB，∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，又∵DE為⊙O的直徑，∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠E=∠2，∴∠1=∠E，∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BEC，∴，∴BC2=BD?BE；（3）∵，∠ECD=90°，∴，∵⊙O的半徑為3，∴OC=OE=3，∵△BCD∽△BEC，∴，設(shè)BC=x，∴，∴OB=2x-3，∵∠OCB=90°，∴OC2+BC2=OB2，∴9+x2=（2x-3）2，∴x1=0（舍去），x2=4，∴OA=OB=5．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，切線的證明方法有兩種：1、有點(diǎn)連接此點(diǎn)與圓心，證明夾角為直角；2、無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，利用方程思想解題是關(guān)鍵．類型四、共邊模型例．如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個(gè)相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過(guò)射線上點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連結(jié)，射線與射線交于點(diǎn)，若與互為母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）見(jiàn)解析；（3）或3．【分析】（1）根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似得出，再根據(jù)從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分當(dāng)分別在線段上時(shí)和當(dāng)分別在射線上時(shí)兩種情況加以討論；【詳解】（1）∵與互為母子三角形，∴或2故選：C（2）是的角平分線，，，．又，與互為母子三角形．

（3）如圖，當(dāng)分別在線段上時(shí)，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．如圖，當(dāng)分別在射線上時(shí)，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．綜上所述，或3【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力．準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問(wèn)題的過(guò)程中，要考慮全面，進(jìn)行分類討論，避免漏解．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，為的兩條切線，，為切點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）如圖，作輔助線，證明∠APO=∠BPO得，再由為的直徑可得AB⊥AD，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，由勾股定理得，再證明可求出，從而通過(guò)解直角三角形可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，∵，為的兩條切線，∴，，∴．∵為的直徑，∴，∴．（2）∵，∴設(shè)，則．∵，∴．不妨設(shè)，則．在中，．∵，為的切線，∴．∴，∴．∴，解得．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理與判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是的直徑，是的弦，是的切線，切點(diǎn)為，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）連接OD，由題意易證△CDO≌△CBO，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證；（2）由題意易得△EDA∽△EBD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及可求解．【詳解】（1）證明：連接OD，如圖所示：AD∥OC，∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又OA=OD，∠DAO=∠ADO，∠COD=∠COB，OD=OB，OC=OC，△CDO≌△CBO，∠CDO=∠CBO，BC是的切線，∠CBO=∠CDO=90°，點(diǎn)D在上，CD是的切線；（2）由（1）圖可得：∠ADO+∠EDA=90°，∠ODB=∠DBO，是的直徑，∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，∠EDA=∠ODB=∠DBO，又∠E=∠E，△EDA∽△EBD，，的半徑為4，，AB=8，EB=AE+8，，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線定理與判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線定理及判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）2．【分析】（1）先根據(jù)相似三角形的判定可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差即可得；（3）設(shè)，從而可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可求出a的值，最后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得．【詳解】（1），，在和中，，，，；（2），是等腰直角三角形，，由（1）可知，，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，，，在和中，，，，又，，；（3）設(shè)，是等腰直角三角形，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，在中，，，由（1）知，，，即，解得，在中，，，在和中，，，，即，解得，又，，解得，，則的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．1．如圖，中，，，，點(diǎn)，分別在，上，，．把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)落在線段上．若點(diǎn)在的平分線上，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)計(jì)算可知，結(jié)合定理兩邊成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似證明△PQC∽△BAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；連接AD，根據(jù)PQAB和點(diǎn)D在∠BAC的平分線上可證∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分別表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝＝12．∵＝＝，＝＝，∴＝．∵∠C＝∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ＝∠B，∴PQAB；連接AD，∵PQAB，∴∠ADQ＝∠DAB．∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴∠DAQ＝∠DAB，∴∠ADQ＝∠DAQ，∴AQ＝DQ．∵PD＝PC＝3x，QC=4x∴在Rt△CPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.∴DQ＝2x．∵AQ＝12﹣4x，∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，∴CP＝3x＝6．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換——旋轉(zhuǎn)綜合題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握定理并能靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵．2．如圖，正方形ABCD中，△繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)到，，分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE=4，則的值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF與△DEA相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴∠EAF=∠BAC=45°，∴∠EAF=∠ADB=45°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴EF·ED=AE2，∵AE=4，∴EF·ED=16，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出相關(guān)的相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為4和2，∠B＝120°，則圖中陰影部分的面積是（）A．3 B．2 C．4 D．3【答案】D【分析】設(shè)AG交CE于點(diǎn)H，通過(guò)得出，即可得出EH的長(zhǎng)，將陰影部分的面積分為和的和，分別求出兩個(gè)菱形的高即可．【詳解】如圖，設(shè)AG交CE于點(diǎn)H，∵菱形ABCD的邊AB∥CD，∴，∴CH：AB＝GC：GB，即，解得，所以，EH＝CE﹣CH＝∵∠B＝120°，∴∠BCD＝∠FEC＝180°﹣120°＝60°，∴點(diǎn)B到CD的距離為，點(diǎn)F到CE的距離為，∴陰影部分的面積＝S△AEH+S△GEH＝故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形與相似三角形的性質(zhì)，將陰影部分的面積拆分成兩部分來(lái)解是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，平分交于E，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)線交于G，則的值是．?【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的有關(guān)知識(shí).由等腰三角形的判定與性質(zhì)知BM是等腰三角形的中垂線.根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、等腰三角形的性質(zhì)列出比例式，即，最后在直角中利用勾股定理來(lái)求的值．【詳解】，四邊形是正方形,，又∵平分交于,，,，在和中,，，即，即,即，故答案為：．5．如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】延長(zhǎng)CB到，使，連接DE，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)CB到，使，連接DE，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．6．如圖，在中，點(diǎn)D在AB上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是．【答案】（答案不唯一，也可以增加條件：或）．【分析】題目中相似的兩個(gè)三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角，可以再增加一對(duì)相等的角，用兩組角相等判定兩三角形相似，也可以增加兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，利用兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等判定兩三角形相似．【詳解】若增加條件：∠ACD=∠ABC，∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解題的關(guān)鍵．7．如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=3，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．設(shè)λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長(zhǎng)為；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到AE的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到EF的長(zhǎng)，從而可以得到線段CF的長(zhǎng)；（2）證明△ADG≌△FGC，得出點(diǎn)G為CD邊的中點(diǎn)