初中數(shù)學(xué)同步九年級上冊滬科版《壓軸題》專題14四類母子型相似含答案及解析

專題14四類母子型相似目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、“母子”模型（斜射影模型） 1類型二、雙垂直模型（射影模型） 4類型三、“母子”模型（變形） 6類型四、共邊模型 12壓軸能力測評（10題） 13母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步?！灸Ｐ徒庾x與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對角線平分，，結(jié)論：；類型一、“母子”模型（斜射影模型）例．定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，動點，分別以每秒和的速度同時開始運動，其中點從點出發(fā)，沿邊一直移到點為止，點從點出發(fā)沿邊一直運動到點為止（點到達(dá)點后，點繼續(xù)運動）(1)請直接用含的代數(shù)式表示的長和的長，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r，與相似？【變式訓(xùn)練2】．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．類型二、雙垂直模型（射影模型）例．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【變式訓(xùn)練1】．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【變式訓(xùn)練2】．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點G，若BC=4，AF=1，則CE的長為（

）

A．3 B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝．類型三、“母子”模型（變形）例．如圖，點是ΔABC的邊上的一點，若添加一個條件，使ΔABC與相似，則下列所添加的條件錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，，點在邊上，且，點在邊上，且，連接，交于點．(1)求證：；(2)如圖，若，求證：；(3)如圖，若延長恰好經(jīng)過點，求的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，，，，點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點運動，點同時從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點運動，當(dāng)一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．(1)求AB的長．(2)當(dāng)以點、、為頂點的三角形與相似時，求的值．(3)如圖2，將本題改為點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度在上向點運動，點同時從點出發(fā)向點運動，其速度是每秒個單位長度，其它條件不變，求當(dāng)為何值時，為等腰三角形．【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點E、D，連接EC、CD．（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；（2）求證：；（3）若，⊙O的半徑為3，求OA的長．類型四、共邊模型例．如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過射線上點作，交射線于點，連結(jié)，射線與射線交于點，若與互為母子三角形．求的值．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，為的兩條切線，，為切點，的延長線交于點，交的延長線于點，連接，．（1）求證：；（2）若，求的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是的直徑，是的弦，是的切線，切點為，，的延長線相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求的長．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，點分別是的中點，與點．（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積．1．如圖，中，，，，點，分別在，上，，．把繞點旋轉(zhuǎn)，得到，點落在線段上．若點在的平分線上，則的長為（

）A． B． C． D．2．如圖，正方形ABCD中，△繞點A逆時針轉(zhuǎn)到，，分別交對角線BD于點E，F(xiàn)，若AE=4，則的值為（

）A．8 B．12 C．16 D．203．如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為4和2，∠B＝120°，則圖中陰影部分的面積是（）A．3 B．2 C．4 D．34．如圖，正方形的邊長為2，平分交于E，F(xiàn)是延長線上一點，且，延長線交于G，則的值是．?5．如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．6．如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是．7．如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．8．如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設(shè)λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長為；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為．9．如圖，在中，，，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時與相似？10．如圖：在矩形ABCD中，，，動點Р以的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動的時間為t秒．（1）______m，______m，_____m（用含t的代數(shù)式表示）（2）t為多少秒時，以P、Q、C為頂點的三角形與相似？（3）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

專題14四類母子型相似目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、“母子”模型（斜射影模型） 1類型二、雙垂直模型（射影模型） 4類型三、“母子”模型（變形） 6類型四、共邊模型 12壓軸能力測評（10題） 13母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步?！灸Ｐ徒庾x與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對角線平分，，結(jié)論：；類型一、“母子”模型（斜射影模型）例．定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點是的“理想點”；（2）由是的“理想點”，分三種情況：當(dāng)在上時，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當(dāng)在上時，，對應(yīng)邊成比例即可求長度；不可能在上．【詳解】（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當(dāng)時，，，，即是邊上的高，當(dāng)時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，動點，分別以每秒和的速度同時開始運動，其中點從點出發(fā)，沿邊一直移到點為止，點從點出發(fā)沿邊一直運動到點為止（點到達(dá)點后，點繼續(xù)運動）(1)請直接用含的代數(shù)式表示的長和的長，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r，與相似？【答案】(1)AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（）(2)或【分析】（1）根據(jù)題意求解即可；（2）分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)6≤t≤16時，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：由題可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（）（2）解：當(dāng)時①若QP∥BC，則有△AQP∽△ABC．∴又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm，∴解得：；②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，則有△AQP∽△ACB．∴，∴解得：t=6.4（不合題意，舍去）當(dāng)6≤t≤16時，點P與點C重合，∵∠A=∠A，只有當(dāng)∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB．∴∴解得：綜上所述：或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）AD=．【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結(jié)論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE?BC，∴BC===，∴AD=．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．類型二、雙垂直模型（射影模型）例．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求出CD的長．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證出，證明∽，得出，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則（），同（1）得，則，在中，，過作于，易證，求出，再由平行線分線段成比例定理即可得出答案；（3）過點作于，設(shè)，則（），，證明∽，得出，，求出，證明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴設(shè)，則（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，過作于，如圖2所示：則，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：過點作于，如圖3所示：∵，∴設(shè)，則（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題是相似形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì),證明三角形相似是解題的關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練2】．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點G，若BC=4，AF=1，則CE的長為（

）

A．3 B． C． D．【答案】A【分析】過D做于點H，由正方形ABCD的性質(zhì)，通過證明和計算得到，再通過證明從而求得CE的長．【詳解】如下圖，過D做于點H

∴∵正方形ABCD∴且∵∴∴又∵∴∴∵∴

又∵正方形ABCD∴∴∵于點G∴∴∴∵∴∵且∴∴∴故選：A．方法二：∵∠BEC+∠FCD=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠BEC=∠DFC，又∵∠CDF=∠BCE,BC=CD,∴△BCE≌△CDF，∴CE=DF=4-1=3;【點睛】本題考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝．【答案】【分析】證明△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識點并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．類型三、“母子”模型（變形）例．如圖，點是ΔABC的邊上的一點，若添加一個條件，使ΔABC與相似，則下列所添加的條件錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在ΔABC與中，已知有一對公共角∠B，只需再添加一組對應(yīng)角相等，或夾已知等角的兩組對應(yīng)邊成比例，即可判斷正誤．【詳解】A．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；B．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；C．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；D．若，但夾的角不是公共等角∠B，則不能證明兩三角形相似，錯誤，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，，點在邊上，且，點在邊上，且，連接，交于點．(1)求證：；(2)如圖，若，求證：；(3)如圖，若延長恰好經(jīng)過點，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明，得出，證明四邊形為平行四邊形，得出，則可得出結(jié)論；（2）證明，得出，證明，得，則得出結(jié)論；（3）證明，得出，設(shè)，解方程求出，則可得出答案．【詳解】（1）在和中，又（SAS）四邊形為平行四邊形（2）又，即．又，即（3），．設(shè)，則有解得（負(fù)值舍去）【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，，，，點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點運動，點同時從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點運動，當(dāng)一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．(1)求AB的長．(2)當(dāng)以點、、為頂點的三角形與相似時，求的值．(3)如圖2，將本題改為點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度在上向點運動，點同時從點出發(fā)向點運動，其速度是每秒個單位長度，其它條件不變，求當(dāng)為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)10(2)或時，以點、、為頂點的三角形與相似(3)或或時，為等腰三角形【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)解得即可；(2)分①當(dāng)時和②當(dāng)時，兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)解答即可；(3)分①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)得出比例解答即可．【詳解】（1）解：（2）解：解：①當(dāng)時，，即，解得：，②當(dāng)時，，即，解得：，綜上所述，或時，以點、、為頂點的三角形與相似，（3）解：①如圖3，當(dāng)時，，解得：，②如圖4，當(dāng)時，過點作于，則∠，，，，，，，即，解得：，③如圖，當(dāng)時，過點作于，則，，，，，即，解得：，綜上所述，或或時，為等腰三角形【點睛】本題考查考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，已知正切求邊長，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合，分類討論思想的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點E、D，連接EC、CD．（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；（2）求證：；（3）若，⊙O的半徑為3，求OA的長．【答案】（1）相切，見解析；（2）見解析；（3）5．【分析】（1）連接OC，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證明OC⊥AB，據(jù)此解題；（2）連接OC，90°圓周角所對的弦是直徑，證明DE為⊙O的直徑，再證明△BCD∽△BEC，最后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解題；（3）根據(jù)正切定義得到，解得OC=OE=3，再由△BCD∽△BEC，設(shè)BC=x，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，及勾股定理得到9+x2=（2x-3）2，解此一元二次方程，驗根即可解題．【詳解】解：（1）AB與⊙O相切，連接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∵點C在⊙O上，∴AB與⊙O相切；（2）連接OC，∵OC⊥AB，∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，又∵DE為⊙O的直徑，∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠E=∠2，∴∠1=∠E，∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BEC，∴，∴BC2=BD?BE；（3）∵，∠ECD=90°，∴，∵⊙O的半徑為3，∴OC=OE=3，∵△BCD∽△BEC，∴，設(shè)BC=x，∴，∴OB=2x-3，∵∠OCB=90°，∴OC2+BC2=OB2，∴9+x2=（2x-3）2，∴x1=0（舍去），x2=4，∴OA=OB=5．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，切線的證明方法有兩種：1、有點連接此點與圓心，證明夾角為直角；2、無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，利用方程思想解題是關(guān)鍵．類型四、共邊模型例．如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過射線上點作，交射線于點，連結(jié)，射線與射線交于點，若與互為母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）見解析；（3）或3．【分析】（1）根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似得出，再根據(jù)從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意畫出圖形，分當(dāng)分別在線段上時和當(dāng)分別在射線上時兩種情況加以討論；【詳解】（1）∵與互為母子三角形，∴或2故選：C（2）是的角平分線，，，．又，與互為母子三角形．

（3）如圖，當(dāng)分別在線段上時，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．如圖，當(dāng)分別在射線上時，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．綜上所述，或3【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力．準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進(jìn)行分類討論，避免漏解．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，為的兩條切線，，為切點，的延長線交于點，交的延長線于點，連接，．（1）求證：；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）如圖，作輔助線，證明∠APO=∠BPO得，再由為的直徑可得AB⊥AD，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，由勾股定理得，再證明可求出，從而通過解直角三角形可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接交于點，∵，為的兩條切線，∴，，∴．∵為的直徑，∴，∴．（2）∵，∴設(shè)，則．∵，∴．不妨設(shè)，則．在中，．∵，為的切線，∴．∴，∴．∴，解得．∴．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理與判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是的直徑，是的弦，是的切線，切點為，，的延長線相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接OD，由題意易證△CDO≌△CBO，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證；（2）由題意易得△EDA∽△EBD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及可求解．【詳解】（1）證明：連接OD，如圖所示：AD∥OC，∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又OA=OD，∠DAO=∠ADO，∠COD=∠COB，OD=OB，OC=OC，△CDO≌△CBO，∠CDO=∠CBO，BC是的切線，∠CBO=∠CDO=90°，點D在上，CD是的切線；（2）由（1）圖可得：∠ADO+∠EDA=90°，∠ODB=∠DBO，是的直徑，∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，∠EDA=∠ODB=∠DBO，又∠E=∠E，△EDA∽△EBD，，的半徑為4，，AB=8，EB=AE+8，，解得：．【點睛】本題主要考查圓的切線定理與判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線定理及判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，點分別是的中點，與點．（1）求證：；（2）求的大?。唬?）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）2．【分析】（1）先根據(jù)相似三角形的判定可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差即可得；（3）設(shè)，從而可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可求出a的值，最后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得．【詳解】（1），，在和中，，，，；（2），是等腰直角三角形，，由（1）可知，，，點E是AC的中點，，，在和中，，，，又，，；（3）設(shè)，是等腰直角三角形，，點分別是的中點，，在中，，，由（1）知，，，即，解得，在中，，，在和中，，，，即，解得，又，，解得，，則的面積為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．1．如圖，中，，，，點，分別在，上，，．把繞點旋轉(zhuǎn)，得到，點落在線段上．若點在的平分線上，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)計算可知，結(jié)合定理兩邊成比例且夾角相等的三角形相似證明△PQC∽△BAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；連接AD，根據(jù)PQAB和點D在∠BAC的平分線上可證∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分別表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝＝12．∵＝＝，＝＝，∴＝．∵∠C＝∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ＝∠B，∴PQAB；連接AD，∵PQAB，∴∠ADQ＝∠DAB．∵點D在∠BAC的平分線上，∴∠DAQ＝∠DAB，∴∠ADQ＝∠DAQ，∴AQ＝DQ．∵PD＝PC＝3x，QC=4x∴在Rt△CPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.∴DQ＝2x．∵AQ＝12﹣4x，∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，∴CP＝3x＝6．故選C．【點睛】本題考查幾何變換——旋轉(zhuǎn)綜合題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握定理并能靈活運用是解決此題的關(guān)鍵．2．如圖，正方形ABCD中，△繞點A逆時針轉(zhuǎn)到，，分別交對角線BD于點E，F(xiàn)，若AE=4，則的值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF與△DEA相似，得到對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到，∴∠EAF=∠BAC=45°，∴∠EAF=∠ADB=45°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴EF·ED=AE2，∵AE=4，∴EF·ED=16，故選：C．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出相關(guān)的相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為4和2，∠B＝120°，則圖中陰影部分的面積是（）A．3 B．2 C．4 D．3【答案】D【分析】設(shè)AG交CE于點H，通過得出，即可得出EH的長，將陰影部分的面積分為和的和，分別求出兩個菱形的高即可．【詳解】如圖，設(shè)AG交CE于點H，∵菱形ABCD的邊AB∥CD，∴，∴CH：AB＝GC：GB，即，解得，所以，EH＝CE﹣CH＝∵∠B＝120°，∴∠BCD＝∠FEC＝180°﹣120°＝60°，∴點B到CD的距離為，點F到CE的距離為，∴陰影部分的面積＝S△AEH+S△GEH＝故選：D．【點睛】本題考查菱形與相似三角形的性質(zhì)，將陰影部分的面積拆分成兩部分來解是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．4．如圖，正方形的邊長為2，平分交于E，F(xiàn)是延長線上一點，且，延長線交于G，則的值是．?【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的有關(guān)知識.由等腰三角形的判定與性質(zhì)知BM是等腰三角形的中垂線.根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例、等腰三角形的性質(zhì)列出比例式，即，最后在直角中利用勾股定理來求的值．【詳解】，四邊形是正方形,，又∵平分交于,，,，在和中,，，即，即,即，故答案為：．5．如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．【答案】【分析】延長CB到，使，連接DE，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長CB到，使，連接DE，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．6．如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是．【答案】（答案不唯一，也可以增加條件：或）．【分析】題目中相似的兩個三角形已經(jīng)有一個公共角，可以再增加一對相等的角，用兩組角相等判定兩三角形相似，也可以增加兩組對應(yīng)邊成比例，利用兩組邊對應(yīng)成比例及夾角相等判定兩三角形相似．【詳解】若增加條件：∠ACD=∠ABC，∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解題的關(guān)鍵．7．如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=3，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設(shè)λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長為；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到AE的長，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到EF的長，從而可以得到線段CF的長；（2）證明△ADG≌△FGC，得出點G為CD邊的中點