初中數(shù)學同步九年級上冊滬科版《壓軸題》專題13四類手拉手相似模型含答案及解析

專題13四類手拉手相似模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、任意三角形 1類型二、等腰三角形 4類型三、直角三角形 6類型四、等邊三角形或等腰直角三角形 12壓軸能力測評（10題） 13“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1、利用三邊證相似三角形（1）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．（2）利用三邊成比例判定兩個三角形相似時，一定要注意邊之間注意的對應(yīng)關(guān)系，主要運用短對短、長對長、中間對中間的方法找對應(yīng)邊.另外要注意兩個三角形的先后順序.2.利用兩邊及其夾角判斷兩個三角形是否相似（1）如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．（2）利用兩邊及其夾角判斷兩個三角形是否相似的方法：依據(jù)題目給出的條件，若存在一組角對應(yīng)相等，則需要判斷出該角的兩邊是否成比例.若成比例，則兩個三角形相似；若不成比例，則兩個三角形不相似若存在兩組邊成比例，則需要判斷兩邊的夾角是否相等.若相等，則兩個三角形相似；若不相等，則兩個三角形不相似。3.利用兩角判定兩個三角形相似（1）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．（2）利用兩角判定兩個三角形相似的方法：如果根據(jù)已知條件，在兩個三角形中不能直接找出兩個角分別相等，那么可先結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、對頂角等知識，設(shè)法求出其中一個三角形中的第三個角，再判斷兩個三角形中是否有兩角分別相等，若有，則兩個三角形相似，否則兩個三角形不相似。類型一、任意三角形條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.例．問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點．點在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點，，，，，直接寫出的長．【變式訓(xùn)練1】．在和中，，，且，點E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當時，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當點E在線段CD上時，若，請直接寫出的面積．【變式訓(xùn)練2】．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P是△ABC外一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當α＝60°時，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當α＝90°時，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當α＝90°時，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，點P在線段FE的延長線上，點A，D，P三點在一條直線上，BD交PF于點G，CD交AB于點H.若CD＝2＋，求BD的長．【變式訓(xùn)練3】．（1）嘗試探究：如圖①，在ΔABC中，，，點、分別是邊、上的點，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關(guān)系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展運用：若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段的長．類型二、等腰三角形例．如圖1，在中，，，D，E分別為AB，BC邊上的點，連接DE，且，將繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).(1)觀察猜想：若，將繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則______；(2)類比探究：若將繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，求的值；(3)拓展應(yīng)用：若，D為AB的中點，，如圖4，將繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖5所示位置，請直接寫出線段的長．【變式訓(xùn)練1】．1.問題發(fā)現(xiàn)圖（1），在和中，，，，連接，交于點M.①的值為______；②的度數(shù)為_______．（2）類比探究圖（2），在和中，，，連接，交的延長線于點M，請計算的值及的度數(shù)；（3）拓展延伸在（2）的條件下，若，，將繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周．①當直線經(jīng)過點B且點C在線段上時，求的長；②請直接寫出運動過程中M點到直線距離的最大值．【變式訓(xùn)練2】．觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練3】．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點.填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長線于點.請判斷的值及的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點，若，，請直接寫出當點與點在同一條直線上時的長．

類型三、直角三角形條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.例．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點（不與點B、C重合）將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點A旋轉(zhuǎn)，當點C，D，E在同一直線時，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C對應(yīng)點E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當點C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過點作，交的延長線于點．(1)求證：；(2)如圖2，如果，且，求的值；(3)如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．(1)如圖1，當α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當0°＜α≤360°時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；(3)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．【變式訓(xùn)練3】．某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．類型四、等邊三角形或等腰直角三角形條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例．某校數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點P是邊上任意一點，連接AP，以為邊作等邊，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點P是邊上任意一點，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點P是邊上一點，以為邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為5，，求正方形的邊長．【變式訓(xùn)練1】．在等邊中，為邊上一點，于．(1)如圖1，若，，求的值；(2)如圖2，線段的垂直平分線交于，點為的中點，連接，，，求證：；(3)如圖3，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點為邊上點右邊一動點，連接BM、，當取得最小值時，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，以的兩邊分別向外作等邊和等邊，與交于點P，已知．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)及的長；(3)若點Q、R分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點），連接，作出圖象，求的長．【變式訓(xùn)練3】．某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊上一點，連接，以為腰作等腰，且，連接、則和的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰上一點，連接，以為底邊作等腰，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形中，點是邊上一點，以為邊作正方形，點是正方形兩條對角線的交點，連接．若正方形的邊長為，，請直接寫出正方形的邊長．1．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．點D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點為G．

（1）當點E與點C重合時．

①如圖1，若AD＝BD，求BF的長．②當點D從點A運動到點B時，求點G的運動路徑長．（2）當AE＝3，點G在△DEF一邊所在直線上時，求AD的長．2．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點F，若點F是BC的中點，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．3．如圖，和是有公共頂點直角三角形，，點P為射線，的交點．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點A旋轉(zhuǎn)，當時，請直接寫出的長度4．如圖1，在中，，在斜邊上取一點D，過點D作，交于點E．現(xiàn)將繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）5．數(shù)學課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學們在不同位置嘗試操作．（1）如圖1擺放，當點在上，點在上，得知，，求的長．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，求的面積．（3）如圖3擺放，把這同樣的兩塊三角板的直角頂點互相重合放置，小三角板繞著點旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，當時，求的值．（4）不變，當?shù)娜呴L擴大一倍后，繞點旋轉(zhuǎn)一周，直線與交于點，請你直接寫出點所經(jīng)過的運動路徑．6．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1），在，點D是邊的中點，延長BA到點E，使，連接CE，可得AD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）【探究遷移】如圖（2），在中，，，點為平面內(nèi)一點，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，CF，點為CF的中點，連接DE、，試判斷DE和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，，當時，請直接寫出DE的長．7．在中，，，點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，連接，將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當時，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．8．

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．9．如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點，連接BD，M為BD的中點，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過點M作與AC交于點E，與BC的延長線交于點N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當B'N取得最小值時，直接寫出的值．10．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點D到CP的距離．

專題13四類手拉手相似模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、任意三角形 1類型二、等腰三角形 4類型三、直角三角形 6類型四、等邊三角形或等腰直角三角形 12壓軸能力測評（10題） 13“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1、利用三邊證相似三角形的方法（1）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．（2）利用三邊成比例判定兩個三角形相似時，一定要注意邊之間注意的對應(yīng)關(guān)系，主要運用短對短、長對長、中間對中間的方法找對應(yīng)邊.另外要注意兩個三角形的先后順序.2.利用兩邊及其夾角判斷兩個三角形是否相似的方法（1）如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．（2）利用兩邊及其夾角判斷兩個三角形是否相似的方法：依據(jù)題目給出的條件，若存在一組角對應(yīng)相等，則需要判斷出該角的兩邊是否成比例.若成比例，則兩個三角形相似；若不成比例，則兩個三角形不相似若存在兩組邊成比例，則需要判斷兩邊的夾角是否相等.若相等，則兩個三角形相似；若不相等，則兩個三角形不相似。3.利用兩角判定兩個三角形相似的方法（1）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．（2）利用兩角判定兩個三角形相似的方法：如果根據(jù)已知條件，在兩個三角形中不能直接找出兩個角分別相等，那么可先結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、對頂角等知識，設(shè)法求出其中一個三角形中的第三個角，再判斷兩個三角形中是否有兩角分別相等，若有，則兩個三角形相似，否則兩個三角形不相似。類型一、任意三角形條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.例．問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點．點在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點，，，，，直接寫出的長．【答案】問題背景：見詳解；嘗試應(yīng)用：3；拓展創(chuàng)新：．【分析】問題背景：通過得到，，再找到相等的角，從而可證；嘗試應(yīng)用：連接CE，通過可以證得，得到，然后去證，，通過對應(yīng)邊成比例即可得到答案；拓展創(chuàng)新：在AD的右側(cè)作∠DAE=∠BAC，AE交BD延長線于E，連接CE，通過，，然后利用對應(yīng)邊成比例即可得到答案．【詳解】問題背景：∵，∴∠BAC=∠DAE，，∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴；嘗試應(yīng)用：連接CE，∵，，∴，∴，∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴，∴，由于，，∴，即，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，又∵∴，∴；拓展創(chuàng)新：如圖，在AD的右側(cè)作∠DAE=∠BAC，AE交BD延長線于E，連接CE，∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，∴∠ADE=∠ABC，又∵∠DAE=∠BAC，∴，∴，又∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴，∴，設(shè)CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，∴，，∴，∴，∵，∴，∴【點睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．在和中，，，且，點E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當時，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當點E在線段CD上時，若，請直接寫出的面積．【答案】（1），；（2）不成立，理由見解析；（3）2【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解決問題；（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．由題意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想辦法證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解決問題；（3）首先證明AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解決問題；【詳解】（1）如圖①中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，∴△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=BE2+EC2．故答案為：BD=EC，EA2=EB2+EC2．（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．理由：如圖②中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAB=∠EAC，∵=，=，∴，∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=EC2+BE2，∴EA2=EC2+2BE2．（3）如圖③中，∵∠AED=45°，D，E，C共線，∴∠AEC=135°，∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB=∠AEC=135°，∵∠ADE=∠DBE=90°，∴∠BDE=∠BED=45°，∴BD=BE，∴DE=BD，∵EC=BD，∴AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，∴AC=2，在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴x2+4x2=40，∴x=2（負根已經(jīng)舍棄），∴AD=DE=2，∴BD=BE=2，∴S△BDE=×2×2=2．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．【變式訓(xùn)練2】．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P是△ABC外一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當α＝60°時，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當α＝90°時，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當α＝90°時，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，點P在線段FE的延長線上，點A，D，P三點在一條直線上，BD交PF于點G，CD交AB于點H.若CD＝2＋，求BD的長．【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．【分析】（1）根據(jù)α＝60°時，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與AP所成的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線CD與AP所成的度數(shù)；（3）延長CA，BD相交于點K，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結(jié)論求出AP的長，再利用在Rt△PBD中，設(shè)PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長．【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB∵將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如圖，延長CD交AB，AP分別于點G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案為：1，60；（2）解：如圖，延長CD交AB，AP分別于點M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.∴＝，∠ABC＝∠PBD.

∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.

∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.

即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°.(3)延長CA，BD相交于點K，如圖.∵∠APB＝90°，E為AB的中點，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.∵點E，F(xiàn)為AB，AC的中點，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.

∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD.∴CB＝CK.∴∠BCD＝∠KCD.由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB.∴AD＝BD.由(2)知DC＝AP，∴AP＝.在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1.∴BD＝．【點睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法．【變式訓(xùn)練3】．（1）嘗試探究：如圖①，在ΔABC中，，，點、分別是邊、上的點，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關(guān)系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展運用：若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段的長．【答案】（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性質(zhì)可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，；（2），如圖，連接，延長交于，交于點，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）①如圖，過點作交的延長線于點，∵，，，，∴，，∵，，∴，且三點在同一直線上，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，且，∴，，∴，∴；②如圖，過點作于點，∵，，，，∴，，∵，，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，且，∴，，∴，∴．【點睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．類型二、等腰三角形例．如圖1，在中，，，D，E分別為AB，BC邊上的點，連接DE，且，將繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).(1)觀察猜想：若，將繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則______；(2)類比探究：若將繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，求的值；(3)拓展應(yīng)用：若，D為AB的中點，，如圖4，將繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖5所示位置，請直接寫出線段的長．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，，，可得、均為等邊三角形，可證明，即可得到的值；（2）根據(jù)，，，可得、均為等腰直角三角形，可證明，即可得到的值；（3）根據(jù)，D為AB的中點，，可以得到及的長度，根據(jù)，可得及的長度，利用勾股定理即可確定的長度，根據(jù)圖5可得即可確定的長度；【詳解】（1）解：∵，，，∴、均為等邊三角形，∴，，，即：，∴，在和中，，∴，∴，即：故答案為：（2）∵，，，∴、均為等腰直角三角形，∴，，，即：，∴，在和中，，∴∴即：（3）∵，D為AB的中點，，∴，，∵，與交于點，∴，在中，，∴如圖5所示，【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)全等及相似模型是重點．【變式訓(xùn)練1】．1.問題發(fā)現(xiàn)圖（1），在和中，，，，連接，交于點M.①的值為______；②的度數(shù)為_______．（2）類比探究圖（2），在和中，，，連接，交的延長線于點M，請計算的值及的度數(shù)；（3）拓展延伸在（2）的條件下，若，，將繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周．①當直線經(jīng)過點B且點C在線段上時，求的長；②請直接寫出運動過程中M點到直線距離的最大值．【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的長為；②M點到直線距離的最大值為【分析】（1）直接根據(jù)兩個共頂點的等腰三角形證明，可以證明，最后在和中導(dǎo)角直接可以求解．（2）改變?nèi)切谓Y(jié)構(gòu)，直接通過判定和相似，同樣可以用第一問的方式證明，根據(jù)相似比，求線段比例，最后在和中導(dǎo)角直接可以求解的度數(shù)．（3）深度理解題意，本質(zhì)上問的就是當B，C，D，三點共線時，求的長，在利用，對應(yīng)邊成比例求的長，最值的求解，先找到點和點的軌跡，可以發(fā)現(xiàn)是在兩個圓弧上運動，再利用最大時，則M點到直線距離的最大，直接求解即可．【詳解】（1）①∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：；②設(shè)與交于點F，由①知，，∴，∵，，∴，故答案為：；（2）如下圖，在和中，設(shè)與交于點；∵∠，，∴；∵，即，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，．（3）①如下圖所示，當直線經(jīng)過點B且點C在線段上時；在中，，；過點O作的垂線，垂足為；∴；∵；∴；∴，；在中，由勾股定理得；；∴；∵；∴；即；②如下圖所示，∵，；∴點M的軌跡是圓弧，即點M在圓P上運動，且；要想求出點到直線的最大值，動點距離直線越遠越好，從下圖可以看出，點的軌跡也是圓，點運動極限位置取決于的最大值；∵，；∴的最大值取得當且僅當時；即在中；；∴；過點作的垂線，垂足為；∴；即線段即為所求；在中；；∵；∴；∵；∴；；∴；∴M點到直線距離的最大值為．【點睛】本題主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性質(zhì)綜合，特殊直角三角形為背景的相似三角形的判定和性質(zhì)綜合，利用特殊角的三角函數(shù)解三角形，圓軌跡動態(tài)下求線段的最值，熟練掌握手拉手模型證明三角形全等，數(shù)量掌握相似三角形的判定，特別是兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等類的，對于求點到直線最值類型要注意動點的軌跡尋找和影響最值的主要因素，進而綜合判定求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據(jù)，，得到，從而判定，得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結(jié)論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．【變式訓(xùn)練3】．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點.填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長線于點.請判斷的值及的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點，若，，請直接寫出當點與點在同一條直線上時的長．

【答案】（1）①1；②；（2），．理由見解析；（3）2或4．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；（2）根據(jù)銳角三角比可得，根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，根據(jù)相似撒尿性的性質(zhì)求解即可；（3）當點與點在同一條直線上，有兩種情況：如圖3和圖4，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，可得AD的長．【詳解】（1）①∵，∴∠BOD=∠AOC，又∵，，∴△BOD≌△AOC，∴BD=AC，∴=1；②∵，∴∠OAB+∠OBA=140°，∵△BOD≌△AOC，∴∠CAO=∠DBO，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，∴∠AMB=；（2）如圖2，，．理由如下：中，，，，同理得：，，，，，，∠CAO=∠DBO，∵∠BEO+∠DBO=90°，∴∠CAE+∠AEM=90°，∴∠AMB=90°；（3）∵∠A=30°，，∴OA==3．如圖3，當點D和點A在點O的同側(cè)時，∵，∴AD=3-2=2；如圖4，當點D和點A在點O的兩側(cè)時，∵，，OA=3∴AD=3+1=4．綜上可知，AD的長是2或4．【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．類型三、直角三角形條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.例．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點（不與點B、C重合）將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點A旋轉(zhuǎn)，當點C，D，E在同一直線時，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C對應(yīng)點E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當點C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段的長度為．【分析】（1）由題意易得，，從而可證，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；（2）連接BD，由題意易得，進而可證，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；（3）如圖，過A作，由題意可知，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證，最后根據(jù)勾股定理及等積法進行求解即可．【詳解】解：（1）在中，，，，，即，在和中，，，，，，故答案為：；（2），理由：如圖2，連接BD，∵在和中，，，，，，∵，，，，，∴；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，由題意可知，，∴，即，，，，，，，在中，，，，，，，，2×，．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進而求解．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過點作，交的延長線于點．(1)求證：；(2)如圖2，如果，且，求的值；(3)如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)，或，【分析】（1）由題意：，證明即可解決問題．（2）延長交于點．證明，可得，，由，可得．（3）因為與相似，，所以中必有一個內(nèi)角為因為是銳角，推出．接下來分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，平分，，同理，，，，．（2）解：延長交于點．，，平分，，，，，，，．（3）與相似，，中必有一個內(nèi)角為是銳角，．①當時，，，，，此時．②當時，，，與相似，，此時．綜上所述，，．，．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．(1)如圖1，當α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當0°＜α≤360°時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；(3)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)P點運動軌跡的長度是π；P點到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長公式可求P點運動軌跡的長度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點到直線BC距離的最大值即可．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE∵點D，E分別為AC，BC的中點∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴，∵△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°，

∴點P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點G，作⊙G，以點C為圓心，CE為半徑作⊙C，當BE是⊙C切線時，點P到BC的距離最大，過點P作PH⊥BC，交BC的延長線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，

∴∠GBP＝30°，

∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，

∴∠BGP＝120°，∵點P的運動軌跡為點C→點P→點C→點B→點C，∴P點運動軌跡的長度＝×2＝π，∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．

∴P點到直線BC距離的最大值．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；（3）連接BD，如圖（見詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由對應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長，接著設(shè)正方形ABCD的邊長為x，運用勾股定理列出方程即可求得答案．【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：判斷，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，如圖所示，

∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點Q，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設(shè)，則，又∵正方形的邊長為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長為3．【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進行證明是解題的關(guān)鍵．類型四、等邊三角形或等腰直角三角形條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例．某校數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點P是邊上任意一點，連接AP，以為邊作等邊，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點P是邊上任意一點，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點P是邊上一點，以為邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為5，，求正方形的邊長．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)4【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）先證明，得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接、，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】（1）問題發(fā)現(xiàn)：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）變式探究：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解決問題：如圖3，連接、，∵四邊形是正方形，∴，，∵Q是正方形的中心，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，（舍去），，∴正方形的邊長為：．【變式訓(xùn)練1】．在等邊中，為邊上一點，于．(1)如圖1，若，，求的值；(2)如圖2，線段的垂直平分線交于，點為的中點，連接，，，求證：；(3)如圖3，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點為邊上點右邊一動點，連接BM、，當取得最小值時，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，可得，在中，求出，，進而在中求出．（2）延長至H，使，連接，，易得，再證明，可得是等邊三角形，從而可得，即可得出結(jié)論；（3）延長到，使，連接、，，由旋轉(zhuǎn)相似模型可以證明，從而可得，即點M直線上運動，根據(jù)將軍飲馬模型可得當、M、C三點共線，點N與C點重合時，此時最小，最小值為，根據(jù)最小值的圖形解三角形即可求解．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，∴，在中，，，∴，在中，，則；（2）證明：延長至H，使，連接，，如圖，∵點G為AD的中點，∴．，在和中，，∴，∴，，∴，∴∵，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵點F在線段CD的垂直平分線上，∴，，，在和中，，∴∴，，∴，∴是等邊三角形，，∴，，∴；（3）如圖3-1，延長到，使，連接、，，∴，又∵在等邊中，，∴，由旋轉(zhuǎn)可知：，，∴，∴，∴，又∵，即，∴∴，∴，∴點M直線上運動，作點B關(guān)于MG的對稱點，連接、、、，由對稱性質(zhì)可知：，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即：，∴當、M、C三點共線，點N與C點重合時，如圖3-2，此時最小，最小值為，設(shè)邊長為，作，垂足為K，作，垂足為H，∴，，∵，，∴，，∵，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴.【點睛】本題主要考查了解三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)和判定等，解題（2）關(guān)鍵倍長中線構(gòu)造全等三角形證明是等邊三角形，解題（3）關(guān)鍵利用旋轉(zhuǎn)相似模型構(gòu)造，證明，即點M直線上運動，由將軍飲馬模型得出最小值時M、N的位置上．【變式訓(xùn)練2】．如圖，以的兩邊分別向外作等邊和等邊，與交于點P，已知．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)及的長；(3)若點Q、R分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點），連接，作出圖象，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）證即可求證；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)；在上取點F，使，根據(jù)（1）中證明過程可證，即可求解；（3）過點Q作于G，設(shè)，根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進一步可證，即可求解．【詳解】（1）證明：∵和都為等邊三角形，∴∴，即，∴（2）解：∵；∴，設(shè)交于O，∵，∴；如圖①在上取點F，使，

同（1）可得∴為等邊三角形，∴；（3）解：

如圖②，過點Q作于G，設(shè)，∵點Q、R分別是等邊和等邊的重心，∴∵，∴，∴，∴，∴【點睛】本題以“手拉手”全等三角形模型為背景，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．熟記相關(guān)結(jié)論進行幾何推理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊上一點，連接，以為腰作等腰，且，連接、則和的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰上一點，連接，以為底邊作等腰，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形中，點是邊上一點，以為邊作正方形，點是正方形兩條對角線的交點，連接．若正方形的邊長為，，請直接寫出正方形的邊長．【答案】(1)(2)(3)6【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到和的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到和的數(shù)量關(guān)系；（3）連接BD，先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由對應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段的長，接著設(shè)正方形的邊長為x，運用勾股定理列出方程即可求得答案．【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：結(jié)論：，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，如圖所示，∵四邊形與四邊形是正方形，DE與交于點，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設(shè)，則，又∵正方形的邊長為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長為6．【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進行證明是解題的關(guān)鍵．1．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．點D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點為G．

（1）當點E與點C重合時．

①如圖1，若AD＝BD，求BF的長．②當點D從點A運動到點B時，求點G的運動路徑長．（2）當AE＝3，點G在△DEF一邊所在直線上時，求AD的長．【答案】（1）①；②（2）或或或【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)，易證AC＝BC，∠A＝45°，利用解直角三角形求出AC，BC的長，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證得△DCF是等腰直角三角形，從而可求出DF的長，再證明DF∥BC，可得到四邊形DFCB是平行四邊形，利用平行四邊形的對角線的性質(zhì)，可證得BF＝2GF，DC＝2CG，繼而可求出CG的長，然后利用勾股定理求出GF的長，從而可求出BF的長；②如圖，連接AF，取AB的中點T，連接GT，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，利用SAS證明△ACF≌△BCD，利用全等三角形的性質(zhì)可得到∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，從而可證AF⊥AB，即可得到TG∥AF，就可推出TG⊥AB，由此可得點G的運動軌跡是Rt△ABC斜邊的中線，即可求出點G的運動路徑長．（2）分情況討論：當點G在直線EF上時，過點D作DJ⊥AC于點J，設(shè)AJ＝DJ＝x，則EJ＝3－x，易證△DEJ∽△EBC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到AJ，DJ的長，在等腰直角△ADJ中，利用解直角三角形求出AD的長；當點G在直線DF上時，利用解直角三角形求出AD的長；當點G在直線DE上時，過點F作FT⊥CA交CA的延長線于點T，過點G作GK⊥AC于點K，過點D作DJ⊥AC于點J，設(shè)FT＝AT＝y(tǒng)，用含y的代數(shù)式表示出KG，EK的長，再證明△FET∽△EGK，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于y的方程，解方程求出y的值，就可得到TF，TE的長，然后求出DJ的長，利用解直角三角形求出AD的長；當點G在直線DF上時，點D與點B重合，求出AD的長即可．【詳解】（1）解：如圖，

①當點E與點C重合時．∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠A＝45°，∴AC＝BC＝ABsin∠A＝sin45°＝；∵將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，∴∠DCE＝90°，DE＝CF∴△DCF是等腰直角三角形，∵AD＝CD＝CF＝BD＝，∠DFC＝∠CDF＝45°∴∴BC＝DF，∴∠A＝∠DCA＝45°，∴∠ADC＝180°－45°－45°＝90°，∴∠ADF＝90°－45°＝45°＝∠ABC∴DF∥BC∴四邊形DFCB是平行四邊形，∴BF＝2GF，DC＝2CG∴CG＝在Rt△EFG中∴BF＝；②如圖，連接AF，取AB的中點T，連接GT

∵△ACB和△CDF是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，

∴∠ACF＝∠BCD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，∴∠BAF＝∠CAF＋∠CAB＝90°，∴AF⊥AB，∵AT＝TB，BG＝GF，∴TG∥AF，∴TG⊥AB，∴點G的運動軌跡是Rt△ABC斜邊的中線，運動的路徑的長為；（2）解：如圖，當點G在直線EF上時，過點D作DJ⊥AC于點J，

設(shè)AJ＝DJ＝x，則EJ＝3－x，∵∠DJE＝∠C＝∠DEB＝90°，∴∠DEJ＋∠CEB＝90°，∠CEB＋∠CBE＝90°，∴∠DEJ＝∠CEB∴△DEJ∽△EBC∴∴解之：∴∴；當點G在直線DF上時，

由題意得：當點G在直線DE上時，過點F作FT⊥CA交CA的延長線于點T，過點G作GK⊥AC于點K，過點D作DJ⊥AC于點J，

設(shè)FT＝AT＝y(tǒng)，∵GK∥FT∥BC，GF＝GB，∴TK＝KC，∴∴∵∠T＝∠GKE＝∠FEG＝90°，易證∠FET＝∠EGK∴△FET∽△EGK∴∴整理得：2y2＋9y－6＝0解之：（取正值），∴易證△FET≌△EDJ，∴當點G在直線DF上時，點D與點B重合，此時

∴AD的長為或或或．【點晴】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題，2．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點F，若點F是BC的中點，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)22.5°(2)見解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，詳見解析【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得∠B=∠CAF=45°，再由三角形外角性質(zhì)知∠ACE=∠BCF，代入求值即可；（2）連接AF，過A作AH⊥EF，由手拉手相似得△ACD∽△AFH，得∠CDF=∠BAC，再由∠ADE=90°－∠DAE，等量代換即可得證；（3）將AN繞A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長線于Q，證明△ACQ≌△ABN，得AN=AQ，再證明△AND≌△AQD，得∠ADQ=∠AND，由對頂角相等得∠ADM=∠ADE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等量代換即可解答．【詳解】（1）解：∵△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，由三角形外角性質(zhì)知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案為：22.5°．（2）解：連接AF，過A作AH⊥EF于H，如圖所示，∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，∴∠CAD=∠HAF，由△ACF∽△ADH知，∴，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，故∠ADC=90°，即AD⊥CD．（3）解：將AN繞A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長線于Q，∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，∵AD=AE，∴∠DAE+2∠ADE=180°，即∠DAE+2∠ADM=180°．【點睛】本題綜合考查了等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換與全等三角形判定，難度較大．根據(jù)已知條件，構(gòu)造手拉手的相似與全等模型是解題關(guān)鍵．3．如圖，和是有公共頂點直角三角形，，點P為射線，的交點．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點A旋轉(zhuǎn)，當時，請直接寫出的長度【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）PB的長為或．【分析】（1）由條件證明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，進而得出BD⊥CP；（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；(3)分為點E在AB上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行證明即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAD=∠CAE．∵和是等腰直角三角形，∴，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠CAB=90°，∴∠ACF+∠AFC=90°，∴∠ABP+∠BFP=90°．∴∠BPF=90°，∴BD⊥CP；（2）（1）中結(jié)論成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=AC，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=AE，∴∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD=∠ACE同（1）得；（3）解：∵和是等腰直角三角形，∴，①當點E在AB上時，BE=AC-AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE=．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴∴．∴PB=．②當點E在BA延長線上時，BE=5．∵∠EAC=90°，∴CE=5．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴．∴．∴PB=．綜上所述，PB的長為或．【點睛】此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵．4．如圖1，在中，，在斜邊上取一點D，過點D作，交于點E．現(xiàn)將繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進而得出結(jié)論；②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2，在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【點睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．5．數(shù)學課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學們在不同位置嘗試操作．（1）如圖1擺放，當點在上，點在上，得知，，求的長．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，求的面積．（3）如圖3擺放，把這同樣的兩塊三角板的直角頂點互相重合放置，小三角板繞著點旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，當時，求的值．（4）不變，當?shù)娜呴L擴大一倍后，繞點旋轉(zhuǎn)一周，直線與交于點，請你直接寫出點所經(jīng)過的運動路徑．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）．【分析】（1）根據(jù)題意算出的長，利用直角三角形心中對應(yīng)的邊等于斜邊的一半求出，同理求出，再作差即可；（2）過點作于點，求出、AC即可求出；（3）延長AM，BC交于點D，作延長BN使得，利用旋轉(zhuǎn)相似證明，得，再三角形中通過角之間的關(guān)系來證明，得四邊形是矩形，再根據(jù)條件及勾股定理求解；（4）確定的軌跡是以為直徑的圓弧，，求出最大值為，由此得出路徑所對圓心角為120°，從而求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．（2）過點作于點，∵，，，∴，.，即的面積．（3）I．若點M在外，延長BN交AM于點H，交AC于點G，由（1）得中，，，，在中，，，，∵，，∴，∴，又∵，，∴∴，又∵，，，又∵，，∴四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴∴；II．若點M在內(nèi)部，則如圖3-2：同理可求：∴，，∴∴；（4）不變，當?shù)娜呴L擴大一倍后，∴在中，，，，同（3）理可證明，∴直線與交點所經(jīng)過的運動路徑是以為直徑的圓弧，當M點在AC右側(cè)時，如圖4-1：當CM⊥AM時最大，此時，∴當CM⊥AM時，此時AM與AB重合，B點與H點重合；當M點在AC左側(cè)時，如圖4-2：當CM⊥AM時，最大，此時，∴當CM⊥AM時，此時；故如圖所示：直線與交點所經(jīng)過的運動路徑為，弧長．【點睛】本題考查了含的直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)相似、點的運動路徑等知識點，綜合性強，題目較難，解題的關(guān)鍵是：能利用勾股定理及銳角三角函數(shù)知識解直角三角形；針對旋轉(zhuǎn)問題，要添加適當?shù)剌o助線．6．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1），在，點D是邊的中點，延長BA到點E，使，連接CE，可得AD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）【探究遷移】如圖（2），在中，，，點為平面內(nèi)一點，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，CF，點為CF的中點，連接DE、，試判斷DE和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，，當時，請直接寫出DE的長．【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）或．【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)相似模型；解題關(guān)鍵是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似模型轉(zhuǎn)換線段關(guān)系．（1）根據(jù)三角形中位線可直接得出結(jié)論；（2）延長至點，使，連接、，根據(jù)旋轉(zhuǎn)相似模型證明，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)當時，可得點在直線，點在直線，再由不同位置分兩種情況討論，結(jié)合（2）的結(jié)論即可解答．【詳解】（1）解：∵，，∴，；（2）結(jié)論：，理由∶如圖2-1，延長至點，使，連接、，∵點為的中點，∴由題意∶，∴，由旋轉(zhuǎn)知∴，∴，∴∵，，∴，即：，∴，∴，∴∴（3）當時，∵，即：，∴，又∵，∴點在直線，當點在線段上時，如圖2-2，∵，∴點在直線，∵，，，∴，，∴，∴；當點在線段延長線上時，如圖2-2，同理可證：點在直線，點在直線，，，∴，∴；綜上所述：DE的長為或．7．在中，，，點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，連接，將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當時，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．【答案】(1)1，；(2)，，理由見