初中數(shù)學(xué)同步九年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題08反比例函數(shù)的五類模型含答案及解析

專題08反比例函數(shù)的五類模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類型一、定值矩形與三角形 3類型二、平行線之間的定值三角形 4類型三、重疊型定值矩形、定值三角形 5類型四、喇叭三角形 6類型五、中點(diǎn)模型 7壓軸能力測(cè)評(píng) 81.定值矩形與三角形條件：P.Q為反比例函數(shù)y＝kx結(jié)論：S△NOP＝S△OQM＝122.平行線之間的定值三角形條件：3.重疊型定值矩形、定值三角形條件：4.喇叭三角形條件：5.中點(diǎn)模型條件：類型一、定值矩形與三角形例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)AB上的兩點(diǎn)A，P，其中P為AB的中點(diǎn)，的面積為8，則k的值為．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，軸于點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象與線段相交于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，若的面積為3，則的值為．【變式訓(xùn)練2】．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，若矩形的面積為3，則該反比例函數(shù)的解析式（解析式也稱表達(dá)式）為．【變式訓(xùn)練3】．如圖，A，B兩點(diǎn)在雙曲線y＝上，分別經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)向軸作垂線段，已知陰影小矩形的面積為1，則空白兩小矩形面積的和S1+S2＝．類型二、平行線之間的定值三角形例．如圖，直線y＝mx與雙曲線y＝交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為M，N，連接BM，AN．若S四邊形AMBN＝1，則k的值是．【變式訓(xùn)練1】．點(diǎn)A，B分別是雙曲線上的點(diǎn)，軸正半軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD，BC，若四邊形ACBD是面積為12的平行四邊形，則．【變式訓(xùn)練2】．如圖，過(guò)軸正半軸上的任意一點(diǎn)，作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．若是軸上的任意一點(diǎn)，連接，，則的面積為．【變式訓(xùn)練3】．如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是反比例的數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x軸，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)則m﹣n的值為．類型三、重疊型定值矩形、定值三角形例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形AOBC的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，將該菱形向上平移，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中兩菱形重疊部分（陰影部分）的面積為．【變式訓(xùn)練1】．已知點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，四邊形為平行四邊形．將沿y軸向上平移，使點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖像上的D點(diǎn)，則兩個(gè)平行四邊形重疊部分的面積為．【變式訓(xùn)練2】．在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)與的圖象和正方形，原點(diǎn)O與對(duì)角線，的交點(diǎn)重疊，且如圖所示的陰影部分面積為8，則【變式訓(xùn)練3】．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，連接，若（分別為和中空白部分的面積），S陰影＝1，則k的值為．類型四、喇叭三角形例．如圖，點(diǎn)、是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，且．連接、，若，則的值為；【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線分別與函數(shù)的圖象交點(diǎn)、兩點(diǎn)，連接，若的面積為12，則的值為．【變式訓(xùn)練2】．如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱中心M，連接．若的面積為6，則k的值為．【變式訓(xùn)練3】．如圖，點(diǎn)，為反比例函數(shù)的圖象第一象限上的兩點(diǎn)，連結(jié)，并延長(zhǎng)，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，D，連結(jié)，，，．若四邊形的面積為16，則k的值為．類型五、中點(diǎn)模型例．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，與交于點(diǎn)F．若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，則m的值為．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，，，是分別以，，，為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)，，，，均在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練2】．以平行四邊形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，為邊上一點(diǎn)，，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．（1）若為的中點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)為的等分點(diǎn)，時(shí)，則值．（用含的代數(shù)式表示）【變式訓(xùn)練3】．如圖，正方形放置在直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和邊的中點(diǎn)，已知，則的值為．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，連接、．若的面積為，則的值為．2．如圖，，是雙曲線上的兩點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)若為的中點(diǎn)，的面積為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為．3．如圖，點(diǎn)，在雙曲線上，連接．若，則k的值是．4．如圖，A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，若的面積為5，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則的值為．5．如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，過(guò)點(diǎn)、分別向軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)、，那么四邊形的面積是．6．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，且的面積為，的面積為，則的面積為．7．如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，的直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)斜邊的中點(diǎn)．為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若，則的值為．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，，且頂點(diǎn)A、B、D都在反比例函數(shù)的圖象上，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．9．如圖，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，過(guò)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，分別在矩形的外側(cè)構(gòu)造矩形，．若是的中點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為7，則的值為．10．如圖，函數(shù)圖象上兩點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別是a，b，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（用含a，b的代數(shù)式表示）．

專題08反比例函數(shù)的五類模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類型一、定值矩形與三角形 3類型二、平行線之間的定值三角形 6類型三、重疊型定值矩形、定值三角形 10類型四、喇叭三角形 14類型五、中點(diǎn)模型 19壓軸能力測(cè)評(píng) 261.定值矩形與三角形條件：P.Q為反比例函數(shù)y＝kx結(jié)論：S△NOP＝S△OQM＝122.平行線之間的定值三角形條件：3.重疊型定值矩形、定值三角形條件：4.喇叭三角形條件：5.中點(diǎn)模型條件：類型一、定值矩形與三角形例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)AB上的兩點(diǎn)A，P，其中P為AB的中點(diǎn)，的面積為8，則k的值為．【答案】【分析】由題意直接根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義解答即可，即求出三角形面積即可．【詳解】解：如圖，連接，作軸，垂足為E，軸，垂足為D，∵P為AB的中點(diǎn)，∴，,∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、P，∴∴∴∴，∴∵反比例函數(shù)的圖象在第二象限，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)k值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，軸于點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象與線段相交于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，若的面積為3，則的值為．【答案】3【分析】連接OC，如圖，利用三角形面積公式得到，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)確定k的值．【詳解】連接OC，如圖，∵軸于點(diǎn)A，C是線段AB的中點(diǎn)，∴，而，∴，而，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，若矩形的面積為3，則該反比例函數(shù)的解析式（解析式也稱表達(dá)式）為．【答案】【分析】因?yàn)镻點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，故點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之積是k，而點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值又對(duì)應(yīng)矩形的長(zhǎng)OM、寬ON，由已知條件“矩形的面積為3”，即OM·ON=3，從而建立k的方程，求出k的值即可得到該反比例函數(shù)的解析式．【詳解】解：設(shè)P的坐標(biāo)是，∵P在上，∴，又矩形的面積為3，∴，即，由于點(diǎn)P在第二象限，故，，∴，即，∴，∴該反比例函數(shù)的解析式是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式中比例系數(shù)k的幾何意義．要求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是確定比例系數(shù)k．一般而言，只須把函數(shù)圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入所設(shè)函數(shù)解析式中，即可求出k．但有時(shí)候只需知道該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之積即可．因?yàn)橛珊瘮?shù)解析式變形可知：．本題借助“矩形的面積為3”這一條件間接給出了點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之積，這是解題的關(guān)鍵．通過(guò)本題我們可以總結(jié)得出反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義：一般地，對(duì)于反比例函數(shù)上的任意一點(diǎn)，它與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于．【變式訓(xùn)練3】．如圖，A，B兩點(diǎn)在雙曲線y＝上，分別經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)向軸作垂線段，已知陰影小矩形的面積為1，則空白兩小矩形面積的和S1+S2＝．【答案】4【分析】欲求S1+S2，只要求出過(guò)A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段求出與坐標(biāo)軸所形成的矩形的面積即可，而矩形面積為雙曲線y=的系數(shù)k，由此即可求出S1+S2．【詳解】解：∵點(diǎn)A、B是雙曲線y=上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段，則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個(gè)矩形的面積都等于|k|=3，∴S1+S2=3+3-1×2=4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及任一點(diǎn)坐標(biāo)的意義，有一定的難度．類型二、平行線之間的定值三角形例．如圖，直線y＝mx與雙曲線y＝交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為M，N，連接BM，AN．若S四邊形AMBN＝1，則k的值是．【答案】【分析】先證明四邊形AMBN是平行四邊形，的面積實(shí)際上就是面積的2倍，則S△ABM＝，結(jié)合圖象可知．【詳解】解：∵OA=OB，ON=OM，∴四邊形AMBN是平行四邊形，∵S四邊形AMBN＝1，∴S△ABM＝，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），∴B的坐標(biāo)為（?x，?y），∴×2x×y＝，∴xy＝，∴k＝xy＝．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的比例系數(shù)等于在它上面的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．點(diǎn)A，B分別是雙曲線上的點(diǎn)，軸正半軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD，BC，若四邊形ACBD是面積為12的平行四邊形，則．【答案】6【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，從而有，然后根據(jù)k的幾何意義求解即可．【詳解】如圖，∵點(diǎn)A，B分別是雙曲線上的點(diǎn)，軸正半軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，．∵四邊形ACBD是面積為12的平行四邊形，，∴A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及k的幾何意義，掌握平行四邊形的性質(zhì)以及k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，過(guò)軸正半軸上的任意一點(diǎn)，作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．若是軸上的任意一點(diǎn)，連接，，則的面積為．【答案】7【分析】根據(jù)兩平行直線之間共底三角形的面積相等可知，當(dāng)C點(diǎn)位于O點(diǎn)時(shí)，△ABC的面積與△ABO的面積相等，再根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】連接OA、OB，軸，和同底邊AB，，，反比例函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)，，，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)上一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，與原點(diǎn)構(gòu)成的矩形的面積為這個(gè)結(jié)論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是反比例的數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x軸，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)則m﹣n的值為．【答案】4【分析】連接AO，BO，將△ABC面積轉(zhuǎn)化為△ABO的面積，再通過(guò)求解．【詳解】解：連接，∵AB⊥x軸，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)，∴ABy軸，∴S△ABC＝S△ABO＝2，∴．＞＜∴即m﹣n＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，掌握?qǐng)D形面積與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型三、重疊型定值矩形、定值三角形例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形AOBC的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，將該菱形向上平移，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中兩菱形重疊部分（陰影部分）的面積為．【答案】/【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，由點(diǎn)A坐標(biāo)求出，，求得，從而可求出陰影部分的面積【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，∵,∴,∴∵在上，∴，∴；∵四邊形是菱形，∴由平移得，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為∴∴∴陰影部分的面積為：,故答案為：【變式訓(xùn)練1】．已知點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，四邊形為平行四邊形．將沿y軸向上平移，使點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖像上的D點(diǎn)，則兩個(gè)平行四邊形重疊部分的面積為．【答案】【分析】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，直線與雙曲線的交點(diǎn)的求法．先將點(diǎn)A，B代入和，求出反比例函數(shù)解析式，利用平行四邊形性質(zhì)求出，設(shè)C點(diǎn)往上平移后為，代入，求出，根據(jù)平移的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，由此可求出兩個(gè)平行四邊形重疊部分的平行四邊形的面積．【詳解】解：把點(diǎn)A代入，得，即為，把B代入，得，即為，點(diǎn)A、B，，，，設(shè)C點(diǎn)往上平移后為，在上，，∴，平行四邊形沿y軸向上平移個(gè)單位，設(shè)直線的解析式為，代入A，得，即直線的解析式為，如圖，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)，到距離為，重疊的陰影部分的面積為．故答案為：．【變式訓(xùn)練2】．在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)與的圖象和正方形，原點(diǎn)O與對(duì)角線，的交點(diǎn)重疊，且如圖所示的陰影部分面積為8，則【答案】4【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，正方形的性質(zhì)，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為正方形的面積的一半，再求出解即可．【詳解】由圖象可知反比例函數(shù)與的圖象和正方形具有中心對(duì)稱性，可知圖中y軸左側(cè)正方形內(nèi)部非陰影等于右側(cè)正方形內(nèi)陰影部分的面積，所以正方形的面積，解得．故答案為：4．【變式訓(xùn)練3】．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，連接，若（分別為和中空白部分的面積），S陰影＝1，則k的值為．【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵；利用，根據(jù)題意，即可求解【詳解】解：由題意，知和都是直角三角形，，

，，，由圖，可知，故答案為：類型四、喇叭三角形例．如圖，點(diǎn)、是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，且．連接、，若，則的值為；【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．設(shè)，其中，則由B是中點(diǎn)可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)C在y軸上，得m與n的關(guān)系，從而得D、E的坐標(biāo)；連接，則得，根據(jù)，則可求得k的值．【詳解】解：設(shè)，其中，由于點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則；因點(diǎn)C在y軸上，則，∴；即，；∵軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，且∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為，E點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，；如圖，連接，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴；∵，∴，即，整理得：，解得：；故答案為：．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線分別與函數(shù)的圖象交點(diǎn)、兩點(diǎn)，連接，若的面積為12，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用兩直線k值相等兩直線平行得到，代入數(shù)據(jù)求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，繼而求出A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后得到k值即可．【詳解】解：如圖，連接，直線的解析式為直線，，兩條直線的k值相等，，，，將代入正比例函數(shù)得，，在反比例函數(shù)圖象上，．故答案為：．【變式訓(xùn)練2】．如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱中心M，連接．若的面積為6，則k的值為．【答案】【分析】由題意知延長(zhǎng)則經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，設(shè)，則，確定點(diǎn)，然后結(jié)合圖形及反比例函數(shù)的k的幾何意義，得出，再代入求解即可．本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，割補(bǔ)法處理三角形面積，數(shù)形結(jié)合的思想以及方程思想是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵四邊形是矩形，∴，設(shè)點(diǎn)，∵矩形的對(duì)稱中心為M，∴延長(zhǎng)則經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，，∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案為：．【變式訓(xùn)練3】．如圖，點(diǎn)，為反比例函數(shù)的圖象第一象限上的兩點(diǎn)，連結(jié)，并延長(zhǎng)，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，D，連結(jié)，，，．若四邊形的面積為16，則k的值為．【答案】【分析】如圖，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，證明四邊形是平行四邊形，可得，證明，再建立方程求解即可；【詳解】解：如圖，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，∵點(diǎn)，為反比例函數(shù)的圖象第一象限上的兩點(diǎn)，連結(jié)，并延長(zhǎng)，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，D，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形的面積為16，∴，∵，∴，∵，，∴，解得：，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，的幾何意義，熟練的利用的幾何意義解題是關(guān)鍵.類型五、中點(diǎn)模型例．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，與交于點(diǎn)F．若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，則m的值為．【答案】/【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)得到，，設(shè)，再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式解方程求得，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為和直線的表達(dá)式為，聯(lián)立方程組求得，然后利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得m值即可．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，則，，，∵沿折疊得到，∴，，設(shè)，則，，解得，，則，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，∵，∴直線的表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，解得，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、折疊性質(zhì)、兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式、解方程等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想建立各知識(shí)的聯(lián)系是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，，，是分別以，，，為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)，，，，均在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．分別過(guò)點(diǎn)，，，作軸的垂線，垂足分別為，，，，設(shè)，則，點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，再根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上可求出，進(jìn)而得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，設(shè)，同理，則點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，然后可求出，進(jìn)而得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，則，點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，然后求出，進(jìn)而得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，以此類推即可點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】解：分別過(guò)點(diǎn)，，，作軸的垂線，垂足分別為，，，，如下圖所示：是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，設(shè)，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，（舍去負(fù)值），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，設(shè)，同理，則點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，即，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，則，點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，即，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，以此類推，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．故答案為：；．【變式訓(xùn)練2】．以平行四邊形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，為邊上一點(diǎn)，，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．（1）若為的中點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)為的等分點(diǎn)，時(shí)，則值．（用含的代數(shù)式表示）【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)與平行四邊形性質(zhì)的綜合題，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，（1）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，，則，利用30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，則，在中，利用30度角的直角三角形的性質(zhì)得到求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，進(jìn)而D的橫坐標(biāo)為，則，求得即可求解．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，∴，則；∵四邊形是平行四邊形，∴，即軸，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)D為為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，將代入中，則，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為，故答案為：；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，，設(shè)，則，，，則，，，,，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)中，得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，，．故答案為：．【變式訓(xùn)練3】．如圖，正方形放置在直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和邊的中點(diǎn)，已知，則的值為．【答案】/【分析】設(shè)，則，，過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸于，證明，得，，從而得點(diǎn)，則，證明，得，，得點(diǎn)，進(jìn)而求出點(diǎn)，則，可得，解出即可得解．【詳解】解：∵點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸于，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，∴，整理得：t2﹣3t﹣8＝0，解得：，或（不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，反比例函數(shù)的圖像，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，理解函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式，滿足函數(shù)解析式的點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，連接、．若的面積為，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與三角形的綜合，掌握反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，可求出的長(zhǎng)，點(diǎn)在軸上，可知，點(diǎn)到線段的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，∴設(shè)，∵過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，∴，點(diǎn)到線段的長(zhǎng)為，∵的面積為，∴，∴，故答案為：．2．如圖，，是雙曲線上的兩點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)若為的中點(diǎn)，的面積為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為．【答案】6【分析】本題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，關(guān)鍵是利用的面積轉(zhuǎn)化為△的面積，然后即可得出k的值，然后再把代入反比例函數(shù)上，即可得出m的值．【詳解】解：∵D為的中點(diǎn)，的面積為3，∴的面積為6，∴．∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∴故答案為：6．3．如圖，點(diǎn)，在雙曲線上，連接．若，則k的值是．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義．過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)C，連接，依據(jù)，即可得到k的值．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)C，連接．∵點(diǎn)，在雙曲線上，∴，即，∴點(diǎn)，，則，∵，∴，即，解得：或6，∵雙曲線位于第二，四象限內(nèi)，∴，∴．故答案為：4．如圖，A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，若的面積為5，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則的值為．【答案】10【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，幾何意義的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．由三角形等底同高面積相等，得出，，再由幾何意義求出k，即可求出m．【詳解】解：∵且D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，由幾何意義得，，∵，∴，∵點(diǎn)B是雙曲線上的點(diǎn)，∴，即．故答案為：10．5．如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，過(guò)點(diǎn)、分別向軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)、，那么四邊形的面積是．【答案】2【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)關(guān)系k的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出矩形的面積為1，矩形的面積是3，則矩形的面積為．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，軸，則點(diǎn)在同一直線上，∵點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，∴矩形的面積為1，矩形的面積是3，∴矩形的面積為，故答案為：2．6．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，且的面積為，的面積為，則的面積為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用面積將線段和用含有、的代數(shù)式表示出來(lái)，進(jìn)而將線段和BD也用的代數(shù)式表示出，利用面積公式即可求出．本題考查了反比例函數(shù)中值的幾何意義，，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)之積等于．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，，，，，，，．故答案為：．7．如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，的直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)斜邊的中點(diǎn)．為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若，則的值為．【答案】4【