初中數(shù)學(xué)同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題14全等三角形中動點問題的四種類型含答案及解析

專題14全等三角形中動點問題的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、分類討論的動點問題 1類型二、分動點相遇問題 3類型三、動點中的線段關(guān)系 5類型四、動點與面積 7壓軸能力測評 9全等三角形中的動點問題，通過點的運動，用代數(shù)式表示線段的大小，從而尋找線段間的等量關(guān)系，建立方程，進而快速解題。策略：①明晰點的運動方向和運動速度；②根據(jù)已知和求證的目標，尋求線段或角之間的數(shù)量關(guān)系，進而解決問題。注意：很多情況下，在不明確對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的時候，注意分類討論的問題。類型一、分類討論的動點問題例．如圖（1），，，，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．它們運動的時間為．(1)如圖（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，①與是否全等，請說明理由；②判斷線段和線段的關(guān)系？(2)如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其他條件不變，設(shè)點的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B分別為x軸負半軸和y軸正半軸上一點，；(1)分別求出A、B兩點的坐標；(2)點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，運動時間為t秒．點P在動過程中，若，求此時t的值；(3)在（2）的條件下，連接，過點A作垂足為C，交y軸交于點M，在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使以B、A、M為頂點的三角形與全等（點N不與點M重合），若存在，請求出N點坐標，若不存，在請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，，．點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動，點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動．點和點分別以和的速度同時開始運動，兩點都要到達相應(yīng)的終點時才能停止運動，設(shè)點的運動時間為．在某時刻，分別過點和作于點，于點．(1)如圖1，當，且點在上，點在上時，①用含的式子分別表示和：________，________．②當時，與全等嗎？請說明理由．(2)當時，與有沒有可能全等？若有可能，直接寫出符合條件的值；若不可能，請說明理由．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），在中，，，，，現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設(shè)運動時間為．(1)如圖（1），當________時，的面積等于面積的一半：(2)如圖（2），在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好全等于，求點的運動速度．類型二、分動點相遇問題例．如圖，已知中，，，，點為的中點．

(1)如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．①若點的運動速度與點的運動速度相等，經(jīng)過秒后，與是否全等，請說明理由．②若點的運動速度與點的運動速度不相等，當點的運動速度為___時，在某一時刻也能夠使與全等．(2)若點以②中的運動速度從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都按逆時針方向沿的三邊運動．求經(jīng)過多少秒后，點與點第一次相遇，并寫出第一次相遇點在的哪條邊上？【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=8cm，BC=6cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以每秒2cm的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動，設(shè)運動時間為t(秒)．(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長度；(2)若點P、Q的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；(3)若點P、Q的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？(4)若點Q以（3）中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都順時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間，點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知正方形的邊長為20cm，點E在AB邊上，．(1)如果點P在線段上以4cm/s的速度由B點向C點運動，點Q同時在線段上由C點向D點運動，①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等？并說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，？(2)如果點P，點Q不同時出發(fā)，點P從點B出發(fā)1秒時，點Q從點C出發(fā)，兩點都沿正方形四邊逆時針運動，點P的運動速度是點Q運動速度的1.2倍，點P運動96cm時與點Q相遇，求點Q的運動速度．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知中，，點D為的中點．(1)如果點P在線段上以的速度由A點向B點運動，同時，點Q在線段上由點B向C點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過后，與是否全等？說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當時間t為何值時，與全等？求出此時點Q的運動速度(2)若點Q以②中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來的運動速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，請直接寫出：①經(jīng)過多少秒，點P與點Q第一次相遇？②點P與點Q第2023次相遇在哪條邊上？類型三、動點中的線段關(guān)系例．【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，已知垂足分別為點A，B．若，，探究與的關(guān)系，并說明理由．【嘗試應(yīng)用】如圖2，垂足分別為點A，B，．點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時點Q在射線上以同樣的速度運動，它們運動的時間為（當點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．當時，判斷此時線段和線段的關(guān)系，并說明理由．【拓展提高】如圖3，在【嘗試應(yīng)用】的基礎(chǔ)上，把“”改為“”，若點Q的運動速度為，其它條件不變，當點P，Q運動到何處時有與全等，求出相應(yīng)的x的值．【變式訓(xùn)練1】．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點P在線段上以的速度由點A向點B運動．同時，點Q在射線上運動．它們運動的時間為t（s）（當點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當時，①試說明．②此時，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點Q的運動速度為，其他條件不變，當點P，Q運動到某處時，有和全等，求出此時的x，t的值．【變式訓(xùn)練2】．點是正方形對角線上一動點，點在射線上，且，連接，O為中點．

(1)如圖1，當點在線段上時，連接交于點，①試判斷的形狀，并說明理由；②若正方形邊長為4，當點為的中點，則的長為______．(2)如圖2，當點在線段上時，試探究線段，，的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若，連接，取的中點，則當點從點運動到點時，點所經(jīng)過的路徑長為______．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），，，，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，它們運動的時間為（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，判斷線段與滿足的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其它條件不變．設(shè)點的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．

類型四、動點與面積 例．如圖，在直角坐標系中，點，點B為x軸正半軸上一個動點，以為邊作，使，，且點C在第一象限內(nèi)．(1)如圖1，若，求點C的坐標．(2)如圖2，過點B向x軸上方作，且，在點B的運動過程中，探究點C，D之間的距離是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請說明理由．(3)如圖3，過點B向x軸下方作，且，連結(jié)交x軸于點E，當?shù)拿娣e是的面積的2倍時，求的長．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，的邊在x軸上，A，C兩點的坐標分別為，，點，且．已知點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線勻速運動，設(shè)點P的運動時間為ts．(1)求A，C兩點的坐標；(2)連接，當點P在x軸的正半軸上時，用含t的代數(shù)式表示的面積；(3)當點P在線段上運動時，在y軸上是否存在點Q，使與全等？若存在，請求出t的值，并直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖①，在中，，．現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為．設(shè)運動時間為．

(1)當時，；當時，；(2)如圖①，當時，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，請直接寫出點的運動速度．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，在長方形ABCD中，AD＝3cm，DC＝5cm．點P從D出發(fā)，以1cm/s的速度在射線DC上運動，設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)t＝s時，DP＝AD；(2)當t為何值時，△APC的面積等于6cm2；(3)如圖2，當P從D點開始運動的同時，點Q從C點出發(fā)，以xcm/s的速度在線段CB上運動，是否存在這樣的x的值，使得△ADP與△PCQ全等？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．1．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點P在線段上以2cm/s的速度由點A向點B運動．同時，點Q在射線上運動．它們運動的時間為t（s）（當點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當時，①試說明．②此時，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點Q的運動速度為xcm/s，其他條件不變，當點P，Q運動到某處時，有和全等，求出此時的x，t的值．2．已知：在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，且，滿足，點在軸的負半軸上，．（1）如圖1，求點的坐標；（2）如圖2，點從出發(fā)以每秒1個單位長度向點運動，運動時間為，設(shè)的面積為，求與的關(guān)系，并寫出的取值范圍；（3）在（2）的條件下，如圖3，延長交于點，若，求與的比值．3．如圖①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB邊上的中點，點M和點N是動點，分別從A，C出發(fā)，以相同的速度沿AC，CB邊上運動．（1）判斷DM與DN的關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=BC=2，請直接寫出四邊形MCND的面積；（3）如圖②，當點M運動到C點后，將改變方向沿著CB運動，此時，點N在CB延長線上，過M作ME⊥CD于點E，過點N作NF⊥DB交DB延長線于F，求證：ME=NF．4．如圖1，在中，，，是過的一條直線，且，在的異側(cè)，于點，于點．(1)求證：；(2)若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何，請證明；(3)若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3時，其余條件不變，與，的關(guān)系怎樣？請直接寫出結(jié)果，不須證明．(4)歸納（1），（2），（3），請用簡捷的語言表述與，的關(guān)系．5．如圖，在中，，，．點從點出發(fā)，沿折線以每秒2個單位長度的速度向終點運動，點從點出發(fā)沿折線以每秒6個單位長度的速度向終點A運動，，兩點同時出發(fā)．分別過，兩點作于點，于點．設(shè)點的運動時間為．(1)當，兩點相遇時，求的值；(2)在整個運動過程中，求，的長；（用含的代數(shù)式表示）(3)當與全等時，求的值．6．如圖所示，在中，，，，為的中點，點在線段上由點出發(fā)向點運動，同時點在線段上由點出發(fā)向點運動，設(shè)運動時間為．

(1)若點與點的速度都是，則經(jīng)過多長時間與全等？請說明理由．(2)若點的速度比點的速度慢，則經(jīng)過多長時間與全等？請求出此時兩點的速度．(3)若點、點分別以（2）中的速度同時從點，出發(fā)，都按逆時針方向沿三邊運動，則經(jīng)過多長時間點與點第一次相遇？相遇點在的哪條邊上？請求出相遇點到點B的距離．7．如圖，已知中，，，點為的中點．

(1)如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向A點運動．①若點的運動速度與點的運動速度相等，經(jīng)過后，與是否全等？請說明理由；②若點的運動速度與點的運動速度不相等，當點的運動速度為多少時，能夠使與全等？若點以②中的運動速度從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，經(jīng)過多長時間點與點第一次在的哪條邊上相遇？8．（動點、全等）如圖，在中，，高、相交于點O，，且．(1)求線段的長；(2)動點P從點O出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發(fā)沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒，的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出相應(yīng)的t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，點F是直線上的一點且．是否存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等？若存在，請直接寫出符合條件的t值；若不存在，請說明理由．9．如圖，在中，，，．點從點出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向終點運動，點從點出發(fā)，沿折線以每秒3個單位長度的速度向終點運動，、兩點同時出發(fā)．分別過、兩點作垂直于過點的直線，垂足分別為點、．設(shè)點的運動時間為（秒）：(1)當、兩點相遇時，求的值；(2)在整個運動過程中，求的長（用含的代數(shù)式表示）(3)當與全等時，請直接寫出的值．10．如圖1，在長方形中，，點從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，設(shè)點的運動時間為．

(1)_________（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，當點從點開始運動時，點同時從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，是否存在這樣的值，使得與全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

專題14全等三角形中動點問題的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、分類討論的動點問題 1類型二、分動點相遇問題 11類型三、動點中的線段關(guān)系 17類型四、動點與面積 24壓軸能力測評 34全等三角形中的動點問題，通過點的運動，用代數(shù)式表示線段的大小，從而尋找線段間的等量關(guān)系，建立方程，進而快速解題。策略：①明晰點的運動方向和運動速度；②根據(jù)已知和求證的目標，尋求線段或角之間的數(shù)量關(guān)系，進而解決問題。注意：很多情況下，在不明確對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的時候，注意分類討論的問題。類型一、分類討論的動點問題例．如圖（1），，，，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．它們運動的時間為．(1)如圖（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，①與是否全等，請說明理由；②判斷線段和線段的關(guān)系？(2)如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其他條件不變，設(shè)點的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①全等，理由見解析；②與的關(guān)系是垂直且相等(2)存在或使得與全等【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想的滲透．（1）①當時，，，即可證得；②利用，得出，，進一步得出得出結(jié)論即可；（2）與全等，分兩種情況：①，，②，，建立方程組求得答案即可．【詳解】（1）①全等，理由如下：當時，，，又，在和中，．②由①得，，線段與線段垂直，因此、與的關(guān)系是垂直且相等；（2）由題意可得：，，，，①若，則，，∴，解得；②，則，，∴，解得，綜上所述，存在或使得與全等．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B分別為x軸負半軸和y軸正半軸上一點，；(1)分別求出A、B兩點的坐標；(2)點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，運動時間為t秒．點P在動過程中，若，求此時t的值；(3)在（2）的條件下，連接，過點A作垂足為C，交y軸交于點M，在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使以B、A、M為頂點的三角形與全等（點N不與點M重合），若存在，請求出N點坐標，若不存，在請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，N點坐標為或或【分析】（1）由及面積關(guān)系，即可求得；（2）由，得，由面積公式即可求得t的值；（3）當時，得；證明，則得，從而得；分三種情況討論：①當點N在上，且時，有，可得點N的坐標；②過點A作軸于A，使得，連接，則可得從而可得點的坐標；③過點B作軸于B，使得連接，與②同理得：，從而可得點的坐標；綜合起來即可得到點N的坐標．【詳解】（1）解∶，，或（舍），；（2）解：由題意知：，，，，，，；（3）解：當時，；軸⊥軸，，，，在中，，，，；在和中，，．，；①當點N在上，且時，則，且，，；，，；②過點A作軸于A，使得連接，，，，，，，則軸，，，；③過點B作軸于B，使得連接，與②同理得：，軸，

，；綜上所述，在坐標平面內(nèi)存在點N，使以B、A、M為頂點的三角形與全等，N點坐標為或或．【點睛】本題考查了坐標與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，注意分類討論．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，，．點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動，點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動．點和點分別以和的速度同時開始運動，兩點都要到達相應(yīng)的終點時才能停止運動，設(shè)點的運動時間為．在某時刻，分別過點和作于點，于點．(1)如圖1，當，且點在上，點在上時，①用含的式子分別表示和：________，________．②當時，與全等嗎？請說明理由．(2)當時，與有沒有可能全等？若有可能，直接寫出符合條件的值；若不可能，請說明理由．【答案】(1)①②全等，理由見解析(2)有可能，的值為1或3.5或12【分析】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．（1）①由題意得：：，，即可得出答案；②由證明即可；（2）分三種情況：①當點P在上，點Q在上時，則，，得；②當點P與點Q重合，與全等，然后計算出t的值即可；③當點Q到點A時停止，點P運動到上時，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①由題意得：，，則，，故答案為：；②當時，與全等，理由如下：當時，，，∴，∵，∴，又∵于E，于F，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）當時，與有可能全等，分三種情況：①當點P在上，點Q在上時，，如圖1所示：

則，∴，解得：；②如圖2所示：

∵點P與點Q重合，∴與全等，∴，∴．解得：．③當點P在上，點Q到點A時，，如圖3所示：

則，∴，∴，即滿足條件的t值為或或．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），在中，，，，，現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設(shè)運動時間為．(1)如圖（1），當________時，的面積等于面積的一半：(2)如圖（2），在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好全等于，求點的運動速度．【答案】(1)或(2)或或或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識點，清晰的分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)分兩種情況討論即可解答；（2）設(shè)點Q的運動速度為，然后分點P在上，點Q在上；點P在上，點Q在上；點P在上，點Q在上；點P在上，點Q在上四種情況，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列方程解答即可．【詳解】（1）解：如圖，當P在上，的面積等于面積的一半，

∴，∴，當在上時，如圖，的面積等于面積的一半，

∴，∴，綜上所述，當為或時，的面積等于面積的一半．（2）解：設(shè)點Q的運動速度為，①當點P在上，點Q在上，時，∴，

∴，解得；②當點P在上，點Q在上，時，∴，

∴，解得；③當點P在上，點Q在上，時，∴，

∴點P的路程為，點Q的路程為，∴，解得；④當點P在上，點Q在上，時，∴，

∴點P的路程為，點Q的路程為，∴，解得；∴Q運動的速度為或或或．類型二、分動點相遇問題例．如圖，已知中，，，，點為的中點．

(1)如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．①若點的運動速度與點的運動速度相等，經(jīng)過秒后，與是否全等，請說明理由．②若點的運動速度與點的運動速度不相等，當點的運動速度為___時，在某一時刻也能夠使與全等．(2)若點以②中的運動速度從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都按逆時針方向沿的三邊運動．求經(jīng)過多少秒后，點與點第一次相遇，并寫出第一次相遇點在的哪條邊上？【答案】(1)①全等，理由見詳解；②(2)經(jīng)過后，點與點第一次在邊上相遇【分析】（1）①根據(jù)時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據(jù)判定兩個三角形全等；②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)“路程速度時間”公式，先求得點運動的時間，再求得點的運動速度；（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點的速度快，且在點的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點多走等腰三角形的兩個邊長．【詳解】（1）解：①全等，理由如下，∵，∴，∵，點為的中點，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴；②假設(shè)，且，∴，∵，，∴，，∴點，點運動的時間，∴點的速度為：，∴當點的運動速度為時，與全等，故答案為：．（2）解：設(shè)經(jīng)過后點相遇，∴，解得，，∴點共運動了，∵，∴點，點在邊上相遇，∴經(jīng)過后，點與點第一次在邊上相遇．【點睛】本題主要考查運用“路程速度時間”的公式，熟練運用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=8cm，BC=6cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以每秒2cm的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動，設(shè)運動時間為t(秒)．(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長度；(2)若點P、Q的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；(3)若點P、Q的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？(4)若點Q以（3）中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都順時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間，點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【答案】(1)(2)點P、Q的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP全等，理由見詳解(3)當點Q的運動速度為時，能夠使△BPD與△CQP全等，理由見詳解(4)經(jīng)過9秒，點P與點Q第一次在△ABC的邊BC上相遇【分析】（1）由題意易得，然后問題可求解；（2）由題意易得，進而問題可求解；（3）根據(jù)題意可分當時和當時，然后分類求解即可；（4）由（3）及題意可得方程，求出t的值，進而問題可求解．【詳解】（1）解：由點P在線段BC上以每秒2cm的速度由B點向C點運動，且運動時間為t(秒)可得：，∵BC=6cm，∴；（2）解：若點P、Q的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD≌△CQP，理由如下：∴，∵點D為AB的中點，AB=AC=8cm，∴，由（1）可得：，∴，∵∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（3）解：由題意可分：①當，即時，∴，解得：，∴點Q與點P的運動速度相等，故不符合題意；②當，即時，∴，解得：，∴點Q的運動速度為：，綜上所述：當點Q的運動速度為時，能夠使△BPD與△CQP全等；（4）解：由（3）可知點Q的運動速度為，由題意得：，解得：，∴經(jīng)過9秒，點P、Q第一次相遇，∴點Q的運動路程為（cm），∵△ABC的周長為AB+AC+BC=22（cm），∴，∴經(jīng)過9秒，點P與點Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．【點睛】本題主要考查動點問題結(jié)合全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握動點問題與全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知正方形的邊長為20cm，點E在AB邊上，．(1)如果點P在線段上以4cm/s的速度由B點向C點運動，點Q同時在線段上由C點向D點運動，①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等？并說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，？(2)如果點P，點Q不同時出發(fā)，點P從點B出發(fā)1秒時，點Q從點C出發(fā)，兩點都沿正方形四邊逆時針運動，點P的運動速度是點Q運動速度的1.2倍，點P運動96cm時與點Q相遇，求點Q的運動速度．【答案】(1)①不全等，見解析，②(2)4cm/s【分析】（1）①由全等三角形的判定可得結(jié)論；②由全等三角形的性質(zhì)可得，可求t的值，即可求解；（2）設(shè)點Q的運動速度為xcm/s,則點P的運動速度為1.2xcm/s,由點P運動96cm時與點Q相遇，列出方程可求解．【詳解】（1）①與不全等，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，當時，，∴，∵，∴，∴與不全等；②∵，∴，∴，∴點Q的運動速度為：；∴當點Q的運動速度為時，；（2）設(shè)點Q的運動速度為xcm/s，則點P的運動速度為1.2xcm/s，由題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：點Q的運動速度為4cm/s．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分式方程的應(yīng)用等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知中，，點D為的中點．(1)如果點P在線段上以的速度由A點向B點運動，同時，點Q在線段上由點B向C點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過后，與是否全等？說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當時間t為何值時，與全等？求出此時點Q的運動速度(2)若點Q以②中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來的運動速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，請直接寫出：①經(jīng)過多少秒，點P與點Q第一次相遇？②點P與點Q第2023次相遇在哪條邊上？【答案】(1)①全等，見解析；②7.5厘米/秒(2)①秒；②點P與點Q第2023次在AC邊上相遇【分析】（1）①先求得，，然后根據(jù)等邊對等角求得，最后根據(jù)即可證明；②因為，所以，又，要使與全等，只能，根據(jù)全等得出，然后根據(jù)運動速度求得運動時間，根據(jù)時間和的長即可求得的運動速度；（2）①因為，只能是點追上點，即點比點多走的路程，據(jù)此列出方程，解這個方程即可求得結(jié)果；②設(shè)第一次相遇經(jīng)過秒之后，第2023次相遇，據(jù)此列出方程，解這個方程即可求得結(jié)果.【詳解】（1）①全等，因為（秒，所以（厘米），（厘米），為中點，（厘米），（厘米），，，在與中，，；②因為，所以，因為，要使與全等，只能，即，故，所以點、的運動時間：（秒，此時（厘米秒）；（2）①因為，只能是點追上點，即點比點多走的路程，設(shè)經(jīng)過秒后與第一次相遇，依題意得，解得（秒，此時運動了（厘米），又因為的周長為56厘米，，所以點、在邊上相遇，即經(jīng)過了秒，點與點第一次在邊上相遇；②設(shè)第一次相遇經(jīng)過秒之后，第2023次相遇，，解得：，，，，，點在邊上．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運用，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、動點中的線段關(guān)系例．【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，已知垂足分別為點A，B．若，，探究與的關(guān)系，并說明理由．【嘗試應(yīng)用】如圖2，垂足分別為點A，B，．點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時點Q在射線上以同樣的速度運動，它們運動的時間為（當點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．當時，判斷此時線段和線段的關(guān)系，并說明理由．【拓展提高】如圖3，在【嘗試應(yīng)用】的基礎(chǔ)上，把“”改為“”，若點Q的運動速度為，其它條件不變，當點P，Q運動到何處時有與全等，求出相應(yīng)的x的值．【答案】基礎(chǔ)鞏固：，理由見解析；嘗試運用：；拓展提高當與全等時的x值為2或【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明，解決此題的是注意分類討論．基礎(chǔ)鞏固：根據(jù)證明，進而解答即可；嘗試應(yīng)用：根據(jù)證明，進而解答即可；拓展提高：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程解答即可，注意分類．【詳解】解：基礎(chǔ)鞏固：．理由：，，，，在與中，，，，，，，；嘗試運用：．當時，，，，，由基礎(chǔ)鞏固中的結(jié)論可知：；拓展提高①若設(shè)運動時間為時，則，可得：，，；②若設(shè)運動時間為時，，則，可得：，，，，綜上所述，當與全等時的x值為2或．【變式訓(xùn)練1】．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點P在線段上以的速度由點A向點B運動．同時，點Q在射線上運動．它們運動的時間為t（s）（當點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當時，①試說明．②此時，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點Q的運動速度為，其他條件不變，當點P，Q運動到某處時，有和全等，求出此時的x，t的值．【答案】(1)①見解析；②，；見解析(2)，或，【分析】（1）①由已知條件推出，，，即可根據(jù)“”證明全等；②結(jié)合①的結(jié)論，利用全等三角形的性質(zhì)證明，即可；（2）分別討論和時的情況，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，，．理由：①∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，②∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴；②若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴，綜上所述，當與全等時，x和t的值分別為，或，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證明和全等解答，解決此題注意分類討論．【變式訓(xùn)練2】．點是正方形對角線上一動點，點在射線上，且，連接，O為中點．

(1)如圖1，當點在線段上時，連接交于點，①試判斷的形狀，并說明理由；②若正方形邊長為4，當點為的中點，則的長為______．(2)如圖2，當點在線段上時，試探究線段，，的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若，連接，取的中點，則當點從點運動到點時，點所經(jīng)過的路徑長為______．【答案】(1)(2)理由見解析．(3)【分析】（1）①根據(jù)點P在線段上，利用三角形的全等判定可以得出問題；②勾股定理得出，根據(jù)①的結(jié)論即可求解；（2）過點作交于點，交于點，過點作于點，設(shè)，分別求得，，即可求解；（3）根據(jù)題意得出點的起始點，進而根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）①是等腰直角三角形，理由如下：連接，如圖所示，

四邊形是正方形，，，，（），，，，，，，，由四邊形內(nèi)角和為，，，，且；∴是等腰直角三角形，理由見解析②若正方形邊長為，當點為的中點，則，在中，，∵是等腰直角三角形，∴，故答案為：．（2）如圖所示，過點作交于點，交于點，過點作于點，

∴，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，設(shè)則∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，作關(guān)于的對稱點，連接，取中點，連接，當點與點重合時，點與點重合，當點與點重合時，點與點重合，

∴當點從點運動到點時，點所經(jīng)過的路徑長為的長，∵，∴,則∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖（1），，，，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，它們運動的時間為（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，判斷線段與滿足的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其它條件不變．設(shè)點的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）PC=PQ且PC⊥PQ，證明見解析；（2）存在，①x=2，t=1，②x=3，t=2，詳情見解析；【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，可得PC=PQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出PC⊥PQ；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可；【詳解】證明：（1）PC=PQ且PC⊥PQ；理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，當時，AP=BQ=2，∴BP=AB-AP=8-2=6，∴BP=AC=6，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ，∴PC=PQ，∴∠C=∠QPB，∵∠APC+∠C=90°，∴∠APC+∠QPB=90°，即PC=PQ且PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP與△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，可得：6=8-2t，2t=xt，解得：x=2，t=1；②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，可得：6=xt，2t=8-2t，解得：x=3，t=2.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.類型四、動點與面積 例．如圖，在直角坐標系中，點，點B為x軸正半軸上一個動點，以為邊作，使，，且點C在第一象限內(nèi)．(1)如圖1，若，求點C的坐標．(2)如圖2，過點B向x軸上方作，且，在點B的運動過程中，探究點C，D之間的距離是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請說明理由．(3)如圖3，過點B向x軸下方作，且，連結(jié)交x軸于點E，當?shù)拿娣e是的面積的2倍時，求的長．【答案】(1)點C的坐標為(2)點C，D之間的距離是為定值，定值為4，理由見解析(3)【分析】本題考查坐標與圖形，全等三角形的判定及性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．（1）過點C作軸于點，利用互余可證，進而利用可證明，可得，，由，可得點的坐標；（2）連結(jié)，利用互余可證，進而利用可證明，可得，即可得結(jié)論；（3）過點C作軸于點F，由（1）可知，，得，結(jié)合題意可知，，再證，得，根據(jù)，，可得，即，得，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：過點C作軸于點，，，，，在和中，，，，．，∴點C的坐標為．（2）點C，D之間的距離是為定值，理由如下：連結(jié)，，，在和中，，．，即：點C，D之間的距離是為定值；（3）過點C作軸于點F，由（1）可知，，，，，．，，，，，，由題可知，，．，．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，的邊在x軸上，A，C兩點的坐標分別為，，點，且．已知點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線勻速運動，設(shè)點P的運動時間為ts．(1)求A，C兩點的坐標；(2)連接，當點P在x軸的正半軸上時，用含t的代數(shù)式表示的面積；(3)當點P在線段上運動時，在y軸上是否存在點Q，使與全等？若存在，請求出t的值，并直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，當，點Q的坐標是或，或當，點Q的坐標是或時，與全等【分析】（1）根據(jù)偶次方的非負性，絕對值的非負性，求出的值即可；（2）先表示出，再利用三角形的面積公式進行求解即可；（3）分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，即，∴，．∴點A的坐標是0,4，點C的坐標是．（2）∵點，點，∴，，當點P在x軸正半軸上時，如圖，∵，，∴．（3）當點P在線段上運動時，在y軸上存在點Q，使與全等，理由如下：∵，，∴，①當，即，時，，此時，點Q的坐標是0,3或．②當，即，時，，此時，點Q的坐標是0,4或．綜上，當，點Q的坐標是0,3或；或當，點Q的坐標是0,4或時，與全等．【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)．正確的求出的坐標，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖①，在中，，．現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為．設(shè)運動時間為．

(1)當時，；當時，；(2)如圖①，當時，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，請直接寫出點的運動速度．【答案】(1)(2)或(3)運動的速度為或或或【分析】（1）當時，點P在線段上，根據(jù)點P速度表示的長即可；當時，點P在線段上，根據(jù)點P速度表示的長即可；（2）分兩種情況討論：①點P在上；②點P在上，利用三角形面積分別求解即可；（3）根據(jù)題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點所走的路程，進而可求出的運動時間，即的運動時間，再利用速度=路程÷時間求解即可【詳解】（1）當時，點P在線段上，∵點P速度為，∴；當時，點P在線段上，∵，∴，∴，故答案為：；（2）∵，，∴，∵的面積等于面積的一半，∴，①當點P在上時，

，∴，；②當點P在上時，

過點C作于點D，∵，，∴，∴，∵，∴，；故答案為：或；（3）設(shè)點的運動速度為，①當點在上，點在上，時，

，∴解得；②當點在上，點在上，時，

，∴，解得；③當點P在上，點在上，時，

，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴解得；④當點P在上，點Q在上，時

，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴解得；∴運動的速度為或或或．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形面積，分類討論思想，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，在長方形ABCD中，AD＝3cm，DC＝5cm．點P從D出發(fā)，以1cm/s的速度在射線DC上運動，設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)t＝s時，DP＝AD；(2)當t為何值時，△APC的面積等于6cm2；(3)如圖2，當P從D點開始運動的同時，點Q從C點出發(fā)，以xcm/s的速度在線段CB上運動，是否存在這樣的x的值，使得△ADP與△PCQ全等？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3(2)1s或9s(3)存在，x＝1cm/s或x＝cm/s【分析】（1）由DP＝3cm，即可得t＝＝3（s）；（2）①當P在線段DC上時，根據(jù)＝CP?AD＝﹣，△APC的面積等于6cm2，可列方程﹣＝6，即可解得t＝1（s）；②當P在線段DC的延長線上時，（t﹣5）×3＝6，即可解得t＝9（s）；（3）分兩種情況：①AD＝CP且DP＝CQ，可列3＝5﹣t且t＝tx，即可解得x＝1cm/s；②AD＝CQ且DP＝CP，可列3＝tx且t＝5﹣t，解得【詳解】（1）∵AD＝3cm，DP＝AD，∴DP＝3cm，∵點P從D出發(fā)，以1cm/s的速度在射線DC上運動，∴t＝＝3，故答案為：3；（2）①當P在線段DC上時，＝CP?AD＝（5﹣t）×3＝﹣，∵△APC的面積等于6cm2，∴﹣＝6，解得：t＝1，②當P在線段DC的延長線上時，＝CP?AD＝（t﹣5）×3，∴（t﹣5）×3＝6，解得t＝9，∴t為1s或9s時，△APC的面積等于6cm2；（3）存在，理由如下：∵四邊形ABCD是長方形，∴∠D＝∠C，要使△ADP與△PCQ全等，分兩種情況：①AD＝CP且DP＝CQ，即3＝5﹣t且t＝tx，由3＝5﹣t得t＝2，將t＝2代入t＝tx得2＝2x，解得x＝1，∴x＝1cm/s時，②AD＝CQ且DP＝CP，即3＝tx且t＝5﹣t，由t＝5﹣t得t＝，把t＝代入3＝tx得3＝x，解得x＝，∴x＝cm/s時綜上所述，x＝1cm/s或x＝cm/s，△ADP與△PCQ全等．【點睛】本題考查長方形中的動點問題，涉及三角形面積，三角形全等等知識，解題的關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度，根據(jù)題意列方程，本題還要注意分類．1．如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點P在線段上以2cm/s的速度由點A向點B運動．同時，點Q在射線上運動．它們運動的時間為t（s）（當點P運動結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）．(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當時，①試說明．②此時，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點Q的運動速度為xcm/s，其他條件不變，當點P，Q運動到某處時，有和全等，求出此時的x，t的值．【答案】(1)①見解析；②，(2)，或，．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，求出，利用證明和全等，可得，然后求出即可；（2）分和兩種情況，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程解答即可．【詳解】（1），，．理由：∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴∴，∵，∴，∴，∴；（2）①若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴；②若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴，綜上所述，當與全等時，x和t的值分別為：，或，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證明和全等解答，解決此題注意分類討論．2．已知：在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，且，滿足，點在軸的負半軸上，．（1）如圖1，求點的坐標；（2）如圖2，點從出發(fā)以每秒1個單位長度向點運動，運動時間為，設(shè)的面積為，求與的關(guān)系，并寫出的取值范圍；（3）在（2）的條件下，如圖3，延長交于點，若，求與的比值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）解出方程組可求出A，B的坐標，在根據(jù)三角形的面積得出OC即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）過點作于，于，連接，證明,，，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）∵點從出發(fā)以每秒1個單位長度向點運動，運動時間為，∴，，∴，．（3）過點作于，于，連接，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，設(shè)，又∵于，于，，∴，∴，∴平分，∴，∴，，，，∴與的比值是．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的求解、位置與坐標的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵．3．如圖①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB邊上的中點，點M和點N是動點，分別從A，C出發(fā)，以相同的速度沿AC，CB邊上運動．（1）判斷DM與DN的關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=BC=2，請直接寫出四邊形MCND的面積；（3）如圖②，當點M運動到C點后，將改變方向沿著CB運動，此時，點N在CB延長線上，過M作ME⊥CD于點E，過點N作NF⊥DB交DB延長線于F，求證：ME=NF．【答案】（1）DM=DN，理由見解析；（2）S四邊形MCND=1；（3）見解析.【分析】（1）連接CD，判定△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN；（2）依據(jù)△ADM≌△CDN，可得S△ADM=S△CDN，再根據(jù)S四邊形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD進行計算即可；（3）依據(jù)CM=BN，∠CEM=∠F=90°，∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，即可得到△CME≌△BNF，進而得出ME=NF．【詳解】（1）DM=DN．如圖1，連接CD，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB邊上的中點，∴CD=AD，∠DCN=45°=∠A，又∵點M和點N的移動速度相等，∴CN=AM，∴△ADM≌△CDN，∴DM=DN；（2）如圖1，∵△ADM≌△CDN，∴S△ADM=S△CDN，∴S四邊形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD=S△ABC=××2×2=1；（3）如圖2，∵點M和點N的移動速度相等，∴AC+CM=BC+BN，而AC=BC，∴CM=BN，∵ME⊥CD，NF⊥DB，∴∠CEM=∠F=90°，又∵∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，∴△CME≌△BNF，∴ME=NF．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題時證明△ADM≌△CDN是解決問題的關(guān)鍵．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．4．如圖1，在中，，，是過的一條直線，且，在的異側(cè)，于點，于點．(1)求證：；(2)若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何，請證明；(3)若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3時，其余條件不變，與，的關(guān)系怎樣？請直接寫出結(jié)果，不須證明．(4)歸納（1），（2），（3），請用簡捷的語言表述與，的關(guān)系．【答案】(1)見詳解(2)，見詳解(3)，詳解(4)當、在異側(cè)時，；當、在同側(cè)時，．【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)證明，得；．根據(jù)代換即可；（2）顯然關(guān)系不成立．同理證明，得；．此時；（3）同（2）,顯然關(guān)系不成立．同理證明，得；．此時；（4）根據(jù)前面證明的結(jié)論分類歸納．【詳解】（1）證明：，，．又，，．，．又，，即．（2）證明：．證明如下：，．又，，．又，，．，．，，即．（3）解：：證明：．證明如下：，．又，，．又，，．，．，，即．（4）解：由（1）（2）（3）得出：當、在異側(cè)時，；當、在同側(cè)時，．5．如圖，在中，，，．點從點出發(fā)，沿折線以每秒2個單位長度的速度向終點運動，點從點出發(fā)沿折線以每秒6個單位長度的速度向終點A運動，，兩點同時出發(fā)．分別過，兩點作于點，于點．設(shè)點的運動時間為．(1)當，兩點相遇時，求的值；(2)在整個運動過程中，求，的長；（用含的代數(shù)式表示）(3)當與全等時，求的值．【答案】(1)當，兩點相遇時，的值為(2)當時，；當時，．當時，；當時，(3)當與全等時，的值為或或【分析】本題考查了動點問題及全等三角形的判定與性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，（1）根據(jù)題意列方程并解方程解決即可；（2）根據(jù)題意，分情況列代數(shù)式表示即可；（3）分情況根據(jù)兩三角形全等分別列方程并解方程即可解決；【詳解】（1）解：由題意，得，解得．∴當，兩點相遇時，的值為．（2）由題意可知，點運動的路線長為，當時，．當時，．由題意可知，點運動的路線長為，當時，．當時，．（3）當點運動到點時，；當點運動到點時，．當點在上，點在上時，∵，∴．∵，，∴．∴．∴．當時，．∴，解得．當點在上，點在上時，當點，重合時，．∴．即，解得．當點在上時，點到終點與點A重合，．∴．即，解得．綜上，當與全等時，的值為或或．6．如圖所示，在中，，，，為的中點，點在線段上由點出發(fā)向點運動，同時點在線段上由點出發(fā)向點運動，設(shè)運動時間為．

(1)若點與點的速度都是，則經(jīng)過多長時間與全等？請說明理由．(2)若點的速度比點的速度慢，則經(jīng)過多長時間與全等？請求出此時兩點的速度．(3)若點、點分別以（2）中的速度同時從點，出發(fā)，都按逆時針方向沿三邊運動，則經(jīng)過多長時間點與點第一次相遇？相遇點在的哪條邊上？請求出相遇點到點B的距離．【答案】(1)2s，理由見解答過程(2)經(jīng)過1s，點P的速度是9，則點Q的速度是12時，與全等(3)經(jīng)過16s點P與點Q第一次相遇，在BC邊上相遇，相遇點到點B的距離為12【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出，由點、同速同時出發(fā)可得出，結(jié)合全等三角形的判定定理可得出當時與全等，進而即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)點的速度為，則點的速度為，由、結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得出、，進而即可得出關(guān)于、的方程組，解之即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)路程速度時間結(jié)合點、相遇，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之可求出值，由點的路程點的速度運動時間可求出點的路程，再結(jié)合、、的長度，即可找出點、第一次相遇時的位置，此題得解．【詳解】（1）點與點的速度都是，，，，，要使與全等，則需，即，，即經(jīng)過的時間與全等；（2）設(shè)點的速度是，則點的速度是，，，，，要使與全等，則需，，，解得：，經(jīng)過，點的速度是，則點的速度是時，與全等；（3）設(shè)經(jīng)過點與點第一次相遇，則，，的路程，，經(jīng)過