2020年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：數(shù)列

2020年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：數(shù)列

一、選擇題

1.

〃+2a

已知數(shù)列｛斯｝中，前〃項(xiàng)和為S〃，且S〃=-------an,則一J的最大值為（）

a

3n-l

A.-3B.-1C.3D.1

2.

14

公比為2的等比數(shù)列｛斯｝中存在兩項(xiàng)〃小，anf滿足〃加%=324]2,則1—的最小值為

mn

（）

95413

A.-B.-C.—D.—

73310

3.

己知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式是%,其中/（x）=sin（ox+e）|o〉0,|勿</]的

部分圖像如圖所示，&為數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和則％20的值為（）

”,

C.—D.一且

A.-1B.0

22

4.

等比數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S〃，且4q、2出、4成等差數(shù)列，若％=L則$5=（）

A.15B.16C.31D.32

5.

已知。>03>0,并且工，工」成等差數(shù)列，

則a+4Z?的最小值為（）

alb

A.2B.4C.5D.9

6.

下列大小關(guān)系正確的是（）

A.2.3；<[I]<223B.2.3；<22-3<（g）

C.出<22-3<2.32D.出<2,32<22-3

7.

從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈

的概率分別為工，則某人從甲地到乙地至少遇到2次紅燈的概率為（）

234

671117

A.—B.—C.—D.—

24242424

8.

某班有男生28人，女生16人，用分層抽樣的方式從中抽取容量為〃的樣本，若男生抽取

了7人，則w的值為（）

A.10B.11C.12D.14

9.

下表為國(guó)家統(tǒng)計(jì)局對(duì)2012-2018年的農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列四個(gè)類(lèi)

別的產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格一直在增長(zhǎng)的是，生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)最不穩(wěn)定的是（）

農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)（上年=100）

指標(biāo)2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年

種植業(yè)產(chǎn)品104.8104.3101899.297.099.5101.2

林業(yè)產(chǎn)品101.299.199.497.996.1104.9989

畜牧產(chǎn)品99.7102.497.1104.2110.490.895.6

漁業(yè)產(chǎn)品106.2104.3103.1102.5103.4104.9102.6

A.畜牧產(chǎn)品，種植業(yè)產(chǎn)品B.漁業(yè)產(chǎn)品，畜牧產(chǎn)品

C.漁業(yè)產(chǎn)品，林業(yè)產(chǎn)品D.畜牧產(chǎn)品，漁業(yè)產(chǎn)品

10.

已知集合A={-L0,1,2},B=[X\4X<1},則（）

A.VXGA,XEBB.VxeB,x^A

C.X^BD.VxeB,xGAB

11.

已知awR,則“。>2"是的

a2

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.

下列集合與集合4={2,3}相等的是()

A.{(2,3)}B.{(x,y})|x=2,y=3}

C.{x|X?-5x+6=0}D.{x=2,y=3}

二、填空題

13.

記S為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知。5=-2,S3=W+3〃I，貝!|〃I=.

14.

n]

等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”%=3，54=10,則工不=.

k=l

15.

2a.a>a.

已知數(shù)列｛期｝滿足：%+i=｛（〃=1,2,）,若〃3=3,貝!J%=___.

an+2,an<al

16.

已知向量a，6滿足忖=1|=2,且”為=0.若向量c滿足卜-。-耳=1，則卜|的取值范圍

17.

已知sin6+2cos6=2,貝!jtane=.

三、解答題

18.

已知函數(shù)/（%）=log&x（左為常數(shù)，左>0且左wl）.

（1）在下列條件中選擇一個(gè)使數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，說(shuō)明理由；

①數(shù)列｛/（4）｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列；

②數(shù)列｛/（4）｝是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列；

③數(shù)列｛fM｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列.

（2）在（1）的條件下，當(dāng)左=正時(shí)，設(shè)《也,=」—,求數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和4.

4n-1

19.

設(shè)等差數(shù)列｛%-仇｝的公差為2,等比數(shù)列｛4+么｝的公比為2,且q=2,仿=1.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛2%+2'｝的前〃項(xiàng)和S..

20.

等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為8,已知。3+%=18,S6=36.

（I）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式及前w項(xiàng)和為斗；

(II)設(shè)T.為數(shù)列」一的前“項(xiàng)的和，求證：Tn<l.

21.

在數(shù)列｛斯｝中，4=1，?！?1=0+']%+黑.

⑴設(shè)a=冬，求%-仇；

n

(2)求數(shù)列｛仇｝的通項(xiàng)公式；

(3)求數(shù)列｛2"—2｝的前〃項(xiàng)和％.

22.

設(shè)S,是公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和.已知也是為與生的等比中項(xiàng)，$6=36.

(I)求｛3｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)包=%?2"”+i,求｛瓦｝的前n項(xiàng)和Tn.

23.

n+1

已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=4,an+1=2a?+3x2.

(1)證明：數(shù)列｛墨｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

,6x4”

(2)設(shè)〃=------,求數(shù)列｛5｝的前”項(xiàng)和

aa

nn+l

24.

3

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝,g=81,且%，%的等差中項(xiàng)為5(q+/)-

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b=log3a27,數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)為S”數(shù)列｛金｝滿足c,=k^,4為數(shù)列｛c“｝

T

的前〃項(xiàng)和，求

25.

函數(shù)/(%)=65皿，%+|^(0〉0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高

點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，△ABC為等邊三角形.將函數(shù)五尤)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變

為原來(lái)的萬(wàn)倍后，再向右平移三個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(九)的圖象.

(I)求函數(shù)g(x)的解析式；

(II)若不等式Bsin?x-g—2龍)W加+4對(duì)任意xeR恒成立，求實(shí)數(shù)，然的取

值范圍.

26.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2sin8,0）,3（a,2cos6）（a。0）.

.T、什c_A/1-2sin100°cos280°4/八.入9\

（I）若。=—150°,a=----------,求（0A,03）；

cos3700-VI-COS21700'/

（ID當(dāng)0°W6?W180°時(shí)，|。4+。川的最大值為5,求。的值.

27.

某同學(xué)用"點(diǎn)法”作函數(shù)/(X)=Asin(s+。)卜〉0,?！?,刨＜?在一個(gè)周期內(nèi)的圖象

時(shí)，列出下表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)：

717

X—n

1212

31

CDX+（p71

0~22〃

Asin（3+0）030

(I)將表格數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并求出_/(x)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間;

7乃5?]

(II)當(dāng)％￡--時(shí)，求兀0的最值及對(duì)應(yīng)x的值.

28.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(—1,0),AB=(4,3).AC=(-3,-1).

(I)求BC中點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(II)設(shè)52=九8。，若APLBC,求力的值.

29.

計(jì)算：

(I)已知角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與％軸的正半軸重合，(加,1),(七2)是角a終

邊上兩點(diǎn)，sina-，求|加一司；

(II)已知cosg萬(wàn)一@Jl+tan2夕=3,求sin/.

30.

12

已知A8CD,設(shè)AB=〃，AD=b^N為平面ABC。內(nèi)一點(diǎn)，S.BN=--a+-b.

(I)用向量a，b表示DN；

(II)若卜|=2,網(wǎng)=1,(a,Z?)=60°,求BN?DN.

試卷答案

l.C

、.，-Icn+2cn+l

當(dāng)"22時(shí)，S“=^-%,S,T=^-a,

n+2〃+1an+112

兩式作差可得：4=工一----an-l-----------=l+—

33an_xn—1n—1

據(jù)此可得，當(dāng)〃=2時(shí)，4的最大值為3

%

2.D

【分析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出加，“關(guān)系，即可求解.

【詳解】aman=a/2加+-2=32al2m+/i=7，

145、“?！?413

當(dāng)根=l,〃=6時(shí)，—1—=一,當(dāng)m=2,n=5時(shí)，—i—=—,

mn3mnIQ

144、口/1419

當(dāng)m=3,〃=4時(shí)，—+—=—,當(dāng)機(jī)=4,〃=3時(shí)，一+—=一，

mn3mn12

1411乙…1425

當(dāng)根=5,〃=2時(shí)，——F—=一,當(dāng)根=6,〃=1時(shí)，一+一=一,

mn5mn6

I4曰，，‘J3

一+一最小值為一.

mnIO

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，注意加，〃為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取

到等號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【分析】

根據(jù)圖像得到〃x)=sin(2x+f,an=sin^+1^an+6=an,計(jì)算每個(gè)周期和為

0,故52020=q+g+/+%，計(jì)算得到答案.

r'T'7TTTTTT

【詳解】—=————>故7=萬(wàn)，故①=2,/(%)=sin(2x+0),

/[lO=sin仔+0)=。,

故彳+0=左平左wZ,敬(p=k7i—q，keZ,當(dāng)左=1時(shí)滿足條件，故0=(,

1〃+6)?

/(x)=sin(2x+y),6=sin

\330)

ax=,%=。，%，tz4=——，生=。，ci^~?每個(gè)周期和為0,

故$2020=%+/+%+/=_#

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

4.C

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為心根據(jù)題意得出關(guān)于q的二次方程，求出q的值，然后利用等

比數(shù)列求和公式可求出s5的值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,由于4q、2a2、4成等差數(shù)列，且4=1，

4%=44+%,即4q=4+/，即/—44+4=0,解得q=2,

因此，

51—q1-2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，考查計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

—~成等差數(shù)列，

al9b

111A1/.yxfll^i_a4Z?__la4b6

/.—I—=I,a+4-b=(a+4/7j—i——5H---1---..5+2J—,——9,

ab\abJba\ba

3

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b即a=3,b=一時(shí)”=”成立，

2

本題選擇。選項(xiàng).

點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均

為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)

錯(cuò)誤.

6.

D

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小.

【詳解】因?yàn)?2-3>22>2,31>2字>2.3°=1=g]>g]

故<2.3；<223.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.

7.

B

【分析】

先計(jì)算至多1次遇到紅燈的概率，再用1減去所求概率，即可求得結(jié)果.

【詳解】若從甲地到乙地，遇到1次紅燈，則概率為

12311312111

—X—X——I——X—X——I——X—x——=——,

23423423424

1231

沒(méi)有遇到紅燈的概率為一x—x—=一,

2344

1117

故某人從甲地到乙地至少遇到2次紅燈的概率為1----------=—.

24424

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

8.

B

【分析】

根據(jù)分層抽樣等比例抽取的性質(zhì)，即可容易判斷.

Yi7

【詳解】根據(jù)題意可得------=一，解得"=n.

28+1628

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣等比例抽取的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

9.

B

【分析】

根據(jù)圖表中價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)情況以及波動(dòng)情況，即可容易選擇.

【詳解】根據(jù)圖表可知：

漁業(yè)產(chǎn)品每一年的價(jià)格指數(shù)均超過(guò)100,故都在增長(zhǎng)；

又畜牧產(chǎn)品的價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)波動(dòng)最大.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)分析，屬基礎(chǔ)題.

10.

C

【分析】

先求得集合5,再判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.

【詳解】對(duì)集合B=<1}=[0,1],

故存在集合A中的元素-1或2,使得其不屬于集合3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查集合之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

11.

A

【詳解】由a>2=!<!，

a2

而推不出。>2,

a2

；?“a>2”是“工<-充分不必要條件

a2

12.

C

【分析】

根據(jù)集合的含義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】對(duì)A：集合中的元素代表（2,3）點(diǎn)，與集合A不同；

對(duì)B：集合中的元素代表（2,3）點(diǎn)，與集合A不同；

對(duì)C：x2-5x+6-0＞解得尤=2或x=3,與集合A元素相同;

對(duì)D：表示兩個(gè)代數(shù)式的集合，與集合A不同.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查集合相等的判斷，屬基礎(chǔ)題.

1

13.——

2

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式，求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為q,

S3=a。+3。］,。3=2%,..q~=2,

44c1

a5=axq=44=—2,/.ax=——.

故答案為:.

2

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.

2n

n+1

【分析】

計(jì)算得到sn=仆+1），再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.

"2

【詳解】%=。1+24=3,54=46+61=10,故％=d=l,故s~,

"2

25吃島=2獸］一擊）=21》卜舍.

故答案為：生.

〃+1

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式

方法的綜合應(yīng)用.

15.

2

4

2222

試題分析：因生=3,故當(dāng)用<牝時(shí),2牝=3=彳，即/v彳時(shí),%="I?，即2al=彳,所

////

3

以外=[;當(dāng)a]>生時(shí),牝+2=3,%=1,即外>1時(shí),對(duì)+2=1可得a[=-1<1,不成立,

33

所以q=三,應(yīng)填—.

44

考點(diǎn)：分段數(shù)列的通項(xiàng)及運(yùn)用.

16.[20-1,20+1]

【分析】

根據(jù)題意利用直角坐標(biāo)系求出平面向量a，〃的坐標(biāo)表示，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐

標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量模的坐標(biāo)公式，利用圓的定義及性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

rr

【詳解】因?yàn)閍.b=O，a=b=2,所以在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)a=OA=(2,0),

人=。3=(0,2),c=OC=(%,y),

所以a+b=(2,2),由卜一。一q=ln(x-2)2+(y-2)2=l,因此點(diǎn)。的軌跡是以(2,2)為

圓心，1為半徑的圓，圓心(2,2)到原點(diǎn)的距離為萬(wàn)萬(wàn)=2J5，由圓的性質(zhì)可知：。

的取值范圍[20—1,2、歷+1]

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，考查了圓的性質(zhì)的應(yīng)用，考查

了平面向量模的最值問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想.

4-

17.—或0

3

【分析】

利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

sin9+2cos。=2=>sin。=2-2cos。sin20+cos20-1:.(2-2cos^)2+cos20-1

3

，化簡(jiǎn)整理得：5cos2^-8cos^+3=0>解得cos8=l或cos。=w,

當(dāng)cos8=1時(shí)，sin8=0ntan9=——=0；

cos。

、口3..八4八sin。4

當(dāng)cos6n=一時(shí)，sin6=一=>tan。=-----二—.

55cos03

4、

故答案為：一或0

3

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

YI

18.(1)②，理由見(jiàn)解析；(2)T=-------

n2n+l

【分析】

(1)選②，由/(x)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；

(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得乙,進(jìn)而得到包=廿1，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可

得所求和.

【詳解】(1)①③不能使｛?！埃傻缺葦?shù)列.②可以：由題意

/(an)=4+(w-l)x2=2w+2,

左2(〃+1)+2

即log*q=2n+2,得=左2*2,且4=//o,...S+L

an=k\

k2n+2

常數(shù)左>0且左W1,為非零常數(shù),

數(shù)列｛4｝是以"為首項(xiàng)，公為公比的等比數(shù)列.

n+l

(2)由(1)知％=/.(42)"T=左2K2,所以當(dāng)左=0時(shí)，an=2.

r\n+\

因?yàn)閙=n，

所以所以〃=(2-1；2“+1)=口.一貴；

,T_1f1111T1111八11n

T-b,+6。+L+Z?=-1----1------1-LH--------------=-1--------=------.

"12"2(3352/1-12/i+lJ212n+lJ2?+1

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

2n-l+3x2"-1

19.(1)a”=

2

(2)S“=5x2”+〃2—5

【分析】

(1)根據(jù)題意可得an-bn=2n-1,an+bn=3x2"一，聯(lián)立解方程可得數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)

公式；

(2)通過(guò)分組求和法可得數(shù)列｛2an+2"｝的前n項(xiàng)和Sn.

【詳解】解：(1)因?yàn)?=2,仿=1,所以％—偽=1,%+偽=3,

依題意可得，4—2=1+2(〃—1)=2〃—1,a“+么=3x2"。

2〃—1+3X2"T

故4=-------------；

(2)由(1)可知，2a“+2”=2〃—1+5X2"T,

故S“=(l+3++271-1)+5X(1+2++2”T)

n(l+2n—1)/\

=-^~-——^+5x(2,,-l)=5x2,,+n92-5.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組法求和，是基礎(chǔ)題.

20.

(I)a.=2〃-1,S.=〃2(II)見(jiàn)解析

【分析】

（I）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.

11111

（II）—=--=------7,根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到北n=1------得到證明.

dn+nn+nnn+1n+1

【詳解】（I）等差數(shù)列｛q｝的公差為d,由%+%=18,弟=36得。5=9,

%+〃6=12,

即％+4d=9,21+5d=12,解得％=1,d=2.

2

cin-2〃—1,Sn-1+3+5++（2n-1）-n.

211111

（IDSn=n,：.----=-...=———=--------，

Sn+nn+n〃（〃+1）nn+1

J__1

.,.T=1--+---+?+

〃223nn+1

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方

法的靈活運(yùn)用.

21.⑴加；⑵d=2一聲；⑶4—37r

【分析】

(1)本題首先可將an+l=[1+l]4+察化簡(jiǎn)為4±L=”+4，然后根據(jù)bn=%即可得

VnJ2n+1n2n

出結(jié)果；

(2)本題可結(jié)合(1)中結(jié)論并采用累加法得出結(jié)果；

(3)本題首先可以根據(jù)優(yōu)=2—右以及么=”得出2〃—4=白，然后列出S?和1S,

的表達(dá)式，最后采用錯(cuò)位相減法即可得出結(jié)果.

【詳解】⑴因?yàn)閿?shù)列{《,},q=1,4+1=[1+})%+等，2=?，

所以4=4=1,—="+工即2+1=勿+/，

n+1n2"

從而a=4+：'瓦=。2+*，%="-1+擊(”22).

所以包一包.1=35?2)，bn+l-bn=^.

⑵因?yàn)榇?4+：,。3=仇+*，，4=%T+表5?2),

所以將上述式子相加可得4+&++2=4+4++〃-+；+*+95?2),

即2=4+；+，+3+擊=4+1-擊(〃22),

又仇=1,故所求的通項(xiàng)公式為么=2—-

(3)因?yàn)閐=2-jY，t>n=—>

〃n

所以4=2"-西，2n-an=—[

,,?,234n?l1234n?

故"=1+5+中+了+…+聲①’鼻e凡二^+初+吩+吩+…+^②’

I--

、一,1,1111〃i2"〃c2

由①②可得，-Sn=1+-+TT+T7+--+T^F--=-j--3=2-不一

乙乙乙乙乙

-2

n+2

所以S0=4—

2"~]

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列前"項(xiàng)和的求法，考查的方法有累加法求

通項(xiàng)公式以及錯(cuò)位相減法，考查計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

22.

+1

（I）?！?2〃—1,MN*;（IDTn=^-+^^-4"

【分析】

（I）等差數(shù)列的公差設(shè)為%且d不為0,運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公

式、求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；

（II）求得bn=an?=（2〃—1）?4”,運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,結(jié)合等比數(shù)列的求

和公式，計(jì)算可得所求和.

【詳解】解：（I）S”是公差1不為零的等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，

由%是對(duì)與生的等比中項(xiàng)，

可彳導(dǎo)a[=，

即（q+d）2=+4d）,

化為d-2q,

由士=36,

可得6%+15d=36al=36,

解得q=l,d=2,

則=1+2（"-1）=2〃-1,nsN*;

（II）d=%.2""+i=（2“—1>4”,

則｛，”｝的前“項(xiàng)和Tn=1-4+3-16+5,644----F（2〃—1）,

故47；=l-16+3-64+5-256+---+（2w-l）-4n+1,

兩式相減可得—37；=4+2（16+64+…+4"）—（2〃—l>4"+i

16（1—4"叫

=4+2--------

1-4''

化簡(jiǎn)可得：<=型+包上9.4〃+1.

99

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決通項(xiàng)公式常見(jiàn)的方法是基本量法；本題還

考查了數(shù)列求和的知識(shí)，解決數(shù)列求和知識(shí)的常見(jiàn)方法是裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相消法等.

23.

3n

(1)證明見(jiàn)詳解，%=(3〃—（2）T=

n6n+4

【分析】

（1）由%+i=2a“+3x2”+i得箭—梟=3,然后果=2+（〃—l）x3=3〃—1,即可算

出答案

,6x4"311、

（2）"-（3?-l）-2,!-（3n+2）-2,!+1-（3H-1）（3H+2）-3H-1-3n+2）然后即可求

出7“

【詳解】⑴因?yàn)?j“+3x2叫所以占祟=3

即數(shù)列是以首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列

2"

所以墨=2+（“—l）x3=3〃—1

所以4=（3〃—1>2"

（2）由4=（377-1卜2"得

6x4”311

b.

（3"-1卜2”.（3"+2）.2'+1（3〃一1）（3〃+2）3H-13H+2

11113n

所以北=1_1+++

25583〃一13〃+223〃+26n+4

【點(diǎn)睛】常見(jiàn)數(shù)列的求和方法:公式法(等差等比數(shù)列)、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)

位相減法

24.

n

（1）a=3"；（2）

n2n+l

【分析】

(1)利用已知條件列出方程，求出首項(xiàng)與公比，然后求解通項(xiàng)公式.

(2)化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的和即可.

【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q(q>0),

%=3

由題意，得<

q=3

所以4=aqi=3〃.

(2)由(1)得包=log332"T=2"—l,

.c_〃屹+2)_〃[1+(2〃-1)]_2

??D=----------------=------------------------=72，

n22

.c.11______

"4H2-12^2H-12n+l),

++(-.............-]1=—

2[13jU5J{2n-l2n+l)\2n+l

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

1-2-

25.(I)g(x)=A/3sin—x(II)--,2

【分析】

(I)利用等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知，可以求出函數(shù)的周期，利用正弦型函數(shù)的最小

正周期公式求出①,最后根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)求出y=g(x)的解析式；

(II)根據(jù)函數(shù)y=g(x)的解析式，原不等式等價(jià)于3cos2x+3mcosx+m+120在

xeR恒成立，利用換元法，構(gòu)造二次函數(shù)，分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】(I)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為由，AA3C為等邊三角形，所以三角形邊長(zhǎng)為2,

所以丁=至=4,解得所以/(x)=6sin(一%—|，

①2<25)

將函數(shù)/(%)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的幾倍后，得到Mx)=百SinQx+|l

再向右平移g個(gè)單位，得到g(x)=J^sin；x.

(II)g(?-2x)=gsin=A/3COSx,

所以3sin2jv—G根超(萬(wàn)一2%)=3—3(：052%—3機(jī)(：05%,

原不等式等價(jià)于3cos2x+3mcosx+6+120在xwR恒成立.

令cos%=%,e[—1,1],即3產(chǎn)+3mt+m+1>0在，￡上恒成立.

m

設(shè)=3r+3加/+m+1,對(duì)稱軸/=一

~2

當(dāng)一gw—l時(shí)，即機(jī)22時(shí)，1）=—2m+4>0,解得機(jī)<2,所以切=2；

當(dāng)一萬(wàn)21時(shí)，即加V—2時(shí)，^（l）=4m+4>0,解得力2—1（舍）；

、3c2

當(dāng)一1<——<1時(shí)，即一2（加<2時(shí)，（p\——=一一tn+77?+1>0,解得一一<m<2.

2I2J43

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為-g,2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖象變換和性質(zhì)，考查了利用換元法、構(gòu)造法解決不等

式恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

26.（I）120°（II）。=3或。=—&1.

【分析】

（I）利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值、平面向量夾角

公式進(jìn)行求解即可；

（II）根據(jù)104+=?OA+OB）2,結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、正弦函數(shù)的最

值分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】（I）

V1-2sin100°cos280°V1+2sin100°cos100°cosl00-sinl00)2

a=

22

cos3700-Vl-cos170°cos10°-Vl-cos10°cos100-sin10°

sin(-150°)=--cos(-150°)=-->所以。4=(一1,0),OB=(1,-73),

22

OAOB-l>l+0>(-百)

所以cos(Q4,O5)=

HM1x22

因?yàn)?°<<180°,所以(04,03)=120°.

(II)\pA+08卜J(2sin'+a)?+4cos?0=J4asinO+a'+4,

因?yàn)?°W6?W180°,所以sin8e[0,l],

當(dāng)a>0時(shí)，在sin8=l時(shí)取得最大值，

即J/+4。+4=5，解得。=3或a=—7（舍）；

當(dāng)。<0時(shí)，Q4+08在sin8=0時(shí)取得最大值,

即+4=5，解得a=-121或a=J21（舍）；

所以。=3或。=一01.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了平面

向量夾角公式，考查了已知平面向量的模求參數(shù)的值，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

jr\5jr-rr

[2x+§J.單調(diào)遞增區(qū)間為kn—■五"，'乃+（左￡Z）.

（IDx=-曰時(shí)，最小值為—孚；x=A時(shí)，函數(shù)“X）取得最大值為3?

【分析】

（I）根據(jù)“五點(diǎn)法”的方法進(jìn)行填表，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合表格的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解

即可；

（II）利用換元法進(jìn)行求解即可.

【詳解】（I）

71717175

X一71—n

~~6127126

7137r

CDX+（p71

0~2~22兀

Asin（s+0）030-30

2%

根據(jù)圖表可知A=3,