2022-2023學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)題型分類訓(xùn)練：二次根式壓軸題（原卷版）

專題02二次根式壓軸題真題分類-高分必刷題（原卷版）

專題簡(jiǎn)介：本份資料包含《二次根式》這一章的三類主流的壓軸題，所選題目源自各名校期中、期末試題

中的典型考題，具體包含三類題型：二次根式中的配方法類壓軸題、二次根式中的分母有理化類壓軸題、

二次根式的新定義壓軸題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師培訓(xùn)尖子生時(shí)使用或者學(xué)生考前沖刺高分刷題時(shí)使用。

題型一二次根式中的配方法類壓軸題

1.（2019春?上海）先閱讀下列的解答過(guò)程，然再解答:

我們可以利用完全平方公式化簡(jiǎn)形如土26的代數(shù)式，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)。、b,使

a+b=m,ab=n，使得+他\=叫&1=6,那么便有:

ylm+2y/n=yla+2y[a-y/b+b=±=y[a±-Jb（a>b）

例如：化簡(jiǎn),7+46

解：首先把+4杷化為+2/，這里加=7/=12,由于4+3=7,4x3=12

即（"『+（省了=7）A/4-V3=712=273,47+4e=47+2g==2+73。

（1）填空用韭，J14+6A/^=

（2）化簡(jiǎn)：719-4V15.

2.（2022春?安徽滁州）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3

+272=（1+行）2,善于思考的小明進(jìn)行了以下探索設(shè)a+bV^=（m+n0）2（其中a,b,m,n

均為正整數(shù)），則有a+bV^=m2+2n2+2&mn,.,.a=m2+2n2,b=2mn.

這樣小明就找到了一種把a(bǔ)+bV2的式子化為平方式的方法.

請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)a,b,m,n均為正整數(shù)時(shí)，若a+t>G=（m+n73）2,3用含m,n的式子分別表示a,b,得a

=,b=；

（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a,b,m,n填空：—+2=（+）2；（答案不

唯一）

（3）若a+4^=（m+nV3）2,且a,m,n均為正整數(shù)，求a的值.

3.（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在學(xué)習(xí)了二次根式后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫成另一個(gè)二次根

式的平方的形式.

比如：4-2A/3=3-2A/3+1=(V3)2-2XV3X1+12=(百-廳.善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究：

當(dāng)4、b、m、〃為正整數(shù)時(shí)，若a+=(J5加+〃)2，則有Q+=(2/+〃2)+2^^加〃，所以4=2加2+“2,

b=2mn.

請(qǐng)模仿小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)。、b、加、“為正整數(shù)時(shí)，若a+=(mm+ri)。,請(qǐng)用含有"、"的式子分別表示。、b,得：

?=，b=；

(2)填空：13-473=(-V3)2；

(3)若a+6小=(m+4inY，且。、加、"為正整數(shù)，求。的值.

4.(2019秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考)閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2&=(1+72)

2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)a+bj^=(機(jī)2(其中°、6、機(jī)、〃均為整數(shù))，貝lj有°+6^^="22+2〃2+2^^〃”7.

.?“=機(jī)2+2〃2,6=2加".這樣小明就找到了一種把類似a+6&的式子化為平方式的方法.

請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)a、b、加、"均為正整數(shù)時(shí)，若a+b\[~^=(m+775/3)2,用含加、"的式子分別表示a、b,得:

a—,b—_；

(2)利用所探索的結(jié)論，填空：13+4愿=(+)2；

(3)若a+6j^=2,且。、加、幾均為正整數(shù)，求Q的值？

5.(2020?重慶)數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)："對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有

價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”.

材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算.如a2±2ab+b?=(a±b)2,那么=卜士4,如何將

雙重二次根式為±2n化簡(jiǎn).我們可以把5±246轉(zhuǎn)化為(出『士2八+(拒?=(出土行J完全平方的形式,

因此雙重二次根式、5±2幾=?百土可得以化簡(jiǎn).

,fy(x>0)

材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x,y)和Q(x,/)給出如下定義：若y'=",小則稱點(diǎn)Q為

(x<0)

點(diǎn)P的"橫負(fù)縱變點(diǎn)例如：點(diǎn)(3,2)的"橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(3,2),點(diǎn)(-2,5)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(-2,

-5).問(wèn)題：

⑴點(diǎn)("-⑹的"橫負(fù)縱變點(diǎn)"為，點(diǎn)卜3后-2)的"橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；

(2)化簡(jiǎn)：77+2710;

(3)己知a為常數(shù)(1442),點(diǎn)M(-亞，m)是關(guān)于x的函數(shù)>=-工(Ja+27^1+圖像上

的一點(diǎn)，點(diǎn)M，是點(diǎn)M的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，求點(diǎn)M，的坐標(biāo).

6.(2020春?安徽蕪湖)小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如:

3+272=(1+V2)2,善于思考的小明利用完全平方公式進(jìn)行了以下探索：

3+2V2=l2+2xlxV2+(72)2=(1+72)2.請(qǐng)你仿照小明的方法解決下列問(wèn)題：

(1)7-4V3=(a-Z?V3)2,貝4。=,b=；

(2)已知x是三田的算術(shù)平方根，求4x?+4x-2020的值；

2

(3)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)Jx+2jx-l+-

題型二二次根式中的分母有理化類壓軸題

7.（2020春?云南臨滄）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題.

在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如國(guó)島高樣的式子，其實(shí)我們還可以將其

4t55x65A/3

進(jìn)一步化間：用二萬(wàn)丁?、?/p>

22（省一1）2（百-I）

京一曲-㈢

以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化.

還可以用以下方法化簡(jiǎn):

23—1（⑹-F=（6+?百7）=g（四）

73+1-73+1-73+1

（1）直接寫出化簡(jiǎn)結(jié)果①7a=，②；!=.

（2）請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ɑ?jiǎn)陋.

⑶化簡(jiǎn)：—r=-----1-—j=/=+—j=1=H-------H/-----/.

V3+1V5+V3V7+V5J2.+1+J2-1

8.(2022秋?山東)［閱讀材料］把分母中的根號(hào)化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過(guò)程，叫做分母有理化?通

常把分子、分母同時(shí)乘以同一個(gè)不等于0的數(shù)，以達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的.

例如:化簡(jiǎn)

解：了--廣產(chǎn)戶.3.

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)

［理解應(yīng)用］

⑴化簡(jiǎn)：手言；

⑵若。是G的小數(shù)部分，化簡(jiǎn)V;

a

2222

++++

⑶化簡(jiǎn)：V37IV57?3V7W5-V2021+V2019-

9.（2021?上海）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題:

52

在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)

@、V3+1

5.5x6_5皿

G73x733“

—2_2x(QJ=2(百二1)二6一］

V3+1(V3+1x7^1)(V3)2-l'

以上這種化簡(jiǎn)過(guò)程叫做分母有理化.

還可以用以下方法化簡(jiǎn)：

23-1（6）2t（用1）（6-1）]

V3+1-V3+1-V3+1—V3+1-

（1）請(qǐng)任用其中一種方法化簡(jiǎn)：

①五:而;

2

②目+M（〃為正整數(shù)）;

在2222

（2）化簡(jiǎn)：京T京耳+正=+…瑞晨麗.

10.（2020?浙江杭州）閱讀下列解題過(guò)程

_1石-"）__行-a-J5-V4-V5-2

出+/一函+”）（囪-"）一（我。"

1=\乂函—后『/7_/7

V6W5-（V6+V5）（V6-V5）-7。-7r

請(qǐng)回答下列問(wèn)題

（1）觀察上面解題過(guò)程，請(qǐng)直接寫出/1/,的結(jié)果為______.

7n+7n-1

（2）利用上面所提供的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：

]]]]]

1+V2+V2+V3+V3+V4+…V98+V99+V99+V100的值,

（3）不計(jì)算近似值，試比較（JE-而）與（&?-屈）的大小，并說(shuō)明理由.

11.（2021春?望城區(qū)期末）閱讀下面問(wèn)題:

1==近_1；

V2+1(V2+1)(V2-1)

1=1X(依-&)=赤_V5.

1_________1又hR飛)r-石

門后電心力卡K4W&

試求：(1)求一產(chǎn)1____；

V7+V6

(2)當(dāng)叫為TF整正時(shí)」=—；

Vn+1Mn

(3)]、1卜1+…+11

1W2+V2W3^73W4+^798W99+^99+<100

12.(2020?岳麓區(qū)開學(xué))閱讀與理解

同學(xué)們，你知道平方差公式嗎？它實(shí)際上就(a+b)(a-b)=層-/>2,你會(huì)用嗎？請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程

1二IX(泥一叮)=晶.-返—正

V5W4=(V5W4)(V5-V4)(V5)2-(V4)2-5-4

1二IX(加《)巫一屈=娓=\后_^5

V6+V5(V6+V5)(V6-V5)(V6)2-(V5)26-5

這實(shí)際上就是分母有理化的過(guò)程！請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)觀察上面的解答過(guò)程，請(qǐng)寫出-。=—;

Vn+1Wn

(2)利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)」l1L+L1L+……+?-1「?-L

1+V2V2W3V3+V4V98W99V99W100

(3)解關(guān)于x的方程：「3x+3x+3x++3x=1.

V2W5V5W8V8WilV35W38

13.（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期末）定義：我們將（心+＞八）與儲(chǔ)小）稱為一對(duì)“對(duì)偶式”，因?yàn)?/p>

22

（VI-Vb）=（VI）-（Vb）=a-b-所以構(gòu)造“對(duì)偶式”再將其相乘可以有效的將

（4+Vb）W（4-五）中的“去掉，于是二次根式除法可以這樣計(jì)算：如

2jV2(2^)2

=3+272-像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化

2-V2(2-V2)x(2+V2)

去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化.

根據(jù)以上材料，理解并運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問(wèn)題：

（1）對(duì)偶式2+V^與2-e之間的關(guān)系為

A.互為相反數(shù)8.互為倒數(shù)C.絕對(duì)值相等。沒(méi)有任何關(guān)系

（2）已知乂=」，求2一的2值；

V5-2V旗+2Xy+Xy

（3）解方程：V24-x-V8-x=2（提示：利用"對(duì)偶式"相關(guān)知識(shí)，令424-X+V8-x=t）-

14.（2020秋?廣東佛山）先閱讀，再解答:由（石+君）（石-君）=（石『-（君『=2可以看出，兩個(gè)含有

二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算

時(shí)，利用有理化因式，有時(shí)可以化去分母中的根號(hào)，例如：

1^3-V25信

ET（6+@（百一碼二'0’請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

（DA/2-I的有理化因式是;

3

⑵化去式子分母中的根號(hào)：（直接寫結(jié)果）

（3）72019-72018______J2018-J2017（填〉或＜）

11

⑷利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值:+…+I---

+77773J2018+

題型三二次根式的新定義壓軸題

15.(2021秋?四川巴中)閱讀下列解題過(guò)程:

例：若代數(shù)式J(2-a)2+J(a-4)2=2,求a的取值.

解:原式=|"2|+,-4],

當(dāng)a<2時(shí)，原式=(2-a)+(4-a)=6-2a=2,解得a=2(舍去)；

當(dāng)2Wa<4時(shí)，原式=(a-2)+(4-a)=2=2,等式恒成立；

當(dāng)a24時(shí),原式=(a-2)+(a-4)=2a—6=2,解得a=4；

所以，a的取值范圍是24a

上述解題過(guò)程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問(wèn)題:

(1)當(dāng)34aW7時(shí)，化簡(jiǎn)：7(3-?)2+7(?-7)2=；

(2)請(qǐng)直接寫出滿足](“一1)2+J(a-6)2=5的a的取值范圍__________；

(3)若J(°+l)2+一3)2=6,求a的取值.