“等時(shí)圓”模型及其應(yīng)用（原卷版）-2025年高考物理重點(diǎn)模型復(fù)習(xí)突破

模型10“等時(shí)圓”模型及其應(yīng)用(原卷版)

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模型概述

1.等時(shí)圓模型

(1)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦上端由靜止開(kāi)始滑到圓環(huán)的最低點(diǎn)所用時(shí)間相等，如圖甲所示；

(2)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿不同的光滑弦由靜止開(kāi)始滑到下端所用時(shí)間相等，如圖乙所示；

(3)兩個(gè)豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過(guò)切點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿不同的光滑弦從上端由靜止開(kāi)始滑到下端所

用時(shí)間相等，如圖丙所示。

2.等時(shí)性的證明

設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為a,圓的直徑為"(如右圖)。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加

速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為"―gsma,位移為s=dsina,所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。

典題攻破

1.等時(shí)圓基本應(yīng)用

【典型題1】如圖所示，甲圖中質(zhì)點(diǎn)從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上，沿三個(gè)不同的光滑弦1、2、3上端由靜止開(kāi)始滑

到環(huán)的最低點(diǎn)，所用的時(shí)間分別為。、/2、小乙圖中質(zhì)點(diǎn)從豎直面內(nèi)的圓環(huán)上最高點(diǎn)，沿三個(gè)不同的

光滑弦4、5、6由靜止開(kāi)始滑到下端所用的時(shí)間分別為乙、4、V，貝U（）

A.tx=t2=t3,t4=t5=t6B.t{<t2<t3,t^<ts<t6

C.tA>t2>t3,?4>f5>t6D.t2>t3>t{,t6>t5>f4

【典型題2】（2024?湖北黃石?三模）如圖所示，是一個(gè)傾角為。的傳送帶，上方離傳送帶表面距離為/

的P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在尸與傳送帶間建立一直線光滑管道，使原料無(wú)初速度地從

P處以最短的時(shí)間到達(dá)傳送帶上，則最理想管道做好后，原料從尸處到達(dá)傳送帶的時(shí)間為（）

I21

Vgeos。

2.等時(shí)圓拓展應(yīng)用

【典型題3】如圖所示有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于。點(diǎn)，。點(diǎn)恰好是下半圓的頂點(diǎn)，

它們處在同一豎直平面內(nèi)。現(xiàn)有兩條光滑直軌道AOB、COD,軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為a>/,現(xiàn)

讓一小物塊先后從這兩條軌道頂端由靜止下滑至底端，則下列關(guān)系中正確的是（）

A.vB=vDB.vB<vDC.(AB~^CDD.

【典型題4】如圖在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí),使雨水盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開(kāi)始由屋頂無(wú)摩

擦地流動(dòng)，試分析：在屋頂寬度(2L)一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是

多少？

Si針對(duì)訓(xùn)練

1.(2024高一?全國(guó)?專題練習(xí))如圖所示，ad、bd>cd是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b>c、d位

于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為圓周的最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)，三個(gè)滑環(huán)分別

從a、b、c處釋放(初速度都為0),用tl、t2、t3依次表示各滑環(huán)滑到d的時(shí)間，則()

A.tx<t2<t3B.tx>t2>t3

C.tx>t2,t2<t3D.h=t?=

2.（23-24高二下?安徽合肥?期中）如圖所示，在斜面上有四條光滑細(xì)桿，其中0A桿豎直放置，0B桿與

0D桿等長(zhǎng)，0C桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個(gè)相同的小滑環(huán)（圖中未畫出），四個(gè)環(huán)分別從0

點(diǎn)由靜止釋放，沿OA、OB、OC、0D滑到斜面上，下列說(shuō)法正確的是（）

A.沿0。下滑過(guò)程中彈力的沖量最大

B.沿。1下滑過(guò)程中重力的沖量最大

C.沿0C下滑過(guò)程中重力的沖量最小

D.沿08下滑過(guò)程中彈力的沖量最小

3.（23-24高一上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）如圖所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了兩個(gè)光滑軌道a、

b,其中軌道a與斜面垂直，兩軌道頂點(diǎn)相同，且頂點(diǎn)在C點(diǎn)的正上方?，F(xiàn)分別從兩軌道的頂點(diǎn)釋放一

物塊，它們到達(dá)斜面的時(shí)間分別為tl、t2.下列說(shuō)法正確的是（）

4.（2024?江蘇泰州?一模）如圖所示，半球形容器內(nèi)有三塊不同長(zhǎng)度的滑板NO、B0\CO',其下端都固

定于容器底部點(diǎn)，上端擱在容器側(cè)壁上，已知三塊滑板的長(zhǎng)度若三個(gè)滑塊同時(shí)從

A、B、C處開(kāi)始由靜止下滑（忽略阻力），則（）

A.4處滑塊最先到達(dá)。'點(diǎn)B.8處滑塊最先到達(dá)。'點(diǎn)

C.C處滑塊最先到達(dá)。'點(diǎn)D.三個(gè)滑塊同時(shí)到達(dá)。'點(diǎn)

5.（23-24高三上?江蘇淮安?開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，球殼內(nèi)有三條弦OA、OB、OC,O為球內(nèi)的最低點(diǎn)，它

們與水平面間的夾角分別為60。、45。、30。。三個(gè)光滑的小環(huán)分別從A、B、C處由靜止沿所在弦下滑，

運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)所用的時(shí)間分別為〃、灰、左，則三者之間大小關(guān)系為（）

A.tA=tB=tcB./，<灰<

C.,4>'B>'CD.‘4='C>'B

6.如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy,該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中

B、C兩點(diǎn)處于同一個(gè)圓上，C是圓上任意一點(diǎn)，B、M分別為此圓與y軸、x軸的切點(diǎn)，A點(diǎn)在y軸上

且NAMO=60。，0,為圓心，現(xiàn)將a、b、c三個(gè)小球分別從A、B、C點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，它們將沿軌道

運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，所用時(shí)間分別為〃、匕、左，則（）

A.〃<<tc

B.〃=

c.’4>‘B='C

D.由于C點(diǎn)的位置不確定，故無(wú)法比較時(shí)間大小關(guān)系

7.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，有直角三角形光滑軌道框架△ABC,其中AB豎直。ZC=90°,光滑

圓弧軌道CB為△NSC的外接圓上的一部分。小球1、2分別沿軌道AB、AC從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，

到B、C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為%、L，小球3沿軌道CB從C點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)的時(shí)間為4;

小球4在圓弧軌道CB上某一點(diǎn)（對(duì)應(yīng)的圓心角很小）由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)的時(shí)間為6。則下列時(shí)

間的關(guān)系正確的是（

1

A.>t2B.t2<t4C.D.

8.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有ac、abc、adc三個(gè)細(xì)管道，ac沿豎

直方向，ab與be垂直，adc構(gòu)成等邊三角形。將三個(gè)小球同時(shí)從a點(diǎn)沿三個(gè)不同軌道由靜止釋放，忽略

一切摩擦，不計(jì)拐彎時(shí)的機(jī)械能損失，當(dāng)豎直下落的小球運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)時(shí)，關(guān)于三個(gè)小球的位置，下列示

意圖中可能正確的是（）

9.（23-24高一下?安徽蚌埠?期中）如圖所示，豎直平面內(nèi)存在半徑為R的大圓和半徑為r的小圓，兩個(gè)圓

的公切線水平，有兩條傾斜的光滑軌道，一條與大圓相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)為大圓的最高點(diǎn)，另一條

軌道一端交于大圓的C點(diǎn).另一端交于小圓的D點(diǎn)，且過(guò)大圓和小圓的公切點(diǎn)?，F(xiàn)讓一物體分別從兩條

軌道的頂端A、C由靜止釋放，分別滑到B點(diǎn)和D點(diǎn)（假設(shè)物體能夠無(wú)障礙地穿過(guò)CD與圓的交叉點(diǎn)）,

物體在兩條軌道上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為右B、%），重力加速度為g，下列判斷正確的是（

A.t/B=tCD

R+r

10.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖所示，O點(diǎn)為豎直圓周的圓心，MN和PQ是兩根光滑細(xì)桿，

兩細(xì)桿的兩端均在圓周上，M為圓周上的最高點(diǎn)，Q為圓周上的最低點(diǎn)，N、P兩點(diǎn)等高。兩個(gè)可視為

質(zhì)點(diǎn)的圓環(huán)1、2（圖中均未畫出）分別套在細(xì)桿MN、PQ上，并從M、P兩點(diǎn)由靜止釋放，兩圓環(huán)滑

到N、Q兩點(diǎn)時(shí)的速度大小分別為％、v2）所用時(shí)間分別為4、，貝U（）

A.v,=v

2B.Vj>v2C.>t2D.%=%

11.（23-24高三上?河南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）（多選）如圖所示，oa、ob和ad是豎直平面內(nèi)三根固定

的光滑細(xì)桿，0、a、b、c、d位于同一圓周上，c