《信號與系統(tǒng) 》課件第1章

第1章信號與系統(tǒng)的基本概念1.1信號1.2系統(tǒng)1.3信號與系統(tǒng)分析概述

1.1信號

1.1.1信號與信息

廣義地說：任何變化的事物(物理量)都可視為一種信號。如，變化的電壓或電流稱作電信號。變化的其他物理量都可以通過傳感器變換為電信號。

信號與信息的關系，概括起來可這樣描述：信號是信息的表現(xiàn)形式，信息是信號表述的具體內(nèi)容。1.1.2信號分類

1.連續(xù)時間信號與離散時間信號

在連續(xù)時間域里有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱為連續(xù)信號。這里“連續(xù)”是指函數(shù)(信號)的定義域——時間t(或其他量，如坐標位置距離x等)是連續(xù)的，而函數(shù)的值域可以是連續(xù)的，亦可以是離散的。如信號

f1(t)=5cosπt，t∈(－∞，∞)

其定義域(－∞，∞)和值域［-5，5］均是連續(xù)的。再如信號

(1.1-1)按照如上嚴密的定義，信號f2(t)應書寫為

(1.1-2)

f1(t)、f2(t)之圖形(波形)分別如圖1.1-1(a)、(b)所示。f1(t)、f2(t)均是連續(xù)時間t域里有定義的函數(shù)，它們都稱為連

續(xù)信號。圖1.1-1兩種連續(xù)信號的波形順便說及，將時間連續(xù)、函數(shù)值亦連續(xù)的連續(xù)時間信號又稱為模擬信號。

只在一些離散時間點上有定義的信號，稱為離散時間信號，簡稱為離散信號。根據(jù)不同序列信號的特點，有的可以寫成閉合函數(shù)形式，有的可逐個列出序列的值。如序列

(1.1-3)又如序列

(1.1-4)對于不同的α值，f1(k)的值域［0，1］是連續(xù)的，它的定義域為k∈［－∞，∞］。式(1.1-3)是f1(k)的閉合函數(shù)式。f2(k)就是逐個列出序列值的序列，其值域只取0、1兩個數(shù)，顯然是離散的，它的定義域為k∈［-2，3］。為簡化表示，常將f2(k)書寫為

(1.1-5)數(shù)字1下面的箭頭表示該值與k＝0相對應，左右兩邊依

次給出k取負整數(shù)和正整數(shù)時相應的f2(k)值。式(1.1-5)中的“k=0”也可略寫。其他書中也有用下劃線代替箭頭線的，

如

的圖形分別如圖1.1-2(a)、(b)所示。圖1.1-2兩種離散序列的圖形也順便說及，將時間離散、函數(shù)值亦離散的離散時間信號又稱為數(shù)字信號。即是說，圖1.1-2(b)所示的f2(k)屬于數(shù)字信號，而圖1.1-2(a)所示的f1(k)就不屬于數(shù)字信號。本書將離散信號、數(shù)字信號二者通用。

2.確定性信號與隨機信號

能以確定的時間函數(shù)表示的信號，稱為確定性信號，又稱為確知信號。對于任意指定的時刻，確定性信號均有確定的信號值與之對應，亦可畫出與之對應的確定的函數(shù)圖形(波形)。如信號f1(t)=10cosπt，f2(t)=e－t等都屬于確定性信號。它們的圖形分別如圖1.1-3(a)、(b)所示。圖1.1-3兩種確定性信號波形不能用確定的函數(shù)表示的信號，稱為隨機信號。對于任意確定的時刻，隨機信號的信號值是不確定的。如，電阻的熱噪聲信號、自然界中的雷電噪聲信號等都屬于隨機信號。隨機信號雖不能用確定的函數(shù)式表達，但有時可以觀察到某時刻的某種形式的波形。這里應明確：同一個隨機信號，在不同時刻觀察的波形是不同的；即便在同一時刻甲、乙兩人觀察同一個隨機信號的波形，也會不相同。淺顯地說，這就是隨機信號的不確定性特征。圖1.1-4(a)、(b)分別為甲、乙兩人對同一隨機信號所觀察到的兩種波形圖。圖1.1-4對于某隨機信號，不同觀察者得到的兩種波形

3.周期信號與非周期信號

確定性信號又可分為周期信號與非周期信號。周期信號是定義在(－∞，∞)區(qū)間，每隔一定時間T(或整數(shù)N)周而復始重復變化的信號，如圖1.1-5所示。圖1.1-5周期信號波形連續(xù)周期信號可表示為

(1.1-6)

離散周期信號可表示為

(1.1-7)滿足式(1.1-6)、式(1.1-7)關系式中的最小T(或N)值稱為信號的周期。只要給出周期信號在一個周期內(nèi)的函數(shù)式或波形圖，便可確定它在任意時刻的值，這是任何周期信號都具有的共同特點。還應說明的是，對于連續(xù)正弦周期信號，有

(1.1-8)式中，T＝2π/Ω為信號的周期，對于任意角頻率Ω，它都是t域里的周期函數(shù)。而對于離散正弦序列信號，有

(1.1-9)式中，β為數(shù)字角頻率，單位為弧度或度；

(1.1-10)

因離散信號只在k等于整數(shù)時才有定義，所以當N為整數(shù)(β＝2π／N)時，式(1.1-9)所表述的序列才是周期序列。其實，當2π/β＝N′/M(N′、M為無公因子的整數(shù))為有理數(shù)時，正弦序列亦為周期序列，這時的周期

(1.1-11)令式(1.1-11)中的M＝1，N′就等于式(1.1-10)中的N。如β＝π/6，代入式(1.1-10)，得正弦序列的周期

再如，β=5π/6，代入式(1.1-11)，有

取M＝5，則得正弦序列的周期

N′=12不滿足式(1.1-6)和式(1.1-7)關系的信號，稱為非周期信

號。非周期信號在時間上不具有周而復始重復的特性。若令周期T或N趨于無窮大，則周期信號就極限演變?yōu)榉侵芷谛?/p>

號。圖1.1-6給出了幾種連續(xù)非周期信號和離散非周期信號

的波形。圖1.1-6幾種非周期信號的波形

4.能量信號與功率信號

對于我們所研究的電信號f(t)，不管它是電流信號還是電壓信號，將f(t)施加于1Ω電阻上，其上所消耗的功率定義為信號f(t)的功率，其上所消耗的能量定義為信號f(t)的能量。

信號f(t)的瞬時功率為

(1.1-12)

式中對f(t)取模主要考慮f(t)有可能是復信號的情況。信號f(t)在區(qū)間－a＜t＜a的能量為在該區(qū)間的平均功率為

信號能量E定義在(－∞，∞)區(qū)間，即

(1.1-13)

信號在(－∞，∞)區(qū)間的平均功率P可寫為

(1.1-14)類似地，對于離散信號亦有能量信號與功率信號之分。它們的定義分別為

(1.1-15)

(1.1-16)

5.實信號與復信號

若表達信號的函數(shù)是實函數(shù)(不管是一維或多維)，就稱信號為實信號。如，信號

t、k均為實變量，函數(shù)值f(t)、f(k)亦在實數(shù)域取值，所以二者均為實信號。若表達信號的函數(shù)是復函數(shù)，就稱信號為復信號。如f(t)=est，s=σ+jω，則有

(1.1-17)

式(1.1-17)中σ、ω均為實數(shù)，t是實變量，而函數(shù)值在復數(shù)域取值，所以它就是復信號。如果取式(1.1-17)中σ＝0，則有

(1.1-18)再如，離散信號f(k)=zk，z=ρejθ，則有

(1.1-19)

式(1.1-19)中的ρ、θ均為實數(shù)，k是整實變量，而函數(shù)值

在復數(shù)域取值，所以它亦屬復信號。如果取ρ=1，代入式(1.1-19)中，則有

(1.1-20)1.1.3信號的基本運算(加、減、乘運算)

1.加減運算

兩信號進行加、減運算，就是兩信號對應時刻的信號值相加、減。設f1(·)、f2(·)兩信號運算的結(jié)果信號為y(·)，顯然，有

(1.1-21)

式中，若“·”是t，則表示連續(xù)信號運算；若“·”是k，則表示離散信號運算。圖1.1-7(a)、(b)給出了兩信號相加、減運算的過程及結(jié)果圖形。圖1.1-7信號的加、減運算

2.乘運算

兩信號相乘運算，就是兩信號對應時刻的函數(shù)值相乘，即

(1.1-22)

圖1.1-8(a)、(b)給出了兩信號相乘運算的過程及結(jié)果圖形。圖1.1-8二信號相乘運算圖1.1-8(b)所表示的兩離散信號相乘的運算及結(jié)果圖形容易理解。下面對圖1.1-8(a)所表示的兩連續(xù)信號相乘運算及其結(jié)果再做進一步的討論。將f1(t)、f2(t)寫為分段函數(shù)表示形式，即有我們知道，只有兩函數(shù)均不為零的區(qū)間相乘，其結(jié)果函數(shù)才不為零。由上述兩函數(shù)的表達式可知，當在1<t<2區(qū)間f1(t)、f2(t)均不為零，將兩信號在此區(qū)間的函數(shù)相乘，則有

(1.1-23)

顯然由式(1.1-23)可知，在1<t<2區(qū)間它是開口向下的二次函數(shù)曲線。t=1，2處乘積函數(shù)值為0。對乘積函數(shù)求一階導并令其為零，即解得極值點t=1.5，此時乘積函數(shù)y(t)的值為

綜上討論，寫出乘積結(jié)果函數(shù)y(t)的表達式為

根據(jù)y(t)函數(shù)式畫得的圖形即是圖1.1-8(a)所示的圖形。

例1.1-1

已知周期信號f1(t)=sin2t，f2(t)=cos5t，設y(t)=f1(t)+f2(t)，試判斷y(t)是否是周期信號。若是，求出基本周期T。

解和信號若仍是周而復始重復的信號，則它就是周期信號，它的重復周期稱為和信號的基本周期，其基本周期的數(shù)值為相加各周期信號周期的最小公倍數(shù)。由已知的f1(t)、f2(t)函數(shù)式可看出f1(t)的角頻率Ω1、相應的周期T1分別為

f2(t)的角頻率Ω2、相應的周期T2分別為

T1與T2的最小公倍數(shù)為2πs，即和信號y(t)的基本周期T＝2πs。所以y(t)是周期信號。

例1.1-2

已知f1(t)＝sin3t，f2(t)=cosπt，設y(t)＝f1(t)－f2(t)，試判斷y(t)是否是周期信號。若不是，請說明理由。

解差信號是否是周期信號的判斷方法如同和信號一樣。f1(t)的角頻率Ω1、周期T1分別為

f2(t)的角頻率Ω2，周期T2分別為

因T1是無理數(shù)，T2是有理數(shù)，所以T1與T2無最小公倍數(shù)，故判斷y(t)不是周期信號。1.1.4信號的時域變換

時移是時間移位的簡稱。如圖1.1-9(a)所示連續(xù)信號f(t)，將其自變量t換成t±t0(t0為正實常數(shù))，于是得到f(t±t0)，取

“－”號時是右移t0單位，取“＋”號時是左移t0單位。若取

t0＝1，其右移、左移的圖形分別如圖1.1-9(b)、(c)所示。圖1.1-9連續(xù)信號移位圖形對于離散信號完全有類似情況。設k0為正整數(shù)，取k0=1、f(k)、f(k－1)、f(k＋1)之圖形分別如圖1.1-10(a)、(b)、(c)所示。圖1.1-10離散信號移位圖形

2.反折

將連續(xù)信號f(t)中的自變量t換為－t，得到f(－t)；將離散信號f(k)中的自變量k換為－k，便得到f(－k)。f(－t)、f(－k)分別稱為f(t)、f(k)的反折信號。其實，f(t)與f(－t)，f(k)與f(－k)均互為反折信號。反折變換的幾何意義是將實自變量軸“倒置”，取其原信號實自變量軸的負方向作為變換后信號實自變量軸的正方向，為順應人們的實自變量軸的正方向指向“右”的習慣，將f(t)或f(k)的圖形圍繞縱坐標軸翻轉(zhuǎn)180°，即為f(－t)或f(－k)的圖形。圖1.1-11(a)、(b)分別畫出了連續(xù)、離

散信號的反折信號。圖1.1-11信號反折圖形

3.尺度變換

尺度變換是指時間坐標尺度變換，簡稱尺變。對于連續(xù)信號f(t)，將自變量t換為

at＝x(a為正實數(shù))新變量，得f(x)，新變量x與原變量t成a倍關系，即是說，新變量x=1處相當于原變量t的1/a處。若用函數(shù)值表示，應有圖1.1-12連續(xù)信號的尺變波形

例1.1-3

如圖1.1-13(a)所示信號f(t)，試寫出f(2t)、

f［(1/2)t］函數(shù)表達式，并畫出它們的波形圖。圖1.1-13例1.1-3用圖

解由圖1.1-13(a)所示f(t)之圖形寫出f(t)的分段函數(shù)表達式為將式(1.1-24)中的t分別換為2t、(1/2)t，寫出f(2t)、

f［(1/2)t］的函數(shù)表達式分別為分別改寫以上兩式，得

(1.1-25)

(1.1-26)

例1.1-4

f(t)的圖形如圖1.1-14(a)所示，試畫出f［1-(1/2)t］之圖形。

解有了單種形式時域變換的基礎，對三種形式結(jié)合的時域變換也就不難掌握。就本問題來說，變換的順序是尺變→反折→時移或是反折→尺變→時移或……，三種變換先后順序可以有6種組合，均可解答本問題，但一般采用如上的前兩種順序是簡便的，且不易出錯。圖1.1-14(b)、(c)、(d)畫出了尺變、反折、移位的變換過程圖形。圖1.1-14例1.1-4用圖

例1.1-5

圖1.1-15(a)所示為三種變換結(jié)合的變換f(-2t＋2)的圖形，試畫出f(t)的圖形。

解本例可看做例1.1-4問題的“逆”問題。三種變換形式的順序同樣有6種組合可以選擇。對這類“逆”問題，選擇時移→反折→尺變或時移→尺變→反折的順序變換求解較簡便，且不易出錯。圖(b)、(c)、(d)畫出了時移、反折、尺變的變換過程圖形。圖1.1-15例1.1-5圖

1.2系統(tǒng)

1.2.1系統(tǒng)的定義

所謂“系統(tǒng)”，就是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有某種特定功能的整體。1.2.2系統(tǒng)的分類

1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)

系統(tǒng)的一般表示符號為長方形的矩形框，如圖1.2-1所示。圖1.2-1系統(tǒng)的一般表示稱輸入、輸出均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng)，簡稱為連續(xù)系統(tǒng)；稱輸入、輸出均為離散時間信號的系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng)，簡稱為離散系統(tǒng)。圖1.2-2(a)所示的系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)，圖1.2-2(b)所示的系統(tǒng)為離散系統(tǒng)。圖1.2-2連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)

2.無記憶系統(tǒng)與記憶系統(tǒng)

若系統(tǒng)在任意時刻t1或k1的輸出信號值與該時刻以前(t＜t1或k＜k1)的輸入信號無關，則稱該系統(tǒng)為無記憶系統(tǒng)；否則，稱為記憶系統(tǒng)。還可進一步理解為，無記憶系統(tǒng)不能

記憶系統(tǒng)過去的工作狀態(tài)(“歷史”情況)；相反，記憶系統(tǒng)能

夠記憶。

例1.2-1

系統(tǒng)的輸入為f(·)，輸出為y(·)，a為實常數(shù)，試判別下列系統(tǒng)是否是無記憶系統(tǒng)。

(1)y(t)=af(t);

(2)y(k)=f(k)+f(－k)；

(3)y(t)=f(t+1)－f(t)。

判別

(1)設t＝t1，由系統(tǒng)輸出y(t)與輸入f(t)之關系，可得

y(t1)=af(t1)

(2)令k＝k1＝1，則得

y(1)=f(1)+f(－1)

(3)令t＝t1＝0，則得

y(0)=f(1)－f(0)

3.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

參看圖1.2-1，系統(tǒng)的輸出y(·)可認為由t或k≥0時所加的輸入f(·)與系統(tǒng)的起始狀態(tài)｛x(0_)｝(體現(xiàn)系統(tǒng)原有的儲能)共同作用所產(chǎn)生，稱為系統(tǒng)的全響應。這可用數(shù)學式表示為

y(·)=T［｛x(0_)｝，｛f(·)｝］

(1.2-1)式中，“T”是算子，其義是｛x(0－)｝、｛f(·)｝經(jīng)過算子T所規(guī)定的運算，得到y(tǒng)(·)。符號“0－”表示信號加入前瞬間。若式(1.2-1)可以寫為

(1.2-2)

式中

(1.2-3)

(1.2-4)

稱滿足式(1.2-2)的系統(tǒng)為具有分解特性的系統(tǒng)。即是說，這類系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應可以分解得開。具有分解性的系統(tǒng)，若再：

①滿足零輸入、零狀態(tài)齊次性(又稱均勻性)，即

(1.2-5a)

(1.2-5b)

②滿足零輸入疊加性、零狀態(tài)疊加性，即

(1.2-6a)

(1.2-6b)

例1.2-2

設f(t)、y(t)分別為某連續(xù)系統(tǒng)t≥0時的輸入和輸出，x(0—)為系統(tǒng)的起始狀態(tài)，試別判有下列關系的系統(tǒng)是記憶系統(tǒng)還是無記憶系統(tǒng)，是線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)。

判別

(1)令t＝t1，則有

(1.2-7)再設

(1.2-8)

式中

(1.2-9)

(1.2-10)

(2)令t＝t1，則有

(1.2-11)

上式表明，系統(tǒng)t1時刻的輸出值只取決于t1時刻的系統(tǒng)輸入值f(t1)，與t1時刻以前的輸入無關(即與x(0－)無關)，所以該系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)。設輸入f1(t)、f2(t)時系統(tǒng)的輸出分別為y1(t)、y2(t)，則有

(1.2-12)

(1.2-13)

再設f3(t)＝af1(t)＋bf2(t)(a、b均為實常數(shù))時系統(tǒng)輸出為y3(t)，則應有

(1.2-14)

式(1.2-14)表明：該系統(tǒng)既不滿足齊次性也不滿足疊加性，所以該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。

(3)令t＝t1＞0，則有

(1.2-15)

由式(1.2-15)可見：t1時刻的輸出值y(t1)只取決于t1時刻輸入的導數(shù)值，與t1時刻以前的輸入無關，故該系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)。設輸入為f1(t)、f2(t)時系統(tǒng)的輸出分別為y1(t)、y2(t)，則有

(1.2-16)

(1.2-17)

再設輸入f3(t)=af1(t)+bf2(t)(a、b為實常數(shù))時系統(tǒng)的輸出為y3(t)，應有

(1.2-18)

(4)令t=t1＞0，則有

(1.2-19)

上式表明：t1時刻的系統(tǒng)輸出值y(t1)不但與t1時刻系統(tǒng)的輸入值f(t1)有關，亦與系統(tǒng)的起始狀態(tài)有關，所以該系統(tǒng)是記憶系統(tǒng)。改寫系統(tǒng)輸出、輸入及起始狀態(tài)之間的關系式為

(1.2-20)

式中

(1.2-21)

(1.2-22)設分別輸入f1(t)、f2(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應分別為yf1(t)、yf2(t)，則有

(1.2-23)

(1.2-24)再設輸入f3(t)=af1(t)+bf2(t)(a、b為實常數(shù))時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為yf3(t)，則應有

(1.2-25)

式(1.2-25)表明：零狀態(tài)響應既不滿足齊次性又不滿足疊加性，故該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

4.時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)

設輸入信號f(·)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)輸出(響應)為yf(·)，如果輸入延遲td或kd，其零狀態(tài)輸出也延遲同樣的時間

td或kd，則稱這樣的系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。這還可由下述式子作簡明表示。設對于連續(xù)系統(tǒng)，有

(1.2-26)

對于離散系統(tǒng)，有

(1.2-27)

稱滿足式(1.2-26)或式(1.2-27)的系統(tǒng)為連續(xù)時不變(ContinuousTimeInvariant，LTI)系統(tǒng)或離散時不變系統(tǒng)。圖1.2-3連續(xù)時不變系統(tǒng)

例1.2-3

已知f(·)為系統(tǒng)的輸入，yf(·)為系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出，試判別下列系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。

(1)yf(t)=asin［f(t)］；

(2)yf(k)=kf(k)。

解

(1)設輸入為f1(t)，則有

(1.2-28)

另設f2(t)＝f1(t－td)，則有

(1.2-29)

式(1.2-28)、式(1.2-29)表明該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。

(2)設輸入為f1(k)時系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出為yf1(k)，則

(1.2-30)

另設f2(k)=f1(k－kd)時系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出為yf2(k)，顯然

(1.2-31)

故知該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。

例1.2-4

f(t)、y(t)分別為系統(tǒng)的輸入與輸出，已知：y(t)=f(2t)，試判別該系統(tǒng)是否是記憶系統(tǒng)，是否是線性系統(tǒng)，是否是時不變系統(tǒng)。

解令t=t1(任意時刻)，則有

y(t1)=f(2t1)

(1.2-32)

上式表明y(t1)只與t1時刻的輸入值f(2t1)有關，所以該系統(tǒng)是即時系統(tǒng)，屬無記憶系統(tǒng)。因y(t)只與f(2t)有關而與系統(tǒng)的起始狀態(tài)無關，所以y(t)即認為是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)。設輸入分別為f1(t)、f2(t)時的輸出分別為y1(t)、y2(t)，則

(1.2-33)

(1.2-34)

另設輸入f3(t)=af1(t)+bf2(t)(a、b為實常數(shù))時的輸出為y3(t)，則

(1.2-35)

考慮y3(t)滿足齊次性與疊加性，故知系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。再設輸入為f4(t)=f1(t－2)時的系統(tǒng)輸出為y4(t)，則

(1.2-36)

由式(1.2-33)、式(1.2-36)可知該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。綜合上述判別，明確：該系統(tǒng)為無記憶、線性、時變的系統(tǒng)。為了使讀者容易理解本例系統(tǒng)的時變性，以圖1.2-4所示具體的f(t)、y(t)加以佐證。圖1.2-4例1.2-4用圖

5.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

若系統(tǒng)輸入與相應的零狀態(tài)響應滿足:

(1.2-37)

則稱這樣的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。t0或k0可認為是輸入信號開始加入的時刻，習慣取t0或k0等于0，這一時刻也即是人們分析研究系統(tǒng)的觀察時刻，前述的系統(tǒng)的零輸入響應yx(·)、零狀態(tài)響應yf(·)之間的界定時刻也正是這一時刻。不滿足式(1.2-37)的系統(tǒng)稱為非因果系統(tǒng)。

例1.2-5

設f(·)、yf(·)分別為系統(tǒng)的輸入及零狀態(tài)輸出，試判別下列系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)。

解

(1)由表達式可見，t時刻的零狀態(tài)輸出取決于從－∞到t所有時刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)?；蛘哒f，(1)是記憶系統(tǒng)，也就是因果系統(tǒng)。

(2)令k=1，則有

yf(1)=f(1)－f(－1)

顯然，系統(tǒng)是因果的。

(3)令t=1，有

yf(1)=f(2)

顯然，系統(tǒng)是非因果的，或者說系統(tǒng)是預測系統(tǒng)，也就是非因果系統(tǒng)。

(4)令k=1，有

yf(1)=f(2)－f(1)

顯然系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

例1.2-6

某線性、時不變、因果的連續(xù)系統(tǒng)，具有一定的起始狀態(tài)。已知輸入為f1(t)時，系統(tǒng)的全響應為

y1(t)=7e－t+2e－3t，t≥0

若起始狀態(tài)不變，輸入為f2(t)=3f1(t)時，全響應為

y2(t)=17e－t－2e－2t+6e－3t，t≥0

試求：

(1)系統(tǒng)的零輸入響應yx(t)；

(2)若起始狀態(tài)不變，求當輸入f3(t)=5f(t)時系統(tǒng)的全響應y3(t)。

解考慮線性系統(tǒng)的可分解性，設

(1.2-38)

(1.2-39)

式(1.2-39)減式(1.2-38)并考慮yf2(t)=3yf1(t)(齊次性)，解得

(1.2-40)式(1.2-38)減式(1.2-40)，得零輸入響應

(1.2-41)

再根據(jù)齊次性與疊加性，得全響應為

6.穩(wěn)定系統(tǒng)與非穩(wěn)定系統(tǒng)

若對所有的輸入信號，有

(1.2-42a)

則其系統(tǒng)的零狀態(tài)響應亦有

(1.2-42b)

式中Mf、My均為有限的正實常數(shù)。滿足式(1.2-42)的系統(tǒng)稱為BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)，常簡說為穩(wěn)定系統(tǒng)。

例1.2-7

設f(·)、yf(·)分別為系統(tǒng)的輸入及零狀態(tài)輸出，試判別下列系統(tǒng)是否是穩(wěn)定系統(tǒng)。

解

(1)設f(t)有界，即|f(t)|≤Mf，則

即

滿足式(1.2-42)BIBO穩(wěn)定條件，故判定該系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)設f(k)有界，即|f(k)|≤Mf，則

即

由上式可見，當k→±∞時，|yf(k)|→∞(無界)，所以該系統(tǒng)是非穩(wěn)定系統(tǒng)。圖1.2-5系統(tǒng)分類簡明表示圖1.2.3系統(tǒng)的描述

1.數(shù)學模型描述

由實際系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、元件特性、基本定律尋找系統(tǒng)輸出與輸入之間的數(shù)學運算關系式，稱為對系統(tǒng)建模，其找到的數(shù)學運算關系式即方程式，稱為系統(tǒng)的數(shù)學模型。

例1.2-8

圖1.2-6所示電路是一種具體的電系統(tǒng)，激勵電壓源us(t)作為系統(tǒng)的輸入信號，R2兩端的電壓u(t)作為系統(tǒng)的輸出信號。試列寫輸入輸出方程(即建立數(shù)學模型)。

解設網(wǎng)孔A、B及各電流參考方向如圖1.2-6中所標。

應用KCL列節(jié)點a的電流方程為

iC=i1－i2圖1.2-6例1.2-8用圖對網(wǎng)孔A、B應用KVL分別列方程為

(1.2-43)

(1.2-44)考慮元件上電壓、電流關系，對本問題，有所以

(1.2-45)

將式(1.2-45)代入式(1.2-43)，并代入元件參數(shù)值，經(jīng)整理，得輸出u(t)與輸入us(t)之間的方程為

(1.2-46)

例1.2-9

圖1.2-7(a)是一簡單的機械力學系統(tǒng)。一質(zhì)量為M的物體所受外力為f(t)，作為系統(tǒng)的輸入信號。用y(t)表示物體自起始位置的位移，作為系統(tǒng)的輸出信號。假設物體所受的黏性摩擦力為B為黏性摩擦系數(shù)。根據(jù)虎克定律，物體所受彈性力為Ky(t)，其中K為彈性系數(shù)。物體受力的情況如圖1.2-7(b)所示。試列寫聯(lián)系輸出y(t)(位移)與輸入f(t)(作用力)之間關系的微分方程。圖1.2-7例1.2-9