專題04 一次方程（組）【考點(diǎn)精講】（原卷版）

專題04一次方程（組）一、一元一次方程一元一次方程概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b為常數(shù)，且a≠0).解法解法依據(jù)是等式的基本性質(zhì).性質(zhì)①：若a=b，則a±m(xù)=b±m(xù)；性質(zhì)②：若a=b，則am=bm；若a=b，則(d≠0).解法的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1.二、二元一次方程（組）二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．二元一次方程組定義形如和都是二元一次方程組解法代入法解二元一次方程組的一般步驟：從方程組中任選一個(gè)方程,將方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;將這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程,消去一個(gè)未知數(shù),得到含有一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程;解這個(gè)一元一次方程,求出一個(gè)未知數(shù)的值;d.將所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組的任一方程中,求出另一個(gè)未知數(shù)的值,從而得到方程組的解.加減法解二元一次方程組的一般步驟:a.方程組的兩個(gè)方程中,如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)又不相等,就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊,使它們中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù);b.把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程;c.解這個(gè)一元一次方程;d.將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中,求出另一個(gè)未知數(shù),從而得到方程組的解.三、方程的運(yùn)用常見運(yùn)用題型解應(yīng)用題的步驟：①審清題意;②找等量關(guān)系;③設(shè)未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗(yàn)根;⑦作答.工作(或工程)問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間利息問題：利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金+利息行程問題：路程=速度×?xí)r間;其中,相遇問題:s甲+s乙=s總;追及問題：(同地異時(shí))前者走的路程=追者走的路程;(異地同時(shí))前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程利潤問題：利潤=賣價(jià)-進(jìn)價(jià)；利潤率=×100%.數(shù)字問題：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=100×百位數(shù)字+10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字分配問題等【考點(diǎn)1】等式性質(zhì)【例1】（2022·山東濱州）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：去分母得，那么其變形的依據(jù)是（

）A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2運(yùn)用等式的性質(zhì)的注意事項(xiàng)（1）等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算.（2）等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子.（3）等式兩邊不能同時(shí)除以0，即0不能作除數(shù)或分母.1．（2022·河南鄭州·七年級期末）已知等式，則下列式子中不成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河北保定·七年級期末）已知是有理數(shù)（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么3．（2022·湖北十堰·七年級期末）設(shè)x，y，c是有理數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么acC．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b【考點(diǎn)2】一次方程（組）概念與解法【例2】解方程：【例3】（2021·廣東）二元一次方程組的解為．1．解一元一次方程的基本步驟.①去分母，②去括號，③移項(xiàng)，④合并同類項(xiàng)，⑤系數(shù)化為1.2．解二元一次方程組關(guān)鍵在于熟練掌握用消元法和代入法3．解二元一次方程組的方法選擇當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或者-1時(shí)，選用代入消元法；當(dāng)方程組中某一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，選用代入消元法；方程組中同一個(gè)知數(shù)的數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，選用加減消無法（4）當(dāng)兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，選用加減消元法1．（2022·福建三明·八年級期末）下面各組數(shù)值中，二元一次方程2x＋y＝10的解是（

）A． B． C． D．2．（2022·河南·南陽市第三中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知，滿足方程組，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·廣東深圳·八年級期末）已知方程組的解滿足，則的值為（

）A．7 B． C．1 D．4．（2022·浙江臺州）解方程組：．【考點(diǎn)3】含參方程【例4】已知是二元一次方程kx＋4y＝7的一個(gè)解，則k＝（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例5】（2021·重慶·七年級階段練習(xí)）在解方程組由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，得到的解為，乙看錯(cuò)了方程組中的b，得解，則原方程組中的正確的解為（）A． B． C． D．1．（2020·江西·新余四中七年級期中）若方程的解與關(guān)于的方程的解相同，求的值．2．（2022·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)八年級期末）若是關(guān)于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一個(gè)解，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·山東濱州·二模）已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足x+y=5，則k的值為（

）A． B．2 C．3 D．54．（2022·貴州畢節(jié)·八年級期末）若關(guān)于x、y的二元一次方程的解，也是方程的解，則m的值為（

）A．-3 B．-2 C．2 D．無法計(jì)算5．（2022·甘肅酒泉·八年級期末）如果關(guān)于，的方程組與的解相同，則的值（

）A．1 B．2 C．－1 D．0【考點(diǎn)4】方程運(yùn)用1：工程問題【例6】（2022·山東濟(jì)寧·七年級期末）一項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成需要12天，由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要16天．甲工程隊(duì)單獨(dú)施工5天后，為加快工程進(jìn)度，又抽調(diào)乙工程隊(duì)加入該工程施工，問還需多少天可以完成該工程？如果設(shè)還需x天可以完成該工程，則可列方程為（

）A． B． C． D．1．（2023·江蘇·七年級專題練習(xí)）在防疫政策的指導(dǎo)下，疫情得到了全面控制某醫(yī)療器械廠計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一批防護(hù)服的生產(chǎn)任務(wù)，如果每天生產(chǎn)防護(hù)服300套，那么就比原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)少生產(chǎn)100套；如果每天生產(chǎn)350套，那么可提前一天完成任務(wù)，并且還超過原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)50套，求這批防護(hù)服原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)是多少？2．（2021·黑龍江道里·七年級期末）振興東北“濱濱有禮、智領(lǐng)未來”，哈爾濱市地鐵“三號線”正在進(jìn)行修建中，現(xiàn)有大量的殘土需要運(yùn)輸．某車隊(duì)有載重量為10噸和15噸的卡車共20輛，全部車輛運(yùn)輸一次可以運(yùn)輸260噸殘土．（1）求該車隊(duì)有載重量為10噸和15噸的卡車各有多少輛；（2）隨著工程的進(jìn)展，該車隊(duì)需要一次運(yùn)輸殘土不低于360噸，為了完成任務(wù)，該車隊(duì)準(zhǔn)備新購進(jìn)這兩種卡車共8輛，求該車隊(duì)新購進(jìn)的卡車中最多購進(jìn)載重量為10噸的卡車多少輛？3．（2021·陜西韓城·七年級期末）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力為某村莊修建3000m的村路，甲隊(duì)每天修建150m，乙隊(duì)每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的張紅同學(xué)，根據(jù)題意，列出的兩個(gè)二元一次方程等號后面忘記寫數(shù)據(jù)，得到了一個(gè)不完整的二元一次方程組，請你將張紅列出的這個(gè)不完整的方程組補(bǔ)充完整，并說明未知數(shù)p、q表示的含義；（2）李芳同學(xué)的思路是設(shè)甲工程隊(duì)修建了xm村路，乙工程隊(duì)修建了ym村路，請你按照李芳的思路，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別修建了多少天？【考點(diǎn)5】方程運(yùn)用2：行程問題【例7】（2022·甘肅武威）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛，問經(jīng)過多少天相遇？設(shè)經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．【例8】（2022·湖南）中國“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開通后，張家界到懷化的運(yùn)行時(shí)間由原來的3.5小時(shí)縮短至1小時(shí)，運(yùn)行里程縮短了40千米．已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時(shí)快200千米，求高鐵的平均速度．1．（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）八年級期末）某學(xué)校體育有場的環(huán)形跑道長，甲、乙分別以一定的速度練習(xí)長跑和騎自行車．同時(shí)同地出發(fā)，如果反向而行，那么他們每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次，設(shè)甲的速度為，乙的速度為，則可列方程組為（）A． B． C． D．2．（2021·吉林·九年級專題練習(xí)）某體育場的環(huán)行跑道長400m，甲、乙分別以一定的速度練習(xí)長跑和騎自行車．如果反向而行，那么他們每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分別是多少？3．（2022·湖南常德）小強(qiáng)的爸爸平常開車從家中到小強(qiáng)奶奶家，勻速行駛需要4小時(shí)，某天，他們以平常的速度行駛了的路程時(shí)遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時(shí)，到達(dá)奶奶家時(shí)共用了5小時(shí)，問小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是多少千米？【考點(diǎn)6】方程運(yùn)用3：歷史文獻(xiàn)問題【例9】（2022·江蘇蘇州）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時(shí)間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（

）A． B． C． D．【例10】（2022·江蘇揚(yáng)州）《孫子算經(jīng)》是我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著，其中有一道“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞兔各幾何？”學(xué)了方程（組）后，我們可以非常順捷地解決這個(gè)問題，如果設(shè)雞有只，兔有只，那么可列方程組為（

）A． B． C． D．1．（2022·四川成都）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個(gè)甜，甜苦兩果各幾個(gè)？其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個(gè)苦果和甜果，其中四文錢可以買苦果七個(gè)，十一文錢可以買甜果九個(gè)．問：苦、甜果各有幾個(gè)？設(shè)苦果有個(gè)，甜果有個(gè)，則可列方程組為（

）A．B．C．D．2．（2022·浙江寧波）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“粟米之法：粟率五十；糲米三十．今有米在十斗桶中，不知其數(shù)．滿中添粟而春之，得米七斗．問故米幾何？”意思為：50斗谷子能出30斗米，即出米率為．今有米在容量為10斗的桶中，但不知道數(shù)量是多少．再向桶中加滿谷子，再春成米，共得米7斗．問原來有米多少斗？如果設(shè)原來有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程組為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇宿遷）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房，若設(shè)該店有客房x間，房客y人，則列出關(guān)于x、y的二元一次方程組正確的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)7】方程運(yùn)用4：數(shù)字問題【例11】（2022·河北臨漳·八年級期末）有一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)一位數(shù)，它們的和為39，若將兩位數(shù)放在一位數(shù)的前面，得到的三位數(shù)比將一位數(shù)放在兩位數(shù)的前面得到的三位數(shù)大27，求這兩個(gè)數(shù)．若設(shè)兩位數(shù)是x，一位數(shù)是y，則可列方程組為（）A． B．C． D．1．（2022·寧夏中寧縣第三中學(xué)七年級期末）一個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是6，把這個(gè)兩位數(shù)加上18后，比十位數(shù)字大56，請問這個(gè)兩位數(shù)是多少？2．（2021·廣東·深圳中學(xué)八年級期中）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9，把這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對調(diào)所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，請利用二元一次方程組求這個(gè)兩位數(shù)．【考點(diǎn)8】方程運(yùn)用5：幾何圖形問題【例12】如圖，一個(gè)長方形圖案是由8個(gè)大小相同的小長方形拼成，寬為，設(shè)每個(gè)小長方形的長為，寬為，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．【例13】（2022·江蘇泰州）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？1．（2021·陜西秦都·八年級期末）如圖，10塊相同的小長方形墻磚拼成一個(gè)大長方形，設(shè)小長方形墻磚的長為厘米，寬為厘米，則依題意列二元一次方程組正確的是（）A． B． C． D．2．八塊相同的長方形地磚拼成一個(gè)長方形，每塊長方形地磚的寬等于（）A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm3．（2022·遼寧大連·七年級期末）一個(gè)長方形的周長為28cm，若把它的長減少1cm，寬增加3cm，就變成一個(gè)正方形，則這個(gè)長方形的面積是（

）A．48 B．45 C．40 D．33【考點(diǎn)9】方程運(yùn)用8：分段收費(fèi)【例14】濰坊出租車采用階梯式的計(jì)價(jià)收費(fèi)辦法如下表：行駛里程計(jì)費(fèi)方法不超過3公里起步價(jià)8