【MOOC】泛函分析-空間理論-西北大學(xué) 中國(guó)大學(xué)慕課MOOC答案

【MOOC】泛函分析—空間理論-西北大學(xué)中國(guó)大學(xué)慕課MOOC答案單元測(cè)驗(yàn)（一）1、【單選題】如果一個(gè)非空集合上可定義一個(gè)距離，則以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【可以無(wú)限多個(gè)距離】2、【單選題】在一個(gè)非空集合上()可以定義距離.本題答案：【一定】3、【單選題】N維歐氏空間中點(diǎn)列的按距離收斂等價(jià)于（）.本題答案：【按坐標(biāo)收斂】4、【單選題】連續(xù)函數(shù)空間中點(diǎn)列的按距離收斂等價(jià)于函數(shù)列的（）.本題答案：【一致收斂】5、【單選題】有界數(shù)列空間中點(diǎn)列的按距離收斂是（）.本題答案：【其余三項(xiàng)都不對(duì)】6、【單選題】離散距離空間中點(diǎn)列的按距離收斂是（）.本題答案：【其余三項(xiàng)都不對(duì)】7、【多選題】一個(gè)非空集合上的距離滿足（）.本題答案：【非負(fù)性#對(duì)稱性#三角不等式】8、【多選題】關(guān)于距離空間中點(diǎn)列的收斂性，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【收斂列的極限是唯一的#收斂列的極限一定屬于該距離空間#收斂列的子列一定收斂】9、【多選題】距離空間中的收斂點(diǎn)列滿足（）.本題答案：【其極限是唯一的#其任一子列必收斂】10、【判斷題】設(shè)R是實(shí)數(shù)集，定義d(x,y)=1+|x-y|,則d是R上的距離.本題答案：【錯(cuò)誤】11、【判斷題】任一非空集合上都可以定義距離，使之成為距離空間.本題答案：【正確】12、【判斷題】設(shè)C[0,1]是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)全體，定義則d是C[0,1]上的一個(gè)距離.本題答案：【正確】單元測(cè)驗(yàn)（二）1、【單選題】開(kāi)集恰好由該集合的所有（）構(gòu)成.本題答案：【內(nèi)點(diǎn)】2、【單選題】閉集恰好由該集合的所有（）構(gòu)成.本題答案：【接觸點(diǎn)】3、【單選題】設(shè)E和F是距離空間中的點(diǎn)集，則以下關(guān)于“E在F中稠密”的表述，正確的是（）.本題答案：【】4、【單選題】全體有理數(shù)在（）中是稠密的.本題答案：【實(shí)數(shù)空間】5、【單選題】以下選項(xiàng)中，不可分的距離空間為（）.本題答案：【有界數(shù)列空間】6、【多選題】距離空間中的非空開(kāi)集一定包含一個(gè)（）.本題答案：【內(nèi)點(diǎn)#接觸點(diǎn)#開(kāi)球#閉球】7、【多選題】以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【開(kāi)球是開(kāi)集#開(kāi)球的補(bǔ)集是閉集】8、【多選題】在距離空間中，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【開(kāi)球的閉包是閉集#開(kāi)球的內(nèi)部是開(kāi)集#開(kāi)球的補(bǔ)集是閉集】9、【多選題】關(guān)于內(nèi)點(diǎn)與接觸點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【內(nèi)點(diǎn)一定是接觸點(diǎn)#接觸點(diǎn)可能是內(nèi)點(diǎn)】10、【多選題】在距離空間中，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【任意多個(gè)開(kāi)集的并集是開(kāi)集#任意多個(gè)閉集的交集是閉集】11、【多選題】在實(shí)數(shù)空間R中，令Q為有理數(shù)全體.以下選項(xiàng)中，與“Q在R中稠密”等價(jià)的是（）.本題答案：【#】12、【多選題】設(shè)E和F是距離空間中的點(diǎn)集，則以下關(guān)于“E在F中稠密”的表述，正確的是（）.本題答案：【#】13、【多選題】設(shè)E與F是距離空間中的點(diǎn)集.以下命題中，相互等價(jià)的是（）.本題答案：【E在F中稠密#F中每個(gè)點(diǎn)都是E的接觸點(diǎn)#F中每個(gè)點(diǎn)都是E中某點(diǎn)列的極限】14、【多選題】以下選項(xiàng)中，一定具有可分性的距離空間是（）.本題答案：【實(shí)數(shù)空間#有理數(shù)空間#連續(xù)函數(shù)空間】15、【多選題】在可分的距離空間中，必包含（）.本題答案：【可數(shù)子集#稠密子集#有限子集】16、【多選題】設(shè)T是從距離空間X到距離空間Y的映射，則以下命題中與“T是連續(xù)映射”等價(jià)的是（）.本題答案：【Y中任何開(kāi)集的原像是X中的開(kāi)集#Y中任何閉集的原像是X中的閉集】17、【判斷題】距離空間中的任一子集，其閉包未必是閉集.本題答案：【錯(cuò)誤】18、【判斷題】距離空間中的任一子集，其內(nèi)部一定是開(kāi)集.本題答案：【正確】19、【判斷題】任意多個(gè)閉集的并集是閉集.本題答案：【錯(cuò)誤】20、【判斷題】任意有限個(gè)開(kāi)集的交集是開(kāi)集.本題答案：【正確】21、【判斷題】離散距離空間上的任一子集既是開(kāi)集又是閉集.本題答案：【正確】22、【判斷題】非空開(kāi)集一定是開(kāi)球.本題答案：【錯(cuò)誤】23、【判斷題】在實(shí)數(shù)空間中，全體有理數(shù)在全體無(wú)理數(shù)中稠密.本題答案：【正確】24、【判斷題】有界數(shù)列空間是可分的距離空間.本題答案：【錯(cuò)誤】25、【判斷題】[0,1]上的全體有理系數(shù)多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)空間C[0,1]中是稠密的.本題答案：【正確】26、【判斷題】在不可數(shù)集X上定義離散距離d，則距離空間（X,d）是不可分的.本題答案：【正確】27、【判斷題】定義在離散距離空間上的任何映射都是連續(xù)的.本題答案：【正確】28、【判斷題】有界數(shù)列空間的任何子空間都是不可分的.本題答案：【錯(cuò)誤】單元測(cè)驗(yàn)（三）1、【單選題】以下關(guān)于距離空間中”柯西列與收斂列“的表述，正確的是（）.本題答案：【收斂列一定是柯西列】2、【單選題】以下實(shí)數(shù)空間的距離子空間中，具有完備性的是（）.本題答案：【】3、【單選題】設(shè)距離空間X是距離空間E的完備化空間，在等距同構(gòu)的意義下，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【E是X的稠子空間】4、【單選題】在距離空間中，壓縮映射一定是（）.本題答案：【連續(xù)映射】5、【多選題】在完備的距離空間中，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【收斂列必為柯西列#柯西列必為收斂列#閉子集一定是完備的子空間#開(kāi)子集一定不是完備的子空間】6、【多選題】在連續(xù)函數(shù)空間中，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【柯西列一定是收斂列#收斂列一定是柯西列】7、【多選題】在以下選項(xiàng)中，具有完備性的距離空間是（）.本題答案：【實(shí)數(shù)空間#N維歐氏空間#連續(xù)函數(shù)空間#有界數(shù)列空間#離散的距離空間】8、【多選題】以下實(shí)數(shù)空間的子空間中，不完備的是（）.本題答案：【##】9、【多選題】在距離空間中，等距映射一定是（）.本題答案：【單射#連續(xù)映射】10、【多選題】設(shè)X是距離空間，T是X到X的映射.壓縮映射定理成立的條件是（）.本題答案：【X是完備的#T是壓縮映射】11、【判斷題】完備的距離空間一定是可分的.本題答案：【錯(cuò)誤】12、【判斷題】在全體有理數(shù)Q上定義離散距離d，則（Q,d）是不完備的距離空間.本題答案：【錯(cuò)誤】13、【判斷題】在等距同構(gòu)的意義下，任何距離空間都存在唯一的完備化空間.本題答案：【正確】14、【判斷題】在距離空間中，閉子空間與完備子空間是等價(jià)的.本題答案：【錯(cuò)誤】單元測(cè)驗(yàn)（四）1、【單選題】在實(shí)數(shù)空間中，以下選項(xiàng)中不是完全有界集的有（）.本題答案：【】2、【單選題】在距離空間中，以下關(guān)于列緊集性質(zhì)的描述，不正確的是（）.本題答案：【列緊集的補(bǔ)集是列緊集】3、【單選題】在離散的距離空間中，以下選項(xiàng)中是列緊集的是（）.本題答案：【單點(diǎn)集】4、【單選題】在實(shí)數(shù)空間中，以下選項(xiàng)中是緊集的有（）.本題答案：【】5、【單選題】設(shè)T是從距離空間X到距離空間Y的連續(xù)映射，A是X中的列緊集，則以下選項(xiàng)中不正確的是（）.本題答案：【T(A)是緊集】6、【多選題】在實(shí)數(shù)空間中，以下選項(xiàng)中是列緊集的有（）.本題答案：【##】7、【多選題】在距離空間中，以下關(guān)于列緊集性質(zhì)的描述，正確的是（）.本題答案：【單點(diǎn)集是列緊集#有限點(diǎn)集是列緊集#可列點(diǎn)集未必是列緊集】8、【多選題】在距離空間中，以下關(guān)于列緊集性質(zhì)的描述，正確的是（）.本題答案：【有限個(gè)列緊集的并集是列緊集#有限個(gè)列緊集的(非空)交集是列緊集#可數(shù)個(gè)列緊集的(非空)交集是列緊集】9、【多選題】在連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]中，當(dāng)子集A滿足（）時(shí)，則A是列緊集.本題答案：【一致有界#等度連續(xù)】10、【多選題】在距離空間中，以下關(guān)于“完全有界集的性質(zhì)”的描述，正確的是（）.本題答案：【完全有界集是有界集#完全有界集必可分#完全有界集的子集是完全有界集#有限個(gè)完全有界集的并集是完全有界集】11、【判斷題】在實(shí)數(shù)空間中，完全有界集未必是有界集.本題答案：【錯(cuò)誤】12、【判斷題】在距離空間中，列緊集的非空子集一定是列緊集.本題答案：【正確】13、【判斷題】完備的距離空間一定是列緊空間本題答案：【錯(cuò)誤】14、【判斷題】在列緊的距離空間中，柯西列與收斂列是等價(jià)的.本題答案：【正確】15、【判斷題】在離散的距離空間中，列緊集一定是緊集.本題答案：【正確】16、【判斷題】在完備的距離空間中，完全有界集未必是列緊集.本題答案：【錯(cuò)誤】17、【判斷題】設(shè)A是距離空間X中的緊集，f是X到R的連續(xù)函數(shù).則f是有界的，并可取到上、下確界.本題答案：【正確】18、【判斷題】在有界數(shù)列空間中，列緊集是完全有界集.反之不成立.本題答案：【錯(cuò)誤】19、【判斷題】在距離空間中，列緊的閉集就是緊集.本題答案：【正確】20、【判斷題】在連續(xù)函數(shù)空間中，列緊集的閉包是緊集.本題答案：【正確】21、【判斷題】距離空間之間的連續(xù)映射，把緊集映成列緊集.本題答案：【正確】單元測(cè)驗(yàn)（五）1、【單選題】以下關(guān)于線性空間中相關(guān)概念的敘述，不正確的是（）.本題答案：【子集一定是子空間】2、【單選題】以下空間中，屬于有限維賦范空間的是（）.本題答案：【】3、【單選題】設(shè)A是線性空間X中，如果A中任何（）向量的線性組合都是線性無(wú)關(guān)的，則稱A是線性無(wú)關(guān)的.本題答案：【有限個(gè)】4、【多選題】以下抽象空間中，既是距離空間，又是線性空間的是（）.本題答案：【##】5、【多選題】設(shè)M是線性空間X的子集，當(dāng)M滿足（）時(shí)，稱M為X的Hamel基.本題答案：【M中任何有限個(gè)向量的線性組合都線性無(wú)關(guān)#X中任一向量都可以表示成M中有限個(gè)向量的線性組合】6、【多選題】設(shè)A、B是線性空間X的子空間，當(dāng)它們滿足（）時(shí)，X為A與B的直和.本題答案：【#】7、【多選題】設(shè)X是線性空間，X中的范數(shù)滿足（）.本題答案：【非負(fù)性#正齊次性#三角不等式】8、【多選題】設(shè)X是賦范空間，d是由范數(shù)誘導(dǎo)的距離，則d滿足（）.本題答案：【對(duì)稱性#三角不等式#相似性#平移不變性】9、【多選題】以下命題中，正確的是（）.本題答案：【賦范空間一定是線性空間#賦范空間一定是距離空間#距離空間未必是賦范空間#距離空間未必是線性空間】10、【判斷題】設(shè)A是線性空間X的子集，則A的線性包是包含A的最小閉子空間.本題答案：【錯(cuò)誤】11、【判斷題】每個(gè)非零的線性空間都存在一個(gè)Hamel基.本題答案：【正確】12、【判斷題】賦范子空間一定是距離子空間.本題答案：【正確】13、【判斷題】賦范子空間一定是線性子空間.本題答案：【正確】14、【判斷題】在賦范空間中，向量列的依范數(shù)收斂等價(jià)于向量列按范數(shù)誘導(dǎo)的距離收斂.本題答案：【正確】15、【判斷題】距離空間未必是賦范空間.本題答案：【正確】單元測(cè)驗(yàn)（六）1、【多選題】在通常的范數(shù)意義下，以下賦范空間是Banach空間的是（）.本題答案：【##】2、【多選題】記P[0,1]為[0,1]的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體,按照范數(shù)成為賦范空間.則以下結(jié)論正確的是（）.本題答案：【P[0,1]是C[0,1]的子空間#賦范空間P[0,1]不是Banach空間】3、【多選題】設(shè)X是Banach空間，則以下命題中正確的是（）.本題答案：【X中任一絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂#X的閉子空間是Banach空間#X的完備化空間是它自己】4、【多選題】以下關(guān)于線性空間中凸集的描述，正確的是（）.本題答案：【有限個(gè)凸集的交集仍是凸集#任意多個(gè)凸集的交集是凸集】5、【多選題】在賦范空間中，（）是凸集.本題答案：【單位開(kāi)球#單位閉球#子空間】6、【多選題】以下關(guān)于賦范空間的Hamel基以及Schauder基的描述，正確的是（）.本題答案：【任何非零的賦范空間都具有Hamel基#不可分的賦范空間一定不具有Schauder基】7、【多選題】以下賦范空間中，具有Schauder基的無(wú)限維空間是（）.本題答案：【#】8、【多選題】Banach空間指的是（）.本題答案：【完備的賦范空間#一個(gè)賦范空間，其誘導(dǎo)的距離空間是完備的.】9、【多選題】設(shè)X是具有Schauder基的賦范空間，則（）.本題答案：【X是可分的#X是無(wú)限維的】10、【判斷題】Banach空間一定是完備的距離空間，反之不成立.本題答案：【正確】11、【判斷題】設(shè)E是賦范空間X的子空間.E是Banach空間的充分必要條件是E是X的閉子空間.本題答案：【錯(cuò)誤】12、【判斷題】設(shè)E是賦范空間X的子空間。若E是Banach空間，則E是閉子空間。反之不成立。本題答案：【正確】13、【判斷題】每一個(gè)賦范空間都可以完備化，在等距同構(gòu)意義下，其完備化空間是唯一的.本題答案：【正確】14、【判斷題】賦范空間的真子空間一定不是閉子空間，可能是開(kāi)子空間.本題答案：【錯(cuò)誤】15、【判斷題】賦范空間的子空間一定不是開(kāi)子空間.本題答案：【錯(cuò)誤】16、【判斷題】具有Schauder基的賦范空間一定是可分的.本題答案：【正確】17、【判斷題】平方可和的數(shù)列空間具有Schauder基.本題答案：【正確】18、【判斷題】賦范空間的一個(gè)重要特征就是：?jiǎn)挝磺蚴橇阍耐灌徲?本題答案：【正確】單元測(cè)驗(yàn)（七）1、【多選題】線性空間上的范數(shù)的“等價(jià)”滿足（）.本題答案：【自反性#對(duì)稱性#傳遞性】2、【多選題】設(shè)與為線性空間X上的兩個(gè)等價(jià)范數(shù)，則賦范空間與具有相同的（）.本題答案：【收斂列#柯西列#完備性#列緊性】3、【多選題】設(shè)X與Y是賦范空間，若映射T:XY滿足（），則稱T是拓?fù)渫瑯?gòu)映射.本題答案：【T是雙射#T是線性映射#T是連續(xù)的#是連續(xù)的】4、【多選題】以下關(guān)于有限維賦范空間的描述正確的是（）.本題答案：【有限維賦范空間必完備.#有限維賦范空間必可分.#有限維賦范空間的任一子空間都是閉子空間.】5、【多選題】設(shè)X是賦范空間，則以下命題中與“X是有限維”等價(jià)的是（）.本題答案：【X中的單位球面是緊集#X中的單位閉球是緊集#X中的有界集是列緊集#X中的有界閉集是緊集#X中的單位開(kāi)球是列緊集】6、【多選題】設(shè)X是無(wú)限維賦范空間，則以下命題正確的是（）.本題答案：【X中的單位開(kāi)球不是列緊集#X中的有界閉集不是緊集】7、【判斷題】N維實(shí)向量空間上所定義的任何兩個(gè)范數(shù)都等價(jià).本題答案：【正確】8、【判斷題】設(shè)與為線性空間X上的兩個(gè)等價(jià)范數(shù)，則與都是Banach空間.本題答案：【錯(cuò)誤】9、【判斷題】線性空間上的任何兩個(gè)范數(shù)都等價(jià).本題答案：【錯(cuò)誤】10、【判斷題】設(shè)與為線性空間X上的兩個(gè)等價(jià)范數(shù)，則賦范空間與具有相同的可分性.本題答案：【正確】11、【判斷題】任何兩個(gè)有限維賦范空間都是拓?fù)渫瑯?gòu)的.本題答案：【錯(cuò)誤】12、【判斷題】賦范空間的子空間必為閉子空間.本題答案：【錯(cuò)誤】單元測(cè)驗(yàn)（八）1、【單選題】線性空間，按范數(shù)成為賦范空間.則該賦范空間是內(nèi)積空間的充要條件是（）.本題答案：【】2、【單選題】以下線性空間，不可以定義內(nèi)積的是（）.本題答案：【其它三項(xiàng)都不對(duì)】3、【多選題】實(shí)內(nèi)積空間上的內(nèi)積滿足（）.本題答案：【對(duì)稱性#非負(fù)性#對(duì)第一變?cè)木€性性質(zhì)#對(duì)第二變?cè)木€性性質(zhì)】4、【多選題】復(fù)內(nèi)積空間上的內(nèi)積滿足（）.本題答案：【非負(fù)性#對(duì)第一變?cè)木€性性質(zhì)】5、【多選題】以下線性空間中，可以定義內(nèi)積的是（）.本題答案：【###】6、【多選題】?jī)?nèi)積空間一定是（）.本題答案：【線性空間#賦范空間#距離空間】7、【多選題】由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)滿足（）.本題答案：【三角不等式#平行四邊形法則#正齊次性#非負(fù)性】8、【判斷題】在線性空間C[0,1]中可以定義內(nèi)積，使之稱為一個(gè)內(nèi)積空間.本題答案：【正確】9、【判斷題】對(duì)任一賦范空間，其范數(shù)未必滿足平行四邊形法則。本題答案：【正確】10、【判斷題】賦范空間是內(nèi)積空間的充分必要條件是，其范數(shù)滿足平行四邊形法則。本題答案：【正確】11、【判斷題】Banach空間必為Hilbert空間，但反之不成立.本題答案：【錯(cuò)誤】12、【判斷題】任何線性空間都一定可以定義內(nèi)積。本題答案：【正確】單元測(cè)驗(yàn)（九）1、【單選題】設(shè)x,y是內(nèi)積空間H中的兩個(gè)向量，則以下選項(xiàng)中與其它三個(gè)不等價(jià)的是（）.本題答案：【】2、【單選題】設(shè)M是內(nèi)積空間H的子集，則以下選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）.本題答案：【】3、【單選題】設(shè)E是內(nèi)積空間H的子空間，則以下選項(xiàng)中與其它三項(xiàng)不等價(jià)的是（）.本題答案：【】4、【單選題】設(shè)是內(nèi)積空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，則以下命題中與其它三項(xiàng)不等價(jià)的是（）.本題答案：【S是完備的.】5、【多選題】設(shè)H是數(shù)域K上的內(nèi)積空間,x,yH.則以下命題中與“”等價(jià)的是（）.本題答案：【對(duì)任意的有#對(duì)任意的有#對(duì)任意的有】6、【多選題】設(shè)M是內(nèi)積空間H中的子集，若,則（）.本題答案：【###】7、【多選題】設(shè)M,N是內(nèi)積空間H的兩個(gè)子集，則以下命題正確的是（）.本題答案：【#若則#若則#若則】8、【多選題】設(shè)E是Hilbert空間H的子空間，則以下結(jié)論中正確的是（）.本題答案：【###】9、【多選題】設(shè)是內(nèi)積空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，則以下命題正確的是（）.本題答案：【##】10、【多選題】設(shè)是Hilbert空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，則以下命題中正確的是（）.本題答案：【S是完全的.#S是完備的.#x關(guān)于S的Fourier級(jí)數(shù)收斂于x.#】11、【判斷題】設(shè)M是內(nèi)積空間H的子集，則M的正交補(bǔ)是H的閉子空間.本題答案：【正確】12、【判斷題】設(shè)M,N是內(nèi)積空間H的兩個(gè)非空開(kāi)集，若則本題答案：【正確】13、【判斷題】設(shè)E是內(nèi)積空間H的子空間，則x在E中的最佳逼近點(diǎn)即為x在E中的投影.本題答案：【正確】14、【判斷題】設(shè)M是內(nèi)積空間H的緊凸集，則x在M中的最佳逼近點(diǎn)是存在的，但不唯一.本題答案：【錯(cuò)誤】15、【判斷題】設(shè)M是Hilbert空間H的非空子集，則當(dāng)且僅當(dāng)本題答案：【正確】16、【判斷題】?jī)?nèi)積空間的任何一個(gè)正交系都是線性無(wú)關(guān)集.本題答案：【正確】17、【判斷題】設(shè)是內(nèi)積空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，則x的Fourier級(jí)數(shù)必收斂于x.本題答案：【錯(cuò)誤】18、【判斷題】?jī)?nèi)積空間的正交基一定是正交系，反之不成立.本題答案：【正確】單元測(cè)驗(yàn)（十）1、【單選題】在內(nèi)積同構(gòu)的意義下，可分Hilbert空間只有（）個(gè).本題答案：【2】2、【單選題】N維實(shí)內(nèi)積空間與（）是內(nèi)積同構(gòu)的.本題答案：【】3、【單選題】?jī)?nèi)積空間中的任何一個(gè)線性無(wú)關(guān)集，通過(guò)Schmidt正交化，可得到一個(gè)（）.本題答案：【標(biāo)準(zhǔn)正交系】4、【多選題】可分的Hilbert空間H所具有的性質(zhì)是（）.本題答案：【H一定存在標(biāo)準(zhǔn)正交基#H的標(biāo)準(zhǔn)正交基是至多可數(shù)的#H必為非零Hilbert空間】5、【多選題】?jī)?nèi)積同構(gòu)映射必為（）.本題答案：【等距映射#雙射#線性映射#拓?fù)渫瑯?gòu)映射】6、【多選題】無(wú)窮維可分的Hilbert空間與（）是內(nèi)積同構(gòu)的.本題答案：【#】7、【判斷題】任何Hilbert空間都具有標(biāo)準(zhǔn)正交基.本題答案：【錯(cuò)誤】8、【判斷題】任何有限維內(nèi)積空間必是可分的Hilbert空間.本題答案：【正確】9、【判斷題】一切無(wú)限維Hilbert空間都與內(nèi)積同構(gòu).本題答案：【錯(cuò)誤】10、【判斷題】標(biāo)準(zhǔn)正交系必為線性無(wú)關(guān)集，反之不成立.本題答案：【正確】《泛函分析-空間理論》期末考試客觀題1、【單選題】連續(xù)函數(shù)空間中點(diǎn)列的按距離收斂等價(jià)于函數(shù)列的（）.本題答案：【一致收斂】2、【單選題】開(kāi)集恰好由該集合的所有（）構(gòu)成.本題答案：【內(nèi)點(diǎn)】3、【單選題】閉集恰好由該集合的所有（）構(gòu)成.本題答案：【接觸點(diǎn)】4、【單選題】以下關(guān)于距離空間中”柯西列與收斂列“的表述，正確的是（）.本題答案：【收斂列一定是柯西列】5、【單選題】設(shè)距離空間X是距離空間E的完備化空間，在等距同構(gòu)的意義下，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【E是X的稠子空間】6、【單選題】在實(shí)數(shù)空間中，以下選項(xiàng)中是緊集的為（）.本題答案：【】7、【單選題】以下關(guān)于線性空間中相關(guān)概念的敘述，不正確的是（）.本題答案：【子集一定是子空間】8、【單選題】離散距離空間中的任一子集是（）的集合.本題答案：【既開(kāi)又閉】9、【單選題】在實(shí)數(shù)空間中,()在無(wú)理數(shù)集中稠密.本題答案：【有理數(shù)集】10、【單選題】在不可數(shù)集X上定義離散距離d,則距離空間(X,d)是().本題答案：【不可分的】11、【單選題】定義在()上的任何映射都是連續(xù)的.本題答案：【離散距離空間】12、【單選題】在距離空間中,以下說(shuō)法正確的是().本題答案：【完備子空間一定是閉子空間】13、【單選題】在()上,完全有界集與有界集是等價(jià)的.本題答案：【實(shí)數(shù)空間】14、【單選題】列緊的距離空間必（）.本題答案：【完備】15、【單選題】每個(gè)非零的賦范空間必存在一個(gè)（）.本題答案：【Hamel基】16、【單選題】賦范空間的真子空間一定不是（）.本題答案：【開(kāi)子空間】17、【單選題】任何兩個(gè)同維數(shù)的有限維賦范空間所滿足的以下關(guān)系中，不正確的是（）.本題答案：【內(nèi)積同構(gòu)】18、【單選題】（）線性空間上的任何兩個(gè)范數(shù)等價(jià).本題答案：【有限維】19、【單選題】設(shè)M是內(nèi)積空間H的子集,則M的正交補(bǔ)是H的().本題答案：【閉子空間】20、【單選題】設(shè)M是內(nèi)積空間H的緊凸集,則x在M中的最佳逼近點(diǎn)滿足().本題答案：【存在且唯一】21、【單選題】?jī)?nèi)積空間的任何一個(gè)正交系必是().本題答案：【線性無(wú)關(guān)集】22、【多選題】關(guān)于距離空間中點(diǎn)列的收斂性，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【收斂列的極限是唯一的#收斂列的極限一定屬于該距離空間#收斂列的子列一定收斂】23、【多選題】距離空間中的非空開(kāi)集一定包含一個(gè)（）.本題答案：【內(nèi)點(diǎn)#接觸點(diǎn)#開(kāi)球#閉球】24、【多選題】在距離空間中，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【開(kāi)球是開(kāi)集#開(kāi)球的閉包是閉集#開(kāi)球的內(nèi)部是開(kāi)集#開(kāi)球的補(bǔ)集是閉集】25、【多選題】關(guān)于內(nèi)點(diǎn)與接觸點(diǎn)，以下說(shuō)法不正確的是（）.本題答案：【接觸點(diǎn)一定是內(nèi)點(diǎn)#內(nèi)點(diǎn)未必是接觸點(diǎn)】26、【多選題】在實(shí)數(shù)空間R中，令Q為有理數(shù)全體.以下選項(xiàng)中，與“Q在R中稠密”等價(jià)的是（）.本題答案：【#】27、【多選題】設(shè)E和F是距離空間中的點(diǎn)集，則以下關(guān)于“E在F中稠密”的表述，正確的是（）.本題答案：【#】28、【多選題】設(shè)T是從距離空間X到距離空間Y的映射，則以下命題中與“T是連續(xù)映射”等價(jià)的是（）.本題答案：【Y中任何開(kāi)集的原像是X中的開(kāi)集#Y中任何閉集的原像是X中的閉集】29、【多選題】在連續(xù)函數(shù)空間中，以下說(shuō)法正確的是（）.本題答案：【收斂列一定是有界列#閉子集是完備子集#柯西列一定是收斂列#收斂列一定是柯西列】30、【多選題】在距離空間中，以下關(guān)于列緊集性質(zhì)的描述，正確的是（）.本題答案：【單點(diǎn)集是列緊集#有限點(diǎn)集是列緊集#可列點(diǎn)集未必是列緊集#有限個(gè)列緊集的并集是列緊集】31、【多選題】在離散的距離空間中，以下選項(xiàng)中是列緊集的是（）.本題答案：【有限子集#單點(diǎn)集】32、【多選題】在通常的范數(shù)意義下，以下賦范空間是Banach空間的是（）.本題答案：【##】33、【多選題】設(shè)X是Banach空間，則以下命題中正確的是（）.本題答案：【X中任一絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂#X的閉子空間是Banach空間#X的完備化空間是它自己】34、【多選題】以下關(guān)于賦范空間的Hamel基以及Schauder基的描述，正確的是（）.本題答案：【任何非零的賦范空間都具有Hamel基#不可分的賦范空間一定不具有Schauder基】35、【多選題】設(shè)X是無(wú)限維賦范空間，則以下命題正確的是（）.本題答案：【X中的單位開(kāi)球不是列緊集#X中的有界閉集不是緊集】36、【多選題】?jī)?nèi)積空間一定是（）.本題答案：【線性空間#賦范空間#距離空間】37、【多選題】設(shè)M,N是內(nèi)積空間H的兩個(gè)子集，則以下命題正確的是（）.本題答案：【#若則#若則#若則】38、【多選題】設(shè)E是Hilbert空間H的子空間，則以下結(jié)論中正確的是（）.本題答案：【###】39、【多選題】設(shè)是內(nèi)積空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，則以下命題正確的是（）.本題答案：【##】40、【多選題】設(shè)是Hilbert空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，則以下命題中正確的是（）