2024屆江蘇省南京市南京一中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題模擬仿真卷

2023屆江蘇省南京市南京一中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題模擬仿真卷（4）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的體積是A． B． C． D．2．過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或3．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．205．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或06．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為A． B． C． D．7．已知向量，是單位向量，若，則（）A． B． C． D．8．已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．99．已知類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分開來，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件類產(chǎn)品或者檢測(cè)出3件類產(chǎn)品時(shí)，檢測(cè)結(jié)束，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為（）A． B． C． D．10．已知是的共軛復(fù)數(shù),則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．14．某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級(jí)為12人，則抽取的樣本容量為________人.15．平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.16．已知數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，，則_________，_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).18．（12分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)于任意，有，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等.（1）求證：平面;（2）求證：平面平面.20．（12分）甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加知識(shí)競(jìng)賽，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，假設(shè)甲班三名同學(xué)答對(duì)的概率都是，乙班三名同學(xué)答對(duì)的概率分別是，，，且這六名同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響．（1）記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示甲班總得分，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知，函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值．22．（10分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)（）作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與交于，兩點(diǎn)，（1）證明：直線的斜率是－1；（2）若，，成等比數(shù)列，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2，底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4，底面半徑為2，則其體積為，.故選B點(diǎn)睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.2．A【解析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3．C【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖，然后補(bǔ)成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示：將其補(bǔ)成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.4．C【解析】

利用等差通項(xiàng)，設(shè)出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題，屬于基礎(chǔ)題5．C【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當(dāng)時(shí)，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴的值是1或0.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.6．A【解析】

陽數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù)，最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛枖?shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有：個(gè)，滿足差的絕對(duì)值為5的有：共個(gè)，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算，難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式：.7．C【解析】

設(shè)，根據(jù)題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設(shè)，，是單位向量，,，，聯(lián)立方程解得：或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、夾角計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意的兩種情況.8．D【解析】

根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù)，滿足，，可得，

函數(shù)的周期為3，

∵當(dāng)時(shí)，，

令，則，解得或1，

又∵函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個(gè)，

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．9．D【解析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．11．B【解析】

構(gòu)造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，由解得，所以的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，而，所以在定義域上為增函數(shù)，且.由得，即，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.12．B【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期，由此求得的值，結(jié)合其對(duì)稱軸，求得的值，進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

計(jì)算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)抽取的樣本為，則由題意得，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的知識(shí)，算出抽樣比是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

作出平面區(qū)域，可知平面區(qū)域?yàn)槿切?，求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)三角形的外接圓方程為，將三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知，平面區(qū)域?yàn)椋?lián)立，解得，則點(diǎn)，同理可得點(diǎn)、，設(shè)的外接圓方程為，由題意可得，解得，，，因此，所求圓的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓方程的求解，同時(shí)也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16．8（寫為也得分）【解析】

由，得，.當(dāng)時(shí)，，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；其偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.則，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）：，：；（2），此時(shí).【解析】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性．注意方程中的參數(shù)的變化范圍．18．（1），（2）（3）【解析】

（1）假設(shè)公差，公比，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)式子，可得，，然后利用公式法，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求和，可得結(jié)果.（3）計(jì)算出，代值計(jì)算并化簡(jiǎn)，可得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意：，即，解得：所以，（2），，，上面兩式相減，得：則即所以，（3），所以由得，，即【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及利用錯(cuò)位相減法求和，屬基礎(chǔ)題.19．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

證明：（1）在矩形中，，又平面，平面，所以平面．（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，故，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．20．（1）（2）分布列見解析，期望為20【解析】

利用相互獨(dú)立事件概率公式求解即可;由題意知,隨機(jī)變量可能的取值為0，10，20，30,分別求出對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列并代入數(shù)學(xué)期望公式求解即可.【詳解】（1）由相互獨(dú)立事件概率公式可得,（2）由題意知,隨機(jī)變量可能的取值為0，10，20，30.，，，,所以，的概率分布列為0102030所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件概率公式和離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望;考查運(yùn)算求解能力;確定隨機(jī)變量可能的取值,求出對(duì)應(yīng)的概率是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.21．（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，然后解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由得出，并求出的值，利用兩角差的正弦公式可求出的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞