充要條件（學案）-2021-2022學年高一數(shù)學教材配套學案（人教A版2019必修第一冊）含答案及解析

1.4.2充要條件【學習目標】課程標準學科素養(yǎng)1.理解充要條件的意義.（重點）2.會判斷一些簡單的充要條件問題.（重點）3.能對充要條件進行證明.（難點）1、數(shù)學抽象2、邏輯推理【自主學習】一．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有，又有，就記作，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為條件.如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p?q，那么p與q互為條件.思考：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？三．“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．【小試牛刀】思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立．()(2)符號“?”具有傳遞性．()(3)若peq\o(?,/)q和qeq\o(?,/)p有一個成立，則p一定不是q的充要條件．()(4)數(shù)學中的每一個定義都是一個充要條件．()【經典例題】題型一充要條件的判斷點撥：判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含關系判斷.(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性.例1下列各組命題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，q：a+b+c=0(a≠0).【跟蹤訓練】1“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件題型二充要條件的證明點撥：充要條件證明的兩個思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性.(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件.例2已知：圓O的半徑為r，圓心O到是直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與圓O相切的充要條件?！靖櫽柧殹?求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.題型三充要條件的應用點撥：應用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉化為集合間的關系.(2)根據(jù)集合間的關系構建關于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.例3已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.【跟蹤訓練】3已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有兩個大于1的實數(shù)根的充要條件．【當堂達標】1.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“A?B”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.已知A，B是非空集合，命題p：A∪B＝B，命題q：AB，則p是q的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．既不充分也不必要條件 D．必要不充分條件3.“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.設x∈R，則“x<－1”是“|x|>1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5.關于x的不等式|x|>a的解集為R的充要條件是________．6.求證：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b＝0.【課堂小結】1.概念充要條件概念的理解.2.充要條件的證明.3.充要條件的應用.【參考答案】【自主學習】p?qq?pp?q充要充要思考：(1)p是q的充要條件說明p是條件，q是結論.(2)p的充要條件是q說明q是條件，p是結論.【小試牛刀】(1)√(2)√(3)√(4)√【經典例題】例1解（1）因為對角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形，所以peq\o(?,/)q，所以p不是q的充要條件。（2）因為“若p，則q”是三角形的性質定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，它們均為真命題，既p?q，所以p是q的充要條件。（3）因為x>0時，x>0,y>0不一定成立（為什么），所以peq\o(?,/)q,所以p不是q的充要條件。（4）因為“若p，則q”與“若q，則p”均為真命題，p?q，所以p是q的充要條件。【跟蹤訓練】1A解析解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件.例2證明：設p:d=r，q:直線l與圓O相切.（1）充分性(p?q):如圖，作OP⊥l于點P，則OP=d.若d=r，則點P在圓O上.在直線l上任取一點Q(異于點P)，連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點P外直線l上的點都在圓O的外部，即直線l與圓O僅有一個公共點P.所以直線l與圓O相切.（2）必要性(q?p):若直線l與圓O相切，不妨設切點為P，則OP⊥l.因此，d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直線l與圓O相切的充要條件.【跟蹤訓練】2證明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根.綜上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.例3解：∵p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，記由p是q的必要不充分條件可得BA解得：m≤3，又m＞0所以實數(shù)m的取值范圍為【跟蹤訓練】3解方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，則方程有兩個大于1的實數(shù)根x1，x2：?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,x1－1x2－1>0，,x1－1＋x2－1>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤\f(1,4)，,x1x2－x1＋x2＋1>0，,x1＋x2－2>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤\f(1,4)，,k2＋2k－1＋1>0，,－2k－1－2>0))?k<－2.所以使方程有兩個大于1的實根的充要條件是k<－2.【當堂達標】1.A解析：a＝3時，A＝{1，3}，A?B，當A?B時，a＝2或3.2.D解析：由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分條件．3.B解析：x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．4.A解析：因為x<－1?|x|>1，而|x|>1?x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要條件