2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國版)專題14二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（39題）含答案及解析

專題14二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（39題）一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·中考真題）函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)（

）時(shí)，，均隨著的增大而減小．A． B． C． D．3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川達(dá)州·中考真題）拋物線與軸交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2024·陜西·中考真題）已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，x…035…y…0…則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．圖象的開口向上 B．當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限 D．圖象的對(duì)稱軸是直線7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．8．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．9．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對(duì)稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在，之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有多少個(gè)（

）①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．411．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。虎廴舻囊粋€(gè)根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的．其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④12．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的圖象與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，有以下結(jié)論：①；②若點(diǎn)和點(diǎn)都在拋物線上，則；③（為任意實(shí)數(shù)）；④．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)13．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．414．（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 B．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有C．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 D．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有15．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是316．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論中：①

②（m為任意實(shí)數(shù)）

③④若、是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)18．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)19．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為（），下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線的圖象交x軸于點(diǎn)、，交y軸于點(diǎn)C．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；④關(guān)于的一元二次方程的另一個(gè)根是；⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題23．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象向左平移兩個(gè)單位得到拋物線，點(diǎn)，在拋物線上，則（填“＞”或“＜”）；24．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是．25．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個(gè)單位長度后，經(jīng)過點(diǎn)，則．26．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，，是二次函數(shù)圖象上三點(diǎn)．若，，則（填“”或“”）；若對(duì)于，，，存在，則的取值范圍是．27．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．28．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號(hào)）．29．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；④若關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）．30．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）已知二次函數(shù)的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．三、解答題31．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)．(1)求的值；(2)若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖像上，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．32．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．(1)求b的值；(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．（?。┤?，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．33．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知和是拋物線上的兩點(diǎn).若對(duì)于，，都有，求的取值范圍.34．（2024·浙江·中考真題）已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m（）個(gè)單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；(3)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．35．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計(jì)算結(jié)果．【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說明理由．36．（2024·云南·中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸是直線．設(shè)是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記．(1)求的值；(2)比較與的大?。?7．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)當(dāng)時(shí)，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點(diǎn)，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．38．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．(1)求的值；(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．39．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．(1)若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．

專題14二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（39題）一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點(diǎn)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移2個(gè)單位后，則拋物線變?yōu)?，∴化成頂點(diǎn)式則為，故選：A．2．（2024·廣東廣州·中考真題）函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)（

）時(shí)，，均隨著的增大而減?。瓵． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減??；位于在一、三象限內(nèi)，且均隨著的增大而減小，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小；位于一、三象限內(nèi)，且在每一象限內(nèi)均隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，均隨著的增大而減小，故選：D．3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對(duì)稱軸為直線，該二次函數(shù)上所有的點(diǎn)滿足離對(duì)稱軸的距離越近，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也就越小，∵，，，而，，，∴點(diǎn)離對(duì)稱軸最近，點(diǎn)離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，∴；故選：D．4．（2024·四川達(dá)州·中考真題）拋物線與軸交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)拋物線與軸交于兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，依題意，，根據(jù)題意拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱軸即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項(xiàng)，無條件判斷D選項(xiàng)，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：依題意，設(shè)拋物線與軸交于兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為依題意，∵，拋物線開口向下，∴當(dāng)時(shí)，，即∴，故A選項(xiàng)正確，符合題意；若對(duì)稱軸為，即，而，不能得出對(duì)稱軸為直線，故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵拋物線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，即，又∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；無法判斷的符號(hào)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，開口向上，而且與軸的交點(diǎn)不在負(fù)半軸上，然后解不等式組即可．【詳解】解：二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，設(shè)拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由題意可得解得．故選：A．6．（2024·陜西·中考真題）已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，x…035…y…0…則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．圖象的開口向上 B．當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限 D．圖象的對(duì)稱軸是直線【答案】D【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：由題意得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∵，∴圖象的開口向下，故選項(xiàng)A不符合題意；圖象的對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)D符合題意；當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大，當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而減小，故選項(xiàng)B不符合題意；∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為且經(jīng)過原點(diǎn)，圖象的開口向下，∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項(xiàng)C不符合題意；故選：D．7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：∵開口向上，與軸的交點(diǎn)位于軸上方，∴，，∵拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∵拋物線的頂點(diǎn)為，∴，觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．8．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．【詳解】解∶二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，且，∴，故選∶A．9．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意列不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，∴的取值范圍是，故選：C．10．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對(duì)稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在，之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有多少個(gè)（

）①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸和一個(gè)交點(diǎn)求得另一個(gè)交點(diǎn)為，即可判斷②錯(cuò)誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點(diǎn)，即可判斷④正確．【詳解】解：由圖可知，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，，則，∵拋物線與軸的交點(diǎn)在，之間，∴，則，故①錯(cuò)誤；設(shè)拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)，∵對(duì)稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，解得，則，故②錯(cuò)誤；∵，，，∴，解得，故③正確；根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)和，直線過點(diǎn)和，如圖，方程兩根為滿足，故④正確；故選：B．11．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；③若的一個(gè)根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的．其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)公式可得，結(jié)合，，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，即，，，的值可正也可負(fù)，不能確定的正負(fù)；故①錯(cuò)誤；，拋物線開口向下，且關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；故②正確；，拋物線為，，，故③正確；拋物線，將向左平移1個(gè)單位得：，拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位得到的，故④錯(cuò)誤；正確的有②③，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關(guān)鍵．12．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的圖象與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，有以下結(jié)論：①；②若點(diǎn)和點(diǎn)都在拋物線上，則；③（為任意實(shí)數(shù)）；④．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系以及與軸交點(diǎn)問題逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與軸正半軸交于一點(diǎn)，，.，..故①錯(cuò)誤；對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)和點(diǎn)都在拋物線上，而，.故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)有：，∴，故③正確；，.當(dāng)時(shí)，，.，即，故④正確.綜上所述，正確的有③④.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于通過圖像判斷對(duì)稱軸，開口方向以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).13．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4【答案】C【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對(duì)稱軸的位置即可判斷①，利用對(duì)稱軸和特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進(jìn)一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，；對(duì)稱軸在軸右側(cè)，、異號(hào)，，∵拋物線與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，，，故①錯(cuò)誤；②二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，，，時(shí)，，，，，故②正確；③對(duì)稱軸為直線，，最小值，，∴，故③正確；④，∴根據(jù)拋物線與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，，，，，故④正確；綜上所述，正確的有②③④，故選：C14．（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 B．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有C．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 D．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再分情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的大小情況，即可解題．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，，當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，，不一定大于，故C正確符合題意；D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．15．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱性，增減性判斷選項(xiàng)A、B、C，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判定選項(xiàng)D．【詳解】解∶∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是直線，∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入，得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，故選項(xiàng)D正確，故選D．16．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，可知圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，由當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，可得，計(jì)算求解，然后作答即可．【詳解】解：∵，∴圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，∴，解得，，故選：C．17．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論中：①

②（m為任意實(shí)數(shù)）

③④若、是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對(duì)稱軸可得，即可判斷①，時(shí)，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時(shí)，，即可判斷③，根據(jù)對(duì)稱性可得即可判段④，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下∴∵對(duì)稱軸為直線，∴∴∵拋物線與軸交于正半軸，則∴，故①錯(cuò)誤，∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線,∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為∴（m為任意實(shí)數(shù)）即，故②正確；∵時(shí)，即∵∴即∴，故③正確；∵、是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，∴關(guān)于對(duì)稱，∴即故④不正確正確的有②③故選：B18．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)時(shí)，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對(duì)稱軸為直線，且，可判斷③，由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；【詳解】解：①拋物線開口向上，，，∴當(dāng)時(shí)，，故①不符合題意；②∵拋物線過點(diǎn)，∴函數(shù)的最小值，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故②符合題意；③∵，，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，且，∴，而，∴，∴，故③不符合題意；④∵拋物線過點(diǎn)，∴，∵時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，故④符合題意；⑤∵，，∴，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合題意；故選：C．19．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意得到拋物線的解析式為，即可得到，，代入即可判斷①；根據(jù)判斷②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把，代入解方程求出m的值判斷④．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為：，∴，，∴，故①正確；∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，∴，即，∴，故②正確；∵，∴，即，∴，又∵，∴，故③錯(cuò)誤；∵令相等，則∴，解得（舍），，∴，故④正確；故選A．20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為（），下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明．可得，．點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，可得，．，，，設(shè)，則，，，，，．再由，進(jìn)而可以求解判斷即可．【詳解】解：如圖，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，，．，，，設(shè)，則，，，，，．又，，，．．．．點(diǎn)、在軸的同側(cè)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，．．故選：B．21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線的圖象交x軸于點(diǎn)、，交y軸于點(diǎn)C．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸計(jì)算公式求出，進(jìn)而推出，則，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷②；對(duì)稱軸為直線，則，求出，，再分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況求出對(duì)應(yīng)的c的值即可判斷③；當(dāng)時(shí)，，則，取點(diǎn)，連接，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，則，故當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，的值最小，即此時(shí)的值最小，最小值為線段的長，利用勾股定理求出即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，故①正確；∵拋物線的圖象交x軸于點(diǎn)、，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故②正確；∵對(duì)稱軸為直線，∴；∵、，∴，∴；在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，則由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；同理當(dāng)時(shí)，可得；綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，或，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，如圖所示，取點(diǎn)，連接，則，

∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，的值最小，即此時(shí)的值最小，最小值為線段的長，在中，由勾股定理得，故④正確，∴正確的有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；④關(guān)于的一元二次方程的另一個(gè)根是；⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．【詳解】解：由圖可得：，對(duì)稱軸，，，①錯(cuò)誤；由圖得，圖象經(jīng)過點(diǎn)，將代入可得，，②正確；該函數(shù)圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，且，對(duì)稱軸，該圖象中，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，③正確；，，關(guān)于的一元二次方程的根為，，，，④正確；，即，解得，即，，，⑤正確．綜上，②③④⑤正確，共個(gè)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與軸的交點(diǎn)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．二、填空題23．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象向左平移兩個(gè)單位得到拋物線，點(diǎn)，在拋物線上，則（填“＞”或“＜”）；【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移以及二次函數(shù)的性質(zhì)，由平移的規(guī)律可得出拋物線的解析式為，再利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：，∵二次函數(shù)的圖象向左平移兩個(gè)單位得到拋物線，∴拋物線的解析式為，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴，故答案為：．24．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，掌握拋物線與x軸沒有交點(diǎn)與沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．由拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，運(yùn)用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可．【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，∴沒有實(shí)數(shù)根，∴，．故答案為：．25．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個(gè)單位長度后，經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】2【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到，再整體代入變形后代數(shù)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移5個(gè)單位長度后得到，把點(diǎn)代入得到，，得到，∴，故答案為：226．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，，是二次函數(shù)圖象上三點(diǎn)．若，，則（填“”或“”）；若對(duì)于，，，存在，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及解不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由得拋物線的對(duì)稱軸為直線，開口向下，∵，，∴，∴；∵，，，，∴，∵存在，∴，，且離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，離對(duì)稱軸最近，∴，即，且，∵，，∴且，解得，故答案為：；．27．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．【答案】4【分析】本題考查新定義運(yùn)算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡(jiǎn)求值等知識(shí)，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點(diǎn)式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點(diǎn)，使得，則，，中存在一點(diǎn)，有，解得，則，拋物線“開口大小”為，故答案為：．28．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對(duì)稱軸，即可判斷①，根據(jù)，兩點(diǎn)之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過得出，代入頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，求得縱坐標(biāo)的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對(duì)稱軸，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．∴對(duì)稱軸為直線，，∵，∴，故①錯(cuò)誤，∵∴，即，兩點(diǎn)之間的距離大于又∵∴時(shí)，∴若，則，故②正確；③由①可得，∴，即，當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為設(shè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，∴∴∴∵，，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，而，∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；④∵，拋物線開口向下，點(diǎn)，在拋物線上，，，總有，又，∴點(diǎn)離較遠(yuǎn)，∴對(duì)稱軸解得：，故④正確．故答案為：②③④．29．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；④若關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）．【答案】①②④【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對(duì)稱軸求出，根據(jù)圖象可得當(dāng)時(shí)，，即可判斷；③利用拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷．【詳解】解：①∵拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，即，由圖可知，拋物線開口方向向下，即，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，故①正確，符合題意；②∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，∴，∴，∴由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，∴，即，故②正確，符合題意；③∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為，則，，∴，根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，∴，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④如圖，∵關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，∴，故④正確，符合題意．故答案為：①②④30．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）已知二次函數(shù)的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；利用對(duì)稱性可判斷；畫出函數(shù)圖形可判斷；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正確；∵，，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故正確；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，又∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，∵與時(shí)函數(shù)值相等，等于，∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，故錯(cuò)誤；∵，∴點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，故正確；由得，即，畫函數(shù)和圖象如下：由，解得，，∴，，由圖形可得，當(dāng)或時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論為，故答案為：．三、解答題31．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)．(1)求的值；(2)若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖像上，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)，結(jié)合幾何圖形面積計(jì)算方法可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入后解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，∴，解得，，∴；（2）解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為：，，，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，無解，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，；∴．32．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．(1)求b的值；(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及化為頂點(diǎn)式，解一元二次方程，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意求出的頂點(diǎn)為，確定拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，即可求解；（2）根據(jù)題意得出，，然后整理化簡(jiǎn)；（ⅰ）將代入求解即可；（ⅱ）將代入整理為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：，∴的頂點(diǎn)為，∵拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1，∴拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，∴，∴；（2）由（1）得∵點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．∴，，整理得：（?。?，∴，整理得：，∵，，∴，∴；（ⅱ）將代入，整理得，∵，∴當(dāng)，即時(shí)，h取得最大值為．33．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知和是拋物線上的兩點(diǎn).若對(duì)于，，都有，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)或【分析】（）把代入，轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求解；（）分和兩種情況，畫出圖形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；本題考查了求二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把代入得，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：分兩種情況：拋物線的對(duì)稱軸是直線；當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，∴，又∵，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，解得，又∵，∴；綜上，當(dāng)或，都有．34．（2024·浙江·中考真題）已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長度，向左平移m（）個(gè)單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；(3)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（1）采用待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)關(guān)系式；（2）先求出平移后點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入解析式即可；（3）分為，時(shí)，時(shí)，建立方程解題即可．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得，解得，∴；（2）解：點(diǎn)B平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得或（舍），∴m的值為；（3）解：當(dāng)時(shí)，∴最大值與最小值的差為，解得：不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，∴最大值與最小值的差為，符合題意；當(dāng)時(shí)，最大值與最小值的差為，解得或，不符合題意；綜上所述，n的取值范圍為．35．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計(jì)算結(jié)果．【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說明理由．【答案】（1）①；②當(dāng)時(shí)，有最小值為（2）見解析（3）正確，【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）①把代入解析式，寫出函數(shù)解析式即可；②將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，進(jìn)行求解即可；（2）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解釋即可；（3）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，表示出的最大值，再利用二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：（1）①把代入，得：；∴；②∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；（2）∵，∵拋物線的開口向上，∴當(dāng)時(shí)，有最小值；∴甲的說法合理；（3）正確；∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，即：，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，為．36．（2024·云南·中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸是直線．設(shè)是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記．(1)求的值；(2)比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）由對(duì)稱軸為直線直接求解；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，∴；（2）解：∵是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴，∴，∴，∴，而代入得：，∴，∴，∵，解得：，當(dāng)時(shí)，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，與x軸交點(diǎn)問題，解一元二次方程，無理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行降次處理．37．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)當(dāng)時(shí)，若的面積