全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯集

第一章集合

考試內(nèi)容：歲歲年年人不同，有是一年高考時(shí)。

集合、子集補(bǔ)集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件與必要條件.

考試要求：

0理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集與全集的

意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語與符號(hào)，

并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合.

0理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及

其相互關(guān)系；掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義.

§.集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法（集合化簡(jiǎn)）、簡(jiǎn)易

邏輯三部分：

二、知識(shí)回顧:

(一)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的

使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為AqA；

②空集是任何集合的子集，記為。qA；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果同時(shí)那么.

如果BqC,那0qC.

［注］:①］整數(shù)｝(V。｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合中的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合也是有限集.(x)(例：；

N+,則｛｝)

叫集的補(bǔ)集是全集.

④若集合集合，則0,0()(注：0).

.①｛(,),€,€｝坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②｛(,)V,€,￡｝二、四象限的點(diǎn)集.

③｛(,)>,€,€｝一、三象限的點(diǎn)集.

［注］:①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：解的集合｛(,)｝.

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.(例：｛(,)｝｛｝則n。)

?①個(gè)元素的子集有個(gè).②個(gè)元素的真子集有一個(gè).③個(gè)元素的非空

真子集有一個(gè).

.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題。逆命

題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題。逆否命題.

例：①若則a*2或人工3應(yīng)是真命題.

解：逆否：且，則，成立，所以此命題為真.

解：逆否：冷或.

x/1且）,/2x+"3,故1+）,工3是工工1旦）,工2的既不是充分，又不是必要

條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若XA5,NXA5或tY2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

5.主要性質(zhì)與運(yùn)算律

（1）包含關(guān)系：

，①qAAqU,品AqU,

（2）等價(jià)關(guān)系：A^B<=>Ar\B=A<=>A\JB=B<=>r[rA\JB=U

（3）集合的運(yùn)算律：

交換律：AriB=BnA;AUB=BUA

結(jié)合律：（AnB）nc=An（Bnc）；（AU8）uc=AU（3uc）

分酉己律:.Ani8uc）=（An8）u（Anc）；AU（8nc）=（AU8）n（Auc）

律：①nA=(t>，①UA=A,UnA=A,UUA=U

等塞律：A「|A=A,AUA=A

求補(bǔ)律：n(pucpcp

反演律：(n)()u()(U)()no

6.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集的元素的個(gè)數(shù)叫做集合的基數(shù)，記為()規(guī)定((P).

基本公式：

(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

.整式不等式的解法

根軸法(零點(diǎn)分段法)

①將不等式化為()()???()>(<)形式，并將各因式的系數(shù)化；(為

了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；

④若不等式(的系數(shù)化"“后)是“>”，則找“線”在軸上方的

區(qū)間；若不等式是"'，則找"線”在軸下方的區(qū)間.

(自右向左正負(fù)相間)

n2

則不等式+//I+a2x~+.??+%>0(vO)3o>。)的解可以根據(jù)各區(qū)

間的符號(hào)確定.

特例①一元一次不等式》解的討論；

②一元二次不等式乂》)解的討論.

△卜0]△=()|△<()

二次函數(shù)

y=ax2+bx+cr!

V

(?>0)的圖象0Xi=X2x^1X

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+〃x+c=0b無實(shí)根

XpXjU)<x2)Xi=X-y=---

(a>0的根122a

ax2+陵+。>0D1

卜］/<X］或左>x2}<XX^---

(。>0)的解集2a

ax2+Z7x+c<0

卜［戈］<x<x2}0

(a>0)的解集0

.分式不等式的解法

0標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為緇〉(或磊<)；爆卬或緇<)

的形式,

()轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)

>0=>0;』^N0u>f(x)gM>0

g(x)g*)g(x)w0

.含絕對(duì)值不等式的解法

0公式法：麻+4<c,與向+4>c、(c>0)型的不等式的解法.

0定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

0幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

.一元二次方程根的分布

一元二次方程(力)

0根的“零分布”：根據(jù)判別式與韋達(dá)定理分析列式解之.

0根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析

列式解之.

（三）簡(jiǎn)易邏輯

、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯

聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、

“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：或（記作“V”）；且（記作“八”）；

非（記作'”）。

、“或”、“且”、“非”的真原命題逆命題

若P則q若q則P

值判斷

[否

否

業(yè)

0“非”形式復(fù)合命題的真假與的否命題逆否命題

若-]p則1q若iq貝LIP

真假相反；

0“且”形式復(fù)合命題當(dāng)與同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假;

0“或”形式復(fù)合命題當(dāng)與同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真.

、四種命題的形式：

原命題：若則；逆命題：若則；

否命題：若「貝代；逆否命題：若」則1O

（）交換原命題的條件與結(jié)論，所得的命題是逆命題；

（）同時(shí)否定原命題的條件與結(jié)論，所得的命題是否命題;

（）交換原命題的條件與結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否

命題.

、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題

。逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

、如果已知=那么我們說，是的充分條件，是的必要條件。

若=且=,則稱是的充要條件，記為今.

、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出（與已知、公

理、定理…）矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法

叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

0了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

0了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)

性、奇偶性的方法.

0了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些

簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).

0理解分?jǐn)?shù)指數(shù)痔的概念，掌握有理指數(shù)騫的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)

函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì).

0理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、

圖像與性質(zhì).

0能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單

的實(shí)際問題.

§.函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

二、知識(shí)回顧：

(一)映射與函數(shù)

1.映射與—^映射

?函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則與值域，而定義域與對(duì)應(yīng)法則是

起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因

此只有定義域與對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).

.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(x)(x￡4)的值域是，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中的關(guān)系，用

把表示出，得到。().若對(duì)于在中的任何一個(gè)值，通過。()，在中都

有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么，夕()就表示是自變量，是自變量的函

數(shù),這樣的函數(shù)0()(數(shù)叫做函數(shù)y=/(x)(X￡A)的反函數(shù),記作

戶廣(“習(xí)慣上改寫成廣尸。)

(二)函數(shù)的性質(zhì)

L函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)()的定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值,

⑴若當(dāng)〈時(shí)，都有()<(),則說()在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)〈時(shí)，都有()>(),則說0在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)()在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)()在這一區(qū)間

具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函

數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

.函數(shù)的奇偶性

.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：J(T)=/(”)

設(shè)(2)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(3)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于)軸對(duì)稱，例如：)，=產(chǎn)+1在上不是偶函數(shù).

②滿足―小或〃-=。，若/(小。時(shí)，瑞"

⑵奇函數(shù)：/(-A)=-J(X)

設(shè)(?)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(…)也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：＞，=/在[—|)上不是奇函數(shù).

②滿足〃T)=-f(x),或f(r)+/(力=0,若/(x)工。時(shí),-77^7=-!.

f(-x)

.對(duì)稱變換：①0」皿小廣"7)

.判斷函數(shù)卑典性(熊義)作慧底單雷根號(hào)的一定要分子有理化,

22

f(xl)-f(x2)=ylx]+b-y/x；+b=

Jxj+/f+Jx：+廬

例如：

在進(jìn)行討論.

.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)戶的定義域?yàn)?，函?shù)[()]的定義域是，則集

01—X

A

合與集合之間的關(guān)系是.

解：/*)的值域是/V"))的定義域8,f(,'；)的值域6及，故.BwR,而

={x|x^1},故8nA.

.常用變換：

證：f(x-y)=爐o/(A)=/[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

/(A)

證：/Cv)=/(--y)=/(-)+/(y)

yy

.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

X-5X-3

值域{)L"2,.yeK}f值域。x前的系數(shù)之比.

><<

（三）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

（以上

M>0,N>0,aa0,awLba0,bw1,c>0,cl,ara2...an>0且w1)

1

y'

y=logax一

圖

O

象

0定義域：（，8）

0值域：

性0過點(diǎn)（，），即當(dāng)時(shí)，

質(zhì)（）X￡（O,1）時(shí)y<0x￡（o,i）時(shí)y>0

X￡（1,+00）時(shí)>%￡（1,+00）時(shí)丁<0

0在（,8）上是增函數(shù)在（，8）上是減函數(shù)

注⑴：當(dāng)a,/?YO時(shí),log（6/-b）=log（-^/）+log（-Z?）.

（2）：當(dāng)MAO時(shí)，取“”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，用"AO,而MYO,

故取“一”.

例如：log”,工2嗟產(chǎn)?（2108了中>而./中e）.

⑵），="（o0,"1）與y=log/互為反函數(shù).

當(dāng)“I時(shí)，尸1叫1的〃值越大，越靠近x軸;當(dāng)0Y4Y1時(shí),則相反.

（四）方法總結(jié)

⑴.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

（J^±M>0,N>0,a>0,a^l,b>0,b^l,c>0,c^l,ai,a2...an>0且工1）

注⑴：當(dāng)。涉Y。時(shí)，log(t/Z;)=log(-a)+log(-/?).

(2):當(dāng)MAO時(shí)，取“”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，M、0,而MYO,

故取“一”.

2

例如：logflx*2logaxv(2logrtx中＞而砥，中《).

⑵y=/(4A0,awl)與y=log°X互為反函數(shù).

當(dāng)心1時(shí),y=log.x的。值越大，越靠近尢軸；當(dāng)OY”1時(shí)，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解，互換、，注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)

的值域).

⑷.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系

式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為；②

偶次根式中被開方數(shù)不小于；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于，底數(shù)大于零且不等

于；④零指數(shù)騫的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；

③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法：①設(shè)S是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，＞,＜

2；②判定(J與Q)的大小；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算

()與()之間的關(guān)系：①()0為偶函數(shù)；()0為奇函數(shù)；②()()為偶；0()為奇;

③0()是偶；()+()為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲

線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)

的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前項(xiàng)與公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前項(xiàng)與公式.

考試要求：

0理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出

數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

0理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)與公式,

并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

0理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)與公式,

井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

§.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

_an-k+an^-k

中項(xiàng)G=±y]an_ka?+k(a“小A0)

2

(〃,攵eN",〃A攵A0)(〃，攵e,v",〃AkA0)

前〃項(xiàng)s〃=-(?1+4Jnax[q=\)

s產(chǎn)￡iLd^?>

,〃QI)=(<?2)

與5“=〃可2dT-q\-q

重要

+ci=a+%(m,n,p,qeN\

npa,?an=apag(〃?，〃，p、qwN,,〃i+n=p+q)

性質(zhì)，〃+〃=〃+q)

.⑴等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義{“”}為A-P<=>an+i-a?=4(常數(shù))

他“｝為6?Po=貝常數(shù)）

冊(cè)

通項(xiàng)為404()dna\4=〃闖"T=44

公式

求與九⑷+%)n(n-1)(q=1)

s〃=2=〃為2~

d),d.S“?

=—n~+3~—)n

公式221-cy\-q

中項(xiàng)2推廣：%"UmG2=aho推廣：

公式aa

n=n-mX小

性若則=%，+4若，則q4=%四。

質(zhì)

若伙〃｝成（其中3wN）則｛%｝若電｝成等比數(shù)列（其中

也為。k.wN）,則｛%｝成等比數(shù)

列。

?力，$2〃%，§3〃$2.成等差數(shù)-$”,$3〃f成等比數(shù)

列。列。

、_n-l/

,an-a,a,?-a?z

d------L=------(mwn)q=一，

n-1m-n%

4〃

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

③冊(cè)=kn+b（n,k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

注①：.疝，是、、成等比的雙非條件，即a=而4、、等比數(shù)

列.

.b=^（>）f為、、等比數(shù)列的充分不必要.

.人土疝一為、、等比數(shù)列的必要不充分.

.8=±而且acA?！?為、、等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)、不一定有等比中項(xiàng)，除非有,，則等比中項(xiàng)一定有

兩個(gè).

③冊(cè)=c/（G4為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛%｝成等比的充要條件是數(shù)列｛叫尸”｝（-1）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列W的前〃項(xiàng)與與通項(xiàng)明的關(guān)系：冊(cè)?

［注］:①"”一。1+（〃-1>/-〃d十（?可為零也可不為零一為等差數(shù)列充

要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）―若，/不為，則是等差數(shù)列充分條

件）.

②等差｛*｝前項(xiàng)與傳/一3可以為零也可不為零

一為等差的充要條件一若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若△不

為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非?零?常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不

可能有等比數(shù)列）

.①等差數(shù)列依次每項(xiàng)的與仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的倍

S2、Szk-Sk，s3k-\

S奇

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為淅"），則S偶-S奇=成,1=］；

n偶"n+l

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃-小cN+）,則SZ“T=⑵-1.〃,且S-偶=為，注上

S假n—1

.常用公式：①…當(dāng)q

［注］：熟悉常用通項(xiàng)：，，，…=冊(cè)=1。"-1；,,,--?=>??=|（ion-l）.

.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)與公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題,例如，第一年產(chǎn)量為?年增

長(zhǎng)率為）則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+「.其中第〃年產(chǎn)量為

，（1+，尸，且過〃年后總產(chǎn)量為:

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存〃元，

利息為r，每月利息按復(fù)利計(jì)算,則每月的〃元過〃個(gè)月后便成為3+「）〃

元.因此，第二年年初可存款：

⑶分期付款應(yīng)用題：“為分期付款方式貸款為元；為個(gè)月將款全部付

清；「為年利率.

.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴?！?2=〃6+1+的”（、為二階常數(shù)）-用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程1=&+夕（/對(duì)應(yīng)盤短，對(duì)應(yīng)?。?，并設(shè)

二根為，勺②若中心可設(shè)4〃=°3；+°2菖，若巧=*2可設(shè)“(C1+C2W；③由

初始值。],。2確定Q'Q-

⑵冊(cè)=川,-+「(、為常數(shù))-用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代;

③消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為%+2="用+分的形式,再用特征根方法求％；

④(公式法),由。1，。2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：a“+]+x=P(a?+%)=>art+1=Pa,t+Px-x=>x=J].

②選代法：??=Pa_+r=P(Pa_+r)+r='?-=>?,,=(??+--^-r=(?iPni-x

nin2尸一1〃一1

③用特征方程求解：

，，+1?、}相減，=a-a?=Pa?-Pa?_=>a?=(P?1)a-Pa_.

a“=Paa_i+Hn+il+inn}

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：

.幾種常見的數(shù)列的思想方法:

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)與為s.，在八0時(shí)，有最大值,如何確定使S”取

最大值時(shí)的〃值，有兩種方法：

一是求使？0，%+1Y0,成立的〃值；二是由S”=#+(.]-多〃利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求〃的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，

求此數(shù)列前〃項(xiàng)與可依照等比數(shù)列前〃項(xiàng)與的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減

求.例如：1二,3：...(2〃-1)J,…

242

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首

項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差八4的最

小公倍數(shù).

.判斷與證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（）定義法:對(duì)于

》的任意自然數(shù)，驗(yàn)證冊(cè)為同一常數(shù)。（）通項(xiàng)公式法。（）中項(xiàng)

%

公式法:驗(yàn)證2勺+1=%+4-23；+|=44+2），7W%都成立。

■

.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)的最值問題：（）當(dāng)％”時(shí)，滿足a〉:

的項(xiàng)數(shù)使得S,”取最大值.（）當(dāng)gv＞時(shí)，滿足［%,二的項(xiàng)數(shù)使得也取最

小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求與的常用方法

?公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的

數(shù)列。

?裂項(xiàng)相消法:適用于［」一］其中｛品｝是各項(xiàng)不為的等差數(shù)列,

為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

.錯(cuò)位相減法:適用于卜也｝其中｛%｝是等差數(shù)列，h｝是各項(xiàng)不

為的等比數(shù)列。

.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前項(xiàng)與公式的推導(dǎo)方法.

.常用結(jié)論

高中數(shù)學(xué)第四章三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)

系式.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

兩角與與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)(cocp)的圖像.正

切函數(shù)的圖像與性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

0理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

0掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割

的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公

式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

0掌握兩角與與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正

弦、余弦、正切公式.

0能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與恒等

式證明.

0理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)

法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)與函數(shù)(sp)的簡(jiǎn)圖，理解.3、CP的物理意

義.

0會(huì)山已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)\\表示.

0掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

0"同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：QQ,QaQCl?Q”.

§.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

.①與。(。)終邊相同的角的集合(角。與角￡的終邊重合)：

▲

y

32

Isinxsbix

COSX/\CO!X

,I，=&x360。+a.AeZ}

②終邊在軸上的角的集合：物|夕=Ax180F三Z}

③終邊在軸上的角的集合：如尸=2x180。+90Yez}

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：M/，="90FCZ}

⑤終邊在軸上的角的集合：物R=kxl80，+45Y￡z}

⑥終邊在尸f軸上的角的集合：物岸=2x180。-451ez}

⑦若角。與角夕的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則角。與角夕的關(guān)系：0=360。"萬

⑧若角。與角夕的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則角。與角夕的關(guān)系：

a=360Z+180°-〃

⑨若角a與角/的終邊在一條直線上，則角。與角夕的關(guān)系：a=180*+〃

⑩角。與角尸的終邊互相垂直，則角夕與角6的關(guān)系：。=360*+6±9（T

.角度與弧度的互換關(guān)系：°"°萬。°°'

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為

零.

、弧度與角度互換公式：=喲。-。。,,°=30

開180

、弧長(zhǎng)公式：扇形面積公式：s扇形=g/r=g|a|，'

、三角函數(shù)：設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊丫Aa的終邊

上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)0與原點(diǎn)的距離

為，則sina=—9cos<2=—>tanc（=—9cota=—^

seca=—，?csca=-,，I

xy

、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）

、三角函數(shù)線

正弦線：；余弦線：；正

切線：.

.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

/*)={x|xeR}

/(幻={x|xeR}

（）

/A=x|xeR且％工k乃+、7i\kwZ-

2

〃幻={x|xGR且x工k7t,kGZ}

x|xe拉且x手卜冗事、冗、keZ*

2

/3)={x|xGR且r*k7r,keZ}

、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：包里==

cosasma

、誘導(dǎo)公式:

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二

公式組三

公式組四公式組五公式組六

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

公式組三sinacos夕=—[sin(<2+/?)+sin(?-/?)]公式組四

公式組五cos?sinp=—[sin(<2+//)-sin(?-/?)]

.正弦、余弦、正切~余物黃嗷的映象的性強(qiáng):

sincrsin0=__-[cos(cr+/7)-cos(a-/?)]

y=Asin(fu￥+0)

y=sinx*V*=COSXy=tanxy=cotx

/(、”>)

j.v|xeATflxH&*+；7,欠eZ}

定義{x|xe/?.ELv*k/r,Awz}

域

值域[-h+1][T+1][-A,A]

7V

周期2冗2兀7T2TT

CD

性

奇偶奇函偶函奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)…,非奇非

性數(shù)數(shù)偶

當(dāng)展。，奇函數(shù)

3-1b,.

?冗

[-工+2?，2br]'I22J任乃,（2+氏）上為減2K7C----(P

2

------"—(A),

(0

耳+2⑦上為增上為增函數(shù)函數(shù)（AeZ）

2k7r+-7r-(p

------------(-A)

上為增函數(shù)（g）L3J

12k兀,

單調(diào)函數(shù)；儂+1問上為增函數(shù)；

…不

性[~+2k^,上為減2K7V+---(P

2------2-⑷，

(0

學(xué)+2⑸

函數(shù)247r+一乃一0

-----------(-A)

-s

上為減（丘Z）

上為減函數(shù)

函數(shù)

(kwz)

（AwZ）

注意：①），=-sin刀與y=sinx的單調(diào)性正好相反；y=-8sx與），=cosx的單

調(diào)性也同樣相反.一般地，若），=/8在四向上遞增（減），,"=-小）在

[。向上遞減（增）.,

②y=|sinH與y=18sM的周期是*

③v=sin（如+Q）或y=COS（6;K+Q）5）的周如備

）,=.￡的周期為萬（d三=7=酎，如圖，翻折無效）.

2悶

④），=sin（5+*）的對(duì)稱軸方程是.t=br+^|（%eZ）,對(duì)稱中心（&4,0）；

），=cos3+0）的對(duì)稱軸方程是x=Z%（kwZ）,對(duì)稱中心（kn+工冗,0）；

2

y=tan（（UY+°）的對(duì)稱中心（―,0）.

2

⑤當(dāng)［ana,taii^=l,a+=k;r+^（kGZ）；tana,tan/?=-l,a-p=kjv+^{k&Z）.

⑥y=cosx與），=sinLv+y+2町是同一函數(shù)，而y=（皿+*）是偶函數(shù),則

⑦函數(shù)y=tanx在R上為增函數(shù).（X）［只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞

增.若在整個(gè)定義域，y=tanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的］.

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶

性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇

偶性條件,偶函數(shù)：〃r）=g）,奇函數(shù)：/（_）=-/（“））

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函數(shù)—=tan（x+卜是

非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若Owx的定義域，則/?：）一定有/（o）=o.（0。的定

義域，則無此性質(zhì)）

⑨…巾不是周期函數(shù)；二而乂為周期函數(shù)（T=,）1

.尸C。村是周期函數(shù)（如圖）；y=|cosM為周期函數(shù)13"二=

尸cgr肉象

v=COS2A+-的周期為不（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期;

2

例如：

⑩y=acosa+〃sin0=yla2+b2sin（a+（p）+cos（p=—有yjcr+b2>|y|.

、三角函數(shù)圖象的作法:

1）、幾何法：

2）、描點(diǎn)法及其特例一一五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)

二線作圖法（正、余切曲線）.

3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換與相位變換等.

函數(shù)=（co+cp）的振幅，周期7=紅，頻率/」=應(yīng)1,相位5+夕；初

\co\T2不

相夕（即當(dāng)=時(shí)的相位）.（當(dāng)＞,3＞時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），

由=的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)＞）或縮

短（當(dāng)VV）到原來的倍，得到=的圖象，叫做振幅變換或叫沿軸的

伸縮變換.（用替換）

由=的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（V3V）或

縮短（3＞）到原來的內(nèi)倍，得到=3的圖象，叫做周期變換或叫做

（f）

沿軸的伸縮變換.（用3替換）

由=的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)中＞）或向右（當(dāng)cpv）平行移

動(dòng)IcpI個(gè)單位，得至||=（+卬）的圖象，叫做相位變換或叫做沿軸

方向的平移.（用十甲替換）

由=的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)＞）或向下（當(dāng)V）平行移動(dòng)II

個(gè)單位，得到=+的圖象叫做沿軸方向的平移.（用（）替換）

由=的圖象利用圖象變換作函數(shù)=（G）+cp）（＞,Q＞）（W）

的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換與相位變換的先后順序不同時(shí)，原

圖象延軸量伸縮量的區(qū)別。

、反三角函數(shù)：

函數(shù)的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作=，它的定義域是

L-,],值域是卜^.

函數(shù)=,（€[,兀]）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作=,

它的定義域是[一，],值域是[,兀].

函數(shù)=，卜合目）的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作=，它的定義

域是（-8,+OO）,值域是,

I2r2）

函數(shù)=,[6（，兀）]的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作=,它

的定義域是（一8,+8）,值域是（,兀）.

.競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)

一、反三角函數(shù).

.反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)y=arcsinx是奇函數(shù)，故

arcsin（-x）=-arcsinx,xe[-l.l]（一定要注明定義域,若工”-雙帝），沒有工與

y一—對(duì)應(yīng)，故丁=$山/無反函數(shù)）

注：siii（arcsuiA）=x,xe[-l,l],arcsinxG?

_22.

⑵反余弦函數(shù)y=arccosx非奇非偶，但有arccos（-x）+arccos（r）=/r+2k江,

（）

：^^cosarccoar=xyx°1,1],arccosxe[（）,”]?

②y=cos.v是偶函數(shù)，y=arcco&r非奇非偶，而）,=sinx與），=arcsinx為奇函

數(shù).

⑶反正切函數(shù)：y=arctanx,定義域（-8,+8）,值域（-^，^）,y=arctanx

是奇函數(shù),

注：tan(arclanx)=x,xG(-<?,+CO).

⑷反余切函數(shù):y=arccotx,定義域(-8,+8),值域(-y,y),y=arccotx

是非奇非偶.

汪：(T)cot(?rccotx)=X9xG(-co,+co).

②y=arcsinx與y=arcsin(l-x)互為奇函數(shù),y=arctanx同理為奇而y=arccosx與

尸由C3X非奇非偶但滿足

iirccos(-x)+aiccosx=/r+2k4.XG[-1.1colX+an?cot(-x)=4+2k兀、XG[-1.I].

⑵正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:

a的取值范圍解集。的取值范圍

解集

①sinx=a的解集②cosx=a的解集

③tanx=a的角單集：{x\x=kjr+arctana.k&Z}

③cotx=a的解集：卜Ix=攵乃+arccota,攵￡Z}

二、三角恒等式.

sin2""asin3a=3sin?-4sin'asin2a-sin2/=sin(a+/?)sin(a-〃)

cosacos勿cos4a...cos2"a=

2,,+lsinacos3a=4cos'a—3cosa=cos2=-cos?a

組一

組二

組三三角函數(shù)不等式

sinr<x<tanx,x(=(0.￡)/(r)=包^在(0㈤上是減函數(shù)

2x

若A+B+C=7V,貝!J/+y2+z222yzcosA+2xzcosB+2xycosC

高中數(shù)學(xué)第五章平面向量

考試內(nèi)容：

向量.向量的加法與減法.實(shí)數(shù)與向量的積.平面向量的坐標(biāo)表示.線

段的定比分點(diǎn).平面向量的數(shù)量積.平面兩點(diǎn)間的距離、平移.

考試要求：

0理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.

0掌握向量的加法與減法.

0掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.

0了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平

面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

0掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積

可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度與垂直的問題，掌握向量垂直的條件.

0掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)與中點(diǎn)坐標(biāo)公

式，并且能熟練運(yùn)用掌握平移公式.

§.平面向量知識(shí)要點(diǎn)

.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

.向量的概念

()向量的基本要素：大小與方向.()向量的表示：幾何表示法而；

字母表示：；

坐標(biāo)表示法=Xi+y=(X,y).

()向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作II.

()特殊的向量：零向量==II=.

單位向量為單位向量=II=.

()相等的向量：大小相等，方向相同(x,y)=(x,y)=『二々

3二%

0相反向量：

（）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作

//.平行向量也稱為共線向量.

?向量的運(yùn)算

運(yùn)算類

幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

型

a+b=b+a

向量的.平行四邊形法則

。+/2=（玉+9，）1+%）(a+b)+c=a+(b+c)

加法.三角形法則

AB+BC=AC

向量的a-b=a+[-b)

三角形法則a-b=(xi-x2,yi-y2)

減法AB=-BA,OB-OA=AB

是一個(gè)向量，滿

數(shù)