重慶康德卷2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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重慶康德卷2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要2.若實(shí)數(shù)滿足的約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知集合,,,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知,則的值等于()A. B. C. D.6.如圖,長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.7.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.8.設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.10.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.11.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.12.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則________.14.邊長(zhǎng)為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實(shí)線圍成的部分,將所留部分折成一個(gè)正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得最大值時(shí),其底面棱長(zhǎng)為________.15.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.16.設(shè),則“”是“”的__________條件.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(,),且對(duì)任意,都有.(Ⅰ)用含的表達(dá)式表示;(Ⅱ)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為.(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到距離的取值范圍.19.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,直線與拋物線交于另一點(diǎn).(1)設(shè)直線,的斜率分別為,,求證:常數(shù);(2)①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為,試用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo);②當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時(shí),求直線的方程.20.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時(shí),的最大值為,求證:.21.(12分)某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn),現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì),該公司每年為這一萬(wàn)名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬(wàn)元.年齡(單位:歲)保費(fèi)(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時(shí)的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元,如果參保,保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲,若購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元;若沒(méi)有購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn),針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算?22.(10分)表示,中的最大值,如,己知函數(shù),.(1)設(shè),求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)試探討是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因?yàn)楹愠闪?,故可以推出且,若成立,?dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,因?yàn)楹愠闪?,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)所給不等式組,畫出不等式表示的可行域,將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程,平移后即可確定取值范圍.【詳解】實(shí)數(shù)滿足的約束條件,畫出可行域如下圖所示:將線性目標(biāo)函數(shù)化為,則將平移,平移后結(jié)合圖像可知,當(dāng)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)截距最小,;當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí),截距最大值,,所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

首先求得平移后的函數(shù),再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意,的圖象向左平移個(gè)單位后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù),所以,所以.又,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導(dǎo)公式,意在考查平移變換,屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導(dǎo)公式有,所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用,要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題6、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知;結(jié)合即可證明,進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),然后由模的定義計(jì)算模.【詳解】,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)表示出線段長(zhǎng)度,由勾股定理,解出每條線段的長(zhǎng)度,再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系,求出離心率.【詳解】設(shè),則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法,通過(guò)幾何關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)系,得到離心率.屬于中檔題.9、B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.10、A【解析】

用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時(shí),,故可排除D.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】

先計(jì)算集合,再計(jì)算,最后計(jì)算.【詳解】解:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由題意先求得的值,可得,再令,可得結(jié)論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過(guò)給二項(xiàng)式的賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡(jiǎn)便的求出答案,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)題意,建立棱錐體積的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為,則斜高為,即此四棱錐的高為,所以此四棱錐體積為,令,令,易知函數(shù)在時(shí)取得最大值.故此時(shí)底面棱長(zhǎng).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問(wèn)題,屬綜合中檔題.15、0.08【解析】

先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計(jì)算公式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).16、充分必要【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí),有,故“”是“”的充分條件.當(dāng)時(shí),有,故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件,故答案為:充分必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷,可利用定義來(lái)判斷,也可以根據(jù)兩個(gè)條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來(lái)判斷,還可以利用兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的集合的包含關(guān)系來(lái)判斷,本題屬于容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)見解析(3)見解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導(dǎo)數(shù),要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗(yàn)證,可得當(dāng)時(shí),對(duì)任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個(gè)極值點(diǎn),,則須有有兩個(gè)不相等的正數(shù)根,所以或解得或無(wú)解,所以的取值范圍,可得,由題意知,令,則.而當(dāng)時(shí),,即,所以在上單調(diào)遞減,所以即時(shí),.(Ⅲ)因?yàn)?,.令得,.由(Ⅱ)知時(shí),的對(duì)稱軸,,,所以.又,可得,此時(shí),在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以最多只有三個(gè)不同的零點(diǎn).又因?yàn)?,所以在上遞增,即時(shí),恒成立.根據(jù)(2)可知且,所以,即,所以,使得.由,得,又,,所以恰有三個(gè)不同的零點(diǎn):,1,.綜上所述,恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】利用賦值法求出關(guān)系,利用函數(shù)導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是近年高考?jí)狠S題的熱點(diǎn).18、(1),.(2)【解析】

(1)根據(jù)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),即可求得的的普通方程,曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:,即可求得答案;(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,即可求得答案.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)的普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:的直角坐標(biāo)方程為.(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為圓心到的距離為,點(diǎn)到的距離的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)①;②.【解析】

(1)設(shè)過(guò)的直線交拋物線于,,聯(lián)立,利用直線的斜率公式和韋達(dá)定理表示出,化簡(jiǎn)即可;(2)由(1)知點(diǎn)在軸上,故,設(shè)出直線方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)閮?nèi)心到三角形各邊的距離相等且均為內(nèi)切圓半徑,列出方程組求解即可.【詳解】(1)設(shè)過(guò)的直線交拋物線于,,聯(lián)立方程組,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知點(diǎn)在軸上,故,聯(lián)立的直線方程:.,又點(diǎn)在拋物線上,得,又,;②由題得,(解法一)所以直線的方程為(解法二)設(shè)內(nèi)切圓半徑為,則.設(shè)直線的斜率為,則:直線的方程為:代入直線的直線方程,可得于是有:得,又由(1)可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為則,即:,解得:所以,直線的方程為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線相關(guān)的綜合問(wèn)題的求解,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.20、(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時(shí),令,即,令,即(i)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時(shí),由的單調(diào)性可得在上的最小值是(iii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當(dāng)時(shí),令,則是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)椋?,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得最大值是因?yàn)?,所以由此可證試題解析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù),且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù),所以(1)當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時(shí),令,即,所以令,即,所以(i)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(iii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,所以在上的最小值是綜上所述,當(dāng)時(shí),在上的最小值是當(dāng)時(shí),在上的最小值是當(dāng)時(shí),在上的最小值是(Ⅲ)因?yàn)楹瘮?shù),所以所以當(dāng)時(shí),令,所以是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?,,所以在上存在,使得,即所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得最大值是因?yàn)?,所以因?yàn)椋运?1、(1)30;(2),比較劃算.【解析】

(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購(gòu)買了此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為∴(元).②若該老人沒(méi)有購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,為容易題.22、(1)個(gè);(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設(shè),對(duì)其求導(dǎo),及最小值,從而得到的解析式,進(jìn)一步求值域即可;(1)分別對(duì)和兩種情況進(jìn)行討論,得到的解析式,進(jìn)一步構(gòu)造,通過(guò)求導(dǎo)得到最值,得到滿足條件的的范圍.試題解析:(1)設(shè),.............1分令

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