2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.4.已知平面，直線，直線不在平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.6.已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿足，則（）A.2 B.3 C.5 D.67.燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個球缺）.如圖2，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（?。ǎ〢 B. C. D.8.函數(shù)，其圖象的一個最低點(diǎn)是，距離點(diǎn)最近的對稱中心為，則（）A.B.是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.時，函數(shù)單調(diào)遞增D.的圖象向右平移個單位后得到的圖象，若是奇函數(shù)，則的最小值是9.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)x∈0,2時，，若對任意，都有，則的取值范圍是（

）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題10.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則______11.的值為______.12.已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象在點(diǎn)1,f1處切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為f′x，則______．13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．14.折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让婺苷郫B的扇子，如圖1．其展開幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點(diǎn)在上（包含端點(diǎn)），則__________；的取值范圍是__________．15.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且滿足，函數(shù)，若函數(shù)有7個零點(diǎn)，則k的取值范圍為___________；若方程（）的解為、、、，則的取值范圍為___________三、解答題16.在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值．17.如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角正弦值；（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.18.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求證：對于且，．19.已知數(shù)列前n項(xiàng)和．若，且數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在正零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）記為的極值點(diǎn)，證明.2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，得到，即，又，所以，故選：B.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】分別得出及時的與的關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，有，若，則，故“”是“”充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】通過函數(shù)的奇偶性可排除AC，通過時函數(shù)值的符號可排除D，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】令，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除AC，當(dāng)時，，，，即，故排除D，故選：B.4.已知平面，直線，直線不在平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】D【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項(xiàng)得答案．【詳解】因?yàn)?，對于A，若，則有可能在平面內(nèi)，故A錯誤；對于B，若，又，則，又，所以或在平面內(nèi)，故B錯誤；對于C，若，則有可能與平交但不垂直，故C錯誤；對于D，若，則，又，則，故D正確．故選：D5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，借助進(jìn)行比較判斷選項(xiàng).【詳解】，，而，則，即，所以.故選：B6.已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿足，則（）A.2 B.3 C.5 D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列均為等差數(shù)列，可得，且，又由，可得．因此.故選：A．7.燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個球缺）.如圖2，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（?。ǎ〢. B. C. D.【正確答案】A【分析】由勾股定理求出，則可得，分別求出兩個圓柱的體積、燈籠中間完整的球的體積與球缺的體積即可得..【詳解】該燈籠去掉圓柱部分的高為，則，由圓柱的底面圓直徑為24cm，則有，即，可得，則，.故選：A．8.函數(shù)，其圖象的一個最低點(diǎn)是，距離點(diǎn)最近的對稱中心為，則（）A.B.是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.時，函數(shù)單調(diào)遞增D.的圖象向右平移個單位后得到的圖象，若是奇函數(shù)，則的最小值是【正確答案】C【分析】由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由最低點(diǎn)求出的值，可得函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)，的圖象的一個最低點(diǎn)是，距離點(diǎn)最近的對稱中心為，，，，，，解得，，因?yàn)椋?，可得，所以函?shù)，故A錯誤；，故函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯誤；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故C正確；把的圖象向右平移個單位后得到的圖象，若是奇函數(shù)，則，，即，，令，可得的最小值是，故D錯誤，故選：C9.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)x∈0,2時，，若對任意，都有，則的取值范圍是（

）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的簡圖，由圖象分析得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，則，即當(dāng)時，，同理當(dāng)時，；當(dāng)時，.以此類推，當(dāng)時，都有.函數(shù)和函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖可知，，，解得，即對任意，都有，即的取值范圍是.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題10.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則______【正確答案】【分析】先利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后代入模的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故11.的值為______.【正確答案】11【分析】進(jìn)行對數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可．【詳解】原式．故11．12.已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為f′x，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，兩邊求導(dǎo)，可得．又在處的切線方程為：，所以．所以．故13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．【正確答案】【分析】由已知變形得，，然后結(jié)合基本不等式可求．【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，則，故的最小值．故．14.折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1．其展開幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點(diǎn)在上（包含端點(diǎn)），則__________；的取值范圍是__________．【正確答案】①.②.【分析】由圖形特征，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)坐標(biāo)寫出向量坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由，，得，則，所以；設(shè)，，則，由，得，，，所以的取值范圍是.故；15.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且滿足，函數(shù)，若函數(shù)有7個零點(diǎn)，則k的取值范圍為___________；若方程（）的解為、、、，則的取值范圍為___________【正確答案】①.②.【分析】對于第一空，?x有7個零點(diǎn)等價于函數(shù)y=fx的圖象與y=gx的圖象有7個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合后可求的取值范圍；對于第二空，根據(jù)圖像的局部對稱性可得，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，消元后利用單調(diào)性可求的范圍.【詳解】因?yàn)閒?x=?fx，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)?x有7個零點(diǎn)等價于函數(shù)y=fx的圖象與y=gx當(dāng)直線與相切時，則的判別式即（負(fù)值舍去），此時切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)直線過時，，結(jié)合下圖可得當(dāng)于函數(shù)y=fx與y=gx有7個交點(diǎn)，若方程（）有四個不同的解，由題意及圖象知，，由題意，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，因?yàn)樵谏暇鶠閱握{(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，∴，∴.故，.思路點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)討論，應(yīng)根據(jù)圖象的特征結(jié)合運(yùn)算性質(zhì)找到不同零點(diǎn)之間的相互關(guān)系后將目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)可求相應(yīng)的范圍.三、解答題16.在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值．【正確答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求出的大小，（2）根據(jù)正弦定理即可求出的值，（3）根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式即可求出．【小問1詳解】由余弦定理以及，則，，；【小問2詳解】由正弦定理，以及，，，可得；【小問3詳解】由，及，可得，則，，．17.如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析；（2）（3）【分析】（1）連接，證得，利用用線面判定定理，即可得到平面.（2）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．（3）設(shè)，則，從而，由（2）知平面的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，即可求解．【小問1詳解】連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以為平行四邊?由點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，可得且，因?yàn)闉镃D的中點(diǎn)，所以且，可得且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.小問2詳解】因?yàn)槠矫?，，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得，.，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，.，于是.所以，二面角的正弦值為.【小問3詳解】設(shè)，即，則.從而.由（2）知平面的法向量為，由題意，，即，整理得，解得或，因?yàn)樗?，所?則N到平面的距離為.18.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求證：對于且，．【正確答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，求出結(jié)合等差等比數(shù)列定義求出通項(xiàng).（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.（3）求出，借助不等式性質(zhì)放縮，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【小問1詳解】在等差數(shù)列中，，解得，而，則數(shù)列公差，通項(xiàng)公式為，由，得，令等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問3詳解】由（1）知，當(dāng)時，，所以.19.已知數(shù)列前n項(xiàng)和．若，且數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）由與的關(guān)系，仿寫作差后求出數(shù)列的通項(xiàng)，再代入所給方程求出數(shù)列的通項(xiàng)即可；（2）等差與等比數(shù)列相乘求和，采用錯位相減法，乘以等比數(shù)列的公比，再求和即可；（3）先證明數(shù)列為遞減數(shù)列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；【小問1詳解】由題意知，當(dāng)時，，所以．當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．因?yàn)?，所以，所以，令，可得，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知，所以，所