專題02 二次根式【考點(diǎn)精講】（原卷版）

考點(diǎn)02二次根式一、二次根式及相關(guān)概念1．二次根式：形如(a)的式子叫做二次根式．2．最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）數(shù)被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能的因或因式．3．同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成后，如果相同，這幾個(gè)二次根式稱為同類二次根式．如eq\r(8)與eq\r(2)是同類二次根式．同類二次根式可以合并，合并同類二次根式與合并同類項(xiàng)類似．二、二次根式的性質(zhì)（1）()2＝a(a≥0)．（2）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))（3）＝·(a≥0，b≥0)．（4）(a≥0，b>0)．（5）雙重非負(fù)性：二次根式?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被開方數(shù)a≥0,\r(a)≥0))三、二次根式的運(yùn)算1．二次根式的加減：先將各二次根式化為，然后合并同類二次根式．2．二次根式的乘除（1）二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)；（3）二次根式的運(yùn)算結(jié)果一定要化成．3．二次根式的開方：＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))4．二次根式的混合運(yùn)算在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，即先乘方，再乘除，最后算加減，有括號(hào)要先去括號(hào)；（2）加法的交換律、結(jié)合律，乘法的交換律、結(jié)合律和對(duì)加法的分配律在二次根式的混合運(yùn)算中仍然適用；（3）多項(xiàng)式的乘法公式仍然適合于二次根式的運(yùn)算；（4）二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．【考點(diǎn)1】二次根式的概念【例1】（2022·江蘇連云港）函數(shù)中自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例2】下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【例3】下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．牢記二次根式相關(guān)概念：1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被開方數(shù)a只能是非負(fù)數(shù).2．最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.3．同類二次根式：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.1．（2022·湖南衡陽(yáng)）如果二次根式有意義，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣西桂林）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．2 B．3 C．2 D．23．下列各式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．4．（2022·云南）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．5．（2022·四川南充）若為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．【考點(diǎn)2】二次根式的性質(zhì)【例4】（2021·湖南婁底市）是某三角形三邊的長(zhǎng)，則等于（）A． B． C．10 D．41．（2022·四川涼山）化簡(jiǎn)：＝（

）A．±2 B．－2 C．4 D．22．（2022·河北·一模）已知，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．3．（2022·四川遂寧）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)______．【考點(diǎn)3】二次根式的運(yùn)算【例5】（2022·山東青島）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B．1 C． D．3【例6】（2022·四川宜賓）《數(shù)學(xué)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現(xiàn)有周長(zhǎng)為18的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為______．【例7】計(jì)算下列各題（1）；（2）（3）；（4）二次根式運(yùn)算的注意事項(xiàng)1．在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí),一般先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,再利用二次根式的乘除法法則進(jìn)行乘除運(yùn)算,同類二次根式之間可以進(jìn)行加減運(yùn)算(類似于合并同類項(xiàng)).2．運(yùn)算結(jié)果要化成最簡(jiǎn)形式.3．在二次根式的運(yùn)算中,要注意與次的區(qū)別.①取值不同:前者的a為任意實(shí)數(shù),后者的a為非負(fù)數(shù);②化簡(jiǎn)結(jié)果不同:=|a|,=a.1．（2022·黑龍江哈爾濱）計(jì)算的結(jié)果是___________．2．（2022·天津）計(jì)算的結(jié)果等于___________．3．（2022·湖南衡陽(yáng)）計(jì)算：＝_____．4．（2022·山西）計(jì)算的結(jié)果是________．5．（2022·重慶）估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間6．列各式不成立的是（）A． B．C． D．7．（2022·甘肅武威）計(jì)算：．8．（2022·貴州遵義）（1）計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)，再求值，其中．【考點(diǎn)4】二次根式綜合運(yùn)用【例8】（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模）若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，且，則有：（結(jié)論不需要證明）例如：根據(jù)以上閱讀，請(qǐng)解決下列問題：【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）求的值；【能力提升】（2）設(shè)，求S的整數(shù)部分．【拓展升華】（3）已知，其中，且．當(dāng)取得最小值時(shí)，求x的取值范圍．1.閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”．如：，，它們的積不含根號(hào)，我們說這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．解決問題：（1）的有理化因式可以是___________，分母有理化得___________．（2）計(jì)算：①已知，，求的值；②．2.閱讀下面問題：＝＝－1；1