2024-2025學年高考數(shù)學考點第十一章計數(shù)原理隨機變量及其分布11.5二項分布與正態(tài)分布理

PAGEPAGE16考點11.5二項分布與正態(tài)分布考點梳理考點梳理1．條件概率及其性質(zhì)(1)對于任何兩個事務A和B，在已知事務A發(fā)生的條件下，事務B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事務A中基本領件的個數(shù)，則P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(2)條件概率具有的性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1；②假如B和C是兩個互斥事務，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互獨立事務(1)對于事務A，B，若事務A的發(fā)生與事務B的發(fā)生互不影響，則稱事務A，B是相互獨立事務．(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(3)若A與B相互獨立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)?A與B相互獨立．3．獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)在n次獨立重復試驗中，用X表示事務A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事務A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X聽從二項分布，記為X～B(n，p)，并稱p為勝利概率．4．兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X聽從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱函數(shù)φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當σ肯定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．(3)正態(tài)總體在三個特別區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.概念方法微思索1．條件概率中P(B|A)與P(A|B)是一回事嗎？提示不一樣，P(B|A)是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，P(A|B)是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．2．“事務相互獨立”與“事務互斥”有何不同？提示兩事務互斥是指兩個事務不行能同時發(fā)生，兩事務相互獨立是指一個事務發(fā)生與否對另一事務發(fā)生的概率沒有影響，兩事務相互獨立不肯定互斥．真題演練真題演練1．（2024?新課標Ⅰ）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：．依據(jù)長期生產(chǎn)閱歷，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽從正態(tài)分布．（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，，2，，16．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值推斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到．附：若隨機變量聽從正態(tài)分布，則，，．【解析】（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為0.9974，則落在之外的概率為，因為，所以，又因為，所以；（2）（ⅰ）假如生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種狀況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．（ⅱ）由，，得的估計值為，的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計值為10.02．，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計值為．強化訓練強化訓練1．（2024?青羊區(qū)校級模擬）設隨機變量，滿意：，，若，則A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】隨機變量，滿意：，，，，解得，，，．故選．2．（2024?奎文區(qū)校級模擬）設隨機變量聽從，則的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】隨機變量聽從，故選．3．（2024?道里區(qū)校級三模）已知隨機變量聽從二項分布．若，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】由隨機變量聽從二項分布．又，，所以，解得：，故選．4．（2024?道里區(qū)校級一模）設隨機變量，，若，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】隨機變量，，，，，，故選．5．（2024?江西模擬）已知隨機變量聽從正態(tài)分布，若，則A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7【答案】B【解析】依據(jù)題意，正態(tài)分布，若，則，即這組數(shù)據(jù)對應的正態(tài)曲線的對稱軸，則，又由，得．故選．6．（2024?紅崗區(qū)校級模擬）在如圖所示的正方形中隨機投擲40000個點，則落入陰影部分（曲線為正態(tài)分布的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（附，則，．A．906 B．1359 C．2718 D．3413【答案】B【解析】陰影部分的面積，則在正方形中隨機投一點，該點落在陰影內(nèi)的概率為，落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為．故選．7．（2024?遼寧三模）已知隨機變量聽從正態(tài)分布，且，則A．0.6 B．0.2 C．0.4 D．0.35【答案】B【解析】由隨機變量聽從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對稱軸是，又，所以．故選．8．（2024?運城模擬）在某項測量中，測量結(jié)果聽從正態(tài)分布，，若在內(nèi)取值的概率為0.6，則在內(nèi)取值的概率為A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】D【解析】，，又，．故選．9．（2024?益陽模擬）若隨機變量聽從正態(tài)分布，則，，設，且，在平面直角坐標系中，若圓上恰有兩個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為A．，， B． C．，， D．【答案】C【解析】由題意知：，，，．．故圓的方程為，圓心為，半徑為2．如圖，，表示與平行的直線，，，共線且垂直于，．當時，圓上分別恰有1個，3個點到直線的距離等于1，此時圓心到直線的距離分別為3，1．當直線介于，之間時，符合題意．故，，或．故選．10．（2024?安陽二模）2024年2月，受新冠肺炎的影響，醫(yī)衛(wèi)市場上出現(xiàn)了“一罩難求”的現(xiàn)象．在政府部門的牽頭下，部分工廠轉(zhuǎn)業(yè)生產(chǎn)口罩，已知某工廠生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標，單位為，該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在的口罩數(shù)量為818600件，則可以估計該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在以上的口罩數(shù)量為參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A．158700 B．22750 C．2700 D．1350【答案】D【解析】由題意知，，即，，即；所以，所以該廠每天生產(chǎn)的口罩總量為（件，又，所以估計該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在以上的口罩數(shù)量為（件．故選．11．（2024?重慶模擬）若隨機變量聽從正態(tài)分布，，則，，．已知某校1000名學生某次數(shù)學考試成果聽從正態(tài)分布，據(jù)此估計該校本次數(shù)學考試成果在130分以上的學生人數(shù)約為A．159 B．46 C．23 D．13【答案】C【解析】由題意，，，故．估計該校本次數(shù)學考試成果在130分以上的學生人數(shù)約為．故選．12．（2024?福建模擬）已知隨機變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示．若在邊長為1的正方形內(nèi)隨機取一點，則該點恰好取自黑色區(qū)域的概率為附：若隨機變量，則，．A．0.1359 B．0.6587 C．0.7282 D．0.8641【答案】D【解析】由題意．在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點恰好落在陰影部分的概率為．故選．13．（2024?重慶模擬）某公司生產(chǎn)了一批新產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的綜合質(zhì)量指標值聽從正態(tài)分布且．現(xiàn)從中隨機抽取該產(chǎn)品1000件，估計其綜合質(zhì)量指標值在，內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為A．200 B．300 C．400 D．600【答案】B【解析】因為綜合質(zhì)量指標值聽從正態(tài)分布且．，．．故綜合質(zhì)量指標值在，內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為．故選．14．（2024?唐山一模）已知隨機變量聽從正態(tài)分布，隨機變量聽從正態(tài)分布，且，則A．0.1587 B．0.3413 C．0.8413 D．0.6587【答案】B【解析】由已知得，．又，．故選．15．（2024?廣西模擬）已知隨機變量聽從正態(tài)分布，，A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】B【解析】隨機變量聽從正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線的對稱軸為，，又，，故選．16．（2024?道里區(qū)校級一模）某地區(qū)有10000名高三學生參與了網(wǎng)上模擬考試，其中數(shù)學分數(shù)聽從正態(tài)分布，成果在，之外的人數(shù)估計有（附：若聽從，則，A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人【答案】A【解析】由數(shù)學分數(shù)聽從正態(tài)分布，得，．則．則成果在，之內(nèi)的人數(shù)估計有8183，成果在，之外的人數(shù)估計有1817，與1814最接近．故選．17．（2024?青島模擬）已知某市居民在2024年用于手機支付的個人消費額（單位：元）聽從正態(tài)分布，，則該市某居民手機支付的消費額在內(nèi)的概率為附：隨機變量聽從正態(tài)分布，則，，．A．0.9759 B．0.84 C．0.8185 D．0.4772【答案】C【解析】聽從正態(tài)分布，，，，則．故選．18．（2024?畢節(jié)市模擬）已知，若，則A． B． C． D．【答案】A【解析】作出該函數(shù)圖象，易知關于直線對稱，所以，則即為所求．故選．19．（2024?西寧模擬）設隨機變量，則__________．【答案】【解析】隨機變量聽從二項分布，．故答案為：．20．（2024?呼和浩特模擬）為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教化方針，某市要對全市中小學生“體能達標”狀況進行了解，確定通過隨機抽樣選擇幾個樣本校對學生進行體能達標測試，并規(guī)定測試成果低于60分為不合格，否則為合格，若樣本校學生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的，則該樣本校體能達標為合格．已知某樣本校共有1000名學生，現(xiàn)從中隨機抽取40名學生參與體能達標測試，首先將這40名學生隨機分為甲、乙兩組，其中甲乙兩組學生人數(shù)的比為，測試后，兩組各自的成果統(tǒng)計如下：甲組的平均成果為70，方差為16，乙組的平均成果為80，方差為36．（Ⅰ）估計該樣本校學生體能測試的平均成果；（Ⅱ）求該樣本校40名學生測試成果的標準差；（Ⅲ）假設該樣本校體能達標測試成果聽從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值估計該樣本校學生體能達標測試是否合格？（注：①本題全部數(shù)據(jù)的最終結(jié)果都精確到整數(shù)；②若隨機變量聽從正態(tài)分布，則，，．【解析】（1）由題知，甲、乙兩組學生數(shù)分別為24和16，則這40名學生測試成果的平均分．故可估計該樣本校學生體能測試的平均成果為74．（2）由變形得，設第一組學生的測試成果分別為，，，，，其次組學生的測試成果分別為，，，，，則第一組的方差為，解得：．其次組的方差為，解得：．這40名學生的方差為，所以．綜上，標準差．（3）由，，得的估計值為，的估計值，故，即，所以．從而，在全校1000名學生中，“不合格”的有（人．而，故可估計該樣本校學生“體能達標”測試合格．21．（2024?濰坊模擬）為了嚴格監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，某企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取10000個零件，并測量其內(nèi)徑（單位：．依據(jù)長期生產(chǎn)閱歷，認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑聽從正態(tài)分布．假如加工的零件內(nèi)徑小于或大于均為不合格品，其余為合格品．（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，請估計一天內(nèi)抽取的10000個零件中不合格品的個數(shù)約為多少；（2）若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為合格品則該件產(chǎn)品盈利；若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為不合格品則該件產(chǎn)品虧損．已知每件產(chǎn)品的利潤（單位：元）與零件的內(nèi)徑有如下關系：求該企業(yè)一天從生產(chǎn)線上隨機抽取10000個零件的平均利潤．附：若隨機變量聽從正態(tài)分布，有，，．【解析】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而抽取一個零件為不合格品的概率為0.0026．因此一天內(nèi)抽取的10000個零件中不合格品的個數(shù)約為：；（2）由題意，．；；．故隨機抽取10000個零件的平均利潤：為元．22．（2024?濟南模擬）法國數(shù)學家龐加是個喜愛吃面包的人，他每天都會購買一個面包，面包師聲稱自己