2024-2025學年重慶市高二上學期期中第二次數(shù)學質量檢測試題（含解析）

2024-2025學年重慶市高二上學期期中第二次數(shù)學質量檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.直線傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知點，則平面的法向量可以是（）A. B. C. D.3.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為6，則實數(shù)等于（）A. B. C.12 D.4.若直線：與直線：相互平行，則、之間的距離為（）A.3 B. C. D.或5.已知圓M：，求圓M關于直線l：的對稱圓方程（）A. B.C. D.6.在三棱錐中，，與平面所成角的大小為，則（）A.1 B. C. D.27.已知在平面直角坐標系Oxy中，，.點P滿足，設點P所構成曲線為C，下列結論正確的是（）A.曲線C方程為B.曲線C上存在點D，使得D到點的距離為10C.曲線C上存點M，使得D.曲線C上的點到直線的最大距離為98.若直線與曲線C：有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知直線：，為坐標原點，則（）A.直線的傾斜角為B.若到直線距離為，則c＝2C.過且與直線平行的直線方程為D.過且與直線垂直的直線方程為10.已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點，點P是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（）A.橢圓離心率為 B.C.若，則的面積為9 D.最小值為11.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，G是棱上的一個動點，M為側面上的動點，則下列說法正確的是（）A.點G到平面的距離為定值B.若，則的最小值為2C.若，且，則點G到直線的距離為D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線l的方向向量為，且直線l經(jīng)過點，則直線l的方程為__________.13.已知P為橢圓C上一點，，為C的兩個焦點，，，則C的離心率為________．14.中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，其中四邊形為矩形，，若，和都是正三角形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.四、解答題：本題共5題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.橢圓E的焦點分別為、且滿足，經(jīng)過，兩點.（1）求橢圓E的標準方程和橢圓E的離心率e、長軸長、短軸長，并在坐標系中畫上橢圓E的草圖（2）設點M為橢圓E上一點且滿足，求的周長和面積.16.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.（1）證明：直線平面；（2）求點到平面的距離.17.已知圓，圓及點.（1）判斷圓和圓的位置關系，并說明理由；（2）若斜率為的直線經(jīng)過點且與圓相切，求直線的方程.18.在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．19.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系中的點，則滿足的動點的軌跡記為圓.（1）求圓的方程；（2）若直線為，證明：無論為何值，直線與圓恒有兩個交點；（3）若點，當在上運動時，求的最大值和最小值.2024-2025學年重慶市高二上學期期中第二次數(shù)學質量檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【正確答案】D【分析】由題可得其斜率，即可得傾斜角.【詳解】.設其傾斜角為，則，又，則，即傾斜角為150°.故選：D2.已知點，則平面法向量可以是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)法向量的求法求得正確答案.【詳解】，設平面的法向量為，則，則，只有A選項符合.故選：A3.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為6，則實數(shù)等于（）A. B. C.12 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)橢圓的標準方程建立方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以，即實數(shù)的值為12.故選：C4.若直線：與直線：相互平行，則、之間的距離為（）A.3 B. C. D.或【正確答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，再利用兩平行線之間的距離公式即可得解.【詳解】因為直線與直線平行，，解得或2，當時，與重合，不符合題意；當時，與平行，符合題意；則與之間的距離.故選：C.5.已知圓M：，求圓M關于直線l：的對稱圓方程（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】設對稱圓的圓心，解方程組即得解.【詳解】圓的圓心為，設對稱圓的圓心為，依題意得，解得，又圓的半徑與對稱圓的半徑相等，所以對稱圓的方程為.故選：D.6.在三棱錐中，，與平面所成角的大小為，則（）A.1 B. C. D.2【正確答案】C【分析】取的中點，可證平面平面，結合面面垂直的性質可知點在平面內的投影落在線段內，即，即可得結果.【詳解】取的中點，連接，因為，則，且，平面，可得平面，又因為平面，所以平面平面，且平面平面，由面面垂直的性質可知：點在平面內的投影落在直線上，且，可知點在平面內的投影落在線段內，又因為與平面所成角的大小為，則，可知為等邊三角形，所以.故選：C.7.已知在平面直角坐標系Oxy中，，.點P滿足，設點P所構成的曲線為C，下列結論正確的是（）A.曲線C的方程為B.曲線C上存在點D，使得D到點的距離為10C.曲線C上存在點M，使得D.曲線C上的點到直線的最大距離為9【正確答案】D【分析】根據(jù)兩點坐標以及由兩點間距離公式即可整理得點P所構成的曲線為C的方程為，即可判斷A；利用點到圓上點距離的最大值，即可知在C上不存在點D，即可判斷B；設，利用兩點間距離公式得到方程和聯(lián)立，無解，即可判斷C；求出C的圓心到直線的距離，可得曲線C上的點到直線的最大距離為9，即可判斷D.【詳解】對于A，由題意可設點Px,y由A?2,0，B4,0，，得，化簡得，即，故A錯誤；對于B，點到圓上的點的最大距離，故不存在點D符合題意，故B錯誤；對于C，設，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，得無解，故C錯誤；對于D，C的圓心到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點到直線的最大距離，故D正確.故選：D.8.若直線與曲線C：有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線是以原點為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），求出直線與圓相切時的值，再結合圖形即可求解.【詳解】由得，所以曲線是以原點為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），直線過定點，

當直線與圓相切時，圓心到直線的距離，解得或（舍去），當直線過點時，直線斜率為，結合圖形可得實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知直線：，為坐標原點，則（）A.直線的傾斜角為B.若到直線的距離為，則c＝2C.過且與直線平行的直線方程為D.過且與直線垂直的直線方程為【正確答案】CD【分析】根據(jù)直線方程，得直線的傾斜角，可判斷；根據(jù)點到直線的距離公式計算可判斷，根據(jù)與知直線平行或垂直的直線方程求法可判斷.【詳解】直線可化為：，所以斜率，得傾斜角為，故錯誤；由點到直線的距離公式得，得，所以，故錯誤；設與直線平行的直線方程為，因為平行直線方程經(jīng)過原點，所以，即平行直線方程為，故正確；設與直線垂直的直線方程為,因為垂直直線方程經(jīng)過原點，所以，即垂直直線方程為，故正確.故選.10.已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點，點P是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（）A.橢圓離心率為 B.C.若，則的面積為9 D.最小值為【正確答案】BCD【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的公式可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．【詳解】由橢圓方程可知，，所以橢圓的離心率，故A錯誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因為，所以，∴，解得，所以的面積為，故C正確；∵，∴，當且僅當時取等號，∴最小值為，故D正確．故選：BCD．11.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，G是棱上的一個動點，M為側面上的動點，則下列說法正確的是（）A.點G到平面的距離為定值B.若，則的最小值為2C.若，且，則點G到直線的距離為D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【正確答案】ACD【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面垂直的判定定理判斷B，利用空間向量推得四點共面，結合面面平行的性質定理判斷C，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.【詳解】對于A，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，所以，又平面，平面，所以平面，又點G是棱上的一個動點，所以點G到平面的距離為定值，故A正確；對于B，連接，面，是在平面上的射影，要使，則，所以點M的軌跡是平面上以F為圓心，1為半徑的半圓，所以的最小值為，故B錯誤；對于C，連接，，，，因為，且，所以A，E，，G四點共面，因為在正方體中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，則，則，因為E為棱的中點，所以G為棱的中點，故以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則A2,0,0，，，，所以，，，，故點G到直線距離，故C正確；對于D，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，設（），則A2,0,0，，，，所以，，，設平面的法向量為n=a,b,c，則，令，則，故，設直線與平面所成角為（），則，因為，所以，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.方法點睛：（1）向量法求點面距離：求出平面的法向量，則點到平面的距離公式為.（2）向量法求線面所成角的正弦值：求出平面的法向量，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線l的方向向量為，且直線l經(jīng)過點，則直線l的方程為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)直線的方向向量可得斜率，再由點斜式方程即可得出結果.【詳解】由直線l的方向向量為可得直線的斜率為2，又過點可得直線l的方程為，即.故13.已知P為橢圓C上一點，，為C的兩個焦點，，，則C的離心率為________．【正確答案】【分析】利用等腰三角形的性質及特殊角的三角函數(shù)值結合橢圓的定義與性質計算即可【詳解】如圖，取線段的中點M，連接，因為，，所以，且，所以，設，所以C的離心率為，故14.中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，其中四邊形為矩形，，若，和都是正三角形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.【正確答案】【分析】取中點，連接，，易證平面，再由等邊三角形可知四邊形為等腰梯形，高為，建立空間直角坐標系，利用向量法可得異面直線夾角余弦值.【詳解】如圖所示，設，取中點，連接，，則，又，，四邊形為矩形，，又為正三角形，為的中點，，，且，平面，平面，易知，則，四邊形為等腰梯形，高為，在平面內，過點作垂線，以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，即，，，即異面直線與的夾角余弦值為，故答案為.四、解答題：本題共5題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.橢圓E的焦點分別為、且滿足，經(jīng)過，兩點.（1）求橢圓E的標準方程和橢圓E的離心率e、長軸長、短軸長，并在坐標系中畫上橢圓E的草圖（2）設點M為橢圓E上一點且滿足，求的周長和面積.【正確答案】（1）答案見解析；（2）周長為，面積為.【分析】（1）首先設橢圓的一般方程，將兩點坐標代入方程，即可求解，再根據(jù)橢圓的方程畫出橢圓的草圖，以及求得橢圓的性質；（2）根據(jù)橢圓的定義，以及余弦定理，即可求解周長和面積.【小問1詳解】設橢圓方程為，，在橢圓上，則，解得：，所以橢圓的標準方程為，所以，，，所以，，，所以橢圓的離心率，長軸，短軸長；橢圓E的草圖如圖所示：【小問2詳解】由（1）得的周長為，設，，，中，，即，即，解得，所以的面積.16.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.（1）證明：直線平面；（2）求點到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設建立合適的空間直角坐標系，應用向量法證明與面的一個法向量垂直，即可證結論；（2）根據(jù)（1）所得坐標系，應用向量法求點面距離.【小問1詳解】由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標系，則由，得，解得，同理，，顯然面的一個法向量為，顯然且面，故面【小問2詳解】設面的一個法向量為，且，由，取x=1，則，所以為平面的一個法向量，又，點到平面的距離為.17.已知圓，圓及點.（1）判斷圓和圓的位置關系，并說明理由；（2）若斜率為的直線經(jīng)過點且與圓相切，求直線的方程.【正確答案】（1）圓和圓相交，理由見解析（2）或.【分析】（1）求出兩圓的圓心和半徑，比較圓心距與半徑和、差的關系，可得兩圓的位置關系.（2）設直線方程的點斜式，利用圓心到直線的距離等于遠的半徑求，可得圓的切線方程.【小問1詳解】圓方程可整理為：，則圓心，半徑，由圓方程可知：圓心，半徑，因為，，，所以，所以圓和圓相交.小問2詳解】當過的直線斜率不存在，即直線為時，其與圓不相切，所以可設所求切線方程：，即，所以圓心到切線的距離，即，解得：或，所以切線方程為：或，即或.18.在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）存在，的長度為3或【分析】（1）通過證明，來證得平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得正確答案.【小問1詳解】因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，以CD軸，CB為軸，為軸，建立空間直角坐標系

，因為，故，由幾何關系可知，，，，故，，，，，，假設在線段上存在點，使平面與平面成角余弦值為，，，，設，則，，設平面的法向量為，則有，即不妨令，則，，故平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則有，即不妨令，則，，所以平面的一個法向量為，若平面與平面成角余弦值為，則滿足，化簡得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點，使平面與平面成角余弦值為，此時的長度為3或．19.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系中的點，則滿足的動點的軌跡記為圓.（1）求圓的方程；（2）若直線為，證明：無論為何值，直線與圓恒有兩個交點；（3）若點，當在上運動時，求的最大值和最小值.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）最小值為，最大值為【分析】（1）設點Px,y，根據(jù)，列出方程，即可求得圓的方程求圓的方程；（2）求出直線過定點，根據(jù)定點在圓內可得答案；（3）設，由兩點間距離公式計算，再由輔助角公式計算可得答案.【小問1詳解】設Px,y，由，且，可得，整理得，所以圓的方程為；【小問2詳解】由直線方程為得，解得，所以直線過定點，由，得點在圓內，所以無論為何值，直線與圓恒有兩個交點；【小問3詳解】設，，其中，因為，所以當時，有最小值為，當時，有最大值為.關鍵點點睛：第三問解題的關鍵點是設，再由兩點間距離公式計算.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【正確答案】D【分析】由題可得其斜率，即可得傾斜角.【詳解】.設其傾斜角為，則，又，則，即傾斜角為150°.故選：D2.已知點，則平面法向量可以是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)法向量的求法求得正確答案.【詳解】，設平面的法向量為，則，則，只有A選項符合.故選：A3.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為6，則實數(shù)等于（）A. B. C.12 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)橢圓的標準方程建立方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以，即實數(shù)的值為12.故選：C4.若直線：與直線：相互平行，則、之間的距離為（）A.3 B. C. D.或【正確答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，再利用兩平行線之間的距離公式即可得解.【詳解】因為直線與直線平行，，解得或2，當時，與重合，不符合題意；當時，與平行，符合題意；則與之間的距離.故選：C.5.已知圓M：，求圓M關于直線l：的對稱圓方程（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】設對稱圓的圓心，解方程組即得解.【詳解】圓的圓心為，設對稱圓的圓心為，依題意得，解得，又圓的半徑與對稱圓的半徑相等，所以對稱圓的方程為.故選：D.6.在三棱錐中，，與平面所成角的大小為，則（）A.1 B. C. D.2【正確答案】C【分析】取的中點，可證平面平面，結合面面垂直的性質可知點在平面內的投影落在線段內，即，即可得結果.【詳解】取的中點，連接，因為，則，且，平面，可得平面，又因為平面，所以平面平面，且平面平面，由面面垂直的性質可知：點在平面內的投影落在直線上，且，可知點在平面內的投影落在線段內，又因為與平面所成角的大小為，則，可知為等邊三角形，所以.故選：C.7.已知在平面直角坐標系Oxy中，，.點P滿足，設點P所構成的曲線為C，下列結論正確的是（）A.曲線C的方程為B.曲線C上存在點D，使得D到點的距離為10C.曲線C上存在點M，使得D.曲線C上的點到直線的最大距離為9【正確答案】D【分析】根據(jù)兩點坐標以及由兩點間距離公式即可整理得點P所構成的曲線為C的方程為，即可判斷A；利用點到圓上點距離的最大值，即可知在C上不存在點D，即可判斷B；設，利用兩點間距離公式得到方程和聯(lián)立，無解，即可判斷C；求出C的圓心到直線的距離，可得曲線C上的點到直線的最大距離為9，即可判斷D.【詳解】對于A，由題意可設點Px,y由A?2,0，B4,0，，得，化簡得，即，故A錯誤；對于B，點到圓上的點的最大距離，故不存在點D符合題意，故B錯誤；對于C，設，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，得無解，故C錯誤；對于D，C的圓心到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點到直線的最大距離，故D正確.故選：D.8.若直線與曲線C：有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線是以原點為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），求出直線與圓相切時的值，再結合圖形即可求解.【詳解】由得，所以曲線是以原點為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），直線過定點，

當直線與圓相切時，圓心到直線的距離，解得或（舍去），當直線過點時，直線斜率為，結合圖形可得實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知直線：，為坐標原點，則（）A.直線的傾斜角為B.若到直線的距離為，則c＝2C.過且與直線平行的直線方程為D.過且與直線垂直的直線方程為【正確答案】CD【分析】根據(jù)直線方程，得直線的傾斜角，可判斷；根據(jù)點到直線的距離公式計算可判斷，根據(jù)與知直線平行或垂直的直線方程求法可判斷.【詳解】直線可化為：，所以斜率，得傾斜角為，故錯誤；由點到直線的距離公式得，得，所以，故錯誤；設與直線平行的直線方程為，因為平行直線方程經(jīng)過原點，所以，即平行直線方程為，故正確；設與直線垂直的直線方程為,因為垂直直線方程經(jīng)過原點，所以，即垂直直線方程為，故正確.故選.10.已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點，點P是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（）A.橢圓離心率為 B.C.若，則的面積為9 D.最小值為【正確答案】BCD【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的公式可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．【詳解】由橢圓方程可知，，所以橢圓的離心率，故A錯誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因為，所以，∴，解得，所以的面積為，故C正確；∵，∴，當且僅當時取等號，∴最小值為，故D正確．故選：BCD．11.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，G是棱上的一個動點，M為側面上的動點，則下列說法正確的是（）A.點G到平面的距離為定值B.若，則的最小值為2C.若，且，則點G到直線的距離為D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【正確答案】ACD【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面垂直的判定定理判斷B，利用空間向量推得四點共面，結合面面平行的性質定理判斷C，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.【詳解】對于A，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，所以，又平面，平面，所以平面，又點G是棱上的一個動點，所以點G到平面的距離為定值，故A正確；對于B，連接，面，是在平面上的射影，要使，則，所以點M的軌跡是平面上以F為圓心，1為半徑的半圓，所以的最小值為，故B錯誤；對于C，連接，，，，因為，且，所以A，E，，G四點共面，因為在正方體中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，則，則，因為E為棱的中點，所以G為棱的中點，故以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則A2,0,0，，，，所以，，，，故點G到直線距離，故C正確；對于D，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，設（），則A2,0,0，，，，所以，，，設平面的法向量為n=a,b,c，則，令，則，故，設直線與平面所成角為（），則，因為，所以，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.方法點睛：（1）向量法求點面距離：求出平面的法向量，則點到平面的距離公式為.（2）向量法求線面所成角的正弦值：求出平面的法向量，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線l的方向向量為，且直線l經(jīng)過點，則直線l的方程為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)直線的方向向量可得斜率，再由點斜式方程即可得出結果.【詳解】由直線l的方向向量為可得直線的斜率為2，又過點可得直線l的方程為，即.故13.已知P為橢圓C上一點，，為C的兩個焦點，，，則C的離心率為________．【正確答案】【分析】利用等腰三角形的性質及特殊角的三角函數(shù)值結合橢圓的定義與性質計算即可【詳解】如圖，取線段的中點M，連接，因為，，所以，且，所以，設，所以C的離心率為，故14.中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，其中四邊形為矩形，，若，和都是正三角形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.【正確答案】【分析】取中點，連接，，易證平面，再由等邊三角形可知四邊形為等腰梯形，高為，建立空間直角坐標系，利用向量法可得異面直線夾角余弦值.【詳解】如圖所示，設，取中點，連接，，則，又，，四邊形為矩形，，又為正三角形，為的中點，，，且，平面，平面，易知，則，四邊形為等腰梯形，高為，在平面內，過點作垂線，以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，即，，，即異面直線與的夾角余弦值為，故答案為.四、解答題：本題共5題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.橢圓E的焦點分別為、且滿足，經(jīng)過，兩點.（1）求橢圓E的標準方程和橢圓E的離心率e、長軸長、短軸長，并在坐標系中畫上橢圓E的草圖（2）設點M為橢圓E上一點且滿足，求的周長和面積.【正確答案】（1）答案見解析；（2）周長為，面積為.【分析】（1）首先設橢圓的一般方程，將兩點坐標代入方程，即可求解，再根據(jù)橢圓的方程畫出橢圓的草圖，以及求得橢圓的性質；（2）根據(jù)橢圓的定義，以及余弦定理，即可求解周長和面積.【小問1詳解】設橢圓方程為，，在橢圓上，則，解得：，所以橢圓的標準方程為，所以，，，所以，，，所以橢圓的離心率，長軸，短軸長；橢圓E的草圖如圖所示：【小問2詳解】由（1）得的周長為，設，，，中，，即，即，解得，所以的面積.16.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.（1）證明：直線平面；（2）求點到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設建立合適的空間直角坐標系，應用向量法證明與面的一個法向量垂直，即可證結論；（2）根據(jù)（1）所得坐標系，應用向量法求點面距離.【小問1詳解】由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標系，則由，得，解得，同理，，顯然面的一個法向量為，顯然且面，故面【小問2詳解】設面的一個法向量為，且，由，取x=1，則，所以為平面的一個法向量，又，點到平面的距離為.