第08講數(shù)列求和（4種解題方法）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第08講數(shù)列求和（4種解題方法）題型一：倒序相加法求和一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項，則（

）A．98 B．99 C．100 D．1012．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量的概率分布列如下：012……12……其中，則（

）A． B． C．6 D．123．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項都不相等的數(shù)列，2，，，圓，圓，若圓平分圓的周長，則的所有項的和為（

）A．2014 B．2015 C．4028 D．40304．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心設(shè)函數(shù)，則

A．2016 B．2017 C．2018 D．2019二、填空題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，等差數(shù)列滿足，則__________．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則等于______．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是______.三、解答題8．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于序列，實施變換T得序列，記作；對繼續(xù)實施變換T得序列，記作．最后得到的序列只有一個數(shù)，記作．(1)若序列為1，2，3，求；(2)若序列為1，2，…，n，求；(3)若序列A和B完全一樣，則稱序列A與B相等，記作，若序列B為序列的一個排列，請問：是的什么條件？請說明理由．題型二：錯位相減法求和一、填空題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則___________.2．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列滿足，，則__________3．（2023春·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項和_________．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，點()()，記的面積為，則____________.二、雙空題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.三、解答題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.7．（2022秋·福建龍巖·高三校考期中）設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）令，求數(shù)列的前項和.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.9．（2022秋·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．10．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明13．（2023秋·天津南開·高三?？计谀┰O(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，求證：；(3)求．14．（2022·全國·清華附中朝陽學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和滿足，，.(1)求的通項公式；(2)數(shù)列，滿足，且，求證：.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)在和之間插入1個數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…，在和之間插入n個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列，求；(3)對于（2）中求得的，是否存在正整數(shù)m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由．題型三：裂項相消法求和一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．2．（2022春·浙江嘉興·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項和，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（

）A．若為等比數(shù)列，則B．若為遞增的等差數(shù)列，則C．若為等比數(shù)列，則D．若為遞增的等差數(shù)列，則二、多選題4．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚中市第二高級中學(xué)?？计谀?shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．若且，數(shù)列單調(diào)遞減B．若存在無數(shù)個自然數(shù)，使得，則C．當(dāng)或時，的最小值不存在D．當(dāng)時，三、填空題5．（2022·湖南湘西·高三統(tǒng)考競賽）已知函數(shù)，若對于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個不同的交點，則___________.四、解答題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.7．（2022秋·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知且．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．9．（2022秋·山西運城·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和，并證明：.10．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．12．（2022·浙江·模擬預(yù)測）正項遞增數(shù)列的前項和為，.(1)求的通項公式；(2)若，，，數(shù)列的前項和為，證明：.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且有．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：．15．（2022秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列為數(shù)列的前n項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：；(3)證明：．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項和為，證明：．題型四：分項（并項）法求和一、多選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前n項和2．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，且對于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．存在使得二、填空題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．三、雙空題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實根，記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項和，則______．四、解答題5．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？计谥校┰诠顬?的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.6．（2022秋·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令求數(shù)列的前n項和；7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項，且滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，且對任意的，都有.(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.10．（2022秋·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，(1)求a2，a3；(2)設(shè)