內(nèi)蒙古北重公司第三中學(xué)2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

內(nèi)蒙古北重公司第三中學(xué)2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線的焦距為，則的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．2．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向左平移個長度單位3．設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．若存在，且為函數(shù)的一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．5．在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種6．在空間直角坐標(biāo)系中，四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：．假設(shè)螞蟻窩在點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回點(diǎn)．那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（）A． B． C． D．7．定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．8．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．9．若集合，，則A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．212．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方形的邊長為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動直徑，點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn)，則的取值范圍是______.14．某市高三理科學(xué)生有名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知，若按成績分層抽樣的方式取份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為__________.15．已知函數(shù)，若函數(shù)有6個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.16．下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個人做進(jìn)一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且直線的斜率為1，當(dāng)直線過點(diǎn)時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點(diǎn)，，求直線的斜率.18．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點(diǎn)，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關(guān)于的方程的兩根分別為，求證：.20．（12分）一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，決定新建一個底面為長方形的室內(nèi)發(fā)酵館，發(fā)酵館內(nèi)有一個無蓋長方體發(fā)酵池，其底面為長方形(如圖所示)，其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，發(fā)酵池造價總費(fèi)用不超過65400元（1）求發(fā)酵池邊長的范圍；（2）在建發(fā)酵館時，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數(shù)）.問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計，可使得發(fā)酵館占地面積最小.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線上的任意一點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到點(diǎn)的距離小1.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線斜率的取值范圍.22．（10分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區(qū)域內(nèi)原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點(diǎn)．已知長為40米,設(shè)為．（上述圖形均視作在同一平面內(nèi)）（1）記四邊形的周長為,求的表達(dá)式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，故可得，解得，不妨??；又焦點(diǎn)，其中一條漸近線為，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.2、D【解析】，所以要的函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到，故選D3、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?，所以，所以，化簡得，所以，即令，因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個零點(diǎn)，所以在時有一個零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，，又因?yàn)?，所以要使在時有一個零點(diǎn)，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.4、D【解析】

直接相乘，得，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選：D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).5、C【解析】

根據(jù)題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理問題，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.7、A【解析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項中的圖象符合要求，故選A.8、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?，，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于容易題.10、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時,等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時,,可化為,可得虛半軸長,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù)，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)向量關(guān)系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得：，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙ο蛄窟M(jìn)行轉(zhuǎn)換，便于計算解題.14、【解析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率，乘以可得.【詳解】解：，所以應(yīng)從分以上的試卷中抽取份.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，很明顯，且存在唯一的實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)有6個零點(diǎn)，即方程有6個根，也就是有6個根，即與有6個不同交點(diǎn)，注意到函數(shù)關(guān)于直線對稱，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，繪制函數(shù)的圖像如圖所示，觀察可得：，即.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、32【解析】

由已知可得抽取的比例，計算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線，與聯(lián)立，得，再由弦長公式，求解.（2）設(shè)，根據(jù)直線的斜率為1，則，得到，再由，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，說明直線軸，直線的斜率為0.【詳解】（1）依題意，，則直線，聯(lián)立得；設(shè)，則，解得，故拋物線的方程為.（2），因?yàn)橹本€的斜率為1，則，所以，因?yàn)?，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.直線的方程為，即①直線的方程為，即②聯(lián)立①②解得即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即直線軸，故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，綜上所述，直線的斜率為0.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.18、（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）根據(jù)題意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出面的法向量為，的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）由由因?yàn)槭钦睦忮F，故于是，由余弦定理，在中，設(shè)再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖：則設(shè)面的法向量為，的法向量為則，取于是，二面角的余弦值為：【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)既無極大值，也無極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；（2）依題意，，則，，故，；要證：，即證，即證：，即證，設(shè)，只需證：，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明；(2)若與的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值，證明.20、（1）（2）當(dāng)時，，米時，發(fā)酵館的占地面積最小；當(dāng)時，時，發(fā)酵館的占地面積最??；當(dāng)時，米時，發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】

（1）設(shè)米，總費(fèi)用為，解即可得解；（2）結(jié)合（1）可得占地面積結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類討論即可求得最值.【詳解】（1）由題意知:矩形面積米，設(shè)米，則米，由題意知:，得，設(shè)總費(fèi)用為，則，解得:，又，故，所以發(fā)酵池邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米；（2）設(shè)發(fā)酵館的占地面積為由（1）知:，①時，，在上遞增，則，即米時，發(fā)酵館的占地面積最??；②時，，在上遞減，則，即米時，發(fā)酵館的占地面積最??；③時，時，，遞減；時，遞增，因此，即時，發(fā)酵館的占地面積最小；綜上所述：當(dāng)時，，米時，發(fā)酵館的占地面積最??；當(dāng)時，時，發(fā)酵館的占地面積最??；當(dāng)時，米時，發(fā)酵館的占地面積最小.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)亟⒛Ｐ停煤瘮?shù)性質(zhì)討論最值取得的情況.21、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡方程滿