75三角形內(nèi)角和定理課件北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

7.5三角形內(nèi)角和定理第七章平行線的證明知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理1內(nèi)容圖形三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°，即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

續(xù)表知1－講內(nèi)容圖形三角形內(nèi)角和定理的證明基本思路構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)說明三角形的內(nèi)角和是180°思路1如圖，過點(diǎn)A作EF∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∴∠BAC+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°

續(xù)表知1－講內(nèi)容圖形三角形內(nèi)角和定理的證明思路2如圖，過點(diǎn)C

作CE∥AB

，作BC

的延長線CD，∴∠A=∠1，∠B=∠2，∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°思路3如圖，在BC

上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作ED∥AC，DF∥AB，分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，易知∠B=∠3，∠C=∠1，∠A=∠2，∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠3=180°

知1－講特別提醒(1)三角形的內(nèi)角和等于180°是一個(gè)共性的結(jié)論，與三角形的具體形狀或種類沒有關(guān)系.三角形的內(nèi)角和等于180°常作為一個(gè)隱含條件，在有關(guān)角的計(jì)算中經(jīng)常用到；(2)與三角形內(nèi)角和定理有關(guān)的一個(gè)重要結(jié)論：直角三角形中兩個(gè)銳角互余；三角形中最多只有一個(gè)直角或鈍角；(3)證明三角形內(nèi)角和定理的關(guān)鍵是如何添加輔助線，而其指導(dǎo)思想是利用平行線把分散的三角形三個(gè)內(nèi)角集中起來.知1－練

例1知1－練解題秘方：求三角形內(nèi)角度數(shù)時(shí)，要充分利用各角之間的關(guān)系，用其中一個(gè)角表示另外兩個(gè)角，再借助三角形的內(nèi)角和定理構(gòu)建方程(組)求解.知1－練解：設(shè)∠B＝∠C＝x°，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴40＋x＋x＝180，解得x＝70.∴∠B＝∠C＝70°.(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度數(shù)；知1－練

(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B

的度數(shù)；知1－練

三角形中求角的度數(shù)問題一般用方程思想求解.當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系時(shí)，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程(組)求解.知1－練方法點(diǎn)撥：求三角形內(nèi)角的度數(shù)的方法:1.若已知兩個(gè)角的度數(shù)，求第三個(gè)角的度數(shù)，直接利用三角形內(nèi)角和定理求解；2.若已知一個(gè)角的度數(shù)及另兩個(gè)角之間的等量關(guān)系，或不知任何一個(gè)角的度數(shù)，只知道三個(gè)角之間的關(guān)系，一般根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”這個(gè)隱含的等量關(guān)系列方程(組)求解.知1－練1-1.

[中考·湖北]如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A

在直線a

上，斜邊BC

在直線b

上，若a∥b，∠1=55°，則∠2=(

)A．55°B．45°C．35°D．25°C知1－練1-2.

如圖，已知直線a∥b，

∠1=85°，∠2=60°，則∠3=_________．35°知2－講知識(shí)點(diǎn)三角形的外角2定義圖示實(shí)質(zhì)特征△ABC

內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角，稱為△ABC

的外角.如圖，∠1是△ABC

的∠ABC的外角三角形外角的實(shí)質(zhì)是三角形一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角(1)頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；(2)

一條邊是三角形內(nèi)角的一邊；(3)

另一條邊是該內(nèi)角另一邊的反向延長線

知2－講特別提醒◆三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角，所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角.◆判斷一個(gè)角是否為三角形的外角，關(guān)鍵看它是否滿足三角形外角的特征.知2－練如圖7-5-1，△CEF的外角為________________.解題秘方：緊扣三角形外角的定義識(shí)別外角.∠AFC，∠BEF例2

知2－練解：圖中△CEF的三邊的延長線只有EF的延長線FA，CE的延長線EB，延長線FA與邊FC構(gòu)成的角為∠AFC；延長線EB與邊EF構(gòu)成的角為∠BEF.由三角形外角的定義可以得出∠AFC，∠BEF是△CEF的外角.知2－練2-1.如圖，∠ACD是________的一個(gè)外角，∠AEC是________的一個(gè)外角，∠ECD是________的一個(gè)外角.△ABC△BEC△BEC知3－講知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的推論3推論由一個(gè)基本事實(shí)或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)基本事實(shí)或定理的推論推論1三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和如圖，∠1=∠2+∠3推論2三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角如圖，∠1＞∠2，∠1＞∠3

知3－講特別提醒這兩個(gè)推論反映了三角形的外角與不相鄰的內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系，利用它們可以求相關(guān)角的度數(shù)、證明一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和或差、證明兩個(gè)角相等、證明角的不等關(guān)系等.知3－練如圖7-5-2，AD是∠CAE的平分線，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度數(shù).解題秘方：利用三角形內(nèi)角和定理的推論，將∠ACD

的度數(shù)轉(zhuǎn)化為∠B＋∠BAC的度數(shù)進(jìn)行求解.例3知3－練解：∵AD是∠CAE的平分線，∠DAE＝60°，∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD＝∠BAC＋∠B=60°＋35°＝95°.知3－練3-1.如圖①，CE是△ABC

的外角∠ACD的平分線，且CE

交BA的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：∠BAC=∠B+2∠E；證明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.

∵∠DCE＝∠B＋∠E，∴∠ACE＝∠B＋∠E.∵∠BAC＝∠ACE＋∠E，∴∠BAC＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E.知3－練(2)如圖②，若AF平分∠BAC，∠ECD=60°，∠E=24°，求∠AFC的度數(shù)．知3－練知3－練如圖7-5-3，已知CE為△ABC外角∠ACD的平分線，CE交BA的延長線于點(diǎn)E，求證：∠BAC>∠B.解題秘方：找出三角形內(nèi)角和定理推論的模型，利用角的不等關(guān)系進(jìn)行推理.例4知3－練證明：∵CE平分∠ACD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分線的定義).∵∠BAC>∠1(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角)，∴∠BAC>∠2(等量代換).∵∠2>∠B(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角)，∴∠BAC>∠B.知3－練4-1.如圖，在△ABC的邊BC的延長線上取點(diǎn)D，E